上海闵行区一模数学卷及答案(word版)

上海市闵行区2022—2023年初三一模数学试卷明或计算的主要步骤．3．本次练习不可以使用科学计算器作答，在草稿纸、本练习纸上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出（练习时间：100分钟，满分：150分）1．本练习含三个大题，共25题．答题时，学生务必按答题要求在答题纸规定的位置上证．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．下列各组图形一定相似的是（▲）（A ）两个直角三角形；（B ）两个菱形；（C ）两个矩形；（D ）两个等边三角形．2．如图，已知AB //CD //EF ，它们依次交直线l 1、l 2于点A 、C 、E 和点B 、D 、F ，如果AC ∶CE =3∶1，BF =10，那么DF 等于（▲）（A ）310；（B ）320；（C ）25；（D ）215．3．如图，已知在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，B β∠=，CD AB ⊥，垂足为点D ，那么下列线段的比值不一定等于sin β的是（▲）（A ）AD BD ；（B ）AC AB ；（C ）AD AC ；（D ）CDBC．4．下列说法正确的是（▲）（A ）如果e 为单位向量，那么a a e =；（B ）如果a b =- ，那么a //b；（C ）如果a 、b 都是单位向量，那么a b =；（D ）如果a b =，那么a b = ．5．抛物线22y x =向下平移3个单位长度后所得新抛物线的顶点坐标为（▲）（A ）（﹣3，0）；（B ）（3，0）；（C ）（0，﹣3）；（D ）（0，3）．6．如图，某零件的外径为10cm ，用一个交叉卡钳（两条尺长AC 和BD 相等）可测量零件的内孔直径AB ．如果3==ODBDOC AC ，且量得4CD cm =，则零件的厚度x 为(▲)（A ）2cm ；（B ）1.5cm ；（C ）0.5cm ；（D ）1cm ．BAC（第3题图）DOA CBD x10（第6题图）DA C F（第2题图）l 2l 1B E二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．如果30（）a b b =≠，那么a bb+=▲．8．化简：22(3)33a b b -+-=▲．9．已知f （x ）=x x 2+2，那么f （1）的值为▲．10．抛物线22y x =在对称轴的左侧部分是▲的（填“上升”或“下降”）．11．已知两个相似三角形的相似比为2︰3，那么这两个三角形的面积之比为▲．12．设点P 是线段AB 的黄金分割点（AP >BP ），AB =2，那么线段AP 的长是▲．13．在直角坐标平面内有一点A （5，12），点A 与原点O 的连线与x 轴的正半轴的夹角为θ，那么sin θ的值为▲．14．已知D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点（不与端点重合），要使得△ADE 与△ABC 相似，那么添加一个条件可以为▲（只填一个）．15．已知一斜坡的坡角为30°，则它坡度i =▲．16．如图，一艘船从A 处向北偏西30°的方向行驶5海里到B 处，再从B 处向正东方向行驶8千米到C 处，此时这艘船与出发点A 处相距▲海里．17.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB =9，cot A ＝2，点D 在边AB 上，点E 在边AC 上，将△ABC 沿着折痕DE 翻折后，点A 恰好落在线段BC 的延长线上的点P 处，如果∠BPD ＝∠A ，那么折痕DE 的长为▲．18．阅读：对于线段MN 与点O （点O 与MN 不在同一直线上），如果同一平面内点P满足：射线OP 与线段MN 交于点Q ，且12OQ OP =，那么称点P 为点O 关于线段MN 的“准射点”．问题：如图，矩形ABCD 中，AB =4，AD =5，点E 在边AD 上，且AE =2，联结BE ．设点F 是点A 关于线段BE 的“准射点”，且点F 在矩形ABCD 的内部或边上，如果点C 与点F 之间距离为d ，那么d 的取值范围为▲．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）)113o 11cos308-⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭．（第18题图）BACDEB西东北A（第16题图）PED CBA（第17题图）C20．（本题共2小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，满分10分）如图，已知△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 和AC 上，DE ∥BC ，且DE 经过△ABC的重心，设AB a = ，AC b =．（1）DE =▲（用向量a ，b表示）；（2）求作：13a b +．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）21．（本题共2小题，每小题5分，满分10分）已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223y x x =-++与y 轴交于点A ，其顶点坐标为B ．（1）求直线AB 的表达式；（2）将抛物线223y x x =-++沿x 轴正方向平移m (0)m >个单位后得到的新抛物线的顶点C 恰好落在反比例函数16y x=的图像上，求∠ACB 的余切值．22．（本题满分10分）2022年11月12日10时03分，搭载天舟五号货运飞船的长征七号遥六运载火箭，在海南文昌航天发射场成功发射．天舟五号货运飞船重约13.6吨，长度BD=10.6米，货物仓的直径可达3.35米，是世界现役货物运输能力最大、在轨支持能力最全面的货运飞船，堪称“在职最强快递小哥”．已知飞船发射塔垂直于地面，某人在地面A 处测得飞船底部D 处的仰角45°，顶部B 处的仰角为53°，求此时观测点A 到发射塔CD 的水平距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）AB CD（第22题图）A BCDE （第20题图）O1xy1-1-123．（本题共2小题，每第（1）小题5分，第（2）小题7分，满分12分）已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 分别是边AC 、AB 的中点，DF ⊥AC ，DF 与CE 相交于点F ，AF 的延长线与BD 相交于点G ．（1）求证：∠ABD =∠ACE ；（2）求证：BD DG CD •=2．24．（本题共3小题，每小题4分，满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线线2y ax bx =+经过A （-1，3）、B （2，0），点C 是该抛物线上的一个动点，联结AC ，与y 轴的正半轴交于点D ．设点C 的横坐标为m ．（1）求该抛物线的表达式；（2）当32DC AD =时，求点C 到x 轴的距离；（3）如果过点C 作x 轴的垂线，垂足为点E ，联结DE ，当23m <<时，在△CDE中是否存在大小保持不变的角？如果存在，请指出并求其度数；如果不存在，请说明理由．（第23题图）A BCDEF G25．（本题满分14分，其中第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题6分）如图1，点D 为△ABC 内一点，联结BD ，CBD ∠=BAC ∠，以BD 、BC 为邻边作平行四边形DBCE ，DE 与边AC 交于点F ，90ADE ∠=︒．（1）求证：△ABC ∽△CEF ；（2）延长BD ，交边AC 于点G ，如果CE =FE ，且△ABC 的面积与平行四边形DBCE面积相等，求AGGF的值；（3）如图2，联结AE ，若DE 平分AEC ∠，5AB =，2CE =，求线段AE 的长．（第25题图1）BFEACD（FEACDB（第25题图2）。

