【精选8套高考试卷】2019版高中数学导学案

2019-2020年高考数学 导数及其应用导学案 新人教版一、考纲解读（1）了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）；（2）了解函数在某点取得极值域的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）。

（3）会利用导数解决某些实际问题。

二、知识梳理1、函数的单调性与导数在某个区间（a,b ）内，如果，那么函数在这个区间内_______________；如果，那么函数在这个区间内_____________。

如果，那么函数在这个区间上是__________。

注：函数在（a,b ）内单调递增，则，是在（a,b ）内单调递增的充分不必要条件。

2、函数的极值与导数（1）曲线在极值点处切线的斜率为0，并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正．一般地，当函数 f(x) 在点 x 0 处连续时，判断 f(x 0) 是极大（小）值的方法是：（1）如果在 x 0附近的左侧 f’(x)>0 ，右侧f’(x ) <0 ，那么 f(x 0) 是_________（2）如果在x 0附近的左侧 f’(x) <0 ，右侧f’(x) >0 ，那么f(x 0) 是________注：导数为0的点不一定是极值点3、函数的最值与导数函数f(x)在[a,b]上有最值的条件，如果在区间[a,b]上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有_________________________。

4、生活中的优化问题解决优化问题的基本思路是:优化问题用函数表示的数学问题用导数解决函数问题优化问题答案三、典例精析典例一、函数的单调性与导数例1．设函数f(x)= 3223(1)1, 1.x a x a --+≥其中（Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）讨论f(x)的极值。

第1讲函数的图象与性质【课前热身】第1讲函数的图象与性质(本讲对应学生用书第27~28页)1.(必修1 P28例6改编)画出函数f(x)=x2+1的图象，若0<x1<x2，则f(x1)f(x2).【答案】<【解析】作出函数图象，不难得出结论.2.(必修1 P25复习题3改编)已知函数f(x)=(x-1)2+1，x∈{-1，0，1，2，3}，则函数f(x)的值域为. 【答案】{1，2，5}【解析】分别代入，即可求得.3.(必修1 P40练习2改编)已知函数f(x)=|x+1|，则函数f(x)的单调增区间为.【答案】[-1，+∞)4.(必修1 P45思考11改编)已知函数y=f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=1，则函数y=f(x)的解析式为.【答案】f(x)=10 00 -10xxx>⎧⎪=⎨⎪<⎩，，，，，【解析】由于y=f(x)是R上的奇函数，所以f(0)=0.当x<0时，-x>0，所以f(-x)=1=-f(x)，即f(x)=-1，所以f(x)=10 00 -10.xxx>⎧⎪=⎨⎪<⎩，，，，，5.(必修1 P53拓展15改编)若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，则函数f(x)是函数.(填“奇”或“偶”) 【答案】奇【解析】令x=y=0，得f(0)=0，再令y=-x，得f(-x)=-f(x)，所以函数f(x)是奇函数.【课堂导学】基本初等函数的图象与性质例1(1)已知y=log a(2-ax)在[0，1]上是关于x的减函数，则实数a的取值范围是.(2)(2019·通州中学)若存在正数x使得2x(x-a)<1成立，则实数a的取值范围是.(3)(2019·天津卷)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数，记a=f(log0.53)，b=f(log25)，c=f(2m)，则a，b，c的大小关系为.【答案】(1)(1，2)(2)(-1，+∞)(3)c<a<b【解析】(1)令u=2-ax，因为a>0，所以u=-ax+2为减函数.又y=log a u在[0，1]上是x的减函数，根据复合函数“同增异减”的法则，可知a>1.又u>0在[0，1]上恒成立，故u(1)=2-a>0 a<2，所以1<a<2.(2)因为2x>0，所以由2x(x-a)<1得x-a<12x=2-x，在平面直角坐标系中，作出函数f(x)=x-a，g(x)=2-x的图象如图所示.(例1(2))当x>0时，g (x )=2-x <1，所以如果存在x>0，使2x (x-a )<1，则有-a<1，即a>-1.(3)因为函数f (x )=2|x-m|-1为偶函数，所以m=0，即f (x )=2|x|-1，所以a=f (log 0.53)=f 21log 3⎛⎫ ⎪⎝⎭=21log 32-1=2log 32-1=3-1=2，b=f (log 25)=2log 52-1=4，c=f (2m )=f (0)=20-1=0，所以c<a<b.变式1 (1)(2019·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)已知函数f (x )=log a (x+b )(a>0且a ≠1，b ∈R )的图象如图(1)所示，则a+b 的值是 .(2)(2019·常州一中)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，+∞)上单调递增.若实数a 满足f (log 2a )+f (lo12g a )≤2f (1)，则a 的取值范围是.(3)(2019·金陵中学)已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )=x 2-4x ，那么不等式f (x+2)<5的解集是.(变式1(1))【答案】(1)92 (2)122⎡⎤⎢⎥⎣⎦， (3)(-7，3) 【解析】(1)由图象可知，函数图象过点(-3，0)，(0，-2)，所以0log (-3)-2log a a b b =+⎧⎨=⎩，，解得124a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，，故a+b=92.(2)根据对数的运算性质和函数的奇偶性可知f (lo12g a )=f (-log 2a )=f (log 2a )，因此f (log 2a )+f (lo12g a )≤2f (1)可化为f (log 2a )≤f (1).又因为函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，+∞)上单调递增，故|log 2a|≤1，解得12≤a ≤2.(3)设x<0，则-x>0. 当x ≥0时，f (x )=x 2-4x ， 所以f (-x )=(-x )2-4(-x ).因为f (x )是定义在R 上的偶函数，得f (-x )=f (x )， 所以f (x )=x 2+4x (x<0)，故f (x )=22-4040.x x x x x x ⎧≥⎨+<⎩，，，由f (x )=5，得2-450x x x ⎧=⎨≥⎩，或2450x x x ⎧+=⎨<⎩，，解得x=5或x=-5.(变式1(3))观察图象可知由f (x )<5，得-5<x<5. 所以由f (x+2)<5，得-5<x+2<5，所以-7<x<3. 故不等式f (x+2)<5的解集是{x|-7<x<3}.变式2 (2019·海门中学)已知函数f (x )=x 2-2ax+5(a>1). (1)若f (x )的定义域和值域均是[1，a ]，求实数a 的值；(2)若f (x )在区间(-∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a+1]，总有|f (x 1)-f (x 2)|≤4，求实数a 的取值范围.【解答】(1)因为f (x )=(x-a )2+5-a 2(a>1)， 所以f (x )在[1，a ]上是减函数. 又定义域和值域均为[1，a ]，所以(1)()1f a f a =⎧⎨=⎩，，即221-25-251a a a a +=⎧⎨+=⎩，，解得a=2.(2)因为f (x )在区间(-∞，2]上是减函数，所以a ≥2. 又x=a ∈[1，a+1]，且(a+1)-a ≤a-1， 所以f (x )max =f (1)=6-2a ，f (x )min =f (a )=5-a 2.因为对任意的x 1，x 2∈[1，a+1]，总有|f (x 1)-f (x 2)|≤4， 所以f (x )max -f (x )min ≤4，得-1≤a ≤3.又a ≥2， 所以2≤a ≤3.所以实数a 的取值范围为[2，3].函数图象的识别与应用例2 (2019·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (-x )=2-f (x )，若函数y=1x x +与y=f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则1mi ∑=(x i +y i )= .【点拨】注意函数关于点(0，1)对称. 【答案】m【解析】由f (-x )=2-f (x )，得f (x )的图象关于点(0，1)对称.因为y=1x x +=1+1x 的图象也关于点(0，1)对称，所以两函数图象的交点必关于点(0，1)对称，且对于每一组对称点(x i ，y i )和(x'i ，y'i )均满足x i +x'i =0，y i +y'i =2，所以1mi ∑=(x i +y i )=1mi ∑=x i +1mi ∑=y i =0+2·2m=m.变式 (2019·扬州期末)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )=12(|x-a|+|x-2a|-3|a|).若集合{x|f (x-1)-f (x )>0，x ∈R }=∅，则实数a 的取值范围为.(变式)【答案】1-6∞⎛⎤ ⎥⎝⎦， 【解析】当a ≤0时，由x ≥0得f (x )=12(x-a+x-2a+3a )=x ，因为f (x )是奇函数，所以f (x )=x ，此时f (x-1)=x-1，f (x-1)-f (x )=-1>0无解，满足题意；当a>0时，当x ≥0时，f (x )=-32-2-0x a x a a a x a x x a ≥⎧⎪<<⎨⎪≤≤⎩，，，，，，根据f (x )是奇函数，从而作出f (x )的图象如图所示，要使{x|f (x-1)-f (x )>0，x ∈R }=∅，则至少要将f (x )的图象向右平移6a 个单位，故0<6a ≤1，此时0<a ≤16.综上，实数a 的取值范围是1-6∞⎛⎤ ⎥⎝⎦，.函数的零点问题例3 (2019·海门中学)设函数f (x )在(-∞，+∞)上满足f (2-x )=f (2+x )，f (7-x )=f (7+x )，且在闭区间[0，7]上只有f (1)=f (3)=0.(1)试判断函数y=f (x )的奇偶性；(2)试求方程f (x )=0在闭区间[-2 015，2 015]上的根的个数，并证明你的结论.【解答】(1)因为f (1)=0，且f (x )在[0，7]上只有f (1)=f (3)=0，又因为f (2-x )=f (2+x )，令x=-3，得f (-1)=f (5)≠0，所以f (-1)≠f (1)，且f (-1)≠-f (1).所以f (x )是非奇非偶函数.(2)f (10+x )=f (2+8+x )=f (2-(8+x ))=f (-6-x )=f (7-(13+x ))=f (7+13+x )=f (20+x )，所以f (x )是以10为周期的周期函数. 又由f (x )的图象关于直线x=7对称知， f (x )=0在(0，10]上有两个根，则f (x )=0在(0，2 015]上有202×2=404个根； 在[-2 015，0]上有201×2=402个根.因此，方程f (x )=0在闭区间[-2 015，2 015]上共有806个根.变式 (2019·天津卷)已知函数f (x )=22-||2(-2)2x x x x ≤⎧⎨>⎩，，，，函数g (x )=b-f (2-x )，其中b ∈R ，若函数y=f (x )-g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是 .【答案】724⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】由f (x )=22-||2(-2)2x x x x ≤⎧⎨>⎩，，，，得f (2-x )=22-|2-|00x x x x ≥⎧⎨<⎩，，，，所以y=f (x )+f (2-x )=222-||04-||-|2-|022-|2-|(-2)2x x x x x x x x x ⎧+<⎪≤≤⎨⎪+>⎩，，，，，，即y=f (x )+f (2-x )=2220202-58 2.x x x x x x x ⎧++<⎪≤≤⎨⎪+>⎩，，，，，y=f (x )-g (x )=f (x )+f (2-x )-b ，所以y=f (x )-g (x )恰有4个零点等价于方程f (x )+f (2-x )-b=0有4个不同的解，即函数y=b 与函数y=f (x )+f (2-x )的图象有4个公共点，作出函数图象如图所示，由图象可知74<b<2.(变式)【课堂评价】1.(2019·苏州期末)函数f (x )=220-10x x x x ⎧≤⎨+>⎩，，，的值域为 .【答案】(-∞，1]【解析】如图，分段画出f (x )的图象即可看出函数的值域为(-∞，1].(第1题)2.(2019·四川卷)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f (x )=4x ，则f 5-2⎛⎫ ⎪⎝⎭+f (1)= .【答案】-2【解析】因为f (x )是周期为2的函数，所以f (x )=f (x+2).因为f (x )是奇函数，所以f (x )=-f (-x )，所以f (1)=f (-1)，f (1)=-f (-1)，即f (1)=0.又f 5-2⎛⎫ ⎪⎝⎭=f 1-2⎛⎫ ⎪⎝⎭=-f 12⎛⎫ ⎪⎝⎭，f 12⎛⎫ ⎪⎝⎭=124=2，所以f 5-2⎛⎫⎪⎝⎭=-2，从而f 5-2⎛⎫ ⎪⎝⎭+f (1)=-2.3.(2019·北京卷)设函数f (x )=3-3-2.x x x a x x a ⎧≤⎨>⎩，，，①若a=0，则f (x )的最大值为 ；②若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是 .【答案】①2 ②(-∞，-1)【解析】由(x 3-3x )'=3x 2-3=0，得x=±1，作出函数y=x 3-3x 和y=-2x 的图象如图所示.①当a=0时，由图象可得f (x )的最大值为f (-1)=2.②由图象可知当a ≥-1时，函数f (x )有最大值；当a<-1时，y=-2x 在x>a 时无最大值，且-2a>a 3-3a ，所以a<-1.(第3题)4.(2019·苏锡常镇调研(二))已知函数f (x )=x 3+2x ，若f (1)+f (lo 1g a 3)>0(a>0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是 .【答案】(0，1)∪(3，+∞)【解析】由函数f (x )的解析式易知该函数为奇函数且在定义域R 上是单调增函数，故f (1)+f (lo 1g a 3)>0，即f (lo 1g a 3)>-f (1)=f (-1)，即lo 1g a 3>-1=lo 1g a a ，所以113a a ⎧>⎪⎨⎪>⎩，或1013a a ⎧<<⎪⎨⎪<⎩，，解得0<a<1或a>3.5.(2019·苏锡常镇二模)已知函数f (x )=|x 3-4x|+ax-2恰有两个零点，那么实数a 的取值范围为.(第5题)【答案】(-∞，-1)∪(1，+∞)【解析】令f (x )=0，即|x 3-4x|=2-ax.作出函数y=|x 3-4x|与y=2-ax 的图象如图所示.由题意知两个函数图象有且仅有两个公共点，数形结合，当直线y=2-ax过点(-2，0)时，a=-1，直线为y=2+x，与y=x3-4x联立，解得x=-2，1-a>1，即a<-1.根据图象左右对称的性质知a>1也满足题意，所以a的取值范围为(-∞，-1)∪(1，+∞).温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第13~14页.【检测与评估】专题四函数与导数第1讲函数的图象与性质一、填空题1.(2019·南京一中)若函数f(x)=(m2-m-1)2-2-1m mx是幂函数，且在x∈(0，+∞)上是减函数，则实数m= .2.(2019·苏州调研)已知函数y=log2-1a xx+为奇函数，则实数a的值为.3.(2019·南师附中)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x)，且在[0，2]上，f(x)=(1-)01sinπ12x x xx x≤≤⎧⎨<≤⎩，，，，那么f294⎛⎫⎪⎝⎭+f416⎛⎫⎪⎝⎭= .4.(2019·山东卷)已知函数f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)=x3-1；当-1≤x≤1时，f(-x)=-f(x)；当x>1 2时，f12x⎛⎫+⎪⎝⎭=f1-2x⎛⎫⎪⎝⎭，则f(6)= .5.(2019·天津卷)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(-∞，0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(，则a的取值范围是.6.(2019·苏北四市期末)已知定义在R上的奇函数f(x)满足当x≥0时，f(x)=log2(2+x)+(a-1)x+b(a，b为常数).若f(2)=-1，则f(-6)的值为.7.(2019·江苏信息卷)设偶函数f(x)满足f(x)=3x-9(x≥0)，若f(x-1)<0，则x的取值范围是.8.(2019·苏州期末)已知函数f(x)=244-3.x mx x x m≥⎧⎨+<⎩，，，若函数g(x)=f(x)-2x恰有3个不同的零点，则实数m的取值范围是.二、解答题9.(2019·海安中学)已知函数y=f(x)在定义域[-1，1]上既是奇函数又是减函数.(1)求证：对任意x1，x2∈[-1，1]，有[f(x1)+f(x2)]·(x1+x2)≤0；(2)若f(1-a)+f(1-a2)<0，求实数a的取值范围.10.(2019·苏州中学)已知函数f(x)=ax2+bx(a，b为常数，且a≠0)满足条件f(1-x)=f(1+x)，且函数g(x)=f(x)-x只有一个零点.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求实数m，n(m<n)，使得f(x)的定义域为[m，n]时，f(x)的取值范围是[3m，3n].11.(2019·启东检测)已知函数f(x)=x2-1，g(x)=a|x-1|.(1)若当x∈R时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(2)求函数h(x)=|f(x)|+g(x)在区间[-2，2]上的最大值.【检测与评估答案】专题四函数与导数第1讲函数的图象与性质一、填空题1. 2【解析】由题设条件及幂函数的定义知22--11-2-10m mm m⎧=⎨<⎩，　①，　②由①解得m=2或m=-1，代入②验证知m=-1不合题意，故m=2.2. 1【解析】方法一：由f(0)=0，得log2a=0，所以a=1，经检验符合题意.