北师大版高中数学必修五第2章1.1(二)

答：救援船到达D点需要1小时．
测量高度问题 测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由 于底部不可到达，这类问题不能直接用解直
角三角形的方法解决，常用正弦定理和余弦
定理，计算出建筑物顶部或底部到一个可到
达的点之间的距离，然后转化为解直角三角
形的问题．
例 2 甲、乙两楼相距 200m，从乙楼底望甲楼顶
问题探究 怎样将实际问题抽象成解三角形问题？ 提示：将距离问题抽象成三角形中的边长问题 ,将方向等含有角度的问题抽象成三角形中的 角的问题．例如，测量某条河宽时，把河宽看 成一条线段，通过构造三角形，把这条线段看 成某三角形的一边，通过解三角形来解决；再 比如，测量山或建筑物等的高度，把它们的高 度看成一条线段长，通过构造直角三角形，把 这条线段看成直角三角形的直角边或斜边，通 过解直角三角形来解决．
§3 解三角形的实际应用举例
学习目标 1．运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些 与测量和几何计算有关的实际问题．
2．通过对实际问题的探索，会利用数学建模
思想把实际问题转化为数学．
§ 3 解 三 角 形 的 实 际 应 用 举 例
课前自主学案
课堂互动讲练
转化成可用数学方法解决的问题，解题中也
要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优
点.
方法感悟 1．解斜三角形应用题的一般步骤是： ①准确理解题意，分清已知与所求； ②依题意画出示意图； ③分析与问题有关的三角形； ④运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形, 逐步求解问题的答案；
将正弦定理、余弦定理看成是几个“方程”， 那么解三角形应用题的实质就是把未知量按方 程的思想进行处理，解题时应根据已知量与未
知量，合理选择一个比较容易解的方程，从而
使解题过程简洁．(4)准确理解题意，分清已知

北师大版(新课标)高中数学课本目录大全（含必修和选修）北师大必修《数学1(必修)》全书目录：第一章集合§1 集合的含义与表示§2 集合的基本关系§3 集合的基本运算阅读材料康托与集合论第二章函数§1 生活中的变量关系§2 对函数的进一步认识§3 函数的单调性§4 二次函数性质的再研究§5 简单的幂函数阅读材料函数概念的发展课题学习个人所得税的计算第三章指数函数和对数函数§1 正整数指数函数§2 指数概念的扩充§3 指数函数§4 对数§5 对数函数§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较阅读材料历史上数学计算方面的三大发明第四章函数应用§1 函数与方程§2 实际问题的函数建模阅读材料函数与中学数学探究活动同种商品不同型号的价格问题必修2全书目录：第一章立体几何初步§1 简单几何体§2 三视图§3 直观图§4 空间图形的基本关系与公理§5 平行关系§6 垂直关系§7 简单几何体的面积和体积§8 面积公式和体积公式的简单应用阅读材料蜜蜂是对的课题学习正方体截面的形状第二章解析几何初步§1 直线与直线的方程§2 圆与圆的方程§3 空间直角坐标系阅读材料笛卡儿与解析几何探究活动1 打包问题探究活动2 追及问题必修3全书目录第一章统计§1 统计活动：随机选取数字§2 从普查到抽样§3 抽样方法§4 统计图表§5 数据的数字特征§6 用样本估计总体§7 统计活动：结婚年龄的变化§8 相关性§9 最小二乘法阅读材料统计小史课题学习调查通俗歌曲的流行趋势第二章算法初步§1 算法的基本思想§2 算法的基本结构及设计§3 排序问题§4 几种基本语句课题学习确定线段n等分点的算法第三章概率§1 随机事件的概率§2 古典概型§3模拟方法――概率的应用探究活动用模拟方法估计圆周率∏的值必修4 全书目录：第一章三角函数§1 周期现象与周期函数§2 角的概念的推广§3 弧度制§4 正弦函数§5 余弦函数§6 正切函数§7 函数的图像§8 同角三角函数的基本关系阅读材料数学与音乐课题学习利用现代信息技术探究的图像第二章平面向量§1 从位移、速度、力到向量§2 从位移的合成到向量的加法§3 从速度的倍数到数乘向量§4 平面向量的坐标§5 从力做的功到向量的数量积§6 平面向量数量积的坐标表示§7 向量应用举例阅读材料向量与中学数学第三章三角恒等变形§1 两角和与差的三角函数§2 二倍角的正弦、余弦和正切§3 半角的三角函数§4 三角函数的和差化积与积化和差§5 三角函数的简单应用课题学习摩天轮中的数学问题探究活动升旗中的数学问题必修5全书共三章：数列、解三角形、不等式。

1.1 正弦定理(一)[学习目标] 1.通过对任意三角形边长和角度的关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形的内角和定理解决简单的解三角形问题．知识点一 正弦定理1．正弦定理的表示 文字 语言 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比都相等，该比值为三角形外接圆的直径符号 语言在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，则a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R 2.正弦定理的常见变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，其中R 为△ABC 外接圆的半径．