2020年上海市闵行区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）如果把Rt△ABC的各边长都扩大到原来的n倍，那么锐角A的四个三角比值（）A．都缩小到原来的n倍B．都扩大到原来的n倍C．都没有变化D．不同三角比的变化不一致2．（4分）已知P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，那么下列比例式能成立的是（）A．B．C．D．3．（4分）k为任意实数，抛物线y＝a（x﹣k）2﹣k（a≠0）的顶点总在（）A．直线y＝x上B．直线y＝﹣x上C．x轴上D．y轴上4．（4分）如图，在正三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且，AE＝BE，那么有（）A．△AED∽△BED B．△BAD∽△BCD C．△AED∽△ABD D．△AED∽△CBD 5．（4分）下列命题是真命题的是（）A．经过平面内任意三点可作一个圆B．相等的圆心角所对的弧一定相等C．相交两圆的公共弦一定垂直于两圆的连心线D．内切两圆的圆心距等于两圆的半径的和6．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有以下结论：①a＜0；②abc＞0；③a﹣b+c＜0；④b2﹣4ac＜0；其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．（4分）如果线段a＝4厘米，c＝9厘米，那么线段a、c的比例中项b＝厘米．8．（4分）在△ABC中，若∠C＝90°，AB＝10，sin A＝，则BC＝9．（4分）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3在对称轴右侧的部分是的．（填“上升”或“下降”）10．（4分）如果两个相似三角形的相似比为2：3，两个三角形的周长的和是100cm，那么较小的三角形的周长为cm．11．（4分）为单位向量，与的方向相反，且长度为6，那么＝．12．（4分）某人从地面沿着坡度为i＝1：的山坡走了100米，这时他离地面的高度是米．13．（4分）已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在BC的延长线上的点E处，那么tan∠BAE＝．14．（4分）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，⊙C与斜边AB相切，那么⊙C的半径为．15．（4分）设抛物线l：y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为D，与y轴的交点是C，我们称以C为顶点，且过点D的抛物线为抛物线l的“伴随抛物线”，请写出抛物线y＝x2﹣4x+1的伴随抛物线的解析式．16．（4分）半径分别为3cm与cm的⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，如果公共弦AB ＝4cm，那么圆心距O1O2的长为cm．17．（4分）正五边形的边长与边心距的比值为．（用含三角比的代数式表示）18．（4分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，点D在底边BC上，且∠DAC ＝∠ACD，将△ACD沿着AD所在直线翻折，使得点C落到点E处，联结BE，那么BE的长为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）已知二次函数图象的最高点是A（1，4），且经过点B（0，3），与x轴交于C、D两点（点C在点D的左侧）．求△BCD的面积．20．（10分）已知：在平行四边形ABCD中，AB：BC＝3：2．（1）根据条件画图：作∠BCD的平分线，交边AB于点E，取线段BE的中点F，联结DF交CE于点G．（2）设＝，＝，那么向量＝；（用向量、表示），并在图中画出向量在向量和方向上的分向量．21．（10分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝4，tan B＝3．以AB为直径作⊙O，交边DC于E、F两点．（1）求证：DE＝CF；（2）求：直径AB的长．22．（10分）2019年第18号台风“米娜”于9月29日早晨5点整，由位于台湾省周边的B岛东南方约980千米的西北太平洋洋面上（A点）生成，向西北方向移动．并于9月30日20时30分到达B岛后风力增强且转向，一路向北于24小时后在浙江省舟山市登陆．“米娜”在登录后风力减弱且再一次转向，以每小时20千米的速度向北偏东30°的方向移动，距台风中心170千米的范围内是受台风影响的区域．已知上海位于舟山市北偏西7°方向，且距舟山市250千米．（1）台风中心从生成点（A点）到达B岛的速度是每小时多少千米？（2）10月2日上海受到“米娜”影响，那么上海遭受这次台风影响的时间有多长？（结果保留整数，参考数据：sin23°≈0.39，cos23°≈0.92，tan23°≈0.42；sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）23．（12分）如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，点E在边AB上，联结CE交BD 于点O，且AD•OC＝AB•OD，AF是∠BAC的平分线，交BC于点F，交DE于点G．求证：（1）CE⊥AB；（2）AF•DE＝AG•BC．24．（12分）已知：在平面直角坐标系xOy中，对称轴为直线x＝﹣2的抛物线经过点C（0，2），与x轴交于A（﹣3，0）、B两点（点A在点B的左侧）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结BC，求∠BCO的余切值；（3）如果过点C的直线，交x轴于点E，交抛物线于点P，且∠CEO＝∠BCO，求点P的坐标．25．（14分）已知：如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠ADC ＝90°，CD＝2，（点A、B分别在直线CD的左右两侧），射线CD交边AB于点E，点G是Rt△ABC的重心，射线CG交边AB于点F，AD＝x，CE＝y．（1）求证：∠DAB＝∠DCF；（2）当点E在边CD上时，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）如果△CDG是以CG为腰的等腰三角形，试求AD的长．2020年上海市闵行区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）如果把Rt△ABC的各边长都扩大到原来的n倍，那么锐角A的四个三角比值（）A．都缩小到原来的n倍B．都扩大到原来的n倍C．都没有变化D．不同三角比的变化不一致【分析】根据三角形三边扩大相同的倍数，可得边的比不变，根据锐角三角函数的定义，可得答案．【解答】解：如果把Rt△ABC的三边长度都扩大2倍，锐角A不变，锐角三角函数值不变，故选：C．【点评】本题考查了锐角三角函数，注意锐角不变，锐角三角函数值不变．2．（4分）已知P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，那么下列比例式能成立的是（）A．B．C．D．【分析】根据黄金分割的定义：把线段AB分成两条线段AP和BP（AP＞BP），且使AP 是AB和BP的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点【解答】解：根据黄金分割定义可知：AP是AB和BP的比例中项，即AP2＝AB•BP，∴＝．故选：A．【点评】本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．3．（4分）k为任意实数，抛物线y＝a（x﹣k）2﹣k（a≠0）的顶点总在（）A．直线y＝x上B．直线y＝﹣x上C．x轴上D．y轴上【分析】求出抛物线的顶点为（k，﹣k），可以得到顶点在y＝﹣x直线上．【解答】解：∵y＝a（x﹣k）2﹣k（a≠0），∴抛物线的顶点为（k，﹣k），∵k为任意实数，∴顶点在y＝﹣x直线上，故选：B．【点评】本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数顶点的求法，和一次函数的性质是解题的关键．4．（4分）如图，在正三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且，AE＝BE，那么有（）A．△AED∽△BED B．△BAD∽△BCD C．△AED∽△ABD D．△AED∽△CBD 【分析】根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可判定△AED∽△CBD．【解答】解：∵AD：AC＝1：3，∴AD：DC＝1：2；∵△ABC是正三角形，∴AB＝BC＝AC；∵AE＝BE，∴AE：BC＝AE：AB＝1：2∴AD：DC＝AE：BC；∵∠A为公共角，∴△AED∽△CBD；故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；也考查了等边三角形的性质．5．（4分）下列命题是真命题的是（）A．经过平面内任意三点可作一个圆B．相等的圆心角所对的弧一定相等C．相交两圆的公共弦一定垂直于两圆的连心线D．内切两圆的圆心距等于两圆的半径的和【分析】利用确定圆的条件，弦、弧的关系及两圆的位置关系分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、经过不在同一直线上的三点才能确定一个圆，错误，是假命题；B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧一定相等，错误，是假命题；C、相交两圆的公共弦一定垂直于两圆的连心线，正确，是真命题；D、内切两圆的圆心距等于两圆的半径的差．