方法二：由f(x)是奇函数，得f(x)=-f(-x)，log2-1a xx+=-log21-a xx+，所以-1a xx+=1-xa x+，所以a2=1.因为a≠-1，所以a=1.3.516【解析】由f(x+4)=f(x)，可得函数的周期是4，所以f294⎛⎫⎪⎝⎭=f38-4⎛⎫⎪⎝⎭=f3-4⎛⎫⎪⎝⎭.因为f(x)是奇函数，所以f3-4⎛⎫⎪⎝⎭=-f34⎛⎫⎪⎝⎭=-34×14=-316，f416⎛⎫⎪⎝⎭=f78-6⎛⎫⎪⎝⎭=f7-6⎛⎫⎪⎝⎭=-f76⎛⎫⎪⎝⎭=-sin7π6=sinπ6=12，所以f294⎛⎫⎪⎝⎭+f416⎛⎫⎪⎝⎭=12-316=516.4. 2【解析】因为当x>12时，f12x⎛⎫+⎪⎝⎭=f1-2x⎛⎫⎪⎝⎭，所以f(x)的周期为1，则f(6)=f(1).因为当-1≤x≤1时，f(-x)=-f(x)，所以f(1)=-f(-1).又当x<0时，f(x)=x3-1，所以f(-1)=(-1)3-1=-2，所以f(6)=-f(-1)=2.5.1322⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】由f(x)是偶函数，且f(x)在区间(-∞，0)上单调递增，得f(x)在区间(0，+∞)上单调递减.又f(2|a-1|)>f(，f(-=f，所以2|a-1|即|a-1|<12，所以12<a<32.6. 4【解析】由题意得f(0)=0，所以log22+b=0，所以b=-1，f(x)=log2(2+x)+(a-1)x-1，又因为f(2)=-1，所以log2(2+2)+2(a-1)-1=-1，解得a=0，f(x)=log2(2+x)-x-1，f(-6)=-f(6)=-[log2(2+6)-6-1]=4.7. (-1，3)【解析】方法一：偶函数f(x)在[0，+∞)上是单调增函数，且f(2)=0，所以由f(x-1)<0，得f(|x-1|)<f(2)，即|x-1|<2，解得x∈(-1，3).方法二：根据题意，当x≥0时，f(x)=3x-9，令f(x)=3x-9<0，解得0≤x<2.又因为f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于y轴对称，所以不等式f(x)<0在x∈R的解集为(-2，2)，因此不等式f(x-1)<0等价为x-1∈(-2，2)，解得x∈(-1，3).8. (1，2]【解析】方法一：问题转化为g(x)=0，即方程f(x)=2x有3个不同的解，即24-32 x mx x x<⎧⎨+=⎩，或42x mx≥⎧⎨=⎩，，解得1x mx<⎧⎨=⎩，或-3x mx<⎧⎨=⎩，或2.x mx≥⎧⎨=⎩，因为方程f(x)=2x有3个不同的解，所以21-3mmm≥⎧⎪<⎨⎪<⎩，，，解得1<m≤2.(第8题)方法二：由题意知函数g (x )=24-22-3x x m x x x m ≥⎧⎨+<⎩，，，，画出函数y=4-2x 和y=x 2+2x-3的图象如图所示，可知函数g (x )的三个零点为-3，1，2，因此可判断m 在1与2之间.当m=1时，图象不含点(1，0)，不合题意；当m=2时，图象包含点(2，0)，符合题意，所以1<m ≤2.二、 解答题9. (1) 若x 1+x 2=0，显然不等式成立. 若x 1+x 2<0，则-1≤x 1<-x 2≤1，因为f (x )在[-1，1]上是减函数且为奇函数， 所以f (x 1)>f (-x 2)=-f (x 2)，所以f (x 1)+f (x 2)>0， 所以[f (x 1)+f (x 2)](x 1+x 2)<0成立. 若x 1+x 2>0，则1≥x 1>-x 2≥-1， 同理可证f (x 1)+f (x 2)<0. 所以[f (x 1)+f (x 2)](x 1+x 2)<0成立.综上，对任意x 1，x 2∈[-1，1]，有[f (x 1)+f (x 2)]·(x 1+x 2)≤0恒成立. (2) 因为f (1-a )+f (1-a 2)<0， 所以f (1-a 2)<-f (1-a )=f (a-1)， 由f (x )在定义域[-1，1]上是减函数，得22-11-1-1-111--1a a a a ⎧≤≤⎪≤≤⎨⎪>⎩，，，即220202-20a a a a ⎧≤≤⎪≤≤⎨⎪+<⎩，，，解得0≤a<1.故所求实数a 的取值范围是[0，1).10. (1) 因为二次函数f(x)=ax2+bx满足条件f(1-x)=f(1+x)，所以函数f(x)图象的对称轴是直线x=1，所以-2ba=1，即b=-2a.因为函数g(x)=f(x)-x只有一个零点，即ax2-(2a+1)x=0有相等的实数根，所以Δ=(2a+1)2=0，即a=-12，b=1.所以f(x)=-12x2+x.(2) ①当m<n<1时，f(x)在[m，n]上单调递增，f(m)=3m，f(n)=3n，所以m，n是-12x2+x=3x的两个根，解得m=-4，n=0.②当m≤1≤n时，3m=12，m=16，3n=-12n2+n，解得n=0或-14，不符合题意.③当1<m<n时，f(x)在[m，n]上单调递减，所以f(m)=3n，f(n)=3m，即-12m2+m=3n，-12n2+n=3m.相减得-12(m2-n2)+(m-n)=3(n-m).因为m≠n，所以-12(m+n)+1=-3，所以m+n=8.将n=8-m代入-12m2+m=3n，得-12m2+m=3(8-m)，但此方程无解.综上，满足条件的m=-4，n=0.11. (1) 不等式f (x )≥g (x )对x ∈R 恒成立， 即x 2-1≥a|x-1|(*)对x ∈R 恒成立.①当x=1时，(*)式显然成立，此时a ∈R .②当x ≠1时，(*)式可变形为a ≤2-1|-1|x x ， 令φ(x )=2-1|-1|x x =11-(1)1x x x x +>⎧⎨+<⎩，，，，因为当x>1时，φ(x )>2，当x<1时，φ(x )>-2， 所以φ(x )>-2，故此时a ≤-2.综合①②知所求实数a 的取值范围是{a|a ≤-2}.(2) 因为h (x )=|f (x )|+g (x )=|x 2-1|+a|x-1|=222--11--1-11--1-1.x ax a x x ax a x x ax a x ⎧+≥⎪++≤<⎨⎪+<⎩，，，，，①当2a>1，即a>2时，结合图形可知h (x )在[-2，1]上单调递减，在(1，2]上单调递增，且h (-2)=3a+3，h (2)=a+3，经比较，此时h (x )在[-2，2]上的最大值为3a+3.②当0≤2a ≤1，即0≤a ≤2时，结合图形可知h (x )在[-2，-1]，-12a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，在-1-2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，(1，2]上单调递增，且h (-2)=3a+3，h (2)=a+3，h -2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=24a +a+1，经比较，知此时h (x )在[-2，2]上的最大值为3a+3.③当-1≤2a <0，即-2≤a<0时，结合图形可知h (x )在[-2，-1]，-12a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，在-1-2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，(1，2]上单调递增，且h (-2)=3a+3，h (2)=a+3，h -2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=24a +a+1，经比较，知此时h (x )在[-2，2]上的最大值为a+3.④当-32≤2a <-1，即-3≤a<-2时，结合图形可知h (x )在-22a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，1-2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，在12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，-22a ⎛⎤⎥⎝⎦，上单调递增，且h (-2)=3a+3<0，h (1)=0，h (2)=a+3≥0，经比较，知此时h (x )在[-2，2]上的最大值为a+3.⑤当2a <-32，即a<-3时，结合图形可知h (x )在-22a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，1-2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，在12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，-22a ⎛⎤⎥⎝⎦，上单调递增，h (-2)=3a+3<0，h (2)=a+3<0，h (1)=0，故此时h (x )在[-2，2]上的最大值为h (1)=0.综上所述，当a ≥0时，h (x )在[-2，2]上的最大值为3a+3； 当-3≤a<0时，h (x )在[-2，2]上的最大值为a+3； 当a<-3时，h (x )在[-2，2]上的最大值为0.。

第2讲 导数及其应用【课前热身】第2讲 导数及其应用(本讲对应学生用书第33~34页)1.(选修1-1 P82练习3改编)函数f (x )=1x 的图象在点122⎛⎫ ⎪⎝⎭，处的切线方程为 .【答案】y=-14x+1【解析】因为f'(x )=-21x ，所以f'(2)=-14，所以切线方程为y-12=-14(x-2)，即y=-14x+1.2.(选修1-1 P87练习1改编)函数y=x-x 3的单调增区间为 .【答案】3333⎛ ⎝⎭， 【解析】由y'=1-3x 2，令y'=1-3x 2>0，可得-33<x<33，所以函数的单调增区间为3333⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，.3.(选修1-1 P89习题4改编)函数y=x-ln x ，x ∈(0，2)的极小值为 . 【答案】1【解析】因为y'=1-1x ，令y'=1-1x =0，得x=1，易知当x=1时，函数有极小值1.4.(选修1-1 P90例2改编)函数f (x )=12x+sin x 在区间[0，2π]上的最大值为 .【答案】π【解析】由题意知f'(x)=12+cos x，令f'(x)=0，解得x1=2π3，x2=4π3，又f2π3⎛⎫⎪⎝⎭=π3+32<f(2π)=π，故函数f(x)=12x+sin x的最大值为f(2π)=π.5.(选修1-1 P91练习5改编)已知函数y=e x-x，x∈(0，1]，则函数的值域为.【答案】(1，e-1]【解析】由题设得y'=e x-1，因为x∈(0，1]，所以y'>0，所以函数在x∈(0，1]上是增函数.又x=0时，y=1；x=1时，y=e-1，所以函数y=e x-x，x∈(0，1]的值域为(1，e-1].【课堂导学】导数的几何意义例1(2019·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)=(x+1)ln x-a(x-1).(1)当a=4时，求曲线y=f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)若当x∈(1，+∞)时，f(x)>0，求实数a的取值范围.【解答】(1)f(x)的定义域为(0，+∞).当a=4时，f(x)=(x+1)ln x-4(x-1)，f'(x)=ln x+1x-3，f'(1)=-2，f(1)=0，故曲线y=f(x)在(1，f(1))处的切线方程为2x+y-2=0.(2)当x∈(1，+∞)时，f(x)>0等价于ln x-(-1)1a xx+>0.设g(x)=ln x-(-1)1a xx+，则g'(x)=1x-22(1)ax+=222(1-)1(1)x a xx x+++，g(1)=0.①当a≤2，x∈(1，+∞)时，x2+2(1-a)x+1≥x2-2x+1>0，故g'(x)>0，g(x)在(1，+∞)上单调递增，因此g(x)>0.②当a>2时，令g'(x)=0，得x1=a-1-2(-1)-1a，x2=a-1+2(-1)-1a.由x2>1和x1x2=1得x1<1，故当x∈(1，x2)时，g'(x)<0，g(x)在(1，x2)上单调递减，因此g(x)<0.不合题意，舍去.综上，实数a的取值范围是(-∞，2].变式1(2019·全国卷Ⅲ)已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)=ln(-x)+3x，则曲线y=f(x)在点(1，-3)处的切线方程是.【答案】y=-2x-1【解析】设x>0，则-x<0.因为x<0时，f(x)=ln(-x)+3x，所以f(-x)=ln x-3x.又因为f(-x)=f(x)，所以当x>0时，f(x)=ln x-3x，所以f'(x)=1x-3，即f'(1)=-2，所以曲线y=f(x)在点(1，-3)处的切线方程为y+3=-2(x-1)，整理得y=-2x-1.变式2设函数f(x)=ax2+x+b ln x，曲线y=f(x)过点P(1，0)，且在点P处的切线斜率为2，则a+b= .【答案】2【解析】f'(x)=1+2ax+bx，由已知条件得(1)0'(1)2ff=⎧⎨=⎩，，即10122aa b+=⎧⎨++=⎩，，解得-13.ab=⎧⎨=⎩，所以a+b=2.变式3(2019·常州一中)已知曲线y=2x-mx(x∈R，m≠-2)在x=1处的切线为直线l.若直线l在两坐标轴上的截距之和为12，则实数m的值为.【答案】-3或-4【解析】y'=2+2m x ， y'|x=1=2+m ，所以直线l 的方程为y-(2-m )=(2+m )(x-1)，即y=(2+m )x-2m.令x=0，得y=-2m ；令y=0，x=22m m +.由题意得22mm +-2m=12，解得m=-3或m=-4.利用导数研究函数的单调性例2 (2019·山东卷)设函数f (x )=x ln x-ax 2+(2a-1)x ，a ∈R . (1)令g (x )=f'(x )，求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x=1处取得极大值，求实数a 的取值范围. 【解答】(1)由f'(x )=ln x-2ax+2a ， 可得g (x )=ln x-2ax+2a ，x ∈(0，+∞)，则g'(x )=1x -2a=1-2ax x .当a ≤0时，由于x ∈(0，+∞)， 所以g'(x )>0，则函数g (x )单调递增；当a>0时，若x ∈102a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则g'(x )>0，函数g (x )单调递增，若x ∈12a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，则g'(x )<0，函数g (x )单调递减.所以当a ≤0时，g (x )的单调增区间为(0，+∞)；当a>0时，g (x )的单调增区间为102a ⎛⎫⎪⎝⎭，，单调减区间为12a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，. (2)由(1)知，f'(1)=0.①当a ≤0时，f'(x )单调递增，所以当x ∈(0，1)时，f'(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(1，+∞)时，f'(x )>0，f (x )单调递增.所以f(x)在x=1处取得极小值，不合题意.②当0<a<12时，12a>1，由(1)知f'(x)在12a⎛⎫⎪⎝⎭，内单调递增，可得当x∈(0，1)时，f'(x)<0，当x∈112a⎛⎫⎪⎝⎭，时，f'(x)>0，所以f(x)在(0，1)内单调递减，在112a⎛⎫⎪⎝⎭，内单调递增.所以f(x)在x=1处取得极小值，不合题意.③当a=12时，12a=1，f'(x)在(0，1)内单调递增，在(1，+∞)内单调递减，所以当x∈(0，+∞)时，f'(x)≤0，f(x)单调递减，不合题意.④当a>12时，0<12a<1，当x∈112a⎛⎫⎪⎝⎭，时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(1，+∞)时，f'(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)在x=1处取极大值，符合题意.综上可知，实数a的取值范围为1 |2 a a⎧⎫>⎨⎬⎩⎭.变式(2019·镇江期末)已知函数f(x)=[ax2-(2a+1)x+2a+1]e x，求函数f(x)的单调区间.【解答】f'(x)=(ax2-x)e x=x(ax-1)e x.若a=0，则f'(x)=-x e x，令f'(x)>0，得x<0；令f'(x)<0，得x>0，所以f(x)在(0，+∞)上单调递减，在(-∞，0)上单调递增.若a<0，由f'(x)>0，得1a<x<0；由f'(x)<0，得x<1a或x>0，所以f(x)在1a⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，在1-a∞⎛⎫⎪⎝⎭，，(0，+∞)上单调递减.若a>0，由f'(x)<0，得0<x<1a；由f'(x)>0，得x>1a或x<0，所以f(x)在1a⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，在1a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，(-∞，0)上单调递增. 综上，当a=0时，函数f (x )的单调增区间是(-∞，0)，单调减区间是(0，+∞)；当a<0时，函数f (x )的单调增区间是10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，单调减区间是(0，+∞)，1-a ∞⎛⎫ ⎪⎝⎭，；当a>0时，函数f (x )的单调增区间是(-∞，0)，1a∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，单调减区间是10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.利用导数研究函数的极值(最值)问题例3 (2019·山东卷)已知函数f (x )=a (x-ln x )+22-1x x ，a ∈R .(1)讨论f (x )的单调性；(2)当a=1时，求证：f (x )>f'(x )+32对于任意的x ∈[1，2]恒成立.【解答】(1)f (x )的定义域为(0，+∞)，f'(x )=a-a x -22x +32x =23(-2)(-1)ax x x .当a ≤0时，若x ∈(0，1)，则f'(x )>0，f (x )单调递增； 若x ∈(1，+∞)，则f'(x )<0，f (x )单调递减.当a>0时，f'(x )=3(-1)22-a x x x x a a ⎛ ⎝. ①当0<a<22a 1.当x ∈(0，1)或x ∈2a ∞⎫+⎪⎪⎭，时，f'(x )>0，f (x )单调递增； 当x ∈21a ⎛ ⎝，时，f'(x )<0，f (x )单调递减.②当a=2时，1，在区间(0，+∞)内，f'(x )≥0，f (x )单调递增. ③当a>2时，01.当x∈0⎛ ⎝或x ∈(1，+∞)时，f'(x )>0，f (x )单调递增； 当x∈⎫⎪⎪⎭时，f'(x )<0，f (x )单调递减. 