(2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R(R 为△ABC 外接圆的半径)． (3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .(4)a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝b sin B ＝c sin C. (5)a sin B ＝b sin A ，a sin C ＝c sin A ，b sin C ＝c sin B .3．正弦定理的证明(1)在Rt △ABC 中，设C 为直角，如图，由三角函数的定义：sin A ＝a c ，sin B ＝b c，∴c＝asin A＝bsin B＝csin 90°＝csin C，∴asin A＝bsin B＝csin C.(2)在锐角三角形ABC中，设AB边上的高为CD，如图，CD＝a sin_B＝b sin_A，∴asin A＝bsin B，同理，作AC边上的高BE，可得asin A＝csin C，∴asin A＝bsin B＝csin C.(3)在钝角三角形ABC中，C为钝角，如图，过B作BD⊥AC于D，则BD＝a sin(π－C)＝a sin_C，BD＝c sin_A，故有a sin C＝c sin_A，∴asin A＝csin C，同理，asin A＝bsin B，∴asin A＝bsin B＝csin C.思考下列有关正弦定理的叙述：①正弦定理只适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形；③在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值；④在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝BC∶AC∶AB.其中正确的个数有()A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析正弦定理适用于任意三角形，故①②均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比值也就确定了，所以③正确；由正弦定理可知④正确．故选B. 知识点二解三角形一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．思考正弦定理能解决哪些问题？答案利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他两边和第三个角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而求出其他的边和角．。

高中数学学习材料唐玲出品第二章解三角形（北师大版必修5）建议用时实际用时满分实际得分90分钟150分一、选择题（每小题5分，共30分）1.有一山坡，坡角为30°，若某人在斜坡的平面上沿着一条与山坡底线成30°角的小路前进一段路后，升高了100米，则此人行走的路程为（）A.200米 B.300米C.400米D.500米2.线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C 行驶，则行驶( )h 后，两车的距离最小．A. B.C. D.3.已知a，b，c为△ABC三个内角A，B，C的对边，向量m＝(3，－1)，n＝(cos A，sin A)，若m⊥n，且a cos B＋b cos A＝c sin C，则角B=( )A. B.C. D.4.在△ABC中，B ＝60°，最大边与最小边的比为3＋12，则三角形的最大内角为( )A.45°B.60°C.70°D.75°5.若△ABC的周长是20，面积是103，A＝60°，则BC的长是( )A.5B.6C.7D.86.在△ABC中，面积S＝a2－(b－c)2，则cos AA. B. C. D.二、填空题（每小题5分，共30分）7.在锐角△ABC中，1,2,BC B A==则cosACA的值等于，AC的取值范围为.8.在△ABC中， 2sin A cos B＝sin C，那么△ABC 一定是 .9.在△ABC中，cos22B＝2a+cc(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为 .10.在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝6＋2，且A＝75°，B=30°，则b ＝ .11.一船以每小时15 km的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向,行驶4 h后,船到B处,看到这个灯塔在北偏东15°方向,这时船与灯塔的距离为km.12.轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h，15 n mile/h，则下午2时两船之间的距离是 n mile.三、解答题（共90分）13.（10分）在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)若c ＝2,C ＝,且△ABC 的面积为,求a ,b的值；(2)若sin C ＋sin (B －A )＝sin 2A ,试判断△ABC 的形状.14.（10分）在△ABC 中，已知23=a ，62=+c ，B =45°，求b 及A.15.（12分）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足25cos25A =，3AB AC ⋅=． （1）求△ABC 的面积；（2）若6b c +=，求a 的值．