错误，是假命题；故选：C．【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解确定圆的条件，弦、弧的关系及两圆的位置关系，属于基础题，难度不大．6．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有以下结论：①a＜0；②abc＞0；③a﹣b+c＜0；④b2﹣4ac＜0；其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用抛物线开口方向对①进行判断；利用对称轴的位置得到b＞0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，则可对②进行判断；利用自变量为﹣1对应的函数值为负数可对③进行判断；利用抛物线与x轴的交点个数和判别式的意义可对④进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，所以①正确；∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴a、b异号，即b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以②错误；∵x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，所以③正确；∵抛物线与x轴有2个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，所以④错误．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．（4分）如果线段a＝4厘米，c＝9厘米，那么线段a、c的比例中项b＝6厘米．【分析】根据比例中项的定义得到a：b＝b：c，然后利用比例性质计算即可．【解答】解：∵线段a和c的比例中项为b，∴a：b＝b：c，即4：b＝b：9，∴b＝±6（负值舍去）．故答案为：6．【点评】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可．8．（4分）在△ABC中，若∠C＝90°，AB＝10，sin A＝，则BC＝4【分析】根据锐角三角函数的定义得出sin A＝＝，代入求出即可．【解答】解：∵sin A＝＝，SB＝10，∴BC＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关键．9．（4分）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3在对称轴右侧的部分是下降的．（填“上升”或“下降”）【分析】根据a＜0，知抛物线开口向下，则在对称轴右侧的部分呈下降趋势．【解答】解：∵a＝﹣2＜0，∴抛物线开口向下，∴对称轴右侧的部分呈下降趋势．故答案为：下降．【点评】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的开口方向分析对称轴左右两侧的变化规律是解题的关键．10．（4分）如果两个相似三角形的相似比为2：3，两个三角形的周长的和是100cm，那么较小的三角形的周长为40cm．【分析】根据相似三角形周长比等于相似比列式计算．【解答】解：设较小的三角形的周长为xcm，则较大的三角形的周长为（100﹣x）cm，∵两个相似三角形的相似比为2：3，∴两个相似三角形的周长比为2：3，∴＝，解得，x＝40，故答案为：40．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长比等于相似比是解题的关键．11．（4分）为单位向量，与的方向相反，且长度为6，那么＝﹣6．【分析】根据平面向量的性质解决问题即可．【解答】解：∵为单位向量，与的方向相反，且长度为6，∴＝﹣6，故答案为﹣6．【点评】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12．（4分）某人从地面沿着坡度为i＝1：的山坡走了100米，这时他离地面的高度是50米．【分析】垂直高度、水平距离和坡面距离构成一个直角三角形．利用坡度比找到垂直高度和水平距离之间的关系后，借助于勾股定理进行解答．【解答】解：∵坡度为i＝1：，∴设离地面的高度为x，那么水平距离为x．∵x2+（x）2＝1002解得x＝50．即这时他离地面的高度是50米．【点评】本题考查了坡度＝垂直距离：水平距离．它们与斜边构成直角三角形．13．（4分）已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在BC的延长线上的点E处，那么tan∠BAE＝．【分析】由正方形ABCD中四个内角为直角，四条边相等，求出BC与DC的长，利用勾股定理求出BD的长，由旋转的性质可求BE的长，即可求解．【解答】解；如图，∵正方形ABCD，∴∠ABC＝∠C＝90°，在Rt△BCD中，DC＝BC＝2，根据勾股定理得：BD＝＝＝2，∵将线段BD绕着点B旋转后，点D落在BC的延长线上的点E处，∴BE＝BD＝2，∴tan∠BAE＝＝＝，故答案为：．【点评】此题考查了旋转的性质，勾股定理，正方形的性质，解直角三角形等知识，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．14．（4分）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，⊙C与斜边AB相切，那么⊙C的半径为．【分析】r的长即为斜边AB上的高，由勾股定理易求得AB的长，根据直角三角形面积的不同表示方法，即可求出r的值．【解答】解：Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4；由勾股定理，得：AB2＝32+42＝25，∴AB＝5；又∵AB是⊙C的切线，∴CD⊥AB，∴CD＝r；∵S＝AC•BC＝AB•r，△ABC∴r＝，故答案为：．【点评】本题考查了切线的性质、勾股定理、直角三角形面积的求法，熟练掌握切线的性质是解题的关键．15．（4分）设抛物线l：y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为D，与y轴的交点是C，我们称以C为顶点，且过点D的抛物线为抛物线l的“伴随抛物线”，请写出抛物线y＝x2﹣4x+1的伴随抛物线的解析式y＝﹣x2+1．【分析】先根据抛物线的解析式求出其顶点D和抛物线与y轴的交点C的坐标．然后根据C的坐标用顶点式二次函数通式设伴随抛物线的解析式然后将D点的坐标代入抛物线的解析式中即可求出伴随抛物线的解析式．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，∴顶点坐标D为（2，﹣3），与y轴交点为C（0，1），设伴随抛物线的解析式为：y＝ax2+1，把D（2，﹣3）代入得a＝﹣1，∴伴随抛物线y＝﹣x2+1，故答案为：y＝﹣x2+1．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，属于新定义题，难度适中，关键是正确理解题意再用待定系数法求函数解析式．16．（4分）半径分别为3cm与cm的⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，如果公共弦AB ＝4cm，那么圆心距O1O2的长为2或4cm．【分析】利用连心线垂直平分公共弦的性质，构造直角三角形利用勾股定理及有关性质解题．【解答】解：如图，∵⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，∴O1O2⊥AB，且AD＝BD；又∵AB＝4厘米，∴AD＝2厘米，∴在Rt△AO1D中，根据勾股定理知O1D＝1厘米；在Rt△AO2D中，根据勾股定理知O2D＝3厘米，∴O1O2＝O1D+O2D＝4厘米；同理知，当小圆圆心在大圆内时，解得O1O2＝3厘米﹣1厘米＝2厘米．故答案是：4或2；【点评】本题主要考查了圆与圆的位置关系，勾股定理等知识点．注意，解题时要分类讨论，以防漏解．17．（4分）正五边形的边长与边心距的比值为2tan36°．（用含三角比的代数式表示）【分析】根据圆内接正五边形的性质求出∠BOC，再根据垂径定理求出∠1＝36°，然后利用勾股定理和解直角三角形即可得解【解答】解：∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，∴∠BOC＝×360°＝72°，∴∠1＝∠BOC＝×72°＝36°，设这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，R2﹣r2＝（a）2＝a2，a＝R sin36°，a＝2R sin36°；a＝r tan36°，∴a＝2r tan36°，∴＝2tan36°，故正五边形的边长与边心距的比值为2tan36°，故答案为：2tan36°．