综上所述，当a ≤0时，f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减；当0<a<2时，f (x )在(0，1)上单调递增，在⎛ ⎝上单调递减，在∞⎫+⎪⎪⎭上单调递增；当a=2时，f (x )在(0，+∞)上单调递增；当a>2时，f (x )在0⎛ ⎝上单调递增，在⎫⎪⎪⎭上单调递减，在(1，+∞)上单调递增. (2)由(1)知，当a=1时，f (x )-f'(x )=x-ln x+22-1x x -231221--x xx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=x-ln x+3x +21x -32x -1，x ∈[1，2]. 设g (x )=x-ln x ，h (x )=3x +21x -32x -1，x ∈[1，2]，则f (x )-f'(x )=g (x )+h (x ).由g'(x )=-1x x ≥0，可得g (x )≥g (1)=1，当且仅当x=1时取得等号.又h'(x )=24-3-26x x x +，设φ(x )=-3x 2-2x+6，则φ(x )在[1，2]上单调递减. 因为φ(1)=1，φ(2)=-10，所以存在x 0∈(1，2)，使得当x ∈(1，x 0)时，φ(x )>0，x ∈(x 0，2)时，φ(x )<0， 所以h (x )在(1，x 0)上单调递增，在(x 0，2)上单调递减.由h(1)=1，h(2)=12，可得h(x)≥h(2)=12，当且仅当x=2时取得等号.因为等号不能同时取得，所以f(x)-f'(x)>g(1)+h(2)=32，即f(x)>f'(x)+32对于任意的x∈[1，2]恒成立.【课堂评价】1.(2019·天津卷)已知函数f(x)=(2x+1)e x，f'(x)为f(x)的导函数，则f'(0)的值为.【答案】3【解析】f'(x)=2e x+(2x+1)e x=(2x+3)e x，所以f'(0)=3e0=3.2.(2019·南通一调)在平面直角坐标系xOy中，直线l与曲线y=x2(x>0)和y=x3(x>0)均相切，切点分别为A(x1，y1)和B(x2，y2)，则12xx的值为.【答案】43【解析】方法一：由题设可知曲线y=x2在A(x1，y1)处的切线方程为y=2x1x-21x，曲线y=x3在B(x2，y2)处的切线方程为y=322xx-232x，所以2122312232x xx x⎧=⎨=⎩，，解得x1=3227，x2=89，所以12xx=43.方法二：由题设得212322112123-2-x x x x x x x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，解得x 1=3227，x 2=89，所以12xx =43.3.(2019·天津卷)设函数f (x )=x 3-ax-b ，x ∈R ，其中a ，b ∈R . (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )存在极值点x 0，且f (x 1)=f (x 0)，其中x 1≠x 0，求证：x 1+2x 0=0. 【解答】(1)由f (x )=x 3-ax-b ，可得f'(x )=3x 2-a. 下面分两种情况讨论：①当a ≤0时，有f'(x )=3x 2-a ≥0恒成立，所以f (x )的单调增区间为(-∞，+∞).②当a>0时，令f'(x )=0，解得x=3或x=-3.当x 变化时，f'(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )的单调减区间为-33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，单调增区间为-3∞⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，3∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭. (2)因为f (x )存在极值点，所以由(1)知a>0，且x 0≠0.由题意，得f'(x 0)=320x-a=0，即20x=3a，进而f (x 0)=30x-ax 0-b=-23ax 0-b.又f (-2x 0)=-830x+2ax 0-b=-83a x 0+2ax 0-b=-23ax 0-b=f (x 0)，且-2x 0≠x 0，由题意及(1)知，存在唯一实数x 1满足f (x 1)=f (x 0)，且x 1≠x 0，因此x 1=-2x 0，所以x 1+2x 0=0.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第17~18页.【检测与评估】第2讲导数及其应用一、填空题1.函数y=12x2-ln x的减区间为.2.(2019·苏州暑假测试)已知函数f(x)=x-1+1e x，若直线l：y=kx-1与曲线y=f(x)相切，则实数k= .3.(2019·苏锡常镇宿一调)若曲线C1：y1=ax3-6x2+12x与曲线C2：y2=e x在x=1处的两条切线互相垂直，则实数a的值为.4.(2019·四川卷)已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点，则实数a= .5.(2019·全国卷Ⅰ)若函数f(x)=x-13sin 2x+a sin x在(-∞，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是.6.(2019·南京学情调研)已知函数f(x)=13x3+x2-2ax+1，若函数f(x)在(1，2)上有极值，则实数a的取值范围为.7.(2019·苏大考前卷)已知直线x+y=b是函数y=ax+2x的图象在点P(1，m)处的切线，则a+b-m= .8.(2019·无锡期末)已知在曲线y=x-1x(x>0)上一点P(x，y0)处的切线与x轴，y轴分别交于点A，B，O是坐标原点，若△OAB的面积为13，则x= .二、解答题9.(2019·扬州期末)已知函数f(x)=e x，g(x)=ax2+bx+c.(1)若f(x)的图象与g(x)的图象的一个公共点在y轴上，且在该点处两条曲线的切线互相垂直，求实数b和c的值；(2)若a=c=1，b=0，试比较f(x)与g(x)的大小，并说明理由.10.(2019·南通、扬州、泰州、淮安三调)设函数f(x)=x e x-a sin x cos x(a∈R，e是自然对数的底数).(1)当a=0时，求f(x)的极值；(2)若对于任意的x∈π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围.11.(2019·南通中学)已知函数f(x)=e x2lna x bx⎛⎫++⎪⎝⎭，其中a，b∈R，e是自然对数的底数.(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=e(x-1)，求实数a，b的值.(2)①若a=-2时，函数y=f(x)既有极大值又有极小值，求实数b的取值范围；②若a=2，b≥-2，f(x)≥kx对一切正实数x恒成立，求实数k的最大值(用b表示).【检测与评估答案】第2讲 导数及其应用一、 填空题1. (0，1] 【解析】对于函数y=12x 2-ln x ，易得其定义域为{x|x>0}，y'=x-1x =2-1x x ，令2-1x x ≤0，结合x>0，得x 2-1≤0，解得0<x ≤1，即函数y=12x 2-ln x 的减区间为(0，1].2. 1-e 【解析】设切点为(x 0，y 0)，因为f'(x )=1-1e x，则f'(x 0)=k ，即1-01e x =k ，且kx 0-1=x 0-1+01e x ，所以x 0=-1，所以k=1--11e =1-e .3. -13e 【解析】因为y'1=3ax 2-12x+12，y'2=e x ，所以两条曲线在x=1处的切线的斜率分别为k 1=3a ，k 2=e ，所以k 1·k 2=-1，即3a e =-1，所以a=-13e .4. 2 【解析】由已知得f'(x )=3x 2-12=3(x 2-4)=3(x+2)(x-2).于是当x<-2或x>2时，f'(x )>0；当-2<x<2时，f'(x )<0.故函数f (x )在区间(-∞，-2)，(2，+∞)上单调递增；在区间(-2，2)上单调递减.于是当x=2时，f (x )取得极小值，故a=2.5. 11-33⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 【解析】对函数f (x )求导得f'(x )=1-23cos 2x+a cos x=-43cos 2x+a cos x+53.因为函数f (x )在R 上单调递增，所以f'(x )≥0，即-43cos 2x+a cos x+53≥0恒成立.设t=cos x ∈[-1，1]，则g (t )=4t 2-3at-5≤0在[-1，1]上恒成立，所以有22(-1)4(-1)-3(-1)-50(1)41-31-50g a g a ⎧=⨯⨯≤⎨=⨯⨯≤⎩，，解得-13≤a ≤13.6. 342⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】因为函数f (x )在(1，2)上有极值，所以函数f (x )在(1，2)上有极值点.方法一：令f'(x )=x 2+2x-2a=0，得x 1=-1x 2=-1因为x 1∉(1，2)，故需1<x 2<2，即1<-1+2，即4<1+2a<9，所以32<a<4，故实数a 的取值范围为342⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 方法二：f'(x )=x 2+2x-2a 的图象是开口向上的抛物线，且对称轴方程为x=-1，则f'(x )在(1，2)上是增函数，因此'(1)3-20'(2)8-20f a f a =<⎧⎨=>⎩，，解得32<a<4，故实数a 的取值范围为342⎛⎫ ⎪⎝⎭，.7. 2 【解析】因为点P 在函数y=ax+2x 与直线x+y=b 的图象上，所以m=a+2，m+1=b.又由函数y=ax+2x 的导函数y'=a-22x 可知，切线的斜率k=-1=a-2，有a=1，所以m=3，b=4，则a+b-m=2.8.【解析】因为y'=1+21x ，切点P 0001-x x x ⎛⎫⎪⎝⎭，，x 0>0，所以切线斜率k=1+201x ，所以切线方程为y-01-x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=2011x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(x-x 0).令y=0，得x=02021x x +，即A 020201x x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，.令x=0，得y=-02x ，即B 020-x ⎛⎫⎪⎝⎭，，所以S △OAB =12OA×OB=12×02021x x +×02x =2021x +=13，解得x 0二、 解答题9. (1) 由题设知f (0)=1，f'(x )=e x ，f'(0)=1，g (0)=c ， g'(x )=2ax+b ，g'(0)=b.由题意得(0)(0)'(0)'(0)-1f gf g=⎧⎨=⎩，，所以1-1.cb=⎧⎨=⎩，(2) 当a=c=1，b=0时，g(x)=x2+1.①当x=0时，f(0)=1，g(0)=1，即f(x)=g(x).②当x<0时，f(x)<1，g(x)>1，即f(x)<g(x).③当x>0时，令h(x)=f(x)-g(x)=e x-x2-1，则h'(x)=e x-2x.设k(x)=h'(x)=e x-2x，则k'(x)=e x-2.当x<ln 2时，k'(x)<0，k(x)单调递减；当x>ln 2时，k'(x)>0，k(x)单调递增.所以当x=ln 2时，k(x)取得极小值，且极小值为k(ln 2)=e ln 2-2ln 2=2-ln 4>0，即k(x)=h'(x)=e x-2x>0恒成立，所以h(x)在R上单调递增.又因为h(0)=0，所以当x>0时，h(x)>h(0)>0，即f(x)>g(x).综上所述，当x<0时，f(x)<g(x)；当x=0时，f(x)=g(x)；当x>0时，f(x)>g(x).10. (1) 当a=0时，f(x)=x e x，f'(x)=e x(x+1)，令f'(x)=0，得x=-1.当x变化时，f(x)，f'(x)的变化情况如下表：所以函数f(x)的极小值为f(-1)=-1e，无极大值.(2) ①当a≤0时，因为对于任意的x∈π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，有sin x cos x≥0，所以f(x)≥0恒成立，即当a≤0时，符合题意.②当0<a ≤1时，因为f'(x )=e x (x+1)-a cos 2x ≥e 0(0+1)-a cos 0=1-a ≥0，所以函数f (x )在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为增函数.所以f (x )≥f (0)=0，即当0<a ≤1时，符合题意.③当a>1时，f'(0)=1-a<0，f'π4⎛⎫ ⎪⎝⎭=π4e π+14⎛⎫⎪⎝⎭>0，所以存在α∈π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，，使得f'(α)=0，且在(0，α)内，f'(x )<0，所以f (x )在(0，α)上为减函数，此时f (x )<f (0)=0， 即当a>1时，不符合题意.综上所述，a 的取值范围是(-∞，1].11. (1) 由题意知曲线y=f (x )过点(1，0)，且f'(1)=e .因为f'(x )=e x222ln -a a x b x x +⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则有(1)e(2)0'(1)e()e f b f a b =+=⎧⎨=+=⎩，，解得a=3，b=-2.(2) ①当a=-2时，函数y=f (x )的导函数f'(x )=e x22-2ln -x b x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，当f'(x )=0时，得b=2ln x+22x .设g (x )=2ln x+22x (x>0)，由g'(x )=2x -34x =232-4x x =0，得x=g(=1+ln 2.当0时，g'(x )<0，函数y=g (x )在区间(0，上为减函数，g (x )∈(1+ln 2，+∞)；当x>g'(x )>0，函数y=g (x )在区间(+∞)上为增函数，g (x )∈(1+ln 2，+∞).所以当且仅当b>1+ln 2时，b=g (x )有两个不同的解，设为x 1，x 2(x 1<x 2).当x 变化时，f (x )，f'(x )的变化情况如下表：此时，函数y=f (x )既有极大值，又有极小值.②由题意知e x 22ln x b x ⎛⎫++⎪⎝⎭≥kx 对一切正实数x 恒成立，取x=1，得k ≤(2+b )e .下证e x 22ln x b x ⎛⎫++⎪⎝⎭≥(2+b )e x 对一切正实数x 恒成立.首先，证明e x ≥e x.设函数u (x )=e x -e x ，则u'(x )=e x -e ，当x>1时，u'(x )>0；当x<1时，u'(x )<0，得e x -e x ≥u (1)=0，即e x ≥e x ，当且仅当x=1时取到等号.再证ln x+1x ≥1.设v (x )=ln x+1x -1，则v'(x )=2-1x x ，当x>1时，v'(x )>0；当x<1时，v'(x )<0，得v (x )≥v (1)=0，即ln x+1x ≥1，当且仅当x=1时取到等号.综上可得e x 22ln x b x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥(2+b )e x ，所以min ()f x x ⎛⎫⎪⎝⎭=(2+b )e ，即实数k 的最大值为(2+b )e .。

【人教版】2019学年高中数学必修二全套精品导学案全集第一章第一节柱锥台球的结构特征第一课时三维目标1．能根据几何结构特征对空间物体进行分类；2. 了解多面体的有关概念；3. 了解棱柱、棱锥、棱台的定义.认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征及其关系；4. 会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征.________________________________________________________________________________ 目标三导学做思1问题1.空间几何体是指什么?请举例说明.问题2. 什么是多面体、多面体的面、棱、顶点？什么是旋转体、旋转体的轴？问题3. (1)图(1)中的几何体叫做? AA1、BB1等叫它的? A、B、C1等叫它的?(2)图(2)中的几何体叫做? PA、PB叫它的? 平面PBC、PCD叫做它的? 平面ABCD叫它的?(3)图(3)中的几何体叫做? 它是由棱锥________被平行于底面ABCD的平面________截得的．AA′，BB′叫它的? 平面BCC′B′、平面DAA′D′叫它的?【学做思2】1.如图，过BC的截面截去长方形的一角，所得的几何体是不是棱柱？变式：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体一定是棱柱吗？2.判断下列几何体是不是棱台，并说明为什么．*3. 观察下列图片，你知道这图片在几何中分别叫什么名称吗？它们还有其它特征吗？达标检测1.图1是由图2中的哪个平面图旋转而得到的（）2.如图，在透明塑料制成的长方体ABCD－A1B1C1D1容器中灌进一些水，将容器底面一边BC置于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，以下命题：①水的形状成棱柱形；②水面EFGH 的面积不变；③水的EFGH始终为矩形．其中正确的命题序号是________．3.已知正方体ABCD－A1B1C1D1，图(1)中截去的是什么几何体？图(2)中截去一部分，其中HG∥AD∥EF，剩下的几何体是什么？第一章第一节柱锥台球的结构特征第二课时三维目标1．了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义，认识圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征；2. 会用柱、锥、台、球的结构特征描述简单组合体的结构特征；3. 了解柱、锥、台体的关系.________________________________________________________________________________ 目标三导学做思1问题1. (1)图①中的几何体叫做________，O叫它的________，OA叫它的________，AB叫它的________．(2)图②中的几何体叫________，AB、CD都是它的________，⊙O和⊙O′及其内部是它的________．(3)图③中的几何体叫做________，SB为叫它的________．(4)图④中的几何体叫做________，AA′叫它的________，⊙O′及其内部叫它的________，⊙O及其内部叫它的________，它还可以看作直角梯形OAA′O′绕它的________________旋转一周后，其他各边所形成的面所围成的旋转体．(5).什么是简单组合体？简单几何体有哪几种基本形式？指出下图中的组合形式.【学做思2】1．如图，AB为圆弧»BC所在圆的直径，45BAC∠=o.将这个平面图形绕直线AB旋转一周，得到一个组合体，试说明这个组合体的结构特征.2．