16.（12分）在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，已知2b ac，且a2－c2=a c－b c，求A的大小及c Bb sin的值. 17.（10分）在△ABC中,a、b、c分别为A、B、C的对边,B ＝,b ＝,a＋c＝4,求a的值.18.（18分）如图，A ,B ,C ,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°,30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60°，AC = 0.1 km.试探究图中B ，D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B ，D 的距离.（计算结果精确到0.01 km ，2≈1.414，6≈2.449） 19.（18分）为了测量两山顶M ，N 间的距离，飞机沿水平方向在A ，B 两点进行测量，A ，B ，M ，N 在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A ，B 间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M ，N 间的距离的步骤.第二章 解三角形答题纸得分：一、选择题答案二、填空题7． 8． 9． 10． 11． 12．三、解答题13.14.15.16.17.18． 19.第二章 解三角形参考答案1.C 解析：如图所示，A D 为山坡底线，AB 为行走路线，BC 垂直于水平面,作B D ⊥A D 于点D,则BC =100米，∠B D C =30°，∠BA D=30°， ∴ B D=200米，AB =2B D=400 米．故选C.2.A 解析：如图所示，设行驶t h 后，汽车由A 行驶到D （0≤t ≤2.5），摩托车由B 行驶到E ，则A D =80t ，B E =50t.因为AB =200，所以B D =200-80t ， 问题就转化为求DE 最小时t 的值．由余弦定理得DE 2=B D 2+B E 2-2B D ·B Ecos 60°=(200-80t)2+2 500t 2-(200-80t )·50t =12 900t 2-42 000t+40 000.当t =7043时，DE 最小．故选A. 3.C 解析：∵ m ⊥n ，∴ 3cos A －sin A ＝0，∴ t a n A ＝3，∴ A ＝π3.∵ a cos B ＋b cos A ＝csin C ，∴ sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin C sin C ，∴ sin(A ＋B )＝sin 2C ，∴ sin C ＝sin 2C.∵ sin C ≠0，∴ sin C ＝1.∴ C ＝π2，∴ B ＝π6.故选C.4.D 解析：不妨设a 为最大边，则c 为最小边．由题意得，＝ sin sin A C＝3＋12，即sin sin(120)A A ︒-＝3＋12，∴sin 31cos sin 22AA A +＝3＋12，即(3－3)sin A ＝(3＋3)cos A ，∴ t a n A ＝2＋3，∴ A ＝75°.故选D.5.C 解析：依题意及面积公式S ＝12b c sin A ，得103＝12b c sin 60︒，即b c ＝40.因为△ABC 周长是20，故a ＋b ＋c ＝20，∴ b ＋c ＝20－a .由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2b c cos A ＝b 2＋c 2－2b c cos 60°＝b 2＋c 2－b c ＝(b ＋c)2－3b c ，故a 2＝(20－a )2－120，解得a ＝7.6.B 解析：S ＝a 2－(b －c)2＝a 2－b 2－c 2＋2b c ＝2b c －2b c cos A ＝12b c sin A ，∴ sin A ＝4(1－cos A ),16(1－cos A )2＋cos 2A ＝1，∴ cos A ＝1517或cos A =1（舍去）.故选B.7. 2 ，)3,2( 解析：设,A =θ则B 2B θ=，由正弦定理得,1 2.sin 2sin 2cos cos AC BC AC ACθθθθ=∴=⇒=由锐角△ABC 得0290045θθ<<⇒<<， 又01803903060θθ<-<⇒<<，故233045cos 22θθ<<⇒<<， 2(2,3).AC ∴=∈θcos8.等腰三角形 解析一：∵ 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，即C ＝π－(A ＋B )，∴ sin C ＝sin(A ＋B )．由2sin A cos B ＝sin C ，得2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 即sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0.又∵ －π＜A －B ＜π，∴ A －B ＝0，即A ＝B.∴ △ABC 是等腰三角形． 解析二：利用正弦定理和余弦定理2sin A cos B ＝sin C 可化为2a ·2222a +c -b ac＝c ，即a 2＋c 2－b 2＝c 2，即a 2－b 2＝0，a 2＝b 2，故a ＝b .∴ △ABC 是等腰三角形． 9.