【点评】本题考查了正多边形与圆，解直角三角形，熟练掌握圆内接正五边形的性质并求出中心角的度数是解题的关键．18．（4分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，点D在底边BC上，且∠DAC ＝∠ACD，将△ACD沿着AD所在直线翻折，使得点C落到点E处，联结BE，那么BE 的长为1．【分析】只要证明△ABD∽△MBE，得＝，只要求出BM、BD即可解决问题．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵∠DAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ABC，∵∠C＝∠C，∴△CAD∽△CBA，∴＝，∴＝，∴CD＝，BD＝BC﹣CD＝，∵∠DAM＝∠DAC＝∠DBA，∠ADM＝∠ADB，∴△ADM∽△BDA，∴＝，即＝，∴DM＝，MB＝BD﹣DM＝，∵∠ABM＝∠C＝∠MED，∴A、B、E、D四点共圆，∴∠ADB＝∠BEM，∠EBM＝∠EAD＝∠ABD，∴△ABD∽△MBE，（不用四点共圆，可以先证明△BMA∽△EMD，推出△BME∽AMD，推出∠ADB＝∠BEM也可以！）∴＝，∴BE＝＝1．故答案为：1．【点评】本题考查翻折变换、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是充分利用相似三角形的性质解决问题，本题需要三次相似解决问题，题目比较难．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）已知二次函数图象的最高点是A（1，4），且经过点B（0，3），与x轴交于C、D两点（点C在点D的左侧）．求△BCD的面积．【分析】根据二次函数图象的最高点是A（1，4），且经过点B（0，3），可以求得该函数的解析式，然后令y＝0，求出相应的x的值，即可得到点C和点D的坐标，从而可以求得△BCD的面积．【解答】解：设二次函数解析式为y＝a（x﹣1）2+4（a≠0），把B（0，3）代入得3＝a（0﹣1）2+4解得：a＝﹣1，令y＝0，那么﹣（x﹣1）2+4＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣1，∴点C的坐标为（﹣1，0），点D的坐标为（3，0），∴CD＝4，∵点B的坐标为（0，3），∴OB＝3，∴△BCD的面积是：＝6．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．20．（10分）已知：在平行四边形ABCD中，AB：BC＝3：2．（1）根据条件画图：作∠BCD的平分线，交边AB于点E，取线段BE的中点F，联结DF交CE于点G．（2）设＝，＝，那么向量＝﹣；（用向量、表示），并在图中画出向量在向量和方向上的分向量．【分析】（1）首先作∠BCD的平分线，然后作BE的垂直平分线即可；（2）首先判定△GEF∽△GCD，然后根据AB：BC＝3：2，得＝＝，进而得出EF＝CD，CG＝CE，最后根据向量运算即可得结论，即可画出分向量．【解答】解：（1）作∠BCD的平分线，交边AB于点E，取线段BE的中点F，联结DF 交CE于点G．作图如下：（2）∵CE为∠BCD的平分线，∴∠BCE＝∠DCE又∵AB∥CD∴∠DCE＝∠BEC∴△GEF∽△GCD∵AB：BC＝3：2∴＝＝∴EF＝CD，CG＝CE∵＝，＝，∴＝＝，＝＝∵+＝，＝﹣﹣∴＝﹣（+）＝﹣（+）＝﹣﹣同理可得，＝﹣＝（+）＝（﹣）＝﹣）在向量和方向上的分向量，如图所示：故答案为：＝．【点评】此题考查了角平分线的作图以及向量的运算，熟练掌握，即可解题．21．（10分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝4，tan B＝3．以AB为直径作⊙O，交边DC于E、F两点．（1）求证：DE＝CF；（2）求：直径AB的长．【分析】（1）直接利用垂径定理结合平行线分线段成比例定理得出DH＝HC，进而得出答案；（2）过点A作AG⊥BC，垂足为点G，再利用已知结合勾股定理得出答案．【解答】（1）证明：过点O作OH⊥DC，垂足为H．∵AD∥BC，∠ADC＝90°，OH⊥DC，∴∠BCN＝∠OHC＝∠ADC＝90°．∴AD∥OH∥BC．又∵OA＝OB．∴DH＝HC．∵OH⊥DC，OH过圆心，∴EH＝HF，∴DH﹣EH＝HC﹣HF．即：DE＝CF．（2）解：过点A作AG⊥BC，垂足为点G，∠AGB＝90°，∵∠AGB＝∠BCN＝90°，∴AG∥DC．∵AD∥BC，∴AD＝CG．∵AD＝2，BC＝4，∴BG＝BC﹣CG＝2．在Rt△AGB中，∵tan B＝3，∴AG＝BG•tan B＝2×3＝6．在Rt△AGB中，AB2＝AG2+BG2∴AB＝．【点评】此题主要考查了垂径定理以及勾股定理，正确应用垂径定理是解题关键．22．（10分）2019年第18号台风“米娜”于9月29日早晨5点整，由位于台湾省周边的B岛东南方约980千米的西北太平洋洋面上（A点）生成，向西北方向移动．并于9月30日20时30分到达B岛后风力增强且转向，一路向北于24小时后在浙江省舟山市登陆．“米娜”在登录后风力减弱且再一次转向，以每小时20千米的速度向北偏东30°的方向移动，距台风中心170千米的范围内是受台风影响的区域．已知上海位于舟山市北偏西7°方向，且距舟山市250千米．（1）台风中心从生成点（A点）到达B岛的速度是每小时多少千米？（2）10月2日上海受到“米娜”影响，那么上海遭受这次台风影响的时间有多长？（结果保留整数，参考数据：sin23°≈0.39，cos23°≈0.92，tan23°≈0.42；sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）【分析】（1）由题意得，AB＝980千米，台风中心到达B岛的时间是39.5小时，于是得到结论；（2）过点S作SH⊥ZD，垂足为点H，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：（1）由题意得，AB＝980千米，台风中心到达B岛的时间是39.5小时，∴（千米），答：台风中心从生成点（A点）到达B岛的速度是每小时25千米；（2）过点S作SH⊥ZD，垂足为点H，∴∠SHZ＝90°，∵∠NZD＝30°，∠CZN＝7°，∴∠CZD＝∠CZN+∠NZD＝7°+30°＝37°，在Rt△SHZ中，sin∠CZD＝．∵∠CZD＝37°，SZ＝250千米，∴SH＝SZ•sin∠CZD＝250×sin37°≈250×0.60≈150（千米），∵150千米＜170千米，∴设台风中心移动到E处时上海开始遭受台风影响到F处影响结束．即SE＝SF＝170（千米）．∵在Rt△SEH中，∠SHE＝90°，SE2＝SH2+HE2，∴，∴EF＝2EH≈160（千米），∴上海遭受这次台风影响的时间为（小时），答：上海遭受这次台风影响的时间为8小时．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，解题的关键是构造直角三角形．23．（12分）如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，点E在边AB上，联结CE交BD 于点O，且AD•OC＝AB•OD，AF是∠BAC的平分线，交BC于点F，交DE于点G．求证：（1）CE⊥AB；（2）AF•DE＝AG•BC．【分析】（1）由已知得出，证明Rt△ADB∽Rt△ODC，得出∠ABD＝∠OCD，证出∠OEB＝90°，即可得出结论；（2）证明△ADB∽△AEC，得出，即，证明△DAE∽△BAC，由相似三角形的性质得出，即可得出结论．【解答】证明：（1）∵AD•OC＝AB•OD，∴，∵BD是AC边上的高，∴∠BDC＝∠BDA＝90°，△ADB和△ODC是直角三角形，∴Rt△ADB∽Rt△ODC，∴∠ABD＝∠OCD，又∵∠EOB＝∠DOC，∠DOC+∠OCD+∠ODC＝180°，∠EOB+∠ABD+∠OEB＝180°．∴∠OEB＝90°，∴CE⊥AB；（2）在△ADB和△AEC中，∵∠BAD＝∠CAE，∠ABD＝∠OCD，∴△ADB∽△AEC，∴，即，在△DAE和△BAC中∵∠DAE＝∠BAC，．∴△DAE∽△BAC，∵AF是∠BAC的平分线，∴，即AF•DE＝AG•BC．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质；熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．24．（12分）已知：在平面直角坐标系xOy中，对称轴为直线x＝﹣2的抛物线经过点C（0，2），与x轴交于A（﹣3，0）、B两点（点A在点B的左侧）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结BC，求∠BCO的余切值；（3）如果过点C的直线，交x轴于点E，交抛物线于点P，且∠CEO＝∠BCO，求点P 的坐标．