高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．在曲线的图象上取一点及邻近一点，则为（ ） 26y x =+(1,7)(1,7)x y +∆+∆yx∆∆A ． B ． 2x +∆12x x ∆--∆C ． D ． 12x x∆++∆12x x+∆-∆【答案】A【分析】根据平均变化率，代入计算． ()()00+∆-∆=∆∆f x x f x y x x【详解】()26172x x x x y ⎡⎤+-∆⎣⎦==+∆+∆∆∆故选：A2．设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ） l 66cos 130x y β-+=l αA ． B ．[0,]πππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．D ．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦πππ3,,422π4⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎣⎭⎝⎦【答案】C【分析】当时，可得倾斜角为，当时，由直线方程可得斜率cos 0β=π2cos 0β≠1tan cos αβ==k ，然后由余弦函数和正切函数的性质求解即可.【详解】当时，方程变为，其倾斜角为， cos 0β=6130+=x π2当时，由直线方程可得斜率， cos 0β≠1tan cos αβ==k 且，[]cos 1,1β∈- cos 0β≠，即，][(),11,k ∴∈-∞-⋃+∞][()tan ,11,α∈-∞-⋃+∞又，，[)0,πα∈πππ3π,,4224α⎡⎫⎛⎤∴∈⋃⎪ ⎢⎣⎭⎝⎦由上知，倾斜角的范围是．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：C ．3．已知等差数列的前项和为，且，则（ ）{}n a n n S 0n a >7448S Sa a-=+A ．2B ．C ．1D ．3212【答案】B【分析】由等差数列的性质求解. 【详解】由题意得.745676486633222S S a a a a a a a a -++===+故选：B4．已知双曲线的离心率为3，则该双曲线的渐近线方程为（ ）22221(0,0)y x a b a b -=>>A． B ．0y ±=0x ±=C ． D ．30x y ±=30x y ±=【答案】B【分析】设，由题有，据此可得，即可得双曲线的渐近线方程.222+=a b c 3c a =228b a =【详解】设，由题有，则222+=a b c 3ce a ==222222298c a b b a b a a a +==⇒=⇒=±故双曲线渐近线方程为，即.y =0x ±=故选：B5．函数过点的切线方程为（ ）()2e xf x x =()0,0A ． B ． C ．或 D ．或0y =e 0x y +=0y =e 0x y +=0y =e 0x y +=【答案】C【分析】设切点，利用导数的几何意义求该切点上的切线方程，再由切线过代入求2(,e )m m m ()0,0参数m ，即可得切线方程.【详解】由题设，若切点为，则， 2()(2)e x f x x x '=+2(,e )m m m 2()(2)e m f m m m '=+所以切线方程为，又切线过， 22(2))e e (m m y m m m x m +-=-()0,0则，可得或，22(2e )e m m m m m +=0m =1m =-当时，切线为；当时，切线为，整理得. 0m =0y =1m =-e 1(1)y x --=+e 0x y +=故选：C6．过抛物线的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，分别过A 、B 两点作准线的垂线，垂24y x =足分别为两点，以线段为直径的圆C 过点，则圆C 的方程为（ ）11,A B 11A B (2,3)-A ．B ． 22(1)(2)2x y ++-=22(1)(1)5x y ++-=C ．D ．22(1)(1)17x y +++=22(1)(2)26x y +++=【答案】B【分析】求出抛物线焦点坐标、准线方程，设出直线AB 的方程，与抛物线方程联立求出圆心的纵坐标，再结合圆过的点求解作答.【详解】抛物线的焦点，准线：，设，令弦AB 的中点24y x =(1,0)F 11A B =1x -1122(,),(,)A x y B x y 为E ，而圆心C 是线段的中点，又，即有，，11A B 111111,AA A B BB A B ⊥⊥11////EC AA BB 11EC A B ⊥显然直线AB 不垂直于y 轴，设直线，由消去x 得：，:1AB x ty =+214x ty y x =+⎧⎨=⎩2440y ty --=则，E 的纵坐标为， 12124,4y y t y y +==-12||y y -==1222y y t +=于是得圆C 的半径，而圆C 过点， 111211||||22r A B y y ==-=(1,2)C t -(2,3)M -则有，解得， ||MC r ==12t =因此圆C 的圆心，半径C 的方程为. (1,1)C -r =22(1)(1)5x y ++-=故选：B7．若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） x R ∈20x ax a +->a A ． B ． (]ln 2,0e -[)0,ln 2e C ． D ．