已知圆台的两底半径分别为2和3，母线长为5，求展开后的弧所对的圆心角度数.3.圆锥底面半径为1cm，高为2cm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长.【变式】已知球的内接正方体棱长为2，求球的半径.达标检测1.如图所示的四个几何体中，是圆柱的为________；是圆锥的为________．2.说出如图所示几何体的主要结构特征．3.如图所示，下列几何体可看作由什么图形旋转360°得到？画出平面图形和旋转轴．4.如图，长方体ABCD—A1B l C l D1中，AD＝3，AA l＝4，AB＝5，则从A点沿表面到C l的最短距离为______．5.一个圆台的母线长为12cm，两底面面积分别为4πcm2和25πcm2.求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．第一章第二节空间几何体的三视图和直观图第一课时三维目标1．了解中心投影和平行投影；2. 能画出简单空间图形的三视图；3. 能识别三视图所表示的立体模型.________________________________________________________________________________ 目标三导学做思1问题1.阅读教材第11～13页，完成下列表格：投影定义特征举例中心投影平行投影问题2. 画出几种常见的几何体的三视图是什么图形几何体直观图形正视图侧视图俯视图正方体长方体圆柱圆锥圆台球问题3.说出作三视图、侧视图、俯视图的方法. 【学做思2】1.如图甲所示，在正方体1111D C B A ABCD 中，E 、F 分别是1AA 、11D C 的中点，G 是正方形11B BCC 的中心，则四边形AGFE 在该正方体的各个面上的投影可能是图乙中的 .2. 作出下面几何体的三视图.3.根据右图中所给出的一个物体的三视图，试画出它的形状．达标检测1. 用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体需要的小正方体的块数是（）A．8 B．7 C．6 D．5*2．如图，下列四个几何体中，它们各自的三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是( )A．①② B．①③ C．②③ D．①④第一章第二节空间几何体的三视图和直观图第二课时三维目标1．会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图；2. 通过观察三视图和直观图，了解空间图形的不同表示形式及不同形式之间的关系.________________________________________________________________________________ 目标三导学做思1问题1. 如图是美术作品中的一种绘画方法，叫透视画法.这种画法就是表现画面中各种物体的相互之间的空间关系或者位置关系，在平面上构建空间感、立体感的方法.在立体几何中也常用斜投影来画空间图形的直观图，这种画法叫叫什么？有什么特点？.*问题2. 用斜二测画法画一个水平放置的正六边形的直观图.【思考】用斜二测画法画平面图形直观图的步骤有哪些？问题3. 用斜二测画法作长宽高分别为4、3、2的长方体的直观图.作法：【思考】用斜二测画法画立体图形直观图的步骤有哪些？斜二侧画法中如何找一般位置下的点？【学做思2】1. 用斜二测画法画出下图中水平放置的四边形的直观图.*2.已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图.正视图侧视图俯视图达标检测1.如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CD∥AB，CD＝AO＝1，三角形AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试求梯形ABCD水平放置的直观图的面积．2．如上右图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是( )A．AB B．AD C．BC D．AC第一章第三节柱体锥体台体的体积三维目标1．了解几何体体积的含义，以及柱体、锥体与台体的体积公式；（不要求记忆公式） 2. 熟悉台体与柱体和锥体之间体积的转换关系.________________________________________________________________________________ 目标三导 学做思1问题 1. 如图是一个根据连通器原理制成的牲畜自动喂水器，左右两边容器近似地看成长方体，容器（1）为底面边长为11a b 、的长方形，高为1c 的长方体；容器（2）为底面边长为22a b 、的长方形，高为2c 的长方体.求两个容器所装水的体积之比.问题2. 柱体、锥体、台体的体积公式是什么？（2）（1）浮子相当于一个开关【学做思2】1. 如图所示，三棱锥的顶点为P ，,,PA PB PC 是它的三条侧棱,且,,PA PB PC 分别是面,,PBC PAC PAB 的垂线，又2PA =，3,4PB PC ==，求三棱锥P ABC -的体积V .CAP【变式】如图(2)，在边长为4的正方体中，求三棱锥B A BC '''-的体积V 及三棱锥B A BC '''-的高h.2.一个底面直径为20cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6cm ，高为20cm 的一个圆锥形铅锤，当铅锤从中取出后，杯里的水将下降几厘米？(π=3.14)3．已知圆台的上、下底面半径分别是2、6，且侧面面积等于两底面面积之和． （1）求该圆台的母线长；（2）求该圆台的体积；（3）求截得此圆台的圆锥的体积.达标检测1.圆锥的过高的中点且与底面平行的截面把圆锥分成两部分的体积之比是( )A．1:1 B．1:6 C．1: 7 D．1:82.已知四棱锥V-ABCD，底面是边长分别为6和8的矩形，侧棱相等且长为41．V在底面ABCD的投影为ABCD对角线交点O.(1)求该四棱锥的体积V；(2)求该四棱锥的侧面积S.3.若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，求此几何体的体积．第一章第三节柱体锥体台体的表面积三维目标1．了解柱体、锥体、台体的表面积的推导方法；2. 会求柱体、锥体、台体的表面积.________________________________________________________________________________ 目标三导学做思1问题1. 这是长征5号火箭模型，主体高47cm，底部为直径9cm的圆.主体可以近似地看成由哪些几何体组合构成？如果主体表面（加虚线部分，圆柱高40cm，圆锥高7cm）要涂上白色颜料，估计需要涂多少平方厘米的颜料？怎样计算？问题2. 阅读教材第23～25页，思考填出下列表格：几何体图形侧面展开图表面积公式元素意义圆柱rlO'O底面积：=侧面积：=表面积：=——CBAD E 圆锥lrOS底面积：=侧面积：=表面积： =— —圆台O 'Or lr '上底面积：=下底面积：=侧面积：=表面积： =——问题3. 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图是什么？如何计算它们的表面积？举例说明. 【学做思2】*1.已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体S –ABC ，求它的表面积.*【变式】已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体S -ABC ，过SA 的中点作一个平行于底面的平面，求所得棱台的表面积。

第1讲等差数列、等比数列【课前热身】谯前热身自主学习’回归敦村1. （必修5 P39例3改编）在等差数列｛a n｝中，如果点（n, a n）在直线y=2x-1上，那么公差d= . 【答案】2【解析】由题意知a n=2n-1，所以公差为2.2. （必修5 P48习题7改编）在等差数列｛a n｝中，已知S5=5，那么a3= .【答案】1【解析】由于S5=5a3=5，所以a3=1.3. （必修5 P54习题11改编）已知实数k和5k-2的等比中项是2k,那么k= .【答案】2【解析】由题意知k（5k-2）=（2k）2，即k2-2k=0，所以k=2或k=0（舍去）.4. （必修5 P54习题9改编）在等比数列｛a n｝中，a1>0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，则a3+a5= .【答案】52 2【解析】a2a4+2a3a5+a4a6=比+2a3a5+鬼=（a3+a5）2=25,因为a1>0，所以a3>0，a5>0，所以a3+a5=5.5. （必修5 P62习题13改编）对于任意实数X，若有a n=x n，则数列佃｝的前n项和S n _0, x = 0,5, X=1,X(^, X 式0且【答案】.1-xx(1-x n)【解析】当x=0时，Si=0;当x=1时，S=n；当x MQ且x工时，S n= 1-x【课堂导学】谯皇导学目标封倾*备个击破例1(2019北京卷)已知等差数列®｝满足a i+a2=10, a4-a3=2.(1) 求数列｛a n｝的通项公式；⑵设等比数列｛b n｝满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列｛a n｝的第几项相等？【分析】(1)利用等差数列的通项公式，将a i, a2, a3, a°的关系式转化成a i和d的方程组, 解方程得到內和d的值，求出等差数列的通项公式；(2)先利用第一问的结论得到b2和b3的值，再利用等比数列的通项公式，将b2和b3转化为S和q，解出6和q的值，得到的值，再代入到上一问等差数列的通项公式中，解出n的值，即项数.【解答】(1)设等差数列｛a n｝的公差为d.因为a4-a3=2，所以d=2.又因为a1+a2=10，所以2a1+d=10，故a1=4，所以a n=4+2(n-1)=2n+2.(2) 设等比数列｛b n｝的公比为q.因为b2=a3=8, b3=a7=16,所以q=2, b i=4,所以b6=4 >26-1=128.由128=2n+2，得n=63.所以b6与数列｛a n｝的第63项相等.【点评】(1)本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查学生分析问题、解决问题的能力•本题求等差数列和等比数列的基本量的关系，禾U用通项公式求解(2)本题需要掌握的知识点是等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，即等差数列的通项公式：a n=a什(n-1)d，等比数列的通项公式：a n=a1q n-1.变式(2019合肥模拟)设等差数列｛a n｝的公差为d, d>0,数列｛b n｝是公比为q的等比数列,且b1=a1>0.(1)若a3=b3, a7=b5，探究使得a n=b m成立时n与m的关系;(2)若a2=b2，求证：当n>2时，a n<b n.【解答】记a1=b1=a,则a n=a+(n-1)d, b m=aq m 1, -L a2d = aq2,4(1)由已知得a 6d =aq，肖去d得2a=3aq2-aq4,又因为a^Q所以q4-3q2+2=0,所以q2=1或q2=2 ,若q2=1，则d=0，舍去;a_若q2=2，则d= 2,a n-1因此当a n=b m时，a+(n-1) 2 =aq m-1，即 1 + 2 =q m-1,m 1所以n=2 2 -1(m是正奇数)时，a n=b m.旦亘匚d d⑵因为d>0, a>0,所以q= “ =耳=a =1+ a >1,当n>2 时n-1 n-1 2 n-2a n-b n=a+( n-1)d-aq =a(1-q )+(n -1)d=a(1-q)(1+q+q +-+q )+(n-1)d<a(1-q)( n-1)+( n-1)d=( n-1)[a(1-q) +d]=( n-1)(a2-b2)=0,所以当n>2时，a n <b n .“忙等差、等比数列的判断与证明例2(2019武汉调研)已知数列｛a n ｝，对于任意n 》2在a n-i 与a *之间插入n 个数，构成的新 数列｛b n ｝成等差数列，并记在a n-i 与a .之间插入的这n 个数的均值为C n-i .2n 3n-8(1) 若a n =2，求G, C 2，C 3.(2) 在(1)的条件下是否存在常数 入使得｛C n+1 -入C 是等差数列？如果存在，求出满足条件的 人 如果不存在，请说明理由•【解答】(1)由题意得 a 1=-2, a 2=1, a 3=5, a 4=10,1所以在a 1与a ?之间插入-1, 0, C 1=-2 . 在a 2与a 3之间插入2, 3, 4, Q=3.15在a 3与a 4之间插入 6, 7, 8, 9, G= 2 .=C n+1 -C n - ?(C n -C n-1)2n 5 2n 3 2-x-5 3=(1 - X n+ 2 - 2入常数，所以X = 即入=时，｛C n+1 -XC 是等差数列.n (a n-1 a .)2 - _a a n 2n-92a n-1a n 所以C n-1=假设存n=2=2入使得｛C n+1- XC 是等差数列.(2)在a n-1与a *之间插入n 个数构成等差数列,所以(C n+1 -入 6)-(G-入C -1)a n -a n-1d= n 1 =1,【点评】数列｛a n ｝是等差数列的常用的判定依据有： （1） a n+i -a n =d （n € N , d 为常数）;*（2） 2 a n+i =a n +a n+2（n € N ）; （3）a n =An+B （n € N *, A , B 为常数）.证明一个数列是等差数列，结论 （2）, （3）通常作为解题思路、判定的依据，最终目标是利用（1）（即定义）来完成•变式（2019东海中学期中）设数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,其中a n ^Q a 1为常数，且© , S, a n+1成等差数列.（1）求数列｛a n ｝的通项公式•⑵设b n =1-S n ，问：是否存在a 1，使数列｛b n ｝为等比数列？若存在，求出a 1的值；若不存在, 请说明理由•【解答】（1）依题意，得2S n =a n+i -a i .2Sn =a n1-a1, 当 n 》2寸，有 2S n -1 二a n -a^两式相减，得a n+1=3a n （n 》2） 又因为 a 2=2S+a 1=3a 1, a n MQ所以数列｛a n ｝是首项为a 1,公比为3的等比数列. 因此，a n =a 1 3n-1(n € N *).0i(1-3)1⑵因为 S=1-3 = 2 a 1 3n - 2 a 1,1 1b n =1-S=1+ 2 a 1- 2 a 1 3n .1要使｛b n ｝为等比数列，当且仅当1+ 2 a 1=0，即a 1=-2. 所以存在a 1=-2，使数列｛b n ｝为等比数列.等差数列与等比数列的综合例3(2019福建卷)在等差数列佝｝中，已知a2=4, a4+a7=15.(1) 求数列｛a n｝的通项公式；a -2(2) 若b n= 2+n,求b i+b2+b3+・・+b io的值.a -2 【分析】(1)由a2=4，a4+a7=15得到a i，d的方程组，求出a i，d，得a n=n+2；⑵由b n=2“ +n 得b n=2n+n，通过分组求和完成运算.【解答】(1)设等差数列｛a n｝的公差为d.a1d = 4，3，由已知得(a13d) (a16d^15所以a n=a1+(n-1)d=n+2.(2) 由(1)可得b n=2n+n,所以b1+b2+b3+・・+b1o2 3 10 2 3 10=(2+1)+(2 +2)+(2 +3)+-+(2 +10)=(2+2 +2 +-+2 )+(1+2+3+- + 10)2(1-2) (1 10) 10=1-2 + 2=(211-2)+5115=2 +53=2 101.【点评】(1)要求一个等差或等比数列的通项，只要求出等差数列的基本量a1, d或者等比数列的基本量a1, q.本题中先找出确定等差数列给定的两个独立条件，通过两个条件联立方程组，解出a1, d，即可求出通项公式.a⑵把一个等差数列｛a n｝放到指数上，如｛2 n｝就构成一个新的等比数列；同样，把一个等比数列｛b n｝(b n>0)放到真数上，如｛lg b n｝就构成了一个新的等差数列.丄丄变式(2019天津卷)已知｛a n｝是等比数列，其前n项和为S n(n€ N*)，且印_色=a3 , S6=63.(1)求数列｛a n｝的通项公式;⑵若对任意的n € N*, b n是log2a n和log2a n+i的等差中项，求数列｛(-1)n｝的前2n项和.【解答】(1)设数列佃｝的公比为q,1 1 2由已知，有印_ a i q= a i q，解得q=2或q=-1.“ 6空又由S6=a1 •1-q =63，知q 乂1,1-26所以a1 ・1-2 =63，得a1=1，所以a n=2n-1.1 1 丄⑵由题意，得b n= 2 (log2a n+log2a n+1)= 2 (log22n 1+log22n)=n- 2,1即｛b n｝是首项为2,公差为1的等差数列、、，n b；32+泾)+(-氐圧)+..+(-必1+从)T2n=(-设数列｛(-1)n｝的前n项和为T n,贝V= m + b2 + b3+b4+・• +b2n-1+b2n2n Q b2n)2 =2n2.旦吧> 数列中的探究性问题例4(2019南京学情调研)已知等差数列｛a n｝的前n项和为S，且2a5-a3=13, S4=16.(1)求数列｛a n｝的前n项和S n.nz⑵设T n=i^(-1)i a i,若对一切正整数n,不等式入T<[a n+1+(-1)n+1a n] 2n-1恒成立，求实数泊勺取值范围.⑶是否存在正整数m , n(n>m>2)，使得S2, S m-S2, S n-S m成等比数列？若存在，求出所有的m , n;若不存在，请说明理由【分析】(1)对于基本的等差或等比数列，只要运用基本量思想、方程(组)思想就能解决有关的求通项和求前 n 项和问题；(2)对于数列通项中出现(-1)n 时，通常分奇、偶讨论，而数列 求和中出现(-1)n 时，除分奇、偶讨论外，还要兼顾并项法求和•对于恒成立求参数取值范围,仍可借鉴函数中的参数分离法，将问题转化为求最值，进而转化为单调性的探究，但数列单 调性的研究通常是研究相邻两项 a .和a n+i 的大小关系，通过比较法达到目的，一般不需要借助于导数知识•【解答】(1)设数列佃｝的公差为d.因为 2a 5-a 3=13, $=16,所以 a n =2n-1，S=n 2.⑵①当n 为偶数时，设n=2k , k € N *, 则 T 2k =(a 2-a”+(a 4-a 3)+ •- +(a 2k -a 2 k-1 )=2k. 代入不等式入 n <[a n+1 + (-1)n+1a n ] 2n-1,£得入2k<4k ，从而入<2k .4k 4k 1 4k 4k (3k-1)设f(k)= 2k ,则f (k+1)-f (k )= 2(k +1)- 2k =2k (k +1). 因为 k € N *，所以 f(k+1)-f(k)>0, 所以f(k)是递增的，所以f(k)min =2，所以入<② 当n 为奇数时，设n=2k-1, k € N *, 则 T 2k-1=T 2k -(-1)2k a 2k =2k-(4k-1)=1-2k. 代入不等式入 n <[a n+1 + (-1)n+1a n ] 2n-1, 得入(1-2k)<(2k-1)4k ,从而 入 >k .因为k € N *，所以4k 的最大值为-4，所以入>. 综上，泊勺取值范围为(-4, 2).