【分析】（1）设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，将A，B的坐标及对称轴方程代入即可；（2）分别求出点B，C的坐标，直接在Rt△OBC中，根据余切定义即可求出；（3）设点E的坐标是（x，0），求出点E的坐标，再求出CE的解析式，即可求出其与抛物线的交点坐标．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，将点C（0，2）、A（﹣3，0）、对称轴直线x＝﹣2代入，得：，解得：，，∴这条抛物线的表达式为；（2）令y＝0，那么，解得x1＝﹣3，x2＝﹣1，∵点A的坐标是（﹣3，0），∴点B的坐标是（﹣1，0），∵C（0，2），∴OB＝1，OC＝2，在Rt△OBC中，∠BOC＝90°，∴；（3）设点E的坐标是（x，0），得OE＝|x|．∵∠CEO＝∠BCO，∴cot∠CEO＝cot∠BCO，在Rt△EOC中，∴，∴|x|＝4，∴点E坐标是（4，0）或（﹣4，0），∵点C坐标是（0，2），∴，∴，或解得和（舍去），或和（舍去）；∴点P坐标是（，）或（，）．【点评】本题考查了待定系数法求解析式，锐角三角函数等，解题关键是在求点E坐标时需注意可在x轴的正半轴，也可在负半轴．25．（14分）已知：如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠ADC ＝90°，CD＝2，（点A、B分别在直线CD的左右两侧），射线CD交边AB于点E，点G是Rt△ABC的重心，射线CG交边AB于点F，AD＝x，CE＝y．（1）求证：∠DAB＝∠DCF；（2）当点E在边CD上时，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）如果△CDG是以CG为腰的等腰三角形，试求AD的长．【分析】（1）由点G是Rt△ABC的重心，证明CF⊥AB，即∠AFC＝90°，利用外角的性质即可证明结论；（2）过点B作BH⊥CD于点H，先证△CAD≌△BCH，得出BH＝CD＝2，CH＝AD＝x，DH＝2﹣x，再证△ADE∽△BHE，利用合比性质即可求出结论；（3）分两种情况讨论，当GC＝GD时，如图2﹣1，取AC的中点M，联结MD，可证AD＝CH＝；当CG＝CD时，如图2﹣2，可由重心分别求出CF，AC，CD的长，可由勾股定理求出AD的长．【解答】（1）证明：∵点G是Rt△ABC的重心，∴CF是Rt△ABC的中线，又∵在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴CF⊥AB，即∠AFC＝90°，∵∠DEF＝∠ADE+∠DAE＝∠EFC+∠ECF，且∠ADE＝∠EFC＝90°，∴∠DAB＝∠DCF；（2）解：如图1，过点B作BH⊥CD于点H，则∠CBH+∠BCH＝90°，又∵∠BCH+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠CBH，又∵∠ADC＝∠CHB＝90°，AC＝CB，∴△CAD≌△BCH，∴BH＝CD＝2，CH＝AD＝x，DH＝2﹣x，∵∠ADC＝∠CHB＝∠BHD＝90°，∴AD∥BH，∴△ADE∽△BHE，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：当GC＝GD时，如图2﹣1，取AC的中点M，联结MD，那么MD＝MC，联结MG，MG⊥CD，且直线MG经过点B，那么BH与MG共线，又CH＝AD，那么AD＝CH＝；当CG＝CD时，如图2﹣2，即CG＝2，点G为△ABC的重心，∴，∴AB＝2CF＝6，∴，∴；综上所述，AD＝1或．【点评】本题考查了函数，相似三角形的判定与性质，重心的性质等，解题关键是熟练掌握重心的性质．。

一、单选题二、多选题1.已知，，则的值是A．B．C．D．2.已知复数，其中为虚数单位，则（ ）A．B．C．D．3. 已知复数满足，则的共轭复数（ ）A．B．C．D．4.是底边边长为的等腰直角三角形，是以直角顶点为圆心，半径为1的圆上任意一点，若，则的最小值为（ ）A．B．C．D．5. 对于任意，函数满足，且当时，函数，若，，则a ，b ，c 大小关系是 A ．b>a>cB ．b>c>aC ．c>a>bD ．c>b>a6.若是正数，则的最小值是（ ）A．B．C．D．7. 在中，，且，则的面积是（ ）A．B．C．D．8. 已知函数且，若函数有3个不同的零点，则实数a 的取值范围为A．B．C．D．9.已知数列的前n 项和为，，，且，则（ ）A．，使得B ．，使得C．，使得D ．若，则10. “心形线”体现了数学之美，某研究小组用函数图象：，和抛物线的部分图象围成了一个封闭的“心形线”，过焦点的直线交（包含边界点）于，两点，是或上的动点，下列说法正确的是（）A ．抛物线的方程为B．的最小值为5C．的最大值为7D．若在上，则的最小值为上海市闵行区2023届高三一模数学试题上海市闵行区2023届高三一模数学试题三、填空题四、解答题11.已知圆，圆，则下列是圆与圆的公切线的直线方程为（ ）A．B．C．D．12. 数学家切比雪夫曾用一组多项式阐述余弦的倍角公式，即，称为第一类切比雪夫多项式.第一类切比雪夫多项式的前几项为：，探究上述多项式，下列选项正确的是（ ）A．B．C．D．13. 已知函数，，给出下列结论：①函数的值域为；②函数在上是增函数；③对任意，方程在区间内恒有解；④若存在，使得成立，则实数a的取值范围是．其中所有正确结论的序号为___________．14. 关于双曲线，四位同学给出了四个说法：小明：双曲线的实轴长为8；小红：双曲线的焦点到渐近线的距离为3；小强：双曲线的离心率为；小同：双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为1；若这4位同学中只有1位同学的说法错误，则说法错误的是______．（横线上填“小明”、“小红”、“小强”或“小同”）15. 已知集合，，则集合____________．16. 为庆祝党的二十大的胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高校在全校开展“不负韶华，做好社会主义接班人”的宣传活动，为进一步了解学生对党的“二十大”精神的学习情况，学校开展了“二十大”相关知识的竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取100人，将他们的竞赛成绩（满分为100分）分为5组：，得到如图所示的频率分布直方图：(1)估计这100名学生的竞赛成绩的中位数（结果保留整数）；(2)若采用分层抽样的方法从竞赛成绩在和内的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的2人中恰有1人竞赛成绩在内的概率17. 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.(1)求角C；(2)若，D为BC中点，，求AD的长.18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，平面，且，点在棱上（不包括端点），点为中点.(1)若，求证：直线平面；(2)求平面与平面的夹角的余弦值；(3)是否存在点，使与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.19. 如图，在多面体中，为菱形，，平面，平面，为的中点，若平面.（1）求证：平面；（2）若，求二面角的余弦值.20. 在刚刚过去的寒假，由于新冠疫情的影响，哈尔滨市的､两所同类学校的高三学年分别采用甲､乙两种方案进行线上教学，为观测其教学效果，分别在两所学校的高三学年各随机抽取名学生，对每名学生进行综合测试评分，记综合评分为及以上的学生为优秀学生，经统计得到两所学校抽取的学生中共有名优秀学生.（1）用样本估计总体，以频率作为概率，若在､两个学校的高三学年随机抽取名学生，求所抽取的学生中的优秀学生数的分布列和数学期望；（2）已知学校抽出的优秀学生占该校抽取总人数的，填写下面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为学生综合测试评分优秀与教学方案有关.优秀学生非优秀学生合计甲方案乙方案合计附：，其中.21. 已知函数，．（1）若的最大值是0，求的值；（2）若对其定义域内任意，恒成立，求的取值范围．。

