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2019年高中数学单元测试卷
立体几何初步
学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________
一、选择题
1．已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD 的体积的最大值为
A B
C ．
D 全国I 文 2．1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( ) (A)12l l ⊥，23l l ⊥13l l ⇒ （B ）12l l ⊥，23l l ⇒13l l ⊥
(C)233l l l ⇒ 1l ，2l ，3l 共面 （D ）1l ，2l ，3l 共点⇒1l ，2l ，3l 共面(2011年高考四川卷理科3)
3．空间两直线平行是指它们--------------------------------------------------（ ）
(A)无交点 (B)共面且无交点 (C)和同一直线垂直 (D)以上都不对 二、填空题
4．已知α，β是不重合的两个平面，则下列条件中，可推出α∥β的是_______(填序号) . ①,l m 是α内的两条直线且∥β，m ∥β； ②α内有不共线的三点到β的距离相等； ③α，β都与直线成等角； ④,l m 是异面直线且∥α，m ∥α，∥β，m ∥β. 5． 四棱锥P - ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥底面ABCD 且PA = 4，则PC 与底面ABCD 所成角的正切值为 ▲ ．
6．已知正四棱柱ABCD - A 1B 1C 1D 1的对角线AC 1AC 1与底面所成角的余弦
，则该正四棱柱的体积为 ▲ ．
（第9题）
7． 用长、宽分别是12与8的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则圆柱的体积为 ． 8．设 ， 为两不同直线及平面，给出下列四个命题：
①若 ，
，则
； ②若
，
，则
； ③若
， 与 相交，则 与 也相交；④若 与 异面，
，则
．
其中正确命题的序号是__________；
9． 如图，直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB=90°，AC=1， CB=2，侧棱AA 1=1，侧面AA 1B 1B 的两条对角线交点为D ，B 1C 1的中点为M 。求证CD ⊥平面BDM 。
10．如图,某地质队自水平地面A ,B ,C 三处垂直向地下钻探,自A 点向下钻到A 1处发现矿藏,再继续下钻到A 2处后下面已无矿,从而得到在A 处正下方的矿层厚度为121A A d =.同样可得在
B ,
C 处正下方的矿层厚度分别为122B B d =,123C C d =,且123d d d <<. 过AB ,AC 的中点M ,N 且与直线2AA 平行的平面截多面体111222A B C A B C -所得的截面DEFG 为该多面体的一
个中截面,其面积记为S 中. (Ⅰ)证明:中截面DEFG 是梯形;
(Ⅱ)在△ABC 中,记BC a =,BC 边上的高为h ,面积为S . 在估测三角形ABC 区域内正下方的矿藏储量(即多面体111222A B C A B C -的体积V )时,可用近似公式V S h =⋅估中来估算. 已知
1231
()3V d d d S =++,试判断V 估与V 的大小关系,并加以证明. （2013年高考湖北卷
（文））
11．在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中,异面直线1A B 与1B C 所成角的大小为_______（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）
12．已知正四棱锥的底面边长为23，侧棱长为5，则此四棱锥的体积是 ▲ ;
13．设,b c 表示两条直线，,αβ表示两个平面，现给出下列命题：
① 若,//b c αα⊂，则//b c ； ② 若,//b b c α⊂，则//c α； ③ 若//,c ααβ⊥，则c β⊥； ④ 若//,c c αβ⊥，则αβ⊥． 其中正确的命题是___▲______．（写出所有正确命题的序号）
14．给出下列命题：
（1）若直线a 在平面α外，则直线a 与平面α没有公共点；
（2）两个平面平行的充分条件是其中一个平面内有无数条直线平行于另一个平面； （3）设a 、b 、c 是同一平面内三条不同的直线，若a ⊥b ，a ⊥c ，则b ∥c ; （4）垂直于同一平面的两个平面平行；
（5）若,a b 为异面直线，则过不在,a b 上的任一点，可作一个平面与,a b 都平行． 上面命题中，真命题．．．的序号是 ．
15．设b a ,是两条不同直线，,αβ是两个不同平面，给出下列四个命题：
5 1 1 2 4 4
6 7
2
3 第6题
D 1 C 1
B 1
A 1
D C A
B 第20题图
①若,,a b a α⊥⊥b α⊄，则//b α； ②若//,a ααβ⊥，则a β⊥； ③若,a βαβ⊥⊥，则//a α或a α⊂； ④若,,a b a b αβ⊥⊥⊥则αβ⊥． 其中正确的命题是 ▲ （请把所有正确命题的序号都填上）．
16．己知点E 、F 分别在正方体ABCD -A 1B 2C 3D 4的棱BB 1 、CC 1上，且B 1E =2EB, CF=2FC 1，则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 . (2011年高考全国卷理科16)
17．如图是一个正方体的展开图，图中的四条线段,,AB CD EF 和GH 在原正方体中互相异面的有________对。
H
G
A
E
B
C D
F
18．已知正四棱锥的高为4cm ，一个侧面三角形的面积是15cm 2
，则该四棱锥的体积是____________cm 3
．
三、解答题
19．（本小题满分15分）
如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中， CC 1⊥底面ABC ，AC =BC ，M ，N 分别是CC 1，AB 的中点．