⑶假设存在正整数m , n(n>m>2)，使得S 2, S m -S 2, Sn-S m 成等比数列, 则(Sn-S 2)2=3 (S n -S m )，即仲2-4)2=4(n 2-m 2),所以 4n 2=(m 2-2)2+12,即 4n 2-(m 2-2)2=12, 即(2n-m +2)(2 n+m -2)=12.因为 n>m>2，所以 n >4 m >3 所以 2n+m 2-2> 15所以2(a 14小)-(印 2d) =13,4a 16d 16，解得C =1,d =2,2因为2n-m +2是整数,所以等式(2n-m2+2)(2n+m2-2)=12不成立，故不存在正整数m , n(n>m>2)，使得S2, S m-S2, S n-S m成等比数列.【点评】对于存在性问题的探究，通常假设存在，然后按要求去求，若有解，则存在；若无解，则不存在•对于不定方程的整数解，一定要用好给定范围和数的奇偶性去分析问题，这里是从范围突破，也有的题是从奇偶性突破的变式(2019南师大信息卷)定义：从一个数列｛a(中抽取若干项(不少于三项)按其在｛a n｝中的次序排列的一列数叫做｛a n｝的子数列•成等差(等比)的子数列叫做｛a n｝的等差(等比)子列.(1) 记数列｛a n｝的前n项和为S n,已知5=n2,求证：数列｛a3n｝是数列｛a n｝的等差子列；⑵设等差数列｛a n｝的各项均为整数，公差d^Q a5=6;若数列a3, a5, *'是数列｛a n｝的等比子列，求小的值；(3) 设数列｛a n｝是各项均为实数的等比数列，且公比q工1若数列｛a n｝存在无穷多项的等差子列，求公比q的所有的值•【解答】⑴当n >时，a n=S n-S n-1 =2n-1,又a1=S1=1=2X1-1，所以a n =2n-1.故a3n =2 3n-仁6n-1，当n >2寸，a3(n+1)-a3n=6,所以数列｛a3n｝是数列｛a n｝的等差子列.6(2) 根据题意，a3=a5-2d=6-2d,公比q= 6-2d ,6所以=6 -6-2 d .又a-*1 =a5+(n1-5)d=6+(n1-5)d,36 6所以6-2 d =6+(n1-5)d，即n1=5+ 3-d .因为d为整数，①为正整数且n1>5,所以d=1, n1=8或d=2, n 1 =11 或d=-3, n1=6,所以n1=6, 8, 11.(3) q所有可能的取值为-1.理由如下:设数列｛%｝为｛a n｝的等差子列，公差为d,则叽异吧5严1,a a q n k-1小朴所以| 叽-巧=国i| |.q | |.q -i|.当|q|> 1 时，I q -1| 电卜1,所以|d|=| 乳_即| 專1| |.q |(|q|- 1).|d|取n k>1+log M|a i| (|q|-1),所以| 乳-即|>0| ,即|d|>|d| ，矛盾.r k-1 n k 1-r k n k-1 n k 1-r k n k-1 当|q|< 1 时，|d|=|a 1| |.q | |.q -1|牛1|2 | (| q |+1)<2|a 1| | q | ,JI取nQ1+log|q| |2a J，所以| %1且|*| ,即|d|<|d| ，矛盾.所以|q|= 1,又q^l,所以q=-1.【课堂评价】谯堂评们1. (2019扬州期末)已知等比数列｛a n｝满足a2+2a1=4, 3=a5,则该数列的前5项和为【答案】31【解析】因为2a3=a5=a1a5，所以a1=1，又2a1+a2=4,所以a2=2，从而公比q=2，所以前5项和为125&= 1-2 =31.2. (2019全国卷)已知｛a n｝是公差为1的等差数列，S n为｛a n｝的前n项和，若S8=4S,则a io= _ .19【答案】~2( 1 、14印十_述4疋3 | 1【解析】因为公差d=1, S8=4Si，所以8a什2 >8>7=4 ■2，解得a1= 2，所以1 19a10=a1+9d= 2 +9= 2 .3. (2019南通一调)设等比数列｛a n｝的前n项和为S n,若S F3, S=15,则&的值为______ .【答案】63&-S2 q =2，q = _2, 【解析】方法一：由等比数列的性质得q5= $ =4,所以q=塑.由S2=3,解得②=1或a1八3. 越(1勺6) 1 (126) 印(1才)(-3) [1-(-2)6]所以S6= 1-q = 1-2 =63或S6= 1-q= 1-(-2)=63.方法二：由S2, S4-S2, S5-S4成等比数列可得(S4-S2)2=S(S6-S4)，所以S6=63.S a54. (2019徐州、连云港、宿迁三检)已知公差为d的等差数列｛a n｝的前n项和为S,若Sj=3，则比的值为___ .17【答案】9S5 5耳10d【解析】设等差数列｛a n｝的首项为a1，则由S3=3，得3印3d=3，所以d=4a1，所以as d 4d 17印仃a3 = a 2d= 9印=7.5 (2019苏北四市摸底)在等比数列｛a n｝中，若a1=1, a3a s=4(a4-1)，则a7= ____【答案】4【解析】设等比数列｛a n｝的公比为q,因为a1=1, a3a5=4(a4-1),所以q2 q4=4(q3-1),即q6-4q3+4=0,q3=2，所以a7=q6=4.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第25~26页.【检测与评估】专题六数列第1讲等差数列、等比数列一、填空题1. （2019宿迁一模）已知｛a n｝是等差数列，若2a7-a5-3=0，则a9= .2. （2019泰州二模）已知在等比数列｛a n｝中，a3=4, a7-2a5-32=0,则a7= _ .3. （2019苏州期末）已知在等差数列｛a n｝中，a4+a6=10，若前5项和&=5,则其公差为邑4. （2019南京三模）设数列｛a n｝的前n项和为S，且S n=2a n-2，贝U兎=5. （2019苏州期末）已知｛a n｝是等差数列，a5=15, a10=-10,记数列｛a n｝的第n项到第n+5项的和为T n,则|T n|取得最小值时n的值为 _______.丄6. （2019 苏州暑假测试）已知数列｛a n｝满足a1=1 , a2= 2，且a n（a n-什a n+1）=2a n+1a n-1（n> 2）则a2017= .47. (2019常州期末)已知等比数列 ｛a n ｝的各项均为正数，且a i +a 2= 9 , a 3+a 4+a 5+a 6=40，则a ?兔 a ?9的值为S n8.(2019镇江期末)已知S 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若二、解答题9. (2019浙江调研)已知｛a n ｝是公差为2的等差数列，且a 3+1是a 1+1与a ?+1的等比中项. (1)求数列｛a n ｝的通项公式；⑵令b n =a 2n ，求数列｛b n ｝的前n 项和S n .10. (2019 苏北四市摸底)已知数列｛a n ｝满足2a n+1=a n +a n+2+k(n € N , k € R ),且 a 1 =2, a 3+a 5=-4. (1)若k=0,求数列｛a n ｝的前n 项和S n ； ⑵若a 4=-1，求数列｛a n ｝的通项公式.2an ，n= 2k -1,11. (2019盐城三模)已知数列｛a n ｝满足a 1=m , a n+1= 9n 「，" =2k (k € N *, r € R )，其前n 项和为 S.(1) 当m 与r 满足什么关系时，对任意的 n € N *，数列｛a n ｝都满足a n+2=a n ?(2) 对任意实数m , r ，是否存在实数p 与q ，使得｛a 2n+1+p ｝与｛a 2n +q ｝是同一个等比数列？若存在， 请求出p , q 满足的条件；若不存在，请说明理由【检测与评估答案】S2n =4n 2，则 a 5 =专题六数列第1讲等差数列、等比数列一、填空题1. 3【解析】方法一：设公差为d,则2(a i+6d)-(a i+4d)-3=0，即a i+8d=3，所以a9=3.方法二：由等差数列的性质得a5+a9=2a7，所以(a5+a9)-a5-3=0，即a9=3.4 2 4 2 2 4 2. 64【解析】设公比为q,则有a3q -2a3q -32=0，即q -2q -8=0，解得q =4(负值舍去)，故a7=a3q =64.3. 2【解析】在等差数列｛a n｝中，由S5=5a3=5，得a3=1.设公差为d，则a4+a6=(1+d)+(1+3d)=10，解得d=2.4. 4 【解析】由S n=2a n-2和S n+1=2a n+1-2，两式相减得a n+1-2a n=0，即a n+1=2a n.又a1=Si=2，所以数列｛a n｝是首项为2、公比为2的等比数列，所以a6=q2=4.6(a n a n 5)5. 5或6 【解析】由a5=15，a10=-10，得a n=-5n+40，a n+5=-5n+15，T n= 2=15(11-2n)，当11-2n=±1，即n=5或6时，|T n|取最小值15.6. 2017【解析】由a n(a n-1+a n+1)=2a n+1a n-1(n》2)得 * 1+ a n-1= Oi (n》2,)又a1 =1, a2= 2，所1以数列a n是以1为首项，1为公差的等差数列，所以％=n ,即a n = n ,所以a ? 017= 20174—eq).'2 3 4 5a 3 a 4 a 5 - a^a 1(q q q q ) =40,两式相除可得q 2+q 4=90 ,即q 2=-10（舍去）或q 2=9.又a n >0 ,所以q=3 ,故a 1= 9 ,所以6 2a 7+a 8+a 9=a 1q (1+q+q )=1 053，即7. 117【解析】= 117.S n8. 5【解析】方法一：由％ =4n 2，2a 1 2 门⑻ a .)22n(a 「a 2n )得a 1ann 1= 2(3! a 2n )=4n 2 ,当 n=1 时,a 3 印 2d 3q 3印 a 2 = 3，所以 a 2=2a 1, d=a 2-a 1=a 1,所以比=印 4d = 5a i = 5S n n 2 n n +1方法二：S 2n =4n 2 = 4n 22n , -3 2 33 观察发现可令 S=n 2+n ,则 a n =S-S n-1= n 2+n-(n-1)2-(n-1)=2n ,所以 比=25 = 5二、解答题29. (1)由题意得(a 3+1) =(a 1+1)(a 7+1), 又d=2，得a 1=3,所以 a n =a 1 +(n-1)d=2n+1, 所以｛a n ｝的通项公式为a n =2n+1.Onn n+1⑵ b n =®=2 >2 +仁2 +1, 23 n+1S=2 +1+2 +1+-+2 +14仆2n )n+2=1-2+n=2+n-4,所以数列｛b n ｝的前n 项和S n =2n+2+ n-4.10. (1)当 k=0时,2a n+1=a n + a n+2,即 a n+2-a n+1=a n+1-a n ,所以数列｛a n ｝是等差数列 设数列｛a n ｝的公差为d ,n(n-1) n(n-1) | 2 8所以 S n =na i + 2 d=2n+ 2 x 3 =- 3 n 2+ 3 n.(2)由题意得 2a 4=a 3+a 5+k ，即-2=-4+k ， 所以k=2.又a 4=2a 3-a 2-2=3a 2-2a i -6，所以 a 2 =3. 由 2a n +i =a n +a n+2+2， 得(a n+2-a n+i )-(a n+i -a n ) =-2， 所以数列｛an+i -a n ｝是以a 2-a i =i 为首项，-2为公差的等差数列,所以 a n+i -a n =-2n+3.当 n 》2寸，有 a n -a n-i =-2(n-i)+3， 于是 a n-i -a n-2=-2(n-2)+3， a n -2-a n-3=-2(n-3)+3，a 3-a 2=-2 X + 3， a 2-a i =-2 X +3，累加得，a n -a i =-2[i +2+ •- +(n-i)] +3(n-i)(n > 2,) n(n-i) 所以 a n =-2 x 2+3(n-1)+2=-n 2+4n-1(n 》2)又当n=1时，a i =2也适合上式.所以数列｛a n ｝的通项公式为a n =-n 2+4n-1, n € N *. 11.⑴ 由题意，得 a i =m , a 2=2a i =2m , a 3=a 2+r=2m+r , 首先由a 3=a i ，得m+r=O.a i =2,则2a i 6d=4解得ai~ 2,2a n, n 二2k-1,当m+r=0时，因为a n+i= an-m, n =2k(k€ N*),所以a i=a3=-=a2k-i=m , a2=a4=・=a2k=2m，故对任意的n€ N，数列｛a n｝都满足a n+2=a n.即当实数m，r满足m+r=0时，满足题意.⑵依题意，a2n+i=a2n+r=2a2n-计r，则a2n+i+r=2(a2n-i +r),因为a什r=m+r，所以当m+r工时，｛a2n+i+r｝是等比数列，且a2n+什r=(a什r)2n=(m+r)2n. 为使｛a2n+i+p｝是等比数列，贝U p=r.同理，当m+r工0寸，a2n+2r=(m+r)2n，则当｛a2n+2r｝是等比数列时，q=2r.综上所述：①若m+r=O,则不存在实数p, q，使得｛a2n+i+p｝与｛a2n+q｝是等比数列；②若m+r MQ则当p, q满足q=2p=2r时，@n+什p｝与｛a2n+q｝是同一个等比数列.。

第三章 导数及其应用第一节 导数的概念及运算本节主要包括2个知识点： 1.导数的运算； 2.导数的几何意义.突破点(一) 导数的运算[基本知识]1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx. 2．函数f (x )的导函数 称函数f ′(x )＝lim Δx →0f x ＋Δx －f xΔx为f (x )的导函数．3．基本初等函数的导数公式4.(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )²g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′ x g x －f x g ′ x [g x ](g (x )≠0)．5．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′²u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．[基本能力]1．判断题(1)f ′(x 0)与(f (x 0))′的计算结果相同．( ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( ) (3)f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．( ) (4)⎝⎛⎭⎪⎫sin π3′＝cos π3.( ) (5)若(ln x )′＝1x，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝ln x ．( )(6)函数f (x )＝sin(－x )的导数为f ′(x )＝cos x ．( ) (7)y ＝cos 3x 由函数y ＝cos u ，u ＝3x 复合而成．( ) 答案：(1)³ (2)³ (3)√ (4)³ (5)³ (6)³ (7)√ 2．填空题(1)已知f (x )＝13－8x ＋2x 2，f ′(x 0)＝4，则x 0＝________. 解析：∵f ′(x )＝－8＋4x ，∴f ′(x 0)＝－8＋4x 0＝4，解得x 0＝3. 答案：3(2)函数y ＝ln xe x 的导函数为________________．答案：y ′＝1－x ln xx e x(3)已知f (x )＝2sin x ＋x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________. 解析：∵f (x )＝2sin x ＋x ，∴f ′(x )＝2cos x ＋1，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2cos π4＋1＝2＋1. 答案：2＋1[全析考法][典例] (1)函数f (x )＝(x ＋1)2(x －3)，则其导函数f ′(x )＝( ) A ．3x 2－2x B ．3x 2－2x －5 C ．3x 2－xD ．3x 2－x －5(2)(2018²钦州模拟)已知函数f (x )＝x ln x ，则f ′(1)＋f (4)的值为( ) A ．1－8ln 2 B ．1＋8ln 2 C ．8ln 2－1D ．－8ln 2－1(3)已知函数f (x )＝sin x cos φ－cos x sin φ－1(0<φ<π2)，若f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1，则φ的值为( )A.π3B.π6C.π4D.5π12[解析] (1)法一：因为f (x )＝(x ＋1)2(x －3)＝(x ＋1)(x ＋1)(x －3)，所以f ′(x )＝[(x ＋1)(x ＋1)]′(x －3)＋(x ＋1)(x ＋1)(x －3)′＝2(x ＋1)(x －3)＋(x ＋1)2＝3x 2－2x －5.法二：f (x )＝(x ＋1)2(x －3)＝x 3－x 2－5x －3，则f ′(x )＝3x 2－2x －5.(2)因为f ′(x )＝ln x ＋1，所以f ′(1)＝0＋1＝1，所以f ′(1)＋f (4)＝1＋4ln 4＝1＋8ln 2.故选B.(3)因为f (x )＝sin x cos φ－cos x sin φ－1⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2，所以f ′(x )＝cos x cos φ＋sin x sin φ＝cos(x －φ)，因为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－φ＝1，因为0<φ<π2，所以φ＝π3，故选A.[答案] (1)B (2)B (3)A[方法技巧] 导数运算的常见形式及其求解方法[全练题点]1．下列函数中满足f (x )＝f ′(x )的是( ) A ．f (x )＝3＋x B ．f (x )＝－x C ．f (x )＝ln xD ．f (x )＝0解析：选D 若f (x )＝0，则f ′(x )＝0，从而有f (x )＝f ′(x )．故选D.2．(2018²延安模拟)设函数f (x )＝ax ＋3，若f ′(1)＝3，则a ＝( ) A ．2 B ．－2 C ．3D ．－3解析：选C 由题意得，f ′(x )＝a ，因为f ′(1)＝3，所以a ＝3，故选C. 3．(2018²南宁模拟)设f (x )在x ＝x 0处可导，且li m Δx →0f x 0＋3Δx －f x 0Δx＝1，则f ′(x 0)＝( )A ．1B ．0C ．3 D.13解析：选D因为lim Δx →0f x 0＋3Δx －f x 0Δx＝1，所以lim Δx →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3³f x 0＋3Δx －f x 0 3Δx ＝1，即3f ′(x 0)＝1，所以f ′(x 0)＝13.故选D.4．(2018²桂林模拟)已知函数y ＝x cos x －sin x ，则其导函数y ′＝( ) A ．x sin x B ．－x sin x C ．x cos xD ．－x cos x解析：选B 函数y ＝x cos x －sin x 的导函数y ′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x ，故选B.5．