二项分布
1. n次独立重复试验
—般地，由n次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A与A，每次试验中P(A) p 0。我们将这样的试验称为n次独立重复试验，也称为伯努利试验。
(1)独立重复试验满足的条件第一：每次试验是在同样条件下进行的；第二：各次试验中的事件是互相独立的；第三：每次试验都只有两种结果。
(2)n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率P(X k) CnP k(1 卩)小。
2. 二项分布
若随机变量X的分布列为P(X k) C：p k q nk,其中0 p 1p q 1k 0,1,2L,n,则称X 服从参数为n, p的二项分布，记作X : B(n, p)。
1. 一盒零件中有9个正品和3个次品，每次取一个零件，如果取出的次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数X的概率分布。
2. 一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是-.
3
(1) 设为这名学生在途中遇到红灯的次数，求的分布列；
(2) 设为这名学生在首次停车前经过的路口数，求的分布列；
(3) 求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.
3. 甲乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为丄，乙每次击
2
中目标的概率为-.
3
(1)记甲击中目标的此时为，求的分布列及数学期望；
(2)求乙至多击中目标2次的概率；
(3)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率.
【巩固练习】
1. (2012年高考(浙江理))已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出
一个白球的2分,取出一个黑球的1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出3球所得分数之和.
(I )求X的分布列；
(II)求X的数学期望E(X).
2. (2012年高考(重庆理))(本小题满分13分,(I )小问5分,(II)
小问8分.)
甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获
胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为丄，乙每次投篮投中的概率为丄，且各次投篮互不
3 2
影响.
(I )求甲获胜的概率；
(I )求投篮结束时甲的投篮次数的分布列与期望
3. 设篮球队A与B进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜
4场则比赛宣告结束’假定A,B在每场比赛中获胜的概率都是2 , 试求需要比赛场数的期望.
3. (2012年高考(辽宁理))电视传媒公司为了了解某地区电视观众
对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查
下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频
率分布直方图；
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.
(I )根据已知条件完成下面的2 2列联表，并据此资料你是否认
为“体育迷”与性别
(n)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽
样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列, 期望E(X)和方差D(X).
5. (2007陕西理)某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为F、2，且各轮问题能
5 5 5
否正确回答互不影响. (I)求该选手被淘汰的概率；(H)
该选手在选拔中回答问题的个数记为 E ,求随机变量E的分布列与数数期
望.(注：本小题结果可用分数表示)
6. 一批产品共10件，其中7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件，在下述三种情况下，分别求直至取得正品时所需次数的
概率分别布.
(1)每次取出的产品不再放回去；
(2)每次取出的产品仍放回去；
(3)每次取出一件次品后，总是另取一件正品放回到这批产品中.
7. (2007?山东)设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用
随机变量E表示方程x2+bx+c=0实根的个数(重根按一个计).
(I) 求方程x2+bx+c=0有实根的概率；
(II) 求E的分布列和数学期望；
8. (本题满分12分)某商场为吸引顾客消费推出一项优
活动.活动规则如下：消费额每满100元可转动如
图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假V- 一
y
定指针等可能地停在任一位置.若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券.例如：消费218元, 可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和.
(I )若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；
(II )若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X (元),求随机变量X的分布列和数学期望.
9.
（本题满分12分）中国黄石第三届国际矿冶文化旅游节将于 2012
年8月20日在黄石铁山举行，为了搞好接待工作，组委会准备在湖 北理工学院和湖北师范学院分别招募 8名和12名志愿者，将这20名 志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm ）
若身高在175cm 以上（包括175cm ）定义为“高个子”，身高在 175cm 以下（不包括175cm ）定义为“非高个子”，且只有湖北师范学 院的“高个子”才能担任“兼职导游”。
（1） 根据志愿者的身高编茎叶图指 出湖北师范学院志愿者身高的中位数；
（2） 如果用分层抽样的方法从“高 个子”和“非高个子”中抽取5人，再从 这5人中选2人，那么至少有一人是“高 个子”的概率是多少？
（3） 若从所有“高个子”中选 3名 志愿者，用 表示所选志愿者中能担任“兼 职导游”的人数，试写出 的分布列，并求 10.
某产品按行业生产标准分成 8 个等级，等级系
数 X 依次为
1,2,……,8,其中X A5为标准A , X A3为标准
B ，已知甲厂执行标 准 A 生产该产品，产品的零售价为 6 元 /件；乙厂执行标准 B 生产该 产品,产品的零售价为 4 元/件,假定甲、乙两厂得产品都符合相应 的执行标准
(I )已知甲厂产品的等级系数 X i 的概率分布列如
下所示：
x
1
5 6 7 8 P
0．4
a
b
0．i
湖北理工学院
湖北师范学院
9 15 8 9
9 16 1 2 5 8 9 6 5
0 17 3 4 6 7 2 18 0 1
1
19
的数学期望 。