2021-2022学年上海市闵行区九年级（上）期末数学试卷（一模）一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.在Rt△ABC中，各边的长度都扩大4倍．那么锐角B的正切值()A. 扩大4倍B. 扩大2倍C. 保持不变D. 缩小4倍2.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，那么∠A的三角函数值为35的是()A. sinAB. cosAC. tanAD. cotA3.下列二次函数与抛物线y=−x2+2x−3的对称轴相同的函数是()A. y=−x2+4x−3B. y=−2x2−3xC. y=3x2+6x−7D. y=12x2−x+54.如图，已知在△ABC中，点D在边AB上，那么下列条件中不能判定△ABC∼△ACD的是()A. ACCD =ABBCB. AC2=AD⋅ABC. ∠B=∠ACDD. ∠ADC=∠ACB5.如果a⃗+b⃗ =c⃗，a⃗−b⃗ =3c⃗，且c⃗≠0⃗，下列结论正确的是()A. |a⃗|=|b⃗ |B. a⃗+2b⃗ =0C. a⃗与b⃗ 方向相同D. a⃗与b⃗ 方向相反6.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，现有以下结论：(1)b>0；(2)abc<0；(3)a−b+c>0；(4)a+b+c>0；(5)b2−4ac>0，其中正确的结论有()A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.如果x：y=5：2，那么(x+y)：y的值为______．8.已知线段AB的长为2厘米，点P是线段AB的黄金分割点，那么较长线段AP的长是______厘米．9.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，sinA=2，则AB=______．310.两个相似三角形的面积之比是9：25，其中较大的三角形一边上的高是5連米，那么另一个三角形对应边上的高为______厘米．11.e⃗为单位向量，a⃗与e⃗的方向相同，且长度为2，那么a⃗=______e⃗．12.如果抛物线y=x2+m+1的顶点是坐标轴的原点，那么m=______ ．x2+bx+c的图象的对称轴为直线x=4，那么13.已知抛物线f(x)=12f(1)______f(3).(填“>”或“<”或“=”)14.如图所示，用手电来测量古城墙高度，将水平的平面镜放置在点P处，光线从点A出发，经过平面镜反射后，光线刚好照到古城墙CD的顶端C处．如果AB⊥BD，CD⊥BD，AB=1.5米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是______米．15.如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面AB的坡度为______．16. 如图，已知在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，AC =1，D 是AB 边上一点，将△ACD 沿CD 翻折，点A 恰好落在边BC 上的点E 处，那么AD =______． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为(a,3)(a >4)，射线OA 与反比例函数y =12x的图象交于点P ，过点A 作x 轴的垂线交双曲线于点B ，过点A 作y 轴的垂线交双曲线于点C ，联结BP 、CP ，那么S △ABPS △ACP的值是______．18. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，BC =6，点P 是AC 边上一点，将△ACB沿着过点P 的一条直线翻折，使得点A 落在边AB 上的点Q 处，联结PQ ，如果∠CQB =∠APQ ，那么AQ 的长为______．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分） 19. 计算：tan45°+(√3−1)0−(12)−1+4√3+1．四、解答题（本大题共6小题，共68.0分）20. 如图，AD ，BE 是△ABC 的中线，交于点G ，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ．(1)直接写出向量AG ⃗⃗⃗⃗⃗ 关于a ⃗ 、b ⃗ 的分解式，AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =______； (2)在图中画出向量BG ⃗⃗⃗⃗⃗ 在向量a ⃗ 和b ⃗ 方向上的分向量． (不要求写作法，但要保留作图痕迹，井写明结论)21. 如图，已知在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，tan∠CAB =2，点A 的坐标为(−1,0)，点B 在x 轴正半轴上，点C 在y 轴正半轴上． (1)求经过B 、C 两点的直线的表达式；(2)求图象经过A 、B 、C 三点的二次函数的解析式．22.为了维护南海的主权，我国对相关区域进行海空常态化立体巡航．如图，在一次巡航中，预警机沿AE方向飞行，驱护舰沿BP方向航行，且航向相同(AE//BP).当预警机飞行到A处时，测得航行到B处的驱护舰的俯角为45°，此时B距离相关岛屿P恰为60千米；当预警机飞行到C处时，驱护舰恰好航行到预警机正下方D处，此时CD=10千米，当预警机继续飞行到E处时，驱护舰到达相关岛屿P，且测得E处的预警机的仰角为22°，求预警机的飞行距离AE.(结果保留整数)(参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40.)23.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点D是边BC上的中点，过点C作CE⊥BC，交BA的延长线于点E，过点B作BH⊥AC，交AD于点F，交AC于点H，交CE于点G．求证：(1)BC⋅BH=CH⋅EC；(2)BC2=4DF⋅DA．24.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−x+5与x牰交于点A，与y轴交于点B，点C为抛物线y=a的顶点．ax2−2a2x+a3+12(1)用含a的代数式表示顶点C的坐标；(2)当顶点C在△AOB内部，且S△AOC=5时，求抛物2线的表达式；(3)如果将抛物线向右平移一个单位，再向下平移1个单位后，平移后的抛物线的顶2点P仍在△AOB内，求a的取值范围．25.已知四边形ABCD是菱形，AB=4，点E在射线CB上，点F在射线CD上，且∠EAF=∠BAD．(1)如图①，如果∠BAD=90°，求证：AE=AF；=y，试(2)如图②，当点E在CB的延长线上时，如果∠ABC=60°，设DF=x，AFAE 建立y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；(3)联结AC，BE=2，当△AEC是等腰三角形时，请直接写出DF的长．答案和解析1.【答案】C【解析】解：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，则tanB=ACBC，∵4AC4BC =ACBC，∴在Rt△ABC中，各边的长度都扩大4倍．那么锐角B的正切值保持不变，故选：C．根据锐角三角函数的定义得出tanB=ACBC ，求出4AC4BC=ACBC，再得出选项即可．本题考查了解直角三角形，能根据锐角三角函数的定义得出tanB=ACBC是解此题的关键．2.【答案】B【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，∴AB=√AC2+BC2=√32+42=5，∴cosA=ACAB =35，故选：B．根据锐角三角函数的正弦，余弦，正切，余切的定义判断即可．本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切，余切的区别是解题的关键．3.【答案】D【解析】解：抛物线y=−x2+2x−3的对称轴为直线x=−2−2=1，选项A中抛物线对称轴为直线x=−4−2=2，不符合题意．选项B中抛物线对称轴为直线x=−−3−4=−34，不符合题意．选项C中抛物线对称轴为直线x=−66=−1，不符合题意．选项D中抛物线对称轴为直线x=−−11=1，符合题意．故选：D．通过抛物线对称轴为直线x=−b2a求解．本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象对称轴与系数的关系．4.【答案】A【解析】解：∵∠DAC=∠CAB，∴当∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB，可根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△ACD∽△ABC；当ADAC =ABAC，即AC2=AD⋅AB时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断△ACD∽△ABC．故选：A．△ABC和△ACD有公共角，然后根据相似三角形的判定方法对各选项进行判断．本题考查了相似三角形的判定：两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．5.【答案】D【解析】【分析】由a⃗+b⃗ =c⃗，a⃗−b⃗ =3c⃗，推出a⃗=2c⃗，b⃗ =−c⃗，可得a⃗=−2b⃗ ，由此即可判断．