(]2ln 2,0e -[)0,2ln 2e 【答案】C【分析】由不等式在上恒成立，问题转化为图象恒在上方，分类讨论参数x R ∈2x y =()1y a x =--，结合函数图象、导数，即可求在何范围时图象符合要求.a a 【详解】对，不等式恒成立，知：不等式恒成立，x ∀∈R 20x ax a +->()21xa x >--问题可转化为：曲线恒处于直线的上方， 2x y =()1y a x =--当时，直线与曲线恒有交点，不满足条件.0a >当时，直线与曲线没有交点且曲线恒处于直线的上方，满足条件.0a =2x y =()1y a x =--当时，当直线与曲线相切时，设切点为，切线方程为，切线过点a<0(),2mm 22ln 2()mm y x m -=-，代入方程得，此时切线斜率为， ()1,0211log 2ln 2m e =+=2ln 2e由图可知，，即，曲线恒处于直线的上方， 02ln 2a e <-<2ln 20e a -<<2x y =()1y a x =--综上，. 2ln 20e a -<≤故选：C【点睛】本题考查不等式恒成立，并将问题转化为函数图象的位置关系，利用导数研究函数求参数范围.8．已知，设，则（ ）ln 20.69≈3ln 8 3.527 3.536,,132a b c e ===A ． B ． a c b >>b c a >>C ． D ．a b c >>b a c >>【答案】D【分析】将化为，和b 比较，确定变量，构造函数，利用其导数判断其单调性，即a 33323()2x x f x =可比较大小，再比较，即可得答案.,a b ,a c 【详解】由于，33ln83 3.527273 3.5,822a b e ====故设函数 ， 32322322ln 2(3ln 2)(),()2(2)2x x x x x x x x x x f x f x ⋅-⋅⋅-⋅'=∴==当时，，即在上单调递增， 3ln 2x <()0f x '>()f x 3(,ln 2-∞由于， 33 4.35ln 20.69≈≈故，即， (3)(3.5)f f <333 3.53 3.522a b =<=又，故， ln82727363813a c e ==>>=b a c >>故选：D【点睛】关键点睛：比较的大小时，要注意根据两数的结构特征，确定变量，从而构造函数，,a b 这是比较大小关键的一步，然后利用导数判断函数的单调性，即可求解.二、多选题 9．关于函数，则下面四个命题中正确的是（ ） ()ln xf x x=A ．函数在上单调递减B ．函数在上单调递增 ()f x (0,e)()f x (e,)+∞C ．函数没有最小值D ．函数的最小值为()f x ()f x e 【答案】BC【分析】求出函数的定义域，求出函数导数，判断函数的单调性，作出其大致图像，一一判断每个选项，即可确定答案. 【详解】由，定义域为，且，则，()ln xf x x={|0x x >1}x ≠2ln 1()(ln )x f x x -'=当和时，，01x <<1e x <<()0f x '<故函数在上单调递减，故A 错误；()f x (0,1),(1,e)当时，，故函数在上单调递增，故B 正确； e x >()0f x '>()f x (e,+)∞当时，，当时，， 01x <<()0f x <1x >()0f x >作出其大致图像如图：由图像可知函数没有最小值，故C 正确，D 错误， ()f x 故选：BC10．定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则（ ） (0,)+∞()f x ()f x '2()()()0f x x x f x '++<A ． B ． 4(2)3(1)f f <8(2)9(3)f f >C ． D ．3(3)2(1)f f >15(3)16(4)f f <【答案】AB【分析】令，利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性逐一判断即可. ()()()01xf x g x x x =>+【详解】令，()()()01xf x g x x x =>+则， ()()()()()()()()()()222111f x xf x x xf x x g f x x x x x f x '++-⎡⎤⎣⎦'++'==++因为恒成立， 2()()()0f x x x f x '++<所以恒成立， ()0g x '<所以在上递减， ()g x (0,)+∞所以， ()()()()1234g g g g >>>即， ()()()()12233442345f f f f >>>所以，故A 正确； 4(2)3(1)f f <，故B 正确；8(2)9(3)f f >，故C 错误； 3(3)2(1)f f <故D 错误.15(3)16(4)f f >故选：AB.【点睛】关键点点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性，构造函数是解()()()01xf x g x x x =>+决本题的关键.11．已知，令，则取到的值可以112(,6),(A x x B x -L =L 有（ ）A ．BCD ． 【答案】BCD【分析】可以看作点直线上的点到椭圆上的点的距离，从L =A B 而求出直线上的点到椭圆的最短距离，从而可判断各项的对错. 