(2018²九江一模)已知f (x )是(0，＋∞)上的可导函数，且f (x )＝x 3＋x 2f ′(2)＋2lnx ，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝x 3－32x 2＋2ln xB ．f (x )＝x 3－133x 2＋2ln xC ．f (x )＝x 3－3x 2＋2ln x D ．f (x )＝x 3＋3x 2＋2ln x解析：选B ∵f (x )＝x 3＋x 2f ′(2)＋2ln x ，∴f ′(x )＝3x 2＋2xf ′(2)＋2x，令x ＝2，得f ′(2)＝12＋4f ′(2)＋1，∴f ′(2)＝－133，∴f (x )＝x 3－133x 2＋2ln x ，故选B.突破点(二) 导数的几何意义[基本知识]函数f (x )在点x 0处 的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．特别地，如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，y 0)处的切线垂直于x 轴，则此时导数f ′(x 0)不存在，由切线定义可知，切线方程为x ＝x 0.[基本能力]1．判断题(1)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点．( ) (2)求曲线过点P 的切线时P 点一定是切点．( ) 答案：(1)√ (2)³ 2．填空题(1)曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________． 答案：2x －y ＋1＝0(2)已知直线y ＝－x ＋1是函数f (x )＝－1a²e x图象的切线，则实数a ＝________.解析：设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝－1a²e x 0＝－1，∴e x 0＝a ，又－1a²e x 0＝－x 0＋1，∴x 0＝2，a ＝e 2.答案：e 2(3)曲线f (x )＝x ln x 在点M (1，f (1))处的切线方程为________．解析：由题意，得f ′(x )＝ln x ＋1，所以f ′(1)＝ln 1＋1＝1，即切线的斜率为1.因为f (1)＝0，所以所求切线方程为y －0＝x －1，即x －y －1＝0.答案：x －y －1＝0[全析考法]“过点A A 必为切点，前者未必是切点．曲线在某点处的切线，若有，则只有一条；曲线过某点的切线往往不止一条．切线与曲线的公共点不一定只有一个．[例1] 已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程． [解] (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2， 即x －y －4＝0.(2)设切点坐标为(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)， 又切线过点(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)， 整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0， 解得x 0＝2或x 0＝1，∴经过A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0. [方法技巧]求切线方程问题的两种类型及方法(1)求“在”曲线y ＝f (x )上一点P (x 0，y 0)处的切线方程：点P (x 0，y 0)为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)，有唯一的一条切线，对应的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(2)求“过”曲线y ＝f (x )上一点P (x 0，y 0)的切线方程：切线经过点P ，点P 可能是切点，也可能不是切点，这样的直线可能有多条．解决问题的关键是设切点，利用“待定切点法”，即：①设切点A (x 1，y 1)，则以A 为切点的切线方程为y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)；②根据题意知点P (x 0，y 0)在切线上，点A (x 1，y 1)在曲线y ＝f (x )上，得到方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f x 1 ，y 0－y 1＝f ′ x 1 x 0－x 1 ，求出切点A (x 1，y 1)，代入方程y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)，化简即得所求的切线方程．求切点坐标[例2] 32f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，则点P 的坐标为( )A ．(0,0)B ．(1，－1)C ．(－1,1)D ．(1，－1)或(－1,1)[解析] ∵f (x )＝x 3＋ax 2，∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ，∵曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，∴3x 20＋2ax 0＝－1，∵x 0＋x 30＋ax 20＝0，解得x 0＝±1，∴当x 0＝1时，f (x 0)＝－1，当x 0＝－1时，f (x 0)＝1.故选D.[答案] D求参数值或范围[例3] (1)(2018²长沙一模)若曲线y ＝2e x 2与曲线y ＝a ln x 在它们的公共点P (s ，t )处具有公共切线，则实数a ＝( )A ．－2 B.12 C ．1D ．2(2)(2018²南京调研)若函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行或重合的切线，则实数a 的取值范围是________．[解析] (1)y ＝12e x 2的导数为y ′＝x e ，在点P (s ，t )处的切线斜率为se，y ＝a ln x 的导数为y ′＝a x ，在点P (s ，t )处的切线斜率为a s ，由题意知，s e ＝a s ，且12es 2＝a ln s ，解得ln s＝12，s 2＝e ，故a ＝1. (2)函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行或重合的切线，即f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解，而f ′(x )＝1x ＋a ，故1x ＋a ＝2，即a ＝2－1x在(0，＋∞)上有解，因为x >0，所以2－1x<2，所以a 的取值范围是(－∞，2)．[答案] (1)C (2)(－∞，2)[方法技巧]根据导数的几何意义求参数值的思路根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P (x 0，y 0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．[全练题点]1.[考点一]曲线y ＝sin x ＋e x在点(0,1)处的切线方程是( ) A ．x －3y ＋3＝0 B ．x －2y ＋2＝0 C ．2x －y ＋1＝0D ．3x －y ＋1＝0解析：选C ∵y ＝sin x ＋e x ，∴y ′＝cos x ＋e x，∴y ′| x ＝0＝cos 0＋e 0＝2，∴曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程为y －1＝2(x －0)，即2x －y ＋1＝0.2.[考点一]曲线y ＝x e x＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －1 B ．y ＝－3x －1 C ．y ＝3x ＋1D ．y ＝－2x －1解析：选A 因为y ′＝e x ＋x e x ＋2，所以曲线y ＝x e x＋2x －1在点(0，－1)处的切线的斜率k ＝y ′| x ＝0＝3，∴切线方程为y ＝3x －1.3.[考点二]已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D.12解析：选A 已知曲线y ＝x 24－3ln x (x >0)的一条切线的斜率为12，由y ′＝12x －3x ＝12，得x ＝3，故选A.4.[考点三](2018²东城期末)若直线y ＝－x ＋2与曲线y ＝－e x ＋a相切，则a 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．－4解析：选A 由于y ′＝(－ex ＋a)′＝－ex ＋a，令－ex ＋a＝－1，得切点的横坐标为x ＝－a ，所以切点为(－a ，－1)，进而有－(－a )＋2＝－1，故a ＝－3.5.[考点三](2018²西安一模)若曲线y ＝e x－aex (a >0)上任意一点处的切线的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2，则a ＝( ) A.112 B.13 C.34D ．3解析：选 C y ′＝e x＋ae x ，∵y ＝e x－aex 在任意一点处的切线的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2，∴e x ＋a e ≥3，由a >0知，e x＋a e ≥2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当e x ＝a e x 时等号成立，故2a ＝3，故a ＝34，故选C.[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1．(2014²全国卷Ⅱ)设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D y ′＝a －1x ＋1，由题意得y ′|x ＝0＝2，即a －1＝2，所以a ＝3.2．(2016²全国卷Ⅱ)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________.解析：易得(ln x ＋2)′＝1x ，[ln(x ＋1)]′＝1x ＋1.设曲线y ＝ln x ＋2上的切点横坐标为x 1，曲线y ＝ln(x ＋1)上的切点横坐标为x 2，则y ＝ln x ＋2的切线方程为：y ＝1x 1²x ＋lnx 1＋1，y ＝ln(x ＋1)的切线方程为：y ＝1x 2＋1x ＋ln(x 2＋1)－x2x 2＋1.根据题意，有⎩⎪⎨⎪⎧1x 1＝1x 2＋1，ln x 1＋1＝ln x 2＋1 －x2x 2＋1，解得x 1＝12，x 2＝－12，∴b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2.答案：1－ln 23．(2016²全国卷Ⅲ)已知f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________．解析：因为f (x )为偶函数，所以当x >0时，f (x )＝f (－x )＝ln x －3x ， 所以当x >0时，f ′(x )＝1x－3，则f ′(1)＝－2.所以y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，即y ＝－2x －1. 答案：y ＝－2x －1[课时达标检测][小题对点练——点点落实]对点练(一) 导数的运算1．(2018²泉州质检)设函数f (x )＝x (x ＋k )(x ＋2k )，则f ′(x )＝( ) A ．3x 2＋3kx ＋k 2B ．x 2＋2kx ＋2k 2C ．3x 2＋6kx ＋2k 2D ．3x 2＋6kx ＋k 2解析：选C 法一：f (x )＝x (x ＋k )(x ＋2k )，f ′(x )＝(x ＋k )(x ＋2k )＋x [(x ＋k )(x ＋2k )]′＝(x ＋k )²(x ＋2k )＋x (x ＋2k )＋x (x ＋k )＝3x 2＋6kx ＋2k 2，故选C.法二：因为f (x )＝x (x ＋k )(x ＋2k )＝x 3＋3kx 2＋2k 2x ，所以f ′(x )＝3x 2＋6kx ＋2k 2，故选C.2．(2018²泰安一模)给出下列结论：①若y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln 2；②若y ＝－1x ，则y ′＝12x x；③若f (x )＝1x 2，则f ′(3)＝－227；④若y ＝a x (a >0)，则y ′＝a xln a ．其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D 根据求导公式可知①正确；若y ＝－1x＝－x-12，则y ′＝12x -32＝12x x，所以②正确；若f (x )＝1x 2，则f ′(x )＝－2x －3，所以f ′(3)＝－227，所以③正确；若y ＝a x(a >0)，则y ′＝a xln a ，所以④正确．因此正确的结论个数是4，故选D.3．若函数y ＝x m的导函数为y ′＝6x 5，则m ＝( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：选C 因为y ＝x m，所以y ′＝mxm －1，与y ′＝6x 5相比较，可得m ＝6.4．已知函数f (x )＝xe x (e 是自然对数的底数)，则其导函数f ′(x )＝( ) A.1＋x ex B.1－x e xC ．1＋xD ．1－x解析：选B 函数f (x )＝xe x ，则其导函数f ′(x )＝e x －x e xe 2x ＝1－xe x ，故选B.5．若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )<0的解集为( ) A ．(0，＋∞)B ．(0,2)C ．(0,2)∪(－∞，－1)D ．(2，＋∞)解析：选 B 函数f (x )＝x 2－2x －4ln x 的定义域为{x |x >0}，f ′(x )＝2x －2－4x＝2x 2－2x －4x ，由f ′(x )＝2x 2－2x －4x<0，得0<x <2，∴f ′(x )<0的解集为(0,2)，故选B.6．(2018²信阳模拟)已知函数f (x )＝a e x＋x ，若1<f ′(0)<2，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e B ．(0,1) C ．(1,2)D ．(2,3)解析：选B 根据题意，f (x )＝a e x＋x ，则f ′(x )＝(a e x)′＋x ′＝a e x＋1，则f ′(0)＝a ＋1，若1<f ′(0)<2，则1<a ＋1<2，解得0<a <1，所以实数a 的取值范围为(0,1)．故选B.对点练(二) 导数的几何意义1．(2018²安徽八校联考)函数f (x )＝tan x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2处的切线的倾斜角α为( )A.π6 B.π4 C.π3D.π2解析：选B f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 2cos x 2′＝12cos 2x 2，得切线斜率k ＝tan α＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，故α＝π4，选B. 2．若函数f (x )＝x 3－x ＋3的图象在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则点P 的坐标为( )A ．(1,3)B ．(－1,3)C ．(1,3)或(－1,3)D ．(1，－3)解析：选C f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，即3x 2－1＝2⇒x ＝1或－1，又f (1)＝3，f (－1)＝3，所以P (1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y ＝2x －1上，故点P 的坐标为(1,3)或(－1,3)．3．(2018²福州质检)过点(－1,1)与曲线f (x )＝x 3－x 2－2x ＋1相切的直线有( ) A ．0条 B ．1条 C ．2条D ．3条解析：选C 设切点P (a ，a 3－a 2－2a ＋1)，由f ′(x )＝3x 2－2x －2，当a ≠－1时，可得切线的斜率k ＝3a 2－2a －2＝ a 3－a 2－2a ＋1 －1a － －1，所以(3a 2－2a －2)(a ＋1)＝a 3－a 2－2a ，即(3a 2－2a －2)(a ＋1)＝a (a －2)(a ＋1)，所以a ＝1，此时k ＝－1.又(－1,1)是曲线上的点且f ′(－1)＝3≠－1，故切线有2条．4．(2018²重庆一模)已知直线y ＝a 与函数f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋1的图象相切，则实数a 的值为( )A ．－26或83B ．－1或3C ．8或－83D ．－8或83解析：选D 令f ′(x )＝x 2－2x －3＝0，得x ＝－1或x ＝3，∵f (－1)＝83，f (3)＝－8，∴a ＝83或－8.5．(2018²临川一模)函数f (x )＝x ＋ln xx的图象在x ＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )A.12B.14C.32D.54解析：选B 因为f (x )＝x ＋ln x x ，f ′(x )＝1＋1－ln xx2，所以f (1)＝1，f ′(1)＝2，故切线方程为y －1＝2(x －1)．令x ＝0，可得y ＝－1；令y ＝0，可得x ＝12.故切线与两坐标轴围成的三角形的面积为12³1³12＝14，故选B.6．(2018²成都诊断)若曲线y ＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)解析：选D 由题意知，函数y ＝ln x ＋ax 2的定义域为(0，＋∞)，y ′＝1x ＋2ax ＝2ax 2＋1x≥0恒成立，即2ax 2＋1≥0，a ≥－12x 2恒成立，又在定义域内，－12x2∈(－∞，0)，所以实数a 的取值范围是[0，＋∞)．7．(2017²柳州二模)已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R)，F (x )＝f ′ xex，若F (x )的图象在x ＝0处的切线方程为y ＝－2x ＋c ，则函数f (x )的最小值是( )A ．2B ．1C ．0D ．－1解析：选C ∵f ′(x )＝2x ＋b ，∴F (x )＝2x ＋b e x ，F ′(x )＝2－2x －bex，又F (x )的图象在x ＝0处的切线方程为y ＝－2x ＋c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧F ′ 0 ＝－2，F 0 ＝c ，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，b ＝4，∴f (x )＝(x ＋2)2≥0，f (x )min ＝0.8．(2018²唐山模拟)已知函数f (x )＝x 2－1，g (x )＝ln x ，则下列说法中正确的为( )A ．f (x )，g (x )的图象在点(1,0)处有公切线B ．