本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【解答】解：∵a⃗+b⃗ =c⃗，a⃗−b⃗ =3c⃗，∴a⃗=2c⃗，b⃗ =−c⃗，∴a⃗=−2b⃗ ，∴a⃗与b⃗ 方向相反，故选：D．6.【答案】C【解析】解：∵抛物线开口向下，∴a<0，∵抛物线对称轴在y轴右侧，>0，∴−b2a∴b>0，(1)正确，∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴c>0，∴abc<0，(2)正确，∵x=−1是，y<0，∴a−b+c<0，(3)错误，∵x=1时，y>0，∴a+b+c>0，(4)正确，∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2−4ac>0，(5)正确．故选：C．通过抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断a，b，c的符号，通过x=−1时y<0，x=1时y>0可判断a−b+c与a+b+c的符号，由抛物线与x轴的交点个数可判断b2−4ac的符号，进而求解．本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．7.【答案】7：2【解析】解：∵x：y=5：2，∴设x=5k，y=2k，∴(x+y)：y=(5k+2k)：(2k)=(7k)：(2k)=7：2，故答案为：7：2．利用设k法解答即可．本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．8.【答案】(√5−1)【解析】解：由于P为线段AB的黄金分割点，且AP是较长线段，则AP=2×√5−12=(√5−1)厘米．故答案为：(√5−1)．根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP=√5−12AB，代入数据即可得出AP的长度．本题主要考查了理解黄金分割点的概念，熟记黄金比的值进行计算，难度适中．9.【答案】6【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，sinA=23，∴sinA=BCAB，∴AB=BCsinA=6，根据角的正弦值与三角形边的关系可求AB的长．本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．10.【答案】3【解析】解：设另一个三角形对应边上的高为x厘米，∵两个相似三角形的面积之比是9：25，其中较大的三角形一边上的高是5連米，∴√925=x5，解得：x=3，∴另一个三角形对应边上的高为3厘米，故答案为：3．设另一个三角形对应边上的高为x厘米，根据相似三角形的性质得出√925=x5，再求出x即可．本题考查了相似三角形的性质，能熟记相似三角形的性质是解此题的关键，注意：①相似三角形的面积之比等于相似比的平方，②相似三角形的对应高之比等于相似比．11.【答案】2【解析】解：∵e⃗为单位向量，∴|e⃗|=1，∵a⃗的长度为2，∴|a⃗|=2，∵a⃗与e⃗的方向相同，∴a⃗=2e⃗，故答案为：2．根据a⃗与e⃗的长度与方向即可求解．本题考查了平面向量的基本知识，熟练掌握平面向量的定义是解题的关键．12.【答案】−1【解析】解：∵抛物线y=x2+m+1的顶点是坐标轴的原点，∴m+1=0，解得：m=−1．故答案为：−1．直接利用二次函数的性质得出m+1的值，进而得出答案．此题主要考查了二次函数的性质，正确掌握二次函数的性质是解题关键．13.【答案】>x2+bx+c的开口向上，对称轴为直线x=4，【解析】解：∵抛物线f(x)=12∴与对称轴距离越远的点的函数值越大，∵4−1>4−3，∴f(1)>f(3)，故答案为：>．由抛物线开口方向和对称轴可得x=1与x=3时所对应的函数值的大小关系．本题考查二次函数的性质，解题关键是根据二次函数的性质结合二次函数图象求解．14.【答案】10【解析】解：由题意可得，∠APB=∠CPD，∠ABP=∠CDP，∴△ABP∽△CDP，∴ABCD =BPDP，∵AB=1.5米，BP=1.8米，PD=12米，∴1.5CD =1.812，解得CD=10，即该古城墙的高度是10米，故答案为：10．根据题意，可以得到△ABP∽△CDP，从而可以得到ABCD =BPDP，再根据AB=1.5米，BP=1.8米，PD=12米，即可求得CD的长．本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是求出△ABP∽△CDP．15.【答案】1：1.5【解析】【分析】根据坡度的概念计算，得到答案．本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度ℎ和水平宽度l的比是解题的关键．【解答】解：斜面AB的坡度为20：30=1：1.5，故答案为：1：1.5．16.【答案】√3−1【解析】解：∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠A=60°，∵△ACD 沿CD 翻折，A 点恰好落在BC 边上的E 点处， ∴∠CED =∠A =60°，AD =ED ，CE =AC =1， ∵∠CED =∠BDE +∠B ， ∴∠BDE =60°−30°=30°， ∴EB =ED ，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°， ∵∠B =30°，AC =1， ∴BC =√3，∴EB =CB −CE =√3−1， ∴AD =ED =EB =√3−1． 故答案为：√3−1．先利用互余计算出∠A =60°，再根据折叠的性质得∠CED =∠A =60°，根据三角形外角性质可计算出∠BDE =30°，然后根据含30度角的直角三角形即可求解．本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．17.【答案】1【解析】解：设AO 的解析式为y =kx ， ∴3=ak ， ∴k =3a ，∴y =3a x ，联立{y =12x y =3ax， 解得{x =2√a y =6√a a，∴P(2√a,6√aa)， 过P 点作PM ⊥AB 交于点B ，PN ⊥AC 交于点N ， ∴C(a,12a )，B(4,3)， ∴AC =3−12a，PN =a −2√a ，AB =a −4，PM =3−6√aa，∴S △ABP =12(a −4)(3−6√a a )，S △ACP =12(a −2√a)(3−12a)，∴S △ABP S △ACP=3a−12+24√aa−6√a 3a−6√a−12+24√aa=1，故答案为：1．求出AO 的直线解析式y =3a x ，联立{y =12xy =3a x，求出P(2√a,6√a a )，过P 点作PM ⊥AB 交于点B ，PN ⊥AC 交于点N ，则C(a,12a )，B(4,3)，分别求出AC =3−12a，PN =a −2√a ，AB =a −4，PM =3−6√aa，即可求S △ABP =12(a −4)(3−6√aa)，S △ACP =12(a −2√a)(3−12a)，再求S △ABPS△ACP即可．本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质是解题的关键．18.【答案】395【解析】解：根据题意如图所示：在Rt △ABC 中，∠C =90°， ∵AC =8，BC =6， ∴AB =10，根据折叠的性质可知∠A =∠PQA ，∵∠AQP +∠A +∠APQ =180°，∠AQP +∠PQC +∠CQB =180°， ∵∠CQB =∠APQ ， ∴∠A =∠AQP =∠PQC ， ∴PQ 平分∠AQC ，设CP=x，则AP=PQ=8−x，如图，过点C作CD⊥AB于点D，PE⊥AB于点E，∴S△ABC=12×AC⋅BC=12×AB⋅CD，∴10CD=6×8，∴CD=245，∵CD⊥AB，PE⊥AB，∴PE//CD，∴△APE∽△ACD，∴APAC =PECD，∴8−x8=PE245，∴PE=35(8−x)，∴AE=√AP2−PE2=√(8−x)2−925(8−x)2=45(8−x)，∴AQ=2AE=85(8−x)，∵∠PCQ=∠QCA，∠PQC=∠A，∴△PCQ∽△QCA，∴CQAC =CPCQ=PQAQ，∴CQ=√8x=2√2x，∴2√2x =8−x85(8−x)，∴x=258，∴AQ=85(8−x)=395．故答案为：395．利用三角形内角和180°，以及平角180度，推导出PQ平分∠AQC，设CP=x，则AP=PQ= 8−x，利用三角形等面积法和相似三角形性质求出AQ的长，再利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题．本题属于几何综合题，是中考填空题的压轴题，主要考查了翻折的性质、解直角三角形、相似三角形的判定和性质、勾股定理，三角形等面积法，综合性较强，熟练解直角三角形中线段问题是解题的捷径．19.【答案】解：原式=1+1−2+4(√3−1)(√3+1)(√3−1)=1+1−2+2√3−2 =2√3−2．