【详解】由，得点为直线上的点，11(,6)A x x -A 6y x =-由得点为曲线,(2B x B y则可以看作点到点的距离，L =A B由，y 221(0)2y x y +=≥所以点为椭圆且在轴上方的点，B 221(0)2y x y +=≥x如图，设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为6y x =-221(0)2y x y +=≥y x C =-+联立，消得， 2212y x y x C ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩y 223220x Cx C -+-=则，解得（舍去()2241220C C ∆=--=C =则=-+y x所以直线与直线6y x =-=-+yxd==所以L≥对于A ，，A 错误；=<对于B B 正确；>=对于C C 正确；>=对于D ，D 正确. =>故选：BCD12．对于正整数，是小于或等于的正整数中与互质的数的数目.函数以其首名研究者n )(n ϕn n )(n ϕ欧拉命名，称为欧拉函数，例如（1，3与4互质），则（ ） (4)2ϕ=A ．B ．如果为偶数，则数列单调递增(13)12ϕ=n {}()n ϕC ．数列的前6项和等于63D ．数列前项和为(){}2nϕ()54nϕ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭n 1514n --【答案】AC【分析】根据欧拉函数的定义，即可求解AC,根据反例即可排除BD.【详解】对于A,13与1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12均互质，所以，故A 正(13)12ϕ=确，对于B,当时，6与1，5互质，所以，故B 错误，6n =(6)(4)2ϕϕ==对于C,由于2为质数，所以小于等于的正整数中,所有的偶数的个数为个，所以剩下的均与2n 12n -互质，故，所以前6项和等于，故C 正确，2n ()112=222n n n n ϕ---=(){}2nϕ251222=63++++ 对于D ，当时，5与1，2，3，4均互质，所以，而，，显然不成1n =()54ϕ=()514ϕ=051=04-立，故D 错误，（与不互质的数有，共有个，所以与不互质的数有5n 51055n n ，，-5，15n -5n ，因此，则前项和为，故错误） 115545n n n ---=⨯()(){}1155=45,54n nn n ϕϕ--⎧⎫⎪⎪⨯∴=⎨⎬⎪⎪⎩⎭n 514n -故选：AC三、填空题13．圆与圆的公共弦所在直线方程为___________.221:130O x y +-=222:650O x y x +-+=【答案】30x -=【分析】判断两圆相交，将两圆方程相减即可求得答案.【详解】圆的圆心为，半径为，221:130O x y +-=(0,0)1r =圆的圆心为，半径为，222:650O x y x +-+=(3,0)22r =则，则两圆相交，121212||3r r O O r r -<=<+故将两圆方程相减可得：，即，6180x -=30x -=即圆与圆的公共弦所在直线方程为，221:130O x y +-=222:650O x y x +-+=30x -=故答案为：30x -=14．已知，数列的前项和的通项公式为___________.21nn a =-12n n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭n n S 【答案】 112221n n n S ++-=-【分析】先化简为，再利用裂项相消法可求解. 112112121n n n n n a a ++=-⋅--【详解】因为，()()111212122211121n n n n n n n n a a +++----==-⋅所以 12231111111212121212121n n n S +-+--=++------ . 11111122212121n n n +++=--=---故答案为：. 112221n n n S ++-=-四、双空题15．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，6m =共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足（为正整数）， {}n a 1a m =m 1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时当时，试确定使得至少需要________步雹程；若，则所有可能的取值集合34m =1n a =91a =m M 为________.【答案】 13{4,5,6,32,40,42,256}【分析】第一空，根据运算法则，写出每一个步骤，即可得答案；第二空，根据运算法则一步步逆推，分类求解，可得答案.【详解】当时，则按运算法则得到：34m =，34175226134020105168421→→→→→→→→→→→→→即使得需要13步雷程． 1n a =若，则或， 91a =8762,4,8a a a ===1当 时，则或， 68a =5416,32a a ==5若，则或；432a =3264,128a a ==21若，则，若，则； 2128a =1256a =221a =142a =当时，或，45a =3210,20a a ==3若时，则，若时，则； 220a =140a =23a =16a =当时，则或，61a =5432,4,8a a a ===1若，则或；38a =2116,32a a ==5若，则，31a =212,4a a ==故所有可能的取值集合为，m M {4,5,6,32,40,42,256}故答案为：13；{4,5,6,32,40,42,256}五、填空题16．