存在f (x )的图象的某条切线与g (x )的图象的某条切线平行C ．f (x )，g (x )的图象有且只有一个交点D ．f (x )，g (x )的图象有且只有三个交点解析：选B 对于A ，f (x )的图象在点(1,0)处的切线为y ＝2x －2，函数g (x )的图象在点(1,0)处的切线为y ＝x －1，故A 错误；对于B ，函数g (x )的图象在(1,0)处的切线为y ＝x －1，设函数f (x )的图象在点(a ，b )处的切线与y ＝x －1平行，则f ′(a )＝2a ＝1，a ＝12，故b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1＝－34，即g (x )的图象在(1,0)处的切线与f (x )的图象在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－34处的切线平行，B 正确；如图作出两函数的图象，可知两函数的图象有两个交点，C ，D 错误．故选B.9．(2018²包头一模)已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.解析：函数f (x )＝x 3＋ax ＋1的导数为f ′(x )＝3x 2＋a ，f ′(1)＝3＋a ，又f (1)＝a ＋2，所以切线方程为y －a －2＝(3＋a )(x －1)，因为切线经过点(2,7)，所以7－a －2＝(3＋a )(2－1)，解得a ＝1.答案：1[大题综合练——迁移贯通]1．(2018²兰州双基过关考试)定义在实数集上的函数f (x )＝x 2＋x ，g (x )＝13x 3－2x ＋m .(1)求函数f (x )的图象在x ＝1处的切线方程；(2)若f (x )≥g (x )对任意的x ∈[－4,4]恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)∵f (x )＝x 2＋x ，∴f (1)＝2. ∵f ′(x )＝2x ＋1，∴f ′(1)＝3.∴所求切线方程为y －2＝3(x －1)，即3x －y －1＝0. (2)令h (x )＝g (x )－f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋m ，则h ′(x )＝(x －3)(x ＋1)． ∴当－4≤x ≤－1时，h ′(x )≥0； 当－1＜x ≤3时，h ′(x )≤0； 当3＜x ≤4时，h ′(x )＞0.要使f (x )≥g (x )恒成立，即h (x )max ≤0， 由上知h (x )的最大值在x ＝－1或x ＝4处取得，而h (－1)＝m ＋53，h (4)＝m －203，∴h (x )的最大值为m ＋53，∴m ＋53≤0，即m ≤－53.∴实数m 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－53.2．(2018²青岛期末)设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又因为f ′(x )＝a ＋b x2，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，所以f (x )＝x －3x.(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线y ＝f (x )上任一点，由y ′＝1＋3x2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋3x20(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 0(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0，所以切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x ，得y ＝x＝2x 0，所以切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0 |2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.3．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R)的图象为曲线C .(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．(3)证明：不存在与曲线C 同时切于两个不同点的直线． 解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3， 则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)． (2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由题意，及(1)可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k≥－1，解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1， 得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．(3)证明：设存在直线与曲线C 同时切于不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2，则点A (x 1，y 1)处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 31－2x 21＋3x 1＝(x 21－4x 1＋3)(x －x 1)，化简得y ＝(x 21－4x 1＋3)x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－23x 31＋2x 21，而点B (x 2，y 2)处的切线方程是y ＝(x 22－4x 2＋3)x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－23x 32＋2x 22. 由于两切线是同一直线，则有x 21－4x 1＋3＝x 22－4x 2＋3，即x 1＋x 2＝4；又有－23x 31＋2x 21＝－23x 32＋2x 22，即－23(x 1－x 2)²(x 21＋x 1x 2＋x 22)＋2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝0，则－13(x 21＋x 1x 2＋x 22)＋4＝0，则x 1(x 1＋x 2)＋x 22－12＝0，即(4－x 2)³4＋x 22－12＝0，即x 22－4x 2＋4＝0，解得x 2＝2.但当x 2＝2时，由x 1＋x 2＝4得x 1＝2，这与x 1≠x 2矛盾． 所以不存在与曲线C 同时切于两个不同点的直线．第二节 导数与函数的单调性本节主要包括2个知识点：1.利用导数讨论函数的单调性或求函数的单调区间；2．利用导数解决函数单调性的应用问题.突破点(一) 利用导数讨论函数的单调性或求函数的单调区间[基本知识]1．函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数．2．由函数的单调性与导数的关系可得的结论(1)函数f(x)在(a，b)内可导，且f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.当x∈(a，b)时，f′(x)≥0⇔函数f(x)在(a，b)上单调递增；f′(x)≤0⇔函数f(x)在(a，b)上单调递减．(2)f′(x)>0(<0)在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增(减)的充分条件．[基本能力]1．判断题(1)若函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么在区间(a，b)上一定有f′(x)>0.( )(2)如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0，则函数f(x)在此区间上没有单调性．( )(3)f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件．( )答案：(1)³(2)√(3)³2．填空题(1)函数f(x)＝e x－x的减区间为________．答案：(－∞，0)(2)函数f(x)＝1＋x－sin x在(0,2π)上的单调情况是________．答案：单调递增(3)已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，则a的最大值是________．答案：3[全析考法][例1] (2016²山东高考节选)已知f (x )＝a (x －ln x )＋2x －1x2，a ∈R.讨论f (x )的单调性．[解] f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －a x －2x 2＋2x 3＝ ax 2－2 x －1 x 3.当a ≤0，x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．当a ＞0时，f ′(x )＝a x －1 x 3⎝⎛⎭⎪⎫x － 2a ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2a .①若0＜a ＜2，则 2a＞1， 当x ∈(0,1)或x ∈⎝⎛⎭⎪⎫2a，＋∞时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1，2a 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．②若a ＝2，则2a＝1，在x ∈(0，＋∞)内，f ′(x )≥0，f (x )单调递增．③若a ＞2，则0＜2a＜1，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 或x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫2a，1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．综上所述，当a ≤0时，f (x )在(0,1)内单调递增， 在(1，＋∞)内单调递减；当0＜a ＜2时，f (x )在(0,1)内单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1， 2a 内单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫2a，＋∞内单调递增；当a ＝2时，f (x )在(0，＋∞)内单调递增； 当a ＞2时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 2a 内单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫2a，1内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增．[方法技巧]导数法研究函数f (x )在(a ，b )内单调性的步骤(1)求f ′(x )；(2)确定f ′(x )在(a ，b )内的符号；(3)作出结论：f ′(x )＞0时为增函数；f ′(x )＜0时为减函数．[提醒] 研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．求函数的单调区间[例2] (2018²山东德州期中)已知函数f (x )＝13x 3－(2m ＋1)x 2＋3m (m ＋2)x ＋1，其中m为实数．(1)当m ＝－1时，求函数f (x )在[－4,4]上的最大值和最小值； (2)求函数f (x )的单调递增区间．[解] (1)当m ＝－1时，f (x )＝13x 3＋x 2－3x ＋1，f ′(x )＝x 2＋2x －3＝(x ＋3)(x －1)．当x <－3或x >1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当－3<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． ∴当x ＝－3时，f (x )极大值＝10；当x ＝1时，f (x )极小值＝－23.又∵f (－4)＝233，f (4)＝793，∴函数f (x )在[－4,4]上的最大值为793，最小值为－23.(2)f ′(x )＝x 2－2(2m ＋1)x ＋3m (m ＋2) ＝(x －3m )(x －m －2)．当3m ＝m ＋2，即m ＝1时，f ′(x )＝(x －3)2≥0，∴f (x )单调递增，即f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．当3m >m ＋2，即m >1时，由f ′(x )＝(x －3m )(x －m －2)>0可得x <m ＋2或x >3m ， 此时f (x )的单调递增区间为(－∞，m ＋2)，(3m ，＋∞)．当3m <m ＋2，即m <1时，由f ′(x )＝(x －3m )(x －m －2)>0可得x <3m 或x >m ＋2， 此时f (x )的单调递增区间为(－∞，3m )，(m ＋2，＋∞)． 综上所述：当m ＝1时，f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)； 当m >1时，f (x )的单调递增区间为(－∞，m ＋2)，(3m ，＋∞)； 当m <1时，f (x )的单调递增区间为(－∞，3m )，(m ＋2，＋∞)．[方法技巧] 用导数求函数单调区间的三种类型及方法[全练题点]1.[考点二](2018²江西金溪一中等校联考)已知函数f (x )与f ′(x )的图象如图所示，则函数g (x )＝f xex的单调递减区间为( )A ．(0,4)B ．(－∞，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫43，4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43 D ．(0,1)，(4，＋∞)解析：选D g ′(x )＝f ′ x e x －f x e x e x2＝f ′ x －f xex，令g ′(x )<0，即f ′(x )－f (x )<0，由题图可得x ∈(0,1)∪(4，＋∞)．故函数g (x )的单调递减区间为(0,1)，(4，＋∞)．故选D.2.[考点二](2018²芜湖一模)函数f (x )＝e x－e x ，x ∈R 的单调递增区间是( ) A.()0，＋∞ B.()－∞，0 C.()－∞，1D.()1，＋∞解析：选D 由题意知，f ′(x )＝e x－e ，令f ′(x )＞0，解得x ＞1，故选D. 3.[考点一]已知函数f (x )＝x －2x＋1－a ln x ，a ＞0.讨论f (x )的单调性．解：由题意知，f (x )的定义域是(0，＋∞)，导函数f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2.设g (x )＝x 2－ax ＋2，二次方程g (x )＝0的判别式Δ＝a 2－8.①当Δ≤0，即0＜a ≤22时，对一切x ＞0都有f ′(x )≥0.此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．②当Δ＞0，即a ＞22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，0＜x 1＜x 2.所以f (x )，f ′(x )随x 的变化情况如下表：此时f (x )在 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－82上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－82，a ＋a 2－82上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－82，＋∞上单调递增．4.[考点二]已知函数f (x )＝ax 2＋1(a ＞0)，g (x )＝x 3＋bx .(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值； (2)当a 2＝4b 时，求函数f (x )＋g (x )的单调区间． 解：(1)f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b ，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧f 1 ＝a ＋1＝c ，g 1 ＝1＋b ＝c ，2a ＝3＋b ，解得a ＝b ＝3.(2)令F (x )＝f (x )＋g (x )＝x 3＋ax 2＋a 24x ＋1，F ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a 24，令F ′(x )＝0，得x 1＝－a 2，x 2＝－a6，∵a >0，∴x 1<x 2，由F ′(x )>0得，x <－a 2或x >－a6；由F ′(x )<0得，－a 2<x <－a6.∴函数f (x )＋g (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫－a6，＋∞；单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫－a 2，－a 6.突破点(二) 利用导数解决函数单调性的应用问题利用导数解决函数单调性的应用问题主要有：(1)已知函数的单调性求参数范围问题：此类问题是近几年高考的热点，一般为解答题的第二问，难度中档．有时也以选择题、填空题的形式出现，难度中高档．解决此类问题的关键是转化为恒成立问题，再参变分离，转化为最值问题求解．(2)比较大小或解不等式问题：利用导数方法解决此类问题的主要技巧就是灵活地构造函数，通过函数的性质求解．[全析考法]已知函数的单调性求参数的取值范围[例1] (1)若f (x )在区间(1，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围； (2)若f (x )在区间(－1,1)上为减函数，求a 的取值范围； (3)若f (x )的单调递减区间为(－1,1)，求a 的值．[解] (1)因为f ′(x )＝3x 2－a ，且f (x )在区间(1，＋∞)上为增函数， 所以f ′(x )≥0在(1，＋∞)上恒成立，即3x2－a≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3x2在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3，即a的取值范围为(－∞，3]．(2)因为f(x)在区间(－1,1)上为减函数，所以f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，即a≥3x2在(－1,1)上恒成立．因为－1＜x＜1，所以3x2＜3，所以a≥3.即a的取值范围为[3，＋∞)．(3)因为f(x)＝x3－ax－1，所以f′(x)＝3x2－a.由f′(x)＝0，得x＝±3a3(a≥0)．因为f(x)的单调递减区间为(－1,1)，所以3a3＝1，即a＝3.