【解析】代入特殊角三角函数值，化简零指数幂，负整数指数幂，利用平方差公式进行二次根式分母有理化计算，然后再算加减．本题考查二次根式的混合运算，理解a 0=1(a ≠0)，a −p =1a p (a ≠0)，熟记特殊角三角函数值，掌握利用平方差公式进行二次根式分母有理化计算是解题关键．20.【答案】23a ⃗ +13b ⃗【解析】解：(1)如图，过点G 作GT//BC 交AB 于点T ． ∵AD ，BE 是△ABC 的中线，交于点G ， ∴AG =2GD ， ∵GT//DB ， ∴TG BD=AG AB=AT AB，∴AT =23AB =23a ⃗ ，TG =23BD =13BC =13b ⃗ ，∴AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =AT ⃗⃗⃗⃗⃗ +TG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23a ⃗ +13b ⃗ ．故答案为：23a ⃗ +13b ⃗ ．(2)向量BG ⃗⃗⃗⃗⃗ 在向量a ⃗ 和b ⃗ 方向上的分向量分别是：BT ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． (1)利用平行线分线段成比例定理以及三角形法则求解即可； (2)利用平行四边形法则，画出图形即可．本题考查作图−应用与设计作图，平行线分线段成比例定理．三角形法则，平行四边形法则等知识，解题的关键是掌握三角形法则，平行四边形法则解决问题．21.【答案】解：(1)在Rt △AOC 中，∵tan∠CAB =OC OA=2，∴OC =2OA =2， ∴点C 坐标为(0,2)， ∵∠ACB =90°， ∴∠ACO +∠BCO =90°， ∵∠ACO +∠BAC =90°， ∴∠BCO =∠BAC ， ∴tan∠BCO =BOCO =2， ∴OB =2CO =4， ∴点B 坐标为(4,0)，设BC 所在直线解析式为y =kx +b ，将(0,2)，(4,0)代入y =kx +b 得{2=b0=4k +b ，解得{k =−12b =2，∴y =−12x +2．(2)设抛物线解析式为y =ax 2+bx +c ，将(−1,0)，(0,2)，(4,0)代入y =ax 2+bx +c 得{0=a −b +c2=c 0=16a +4b +c，解得{a =−12b =32c =2，∴y =−12x 2+32x +2．【解析】(1)通过tan∠CAB =2，∠ACB =90°可得CO =2AO ，BO =2CO ，然后通过待定系数法求函数解析式．(2)通过待定系数法求函数解析式．本题考查待定系数法求函数解析式，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握解直角三角形的方法．22.【答案】解：过B作BF⊥AE于F，过P作PG⊥AE于G，由题意得：BF=PG=CD=10千米，FG=BP=60千米，在Rt△AFB中，∠A=45°，∴∠ABF=90°−∠A=45°，∴∠ABF=∠A，∴AF=BF=10千米，∵AE//BP，∴∠E=∠EPH=22°，在Rt△PGE中，tanE=PGEG，∴EG=PGtan22∘≈100.40=25(千米)，则AE=AF+FG+EG≈10+60+25=95(千米)．答：预警机的飞行距离AE约为95千米．【解析】过B作BF⊥AE于F，过P作PG⊥AE于G，证AF=BF=10千米，再由平行线的性质得∠E=∠EPH=22°，然后由锐角三角函数定义求出EG的长，即可解决问题．本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．23.【答案】证明：(1)∵CE⊥BC，BH⊥AC，∴∠BCE=∠CHB=90°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴△BCE∽△CHB，∴BCCH =CEBH，∴BC⋅BH=CH⋅EC；(2)∵AB=AC，点D是边BC上的中点，∵AD⊥BC，BH⊥AC，∴∠ADC=∠AHF=90°，∵∠DAC=∠HAF，∴∠ACD=∠AFH，∵∠AFH=∠BFD，∴∠ACD=∠BFD，∵∠ADC=∠BDF=90°，∴△ADC∽△BDF，∴DCDF =ADBD，∵BD=DC=12BC，∴14BC2=AD⋅DF，即BC2=AD⋅DF．【解析】(1)利用已知条件证明△BCE∽△CHB即可；(2)通过证明△ADC∽△BDF得出DCDF =ADBD，再根据BD=DC=12BC，得出结论．本题考查了三角形相似的判定和性质以及直角三角形和等腰三角形的性质，关键是掌握相似三角形的判定定理进行证明．24.【答案】解：(1)∵y=ax2−2a2x+a3+12a=a(x2−2ax+a2)+12a=a(x−a)2+12a，∴抛物线顶点C坐标为(a,12a)．(2)把x=0代入y=−x+5得y=5，∴点B坐标为(0,5)，把y=0代入y=−x+5得0=−x+5，解得x=5，∴点A坐标为(5,0)，∵S△AOC=12OA⋅|y C|=52，∴52|y C|=52，∴|y C|=1，解得y C=±1，∵C 在△AOB 内部， ∴12a =1， 解得a =2，∴y =2x 2−8x +9．(3)∵点顶点C 坐标为(a,12a)．∴抛物线向右平移一个单位，再向下平移12个单位后，点P 坐标为(a +1,12a −12)， 把x =a +1代入y =−x +5得y =−a +4，∴{0<a <50<12a −12<−a +4，解得1<a <3．【解析】(1)将二次函数解析式化为顶点式求解．(2)先由直线解析式求出点A ，B 的坐标，由S △AOC =12OA ⋅|y C |=52求出|y C |，再由点C 在三角形AOB 内部求解．(3)由点C 平移得到点P 坐标，由点P 在三角形AOB 内部列不等式求解．本题考查二次函数与一次函数的综合问题，掌握函数与方程及不等式的关系． 25.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD =90°，∴菱形ABCD 是正方形，∴∠BAE =∠ABC =∠ADF =90°，AD =AB ，∵∠BAE =∠DAF ，∴△ABE≌△ADF(ASA)，∴AE =AF ；(2)如图1，在AD 上截取DG =DF ，∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ADF =∠ABC =60°，AD =AB =6，∴△DGF是正三角形，∴∠DFG=60°，GF=DF=DG=x，∴∠AGF=∠ABE=120°，AG=4−x，∵∠BAE=∠DAF，∴△ABE∽△AGF，∴AFAE =AGAB，∴y=4−x4(0<x<4)(3)如图2，当AE=AC时，作AH⊥CE于H，以F为圆心，DF为半径画弧交AD于G，作FN⊥AD于N，∴CH=12CE=12×(4+2)=3，∠FND=∠AHB=90°，∠D=∠FGD，DG=2DN，∴BH=BC−CH=4−3=1，∵四边形ABCD是菱形，∴∠D=∠ABC，∴△ABH∽△FND，∠AGF=∠ABE，∴DNDF =BHAB=14，∴DGGF =12①，∵∠BAE=∠DAF，∴△ABE∽△AGF，∴AGAB =GFBE，∴4−DG4=GF2②，由①②得，GF=85，∴DF=85，如图3，当AC=CE=6时，作AH⊥CE于H，以F为圆心，DF为半径画弧交AD于G，作FN⊥AD 于N，作BM⊥AC于M，∴CM=12AC=3，∴BM=√BC2−CM2=√7，由S△ABC=12AC⋅BM=12BC⋅AH得，6√7=4⋅AH，∴AH=3√72，∴BH=√AB2−AH2=12，由第一种情形知：△ABH∽△FGN，△ABE∽△AFF，∴GNFG =BHAB=18，AGGF=ABBE=12，∴DGGF =14①，4+DGGF=12②，由①②得，GF=167，∴DF=167，∵AB+BE>AE，∴BC+BE>AE，即CE>AE，综上所述：DF=85或167．【解析】(1)先证明四边形ABCD是正方形，再证明△ABE≌△ADF，从而命题得证；(2)在AD上截取DG=DF，先证明△DGF是正三角形，再证明△ABE∽△AGF，进一步求得结果；(3)当AE=AC时，作AH⊥CE于H，以F为圆心，DF为半径画弧交AD于G，作FN⊥AD于N，证明△ABH∽△FND，∠AGF=∠ABE，可推出DGDF =12，再证明△ABE∽△AGF，可推出4−DG4=GF2，从而求得DF，当AC=CE=6时，作AH⊥CE于H，以F为圆心，DF为半径画弧交AD于G，作FN⊥AD于N，作BM⊥AC于M，先根据S△ABC=12AC⋅BM=1 2BC⋅AH求得AH，进而求得BH，根据△ABH∽△FGN，△ABE∽△AFF，DGGF=14和4+DGGF=12，从而求得DF，根据三角形三边关系否定AE=CE，从而确定DF的结果．本题考查了菱形性质，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，面积法等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．。