已知分别为双曲线的左、右顶点，是双曲线上关于轴对称的不同两点，,A B 2213x y t -=,P Q x设直线的斜率分别为，若点A 到直线,AP BQ ,m n 2y mnx =________.【分析】确定的坐标，设点，表示出的表达式，结合化简可得,A B (,)P u v ,m n 2213u v t -=2y mnx =即，根据点A 到直线t 的值，即可求得答案.60x ty +=2y mnx =【详解】由题意可得双曲线中，，故， 2213x y t -=0t >(A B 设点,则,则，则， (,)P u v (,)Q u v -2213u v t -=223v t u t =--所以 AP m k ==BQ n k ==故即，即，即， 2y mnx =2(y x =2226v y x x t u t==--60x ty +=由于点A 到直线，2y mnx =解得， 6t =故双曲线离心率为 c e a ====【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于设点，从而表示出，结合化简可得(,)P u v ,m n 2213u v t -=，从而可得即，这是关键的环节，然后再结合题意求解即可. 223v t u t=--2y mnx =60x ty +=六、解答题17．过点可以作两条直线与圆相切，切点分别为 (0,1)P 22:20E x y kx k ++-=AB 、(1)求实数的取值范围.k (2)当时，存在直线吗？若存在求出直线方程，若不存在说明理由.10k =-AB 【答案】(1) 1(,8)0,2⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭(2)存在，5200x y --=【分析】（1）根据点在圆外和圆方程的条件即可求解；P （2）易知四点共圆且以为直径，求其方程，利用两圆方程相减即可得到相交弦所P A B E 、、、PE 在直线方程，从而求解.【详解】（1）由题意可知，点在圆外，即，解得. P 120k ->12k <又因为圆，即， 22:20E x y kx k ++-=222824k k k x y +⎛⎫++= ⎪⎝⎭所以，即或，280k k +>8k <-0k >综上，实数的取值范围是. k 1(,8)0,2⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭（2）当时，，10k =-22:10200E x y x +-+=即，所以圆心，22(5)5x y -+=()5,0E 因为与圆相切，所以四点共圆且以为直径.,PA PB P A B E 、、、PE 设过四点的圆上一点，P A B E 、、、(),M x y 则，即，即0PM EM ⋅= (5)(1)0x x y y -+-=2250x y x y +--=所以过过四点的圆的方程为，P A B E 、、、2250x y x y +--=两圆方程相减得，5200x y --=于是直线的方程为.AB 5200x y --=18．设抛物线的准线为，过抛物线上的动点作，为垂足.设点的2:2(0)E x py p =>0l T 0TT l '⊥T 'K 坐标为，则有最小值(6,0)KT TT '+(1)求抛物线的方程；(2)已知，过抛物线焦点的直线（直线斜率不为0）与抛物线交于两点，记直线的(2,1)H -E E ,M N ，斜率分别为，求的值. HM HN 12,k k 1212k k k k +【答案】(1)24x y =(2) 12-【分析】（1）结合抛物线定义确定的最小值，即可求得p 的值，可得答案.KT TT '+（2）设出直线方程并联立抛物线方程，可得根与系数的关系，进而将化简，即可求得答案. 1212k k k k +【详解】（1）设抛物线焦点为，则，则有， F (0,)2p F ||||||||KT TT KT TF KF '+=+≥即三点共线时取得最小值，,,F T K KT TT '+而有最小值KT TT '+=得，则抛物线的方程为 12p =E 24x y =（2）由题意可知，直线的斜率一定存在，设为k ，则其方程为，(0,1)F MN 1y kx =+设，()()1122,,,M x y N x y 由，得，， 214y kx x y=+⎧⎨=⎩2440x kx --=216(1)0k ∆=+>，，124x x k ∴+=124x x =-，，111y kx =+221y kx =+ 121212221111x x k k y y --∴+=+++ 1212221111x x kx kx --=+++++ ()()()()()()122112222222x kx x kx kx kx -++-+=++ ()()12122121222(1)824kx x k x x k x x k x x --+-=+++， 222288(1)888248444k k k k k k k ------===--+++所以的值为. 1212k k k k +12-【点睛】方法点睛：解决直线和抛物线的位置关系类问题时，一般方法是设出直线方程并联立抛物线方程，得到根与系数的关系式，要结合题中条件进行化简，但要注意的是计算量一般都较大而复杂，要十分细心.19．设为数列的前项和，已知.n S {}n a n ()2*0,484n n n n a a a S n >+=-∈N (1)求数列的通项公式；{}n a (2)求数列的前项和. 