[方法技巧]由函数的单调性求参数取值范围的方法(1)可导函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围，注意检验等号成立时导数是否在(a，b)上恒为0.(2)可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集，即f′(x)max>0(或f′(x)min<0)在该区间上有解，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围．(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I上含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围．比较大小或解不等式[例2] (1)(2017²吉林长春三模)定义在R上的函数f(x)满足：f′(x)＞f(x)恒成立，若x1＜x2，则e x1f(x2)与e x2f(x1) 的大小关系为( )A．e x1f(x2)＞e x2f(x1)B．e x1f(x2)＜e x2f(x1)C．e x1f(x2)＝e x2f(x1)D．e x1f(x2)与e x2f(x1)的大小关系不确定(2)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (1)＝1，且f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为________．[解析] (1)设g (x )＝f xex，则g ′(x )＝f ′ x e x －f x e x e x2＝f ′ x －f xex，由题意得g ′(x )＞0，所以g (x )单调递增， 当x 1＜x 2时，g (x 1)＜g (x 2)，即f x 1 ex 1＜f x 2ex 2，所以e x 1f (x 2)＞e x 2f (x 1)．(2)设F (x )＝f (x )－12x ，∴F ′(x )＝f ′(x )－12，∵f ′(x )<12，∴F ′(x )＝f ′(x )－12<0，即函数F (x )在R 上单调递减．∵f (x 2)<x 22＋12，∴f (x 2)－x 22<f (1)－12，∴F (x 2)<F (1)，而函数F (x )在R 上单调递减， ∴x 2>1，即x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)． [答案] (1)A (2)(－∞，－1)∪(1，＋∞)[方法技巧]利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．常见构造的辅助函数形式有：(1)f (x )>g (x )→F (x )＝f (x )－g (x )； (2)xf ′(x )＋f (x )→[xf (x )]′； (3)xf ′(x )－f (x )→⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x x ′；(4)f ′(x )＋f (x )→[e xf (x )]′； (5)f ′(x )－f (x )→⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x e x ′.[全练题点]1.[考点一]若函数f (x )＝x 3－ax 2＋4在区间[0,2]上单调递减，则( ) A ．a ≥3 B ．a ＝3 C ．a ≤3D ．0<a <3解析：选A 因为函数f (x )＝x 3－ax 2＋4在区间[0,2]上单调递减，所以f ′(x )＝3x 2－2ax ≤0在[0,2]上恒成立．当x ＝0时，显然成立，当x ≠0时，a ≥32x 在(0,2]上恒成立．因为32x ≤3，所以a ≥3.综上，a ≥3. 2.[考点一]已知函数f (x )＝12x 2－t cos x ，若其导函数f ′(x )在R 上单调递增，则实数t 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13C ．[－1,1]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13 解析：选C 因为f (x )＝12x 2－t cos x ，所以f ′(x )＝x ＋t sin x ．令g (x )＝f ′(x )，因为f ′(x )在R 上单调递增，所以g ′(x )＝1＋t cos x ≥0恒成立，所以t cos x ≥－1恒成立，因为cos x ∈[－1,1]，所以⎩⎪⎨⎪⎧－t ≥－1，t ≥－1，所以－1≤t ≤1，即实数t 的取值范围为[－1,1]．3.[考点二]对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足1－xf ′ x≤0，则必有( )A ．f (0)＋f (2)＞2f (1)B ．f (0)＋f (2)≤2f (1)C ．f (0)＋f (2)＜2f (1)D ．f (0)＋f (2)≥2f (1)解析：选A 当x ＜1时，f ′(x )＜0，此时函数f (x )单调递减，当x ＞1时，f ′(x )＞0，此时函数f (x )单调递增，∴当x ＝1时，函数f (x )取得极小值同时也取得最小值，所以f (0)＞f (1)，f (2)＞f (1)，则f (0)＋f (2)＞2f (1)．4.[考点二](2018²江西赣州联考)定义在R 上的函数f (x )满足：f (x )>1－f ′(x )，f (0)＝0，f ′(x )是f (x )的导函数，则不等式e xf (x )>e x－1(其中e 为自然对数的底数)的解集为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)解析：选A 设g (x )＝e xf (x )－e x，则g ′(x )＝e xf (x )＋e xf ′(x )－e x.由已知f (x )>1－f ′(x )，可得g ′(x )>0在R 上恒成立，即g (x )是R 上的增函数．因为f (0)＝0，所以g (0)＝－1，则不等式e xf (x )>e x－1可化为g (x )>g (0)，所以原不等式的解集为(0，＋∞)．5.[考点一](2018²四川成都模拟)已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在区间[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．解析：由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－ x －1 x －3x，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，∴1∈(t ，t ＋1)或3∈(t ，t ＋1)⇔⎩⎪⎨⎪⎧t ＜1，t ＋1＞1或⎩⎪⎨⎪⎧t ＜3，t ＋1＞3⇔0＜t ＜1或2＜t ＜3.答案：(0,1)∪(2,3)6.[考点一](2018²辽宁大连双基测试)已知函数f (x )＝ln x ＋axx ＋1(a ∈R)．(1)若函数f (x )在区间(0,4)上单调递增，求a 的取值范围； (2)若函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝2x 相切，求a 的值． 解：(1)f ′(x )＝1x ＋a x ＋1 －ax x ＋1 2＝ x ＋1 2＋axx x ＋1 2. ∵函数f (x )在区间(0,4)上单调递增，∴f ′(x )≥0在(0,4)上恒成立，∴(x ＋1)2＋ax ≥0，即a ≥－x 2＋2x ＋1x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －2在(0,4)上恒成立． ∵x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1时取等号，∴a ∈[－4，＋∞)．(2)设切点为(x 0，y 0)，则y 0＝2x 0，f ′(x 0)＝2，y 0＝ln x 0＋ax 0x 0＋1，∴1x 0＋ax 0＋1 2＝2，①且2x 0＝ln x 0＋ax 0x 0＋1.②由①得a ＝⎝⎛⎭⎪⎫2－1x(x 0＋1)2，③代入②，得2x 0＝ln x 0＋(2x 0－1)(x 0＋1)， 即ln x 0＋2x 20－x 0－1＝0.令F (x )＝ln x ＋2x 2－x －1，x >0，则 F ′(x )＝1x ＋4x －1＝4x 2－x ＋1x>0，∴F (x )在(0，＋∞)上单调递增． ∵F (1)＝0，∴x 0＝1，代入③式得a ＝4.[全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(2014²全国卷Ⅱ)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选D 因为f (x )＝kx －ln x ，所以f ′(x )＝k －1x.因为f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增， 所以当x >1时，f ′(x )＝k －1x≥0恒成立，即k ≥1x在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x >1，所以0<1x<1，所以k ≥1.故选D.2．(2016²全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是( )A ．[－1,1]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13 解析：选C 法一：取a ＝－1，则f (x )＝x －13sin 2x －sin x ，f ′(x )＝1－23cos 2x －cos x ，但f ′(0)＝1－23－1＝－23＜0，不具备在(－∞，＋∞)单调递增的条件，故排除A 、B 、D.故选C.法二：函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，等价于f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝－43cos 2x ＋a cos x ＋53≥0在(－∞，＋∞)恒成立．设cos x ＝t ，则g (t )＝－43t 2＋at ＋53≥0在[－1,1]恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧g 1 ＝－43＋a ＋53≥0，g －1 ＝－43－a ＋53≥0，解得－13≤a ≤13.故选C.3．(2015²全国卷Ⅱ)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R)的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)D ．(0,1)∪(1，＋∞) 解析：选A 设y ＝g (x )＝f xx(x ≠0)，则g ′(x )＝xf ′ x －f xx 2，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，∴g ′(x )<0，∴g (x )在(0，＋∞)上为减函数，且g (1)＝f (1)＝－f (－1)＝0.∵f (x )为奇函数，∴g (x )为偶函数，∴g (x )的图象的示意图如图所示．当x >0时，由f (x )>0，得g (x )>0，由图知0<x <1，当x <0时，由f (x )>0，得g (x )<0，由图知x <－1，∴使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.4．(2017²全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝a e 2x＋(a －2)e x－x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围． 解：(1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝2a e 2x ＋(a －2)e x －1＝(a e x －1)(2e x ＋1)．(ⅰ)若a ≤0，则f ′(x )<0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减． (ⅱ)若a >0，则由f ′(x )＝0，得x ＝－ln a . 当x ∈(－∞，－ln a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(－ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞，－ln a )上单调递减，在(－ln a ，＋∞)上单调递增． (2)(ⅰ)若a ≤0，由(1)知，f (x )至多有一个零点．(ⅱ)若a >0，由(1)知，当x ＝－ln a 时，f (x )取得最小值，最小值为f (－ln a )＝1－1a＋ln a .①当a ＝1时，由于f (－ln a )＝0， 故f (x )只有一个零点；②当a ∈(1，＋∞)时，由于1－1a＋ln a >0，即f (－ln a )>0，故f (x )没有零点；③当a ∈(0,1)时，1－1a＋ln a <0，即f (－ln a )<0.又f (－2)＝a e －4＋(a －2)e －2＋2>－2e －2＋2>0， 故f (x )在(－∞，－ln a )有一个零点．设正整数n 0满足n 0>ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a－1，则f (n 0)＝e n 0(a e n 0＋a －2)－n 0>e n 0－n 0>2n 0－n 0>0.由于ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a－1>－ln a ，因此f (x )在(－ln a ，＋∞)有一个零点． 综上，a 的取值范围为(0,1)．[课时达标检测][小题对点练——点点落实]对点练(一) 利用导数讨论函数的单调性或求函数的单调区间1.(2018²福建龙岩期中)函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图，则函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋23bx ＋c 3的单调递减区间为( )A ．(－∞，－2)B ．[3，＋∞)C ．[－2,3]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞解析：选A 由题图可以看出－2,3是函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的两个极值点，即方程f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ＝0的两根，所以－2b 3＝1，c 3＝－6，即2b ＝－3，c ＝－18，所以函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋23bx ＋c 3可化为y ＝log 2(x 2－x －6)．解x 2－x －6>0得x <－2或x >3.因为二次函数y ＝x 2－x －6的图象开口向上，对称轴为直线x ＝12，所以函数y ＝log 2(x 2－x －6)的单调递减区间为(－∞，－2)．故选A.2．(2017²焦作二模)设函数f (x )＝2(x 2－x )ln x －x 2＋2x ，则函数f (x )的单调递减区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：选B 由题意可得f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2(2x －1)ln x ＋2(x 2－x )²1x－2x ＋2＝(4x －2)ln x ．由f ′(x )<0可得(4x －2)ln x <0，所以⎩⎪⎨⎪⎧4x －2>0，ln x <0，或⎩⎪⎨⎪⎧4x －2<0，ln x >0，解得12<x <1，故函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，故选B.3．(2018²湖北荆州质检)函数f (x )＝ln x －12x 2－x ＋5的单调递增区间为________．。

2-8A 组 专项基础训练 (时间：45分钟)A.12，0 B ．－2，0 C.12D ．0 【解析】 当x ≤1时，由f (x )＝2x －1＝0， 解得x ＝0；当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0， 解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解． 综上函数f (x )的零点只有0，故选D. 【答案】 D2．方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【解析】 (数形结合法) ∵a >0，∴a 2＋1>1.而y ＝|x 2－2x |的图象如图，∴y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有两个交点． 【答案】 B3．(2019·湖南四月调研)已知函数f (x )＝ln x －⎝⎛⎭⎫12x －2的零点为x 0，则x 0所在的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4) 【解析】 ∵f (x )＝ln x －⎝⎛⎭⎫12x －2在(0，＋∞)是增函数，又f (1)＝ln 1－⎝⎛⎭⎫12－1＝ln 1－2<0，f (2)＝ln 2－⎝⎛⎭⎫120<0， f (3)＝ln 3－⎝⎛⎭⎫121>0， ∴x 0∈(2，3)，故选C. 【答案】 C4．函数f (x )＝x cos x 2在区间0，4]上的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 【解析】 由f (x )＝x cos x 2＝0， 得x ＝0或cos x 2＝0.又x ∈0，4]，所以x 2∈0，16]．由于cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋k π＝0(k ∈Z )，而在π2＋k π(k ∈Z )的所有取值中，只有π2，3π2，5π2，7π2，9π2满足在0，16]内，故零点个数为1＋5＝6. 【答案】 C5．已知三个函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝x －2，h (x )＝log 2x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．b <a <c D ．c <a <b【解析】 方法一：由于f (－1)＝12－1＝－12<0，f (0)＝1>0，且f (x )为R 上的递增函数． 故f (x )＝2x ＋x 的零点a ∈(－1，0)． ∵g (2)＝0，∴g (x )的零点b ＝2； ∵h ⎝⎛⎭⎫12＝－1＋12＝－12<0，h (1)＝1>0， 且h (x )为(0，＋∞)上的增函数， ∴h (x )的零点c ∈⎝⎛⎭⎫12，1，因此a <c <b . 方法二：由f (x )＝0得2x ＝－x ；由h (x )＝0得log 2x ＝－x 作出函数y ