高考数学一轮经典例题 正态分布 理

实用文档2021年高三数学一轮复习 专题突破训练 定积分与正态分布 理一、定积分1、（xx 年山东高考）执行右边的程序框图，输出的的值为 .2、（xx 年山东高考）直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为 （A ） （B ）（C ）2 （D ）4 3、（德州市xx 届高三二模）展开式的常数项是15，右图阴影部分是由曲线和圆轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为A. B. C. D.4、（淄博市xx 届高三三模），函数()()2221f x x x a g x x x a =++=-++与有相同的最小值，则___________．5、（德州市xx 届高三上期末）如图所示，由函数 与函数 在区间 上的图象所围成的封闭图形的面积为 A ． B ． C ． D ．6、（济宁市xx 届高三上期末）已知函数πϕϕπ⎰230f(x)=sin(x-)(其中0<<),且f(x)dx =0，则函数f （x ）图象的一条对称轴是A 、B 、C 、D 、7、（莱州市xx 届高三上期末）抛物线处的切线与抛物线以及轴所围成的曲边图形的面积为 8、（青岛市xx 届高三上期末）两曲线所围成的图形的面积是________ 9、（泰安市xx 届高三上期末）若，则= ▲10、（淄博市六中xx 届高三上期末）若函数f(a)＝，则_______11、（桓台第二中学xx 届高三）抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A (1,0)和点B (3,0)处的切线所围成图形的面积为______12、（滕州市第二中学xx 届高三）由曲线，直线及轴所围成的封闭图形的面积为A ．B ．4C ．D ．613、（滕州市第三中学xx 届高三）如图，在矩形内：记抛物线与直线围成的区域为（图中阴影部分）．随是否开n=1，T=1n<3n=n+1输出T 结束实用文档机往矩形内投一点，则点落在区域内的概率是A ．B ．C ．D ．二、正态分布 1、（xx 年山东高考）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为 （附：若随机变量服从正态分布，则, .）(A) (B) (C) (D) 2、（德州市xx 届高三二模）某校在一次测试中约有600人参加考试，数学考试的成绩（，试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次测试中数学考试成绩不低于120的学生约有___________人.3、（青岛市xx 届高三二模）某班有50名同学，一次数学考试的成绩X 服从正态分布N （110，102），已知P （100≤X≤110）=0.34，估计该班学生数学成绩在120分以上的有 8 人． 4、（淄博市六中xx 届高三）在某项测量中，测量结果服从正态分布 ＞，若在（0，2）内取值的概率为0.7，则在内取值的概率为_______5、设随机变量服从正态分布，若，则的值为6、已知随机变量服从正态分布，且， ，若，, 则A ．0.1358B ．0.1359C ．0.2716D ．0.2718 7.假设某市今年高考考生成绩服从正态分布，现有2500名考生，据往年录取率可推测今年约有1000名高考考生考上一类大学，估计今年一类大学的录取分数线为 分．（其中）8、设两个正态分布和曲线如图所示,则有 （ ） A ．B ．C ．xy实用文档D ．9、随机变量服从正态分布，若，则 .10、某中学组织了一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为f (x )=(x ∈R )，则下列命题不正确．．．的是 （ ） A.这次考试的数学平均成绩为80分 B.这次考试的数学成绩标准差为10 C.分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同 D.分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同参考答案 一、定积分 1、解析：.2、答案：D 解析： ，第一象限3、A4、5、D6、A7、8、9、－10、 11、23 12、C 13、B二、正态分布1、解析：1(36)(95.44%68.26%)13.59%2P ξ<<=-=，答案选(B) 2、13、【解析】： 解：∵考试的成绩ξ服从正态分布N （110，102）． ∴考试的成绩ξ关于ξ=110对称， ∵P （100≤ξ≤110）=0.34，∴P （ξ≥120）=P （ξ≤100）=（1﹣0.34×2）=0.16， ∴该班数学成绩在120分以上的人数为0.16×50=8． 故答案为：8．4、0.355、6、B7、5258、A 【解析】显然，正态曲线越“瘦高”，表示取值越集中，越小。

第七节　二项分布与正态分布2019考纲考题考情1．条件概率(1)条件概率的定义设A ，B 为两个事件，且P (A )＞0，称P (B |A )＝为在事P (AB )P (A )件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率。

(2)条件概率的性质①条件概率具有一般概率的性质，即0≤P (B |A )≤1。

②如果B ，C 是两个互斥事件，则P ((B ∪C )|A )＝P (B |A )＋P (C |A )。

2．相互独立事件的概率(1)相互独立事件的定义及性质①定义：设A ，B 是两个事件，若P (AB )＝P (A )·P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立。

②性质：若事件A 与B 相互独立，那么A 与，与B ，与B A A 也都相互独立。

B (2)独立重复试验概率公式在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验，若用A i (i ＝1,2，…，n )表示第i 次试验结果，则P (A 1A 2A 3…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n )。