18(1)()n n n n n a a a +⎧⎫-⋅+⎨⎬⎩⎭n n T 【答案】(1)()*42n a n n =-∈N (2) 11(1)224(2)n n T n n =-+-++【分析】（1）利用与的关系式即可求出；n S n a n a （2）结合的奇偶，利用分组求和法、裂项相消法求和.n 【详解】（1）由，①，得：0n a >2484n n n a a S +=-当时，，解得.1n =2111148484a a S a +=-=-12a =当时，②，2n ≥2111484n n n a a S ---+=-①-②得：，2211144888n n n n n n n a a a a S S a ---+--=-=即()()()1114n n n n n n a a a a a a ---+-=+所以，所以数列是以2为首项，4为公差的等差数列.14n n a a --={}n a 所以.()*42n a n n =-∈N （2） ()()()()()()188111424242n n n n n n n n a n a a n n +⎛⎫-⋅+=-+-⋅- ⎪-+⎝⎭, ()()()()()()()()2111114211222212122121n n n n n n n n n n n n ⎛⎫=-+-⋅-=-⨯++-⋅-+ ⎪-+-+⎝⎭设数列的前项和为， (1)21211112⎧⎫⎛⎫⨯+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭--+n n n n n C ； (1)1(1)(1)33557212111212111111111122214⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-++⋅⋅⋅++=+=-+ ⎪ ⎪ -⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝-----+⎭⎣⎦++n n n n C n n n n 设数列的前项和为，(){}(1)222-⋅-+n n n n n D .()()()()()()02244668(1)222(1)2+++-++++-⋅==--+-⋅n n n n n n D所以数列的前项和 18(1)()n n n n n a a a +⎧⎫-⋅+⎨⎬⎩⎭n 11(1))224(2=-+-+++=n n n n T C D n n 利用分组，列项和并项求和即可获得. 11(1)224(2)n n T n n =-+-++20．已知等差数列的前项和为，首项为，.数列是等比数列，公比小于0，{}n a n n T 38-63T T ={}n b q 且，，数列的前项和为，121b a =39b a ={}n b n n S (1)记点，证明：在直线上； ()*,,N n n n L b S n ∈n L :330l x y -+=(2)对任意奇数恒成立，对任意偶数恒成立，求的最小值.,n n M S ≥,n n N S ≤M N -【答案】(1)证明见解析(2)34【分析】（1）根据题意求得等常数列的通项公式，即可求得等比数列的通项公式，继而求得,n n b S 的表达式，即可证明结论；（2）结合（1）可判断当为奇数和偶数时的单调性，从而求得的最值，即可得答案.n n S ,M N 【详解】（1）证明：设等差数列的公差为d ， {}n a 则由首项为，可得，则， 38-63T T =365332638282d d ⨯⨯-⨯+⋅=-⨯+⋅332d =故， 33315(1)8323232n a n n =-+-⨯=-由，，得，， 0q <121b a =39b a =131532132322b ⨯-==2131519,32322q q b ⨯-∴=-=故，， 131()22n n b -=⋅-311()1221(121()2n n n S ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦==----则，即， 1311(22233(3n n n n S b -=-=-=--330n n S b -+=则点在直线上；(),n n n L b S :330l x y -+=（2）由（1）可知， n S =111()1(12()2n n n --=--当为奇数时，在奇数集上单调递减，； n (112n n S =+31,2n S ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦当为偶数时，在偶数集上单调递增，， n 11()2n n S =-3,14n S ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭所以. min max min 333,,()244M N M N ==∴-=21．已知函数.()ln (2)1(R)f x x m x m m =+-+-∈(1)当时，求函数的最小值；1m =()e ()x h x x f x =-(2)是否存在正整数，使得恒成立，若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由.m ()0f x ≤m 【答案】(1)1(2)存在,最小正整数3m =【分析】（1）根据题意可得，构造函数，利用导数说明其单调ln ()e (ln )x x h x x x +=-+()e x m x x =-性，结合设，判断其取值情况，即可求得答案.()ln ,(0)g x x x x =+>（2）求出函数的导数，根据其表达式，讨论时，说明不合题意，当时，将问题转化为2m ≤m 2>函数的最值问题，即可求得答案.