直角三角形 解析：∵ cos22 B ＝2a +c c ，∴ cos 12 B+＝2a +c c， ∴ cos B ＝，∴ 2222a +c -bac＝，∴ a 2＋c 2－b 2＝2a 2，即a 2＋b 2＝c 2，∴ △ABC 为直角三角形．10.2 解析：如图所示，在△ABC 中，由正弦定理得=4，∴ b =2.11. 30解析：如图所示,依题意有AB ＝15×4＝60.由题意易知∠M AB ＝30°,∠A M B ＝45°, 在△A M B 中,由正弦定理得＝，解得BM ＝30（km ）.12. 70 解析：如图所示，由题意可得O A ＝50，O B ＝30.而AB 2＝O A 2＋O B 2－2O A ·O B cos 120°＝502＋302－2×50×30×(－12)＝2 500＋900＋1 500＝4 900， ∴ AB ＝70.13. 解：(1)∵ c ＝2,C ＝,∴ 由余弦定理＝＋－2ab cos C 得＋－ab ＝4.又∵△ABC 的面积为,∴ ab sin C ＝,ab ＝4.联立方程组解得(2)由sin C ＋sin (B －A )＝sin 2A ,得sin (A ＋B )＋sin (B －A )＝2sin A cos A , 即2sin B cos A ＝2sin A cos A , ∴ cos A ·(sin A －sin B )＝0, ∴ cos A ＝0或sin A －sin B ＝0, 当cos A ＝0时,∵ 0＜A ＜π, ∴ A ＝,△ABC 为直角三角形；当sin A －sin B ＝0时,得sin B ＝sin A ,由正弦定理得a ＝b ,即△ABC 为等腰三角形. ∴ △ABC 为等腰三角形或直角三角形. 14.解：∵ 2222cos =+-b a c ac B=22(23)(62)223(62)++-⨯⨯+cos 45° =212(62)43(31)++-+=8， ∴ 2 2.=b求A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理.方法一：∵ cos 222222(22)(62)(23)1,22222(62)+-++-===⨯⨯+b c a A bc ∴ 60.A ︒=方法二：∵ sin 23sin sin 4522a A B b ==⨯︒ =23， 又 62+＞2.4 1.4 3.8,+=23＜21.8 3.6,⨯=∴ a ＜c ，即0︒＜A ＜90,︒∴ 60.A ︒=15.解：（1）∵ 25cos25A =，234cos 2cos 1,sin 255A A A ∴=-==. 又由3AB AC ⋅=，得cos 3,bc A =5bc ∴=，1sin 22ABC S bc A ∆∴==.（2）由（1）知5bc =，又6b c +=，∴ b =5,c=1或b =1，c=5.由余弦定理，得2222cos 20a b c bc A =+-=，25a ∴=.16.分析：因给出的是a 、b 、c 之间的等量关系，要求A ，需找A 与三边的关系，故可用余弦定理.由b 2=a c 可变形为c b 2=a ，再用正弦定理可求c Bb sin 的值.解法一：∵ b 2=a c,又a 2－c 2=a c －b c ，∴ b 2+c 2－a 2=b c.在△ABC 中，由余弦定理得cos A =bc a c b 2222-+=bc bc 2=21，∴ A =60°.在△ABC 中，由正弦定理得sin B =aAb sin .∵ b 2=a c ，A =60°，∴ acb c B b ︒=60sin sin 2=sin 60°=23. 解法二：在△ABC 中，由面积公式得21b c sin A =21a c sin B.∵ b 2=a c ，A =60°，∴ b c sin A =b 2sin B.∴cBb sin =sin A =23.点评：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理.17.解：由余弦定理＝＋－2a ccos B ＝＋－2ac cos ＝＋＋ac ＝－ac .又∵ a ＋c ＝4,b ＝,∴ a c ＝3.联立解得a ＝1或a ＝3.18.解:在△A D C 中，∠D AC = 30°, ∠A D C = 60°－∠D AC =30°, 所以C D = AC = 0.1 km .又∠BC D = 180°－60°－60° = 60°，故CB 是△CA D 底边A D 的中垂线，所以B D = B A. 在△ABC 中，∠ABC =75°-60°=15°，，ABC ACBCA AB ∠=∠sin sin即.2062315sin 60sin +==︒︒AC AB 因此，B D =≈0.33(km).故B ，D 的距离约为0.33 km.19.解：方案一：①需要测量的数据有：A 点到M ，N 点的俯角1α，1β；B 点到M ， N 点的俯角22,αβ；A ，B 间的距离 d （如图所示） .精心制作仅供参考唐玲出品②第一步：计算A M ，由正弦定理得212sin sin()d AM ααα=+ ； 第二步：计算A N ，由正弦定理得221sin sin()d AN βββ=- ； 第三步：计算MN ，由余弦定理得22112cos()MN AM AN AM AN αβ=+-⨯- .方案二：①需要测量的数据有： A 点到M ，N 点的俯角1α，1β；B 点到M ，N 点的府角2α，2β；A ，B 的距离 d （如图所示）. ②第一步：计算B M ，由正弦定理得112sin sin()d BM ααα=+ ； 第二步：计算B N ， 由正弦定理得121sin sin()d BN βββ=- ； 第三步：计算MN ， 由余弦定理得22222cos()MN BM BN BM BN βα=++⨯⨯+.。