(3)二项分布的定义在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C p k (1－p )n －k ，k ＝k n0,1,2，…，n 。

此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率。

3．正态分布(1)正态曲线的定义函数φμ，σ(x )＝e ，x ∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞12πσ－0)为参数，称φμ，σ(x )的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线。

(2)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a ，b (a ＜b )，随机变量X 满足P (a ＜X ≤b )＝φμ，σ(x )d x ，则称随机变量X 服从正态分布，记作N (μ，σ2)。

b∫a (3)正态曲线的特点①曲线位于x 轴的上方，与x 轴不相交。

②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称。

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5.(2021·天津卷)甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一
方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局.已知每次活动中，甲、乙猜对的
概率分别为65和15，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影 2
响，则一次活动中，甲获胜的概率为____3____，3 次活动中，甲至少获胜 2 次 20
1 式，得 P(B|A)＝PP（（AAB））＝120＝14.
5
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法二 事件A包括的基本事件：(1，3)，(1，5)，(3，5)，(2，4)共4个. 事件AB发生的结果只有(2，4)一种情形，即n(AB)＝1. 故由古典概型概率 P(B|A)＝nn（（AAB））＝41.
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2.有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机
②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝__0_._9_5_4_5____；
③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝___0_.9_9_7__3___.
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常用结论
1.相互独立事件与互斥事件的区别 相互独立事件是指两个试验中，两个事件发生的概率互不影响，计算式为 P(AB)＝P(A)P(B)，互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计 算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
次数的概率分布.( √ )
(3)n 次独立重复试验要满足：①每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别 称为“成功”和“失败”；②每次试验“成功”的概率为 p，“失败”的概率
为 1－p；③各次试验是相互独立的.( √ )
(4)正态分布中的参数 μ 和 σ 完全确定了正态分布，参数 μ 是正态分布的期望，
2.若X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线关于直线x＝μ对称 和曲线与x轴之间的面积为1解题.