【详解】（1）当时，，1m =()ln ,(0)f x x x x =+>，ln ()e ()e (ln )e (ln )x x x x h x x f x x x x x x +=-=-+=-+令，则，()e x m x x =-()e 1x m x '=-当时，，当时，，0x <()0m x '<0x >()0m x '>即在上单调递减，在上单调递增，()m x (,0)-∞(0,)+∞故，仅当时取等号，1())(0m m x ≥=0x =故对于，此时，ln ()e (ln )x x h x x x +=-+ln 0x x +=令，则， ()ln ,(0)g x x x x =+>11()10x g x x x+'=+=>即在在上单调递增，()ln g x x x =+(0,)+∞，，故，使得， 1110e e g ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭(1)10g =>01,1e x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭()00g x =函数的最小值为.()e ()x h x x f x =-00ln 000()e (ln )1x x h x x x +=-+=（2）由题意的定义域为，()ln (2)1f x x m x m =+-+-(0,)+∞， 1(2)1()2m x f x m x x-+'=+-=当时，，函数在上单调递增，函数无最大值，不合题意；2m ≤()0f x '>()f x (0,)+∞当时，时，，时，， m 2>102x m <<-()0f x '>12x m >-()0f x '<函数在上单调递增，在上单调递减， ()f x 10,2m ⎛⎫ ⎪-⎝⎭1,2m ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭当时，函数取得最大值，且， 12x m =-()f x max 11()ln 22f x f m m m ⎛⎫==- ⎪--⎝⎭要使恒成立，即，()0f x ≤max ()0f x ≤所以，即， 1ln 02m m -≤-ln(2)0m m -+≥令，， ()ln(2),(2)m m m m ϕ=-+>11'()10,(2)22m m m m m ϕ-=+=>>--所以在上单调递增， ()m ϕ(2,)+∞，， 6120e ϕ⎛⎫+< ⎪⎝⎭(3)ln130ϕ=+>所以存在最小正整数，使得，即使得恒成立.3m =()ln(2)0m m m ϕ=-+≥()0f x ≤【点睛】方法点睛：（1）第一问中要能根据的表达式的结构特征进行变形为()h x ，从而构造函数，利用导数判断单调性，解决问题；ln ()e (ln )x x h x x x +=-+（2）第二问中，根据函数不等式恒成立问题，求出函数导数，分类讨论参数范围，进而转化为函数最值问题解决.22过点，点分别为椭圆的左、2222:1(0)x y C a b a b +=>>12,F F C 右焦点，过点与轴垂直的直线交椭圆第一象限于点.直线平行于（为原点），且与椭2F x 0l T 1l OT O 圆交于两点，与直线交于点（介于两点之间）.C ,M N 0l P P ,M N (1)当面积最大时，求的方程；TMN △1l (2)求证：.||||||||TM PN TN PM ⋅=⋅【答案】(1) 2y x =-(2)证明见解析【分析】（1）根据离心率以及椭圆经过的点联立方程即可解，进而可得椭圆方2a b c ===程，联立直线与椭圆方程，由韦达定理，进而由弦长公式求解弦长，利用面积公式表达面积，结合基本不等式即可求解最值，（2）根据比例关系可将问题转化成斜率之和为0，代入斜率公式即可化简求解.【详解】（1）由题意可知，解得,22222231c e a ab a bc ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩2a b c ===所求椭圆的方程为. C 22184x y +=当时，，所以 2x =211422y æöç÷=-´=ç÷èø(2T 由于的方程为，设，，OT k =1l y t =+()11,M x y ()22,Nx y 由，消去整理得， 22184y t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩y 2240xt +-=由韦达定理可得：，()12212224Δ2808x x x x t t t ⎧+=⎪⎪=-⎨⎪=-->⇒<⎪⎩则||MN===又点到的距离 T 1ld ==所以. 11|22TMN S MN d t ===V≤=当且仅当，即时，等号成立.228t t -=24t =又介于两点之间， P ,MN 2P y t t ++所以，故.0t t --<<2t =-故直线的方程为：. 1l 2y =-（2）要证结论成立，只须证明， ||||||||TM TN PM PN =由角平分线性质即证：直线为的平分线，2x =MTN ∠转化成证明：.0TM TN k k +=由于TM TN k k+= ()()()()122112222222t x t x x x ⎡⎡⎫⎫+-++--⎢⎢⎪⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦=--===0=因此结论成立.【点睛】圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用．另外在解析几何中还要注意向量的应用，如本题中根据向量的共线得到点的坐标之间的关系，进而为消去变量起到了重要的作用。