第8讲 二项分布与正态分布A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2011·湖北)如图，用K 、A1、A 2三类不同的元件连接成一个系统，当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为( )． A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.576解析 P ＝0.9×[1－(1－0.8)2]＝0.864. 答案 B2．(2011·广东)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )．A.34B.23C.35D.12解析 问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P 1＝12；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P 2＝12×12＝14.故甲队获得冠军的概率为P 1＋P 2＝34. 答案 A3．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是 ( )． A ．[0.4,1] B ．(0,0.4] C ．(0,0.6]D ．[0.6,1]解析 设事件A 发生的概率为p ，则C 14p (1－p )3≤C 24p 2(1－p )2，解得p ≥0.4，故选A.答案 A4．设随机变量X 服从正态分布N (2,9)，若P (X >c ＋1)＝P (X <c －1)，则c 等于( )． A ．1B ．2C ．3D ．4解析 ∵μ＝2，由正态分布的定义，知其函数图象关于x ＝2对称，于是c ＋1＋c －12＝2，∴c ＝2. 答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·台州二模)某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．解析 由已知条件第2个问题答错，第3、4个问题答对，记“问题回答正确”事件为A ，则P (A )＝0.8，P ＝P [](A ∪A －)A －AA ＝(1－P (A )] P (A ) P (A )＝0.128. 答案 0.1286．设随机变量X 服从正态分布N (0,1)，如果P (X ≤1)＝0.8413，则P (－1<X <0)＝________.解析 ∵P (X ≤1)＝0.841 3，∴P (X >1)＝1－P (X ≤1)＝1－0.841 3＝0.158 7. ∵X ～N (0,1)，∴μ＝0.∴P (X <－1)＝P (X >1)＝0.158 7，∴P (－1<X <1)＝1－P (X <－1)－P (X >1)＝0.682 6. ∴P (－1<X <0)＝12P (－1<X <1)＝0.341 3. 答案 0.341 3 三、解答题(共25分)7．(12分)设在一次数学考试中，某班学生的分数X ～N (110,202)，且知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数．解由题意得μ＝110，σ＝20，P(X≥90)＝P(X－110≥－20)＝P(X－μ≥－σ)，∵P(X－μ<－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ>σ)＝2P(X－μ<－σ)＋0.682 6＝1，∴P(X－μ<－σ)＝0.158 7，∴P(X≥90)＝1－P(X－μ<－σ)＝1－0.158 7＝0.841 3.∴54×0.841 3≈45(人)，即及格人数约为45人．∵P(X≥130)＝P(X－110≥20)＝P(X－μ≥σ)，∴P(X－μ≤－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ>σ)＝0.682 6＋2P(X－μ≥σ)＝1，∴P(X－μ≥σ)＝0.158 7.∴54×0.158 7≈9(人)，即130分以上的人数约为9人．8．(13分)(2012·重庆)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响．(1)求甲获胜的概率；(2)求投篮结束时甲的投球次数ξ的分布列与期望．解设A k，B k分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P(A k)＝13，P(B k)＝12(k＝1,2,3)．(1)记“甲获胜”为事件C，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P(C)＝P(A1)＋P(A1B1A2)＋P(A1B1A2B2A3)＝P(A1)＋P(A1)P(B1)P(A2)＋P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)P(A3)＝13＋23×12×13＋⎝⎛⎭⎪⎫232×⎝⎛⎭⎪⎫122×13＝13＋19＋127＝1327.(2)ξ的所有可能值为1,2,3由独立性，知P(ξ＝1)＝P(A1)＋P(A1B1)＝13＋23×12＝23，P (ξ＝2)＝P (A 1B 1A 2)＋P (A 1B 1A 2B 2) ＝23×12×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝29，P (ξ＝3)＝P ()A 1B 1 A 2 B 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝19. 综上知，ξ的分布列为从而E (ξ)＝1×23＋2×29＋3×19＝139(次)．B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2013·金华模拟)已知三个正态分布密度函数φi (x )＝12πσi ·e －(x －μi )22σ2i (x ∈R ，i ＝1,2,3)的图象如图所示，则( )．A ．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3B ．μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3C ．μ1＝μ2＜μ3，σ1＜σ2＝σ3D ．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3解析 正态分布密度函数φ2(x )和φ3(x )的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x )的对称轴的横坐标值比φ1(x )的对称轴的横坐标值大，故有μ1＜μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数φ1(x )和φ2(x )的图象一样“瘦高”，φ3(x )明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2＜σ3. 答案 D2．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是 ( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫125B ．C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫125C ．C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫123D ．C 25C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫125解析 由于质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，移动五次后位于点(2,3)，所以质点P 必须向右移动两次，向上移动三次，故其概率为 C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫123·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫125，故选B. 答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2013·湘潭二模)如果X ～B (20，p )，当p ＝12且P (X ＝k )取得最大值时，k ＝________.解析 当p ＝12时，P (X ＝k )＝C k 20⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1220－k ＝C k 20·⎝ ⎛⎭⎪⎫1220，显然当k ＝10时，P (X ＝k )取得最大值． 答案 104．(2013·九江一模)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小1球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入A 袋中的概率为________．解析 记“小球落入A 袋中”为事件A ，“小球落入B 袋中”为事件B ，则事件A 的对立事件为B ，若小球落入B 袋中，则小球必须一直向左落下或一直向右落下，故P (B )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝14，从而P (A )＝1－P (B )＝1－14＝34.答案 34三、解答题(共25分)5．(12分)(2012·湖南)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.(1)确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；(2)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．(注：将频率视为概率)解(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率得P(X＝1)＝15100＝320，P(X＝1.5)＝30100＝310，P(X＝2)＝25100＝14，P(X＝2.5)＝20100＝15，P(X＝3)＝10100＝110.X的分布列为X的数学期望为E(X)＝1×320＋1.5×310＋2×14＋2.5×15＋3×110＝1.9.(2)记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，X i(i＝1,2)为该顾客前面第i位顾客的结算时间，则P(A)＝P(X1＝1且X2＝1)＋P(X1＝1且X2＝1.5)＋P(X1＝1.5且X2＝1)．由于各顾客的结算相互独立，且X1，X2的分布列都与X的分布列相同，所以P(A)＝P(X1＝1)×P(X2＝1)＋P(X1＝1)×P(X2＝1.5)＋P(X1＝1.5)×P(X2＝1)＝320×320＋320×310＋310×320＝980.故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为9 80.6．(13分)(2012·山东)现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击． (1)求该射手恰好命中一次的概率；(2)求该射手的总得分X 的分布列及数学期望E (X )．解 (1)记：“该射手恰好命中一次”为事件A ，“该射手射击甲靶命中”为事件B ，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C ，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D .由题意，知P (B )＝34，P (C )＝P (D )＝23， 由于A ＝B C － D －＋B －C D －＋B － C －D ， 根据事件的独立性和互斥性，得 P (A )＝P (B C － D －＋B －C D －＋B － C －D ) ＝P (B C － D －)＋P (B －C D －)＋P (B － C －D )＝P (B )P (C －)P (D －)＋P (B －)P (C )P (D －)＋P (B －)P (C －)P (D )＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝736.(2)根据题意，知X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.根据事件的独立性和互斥性，得P (X ＝0)＝P (B － C － D －) ＝[1－P (B )][1－P (C )][1－P (D )] ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝136； P (X ＝1)＝P (B C － D －)＝P (B )P (C －)P (D －) ＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝112；P (X ＝2)＝P (B － C D －＋B － C － D )＝P (B － C D －)＋P (B － C －D )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝19； P (X ＝3)＝P (BC D －＋B C －D )＝P (BC D －)＋P (B C －D ) ＝34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝13； P (X ＝4)＝P (B －CD )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×23＝19，P (X ＝5)＝P (BCD )＝34×23×23＝13. 故X 的分布列为所以E (X )＝0×136＋1×112＋2×19＋3×13＋4×19＋5×13＝4112.。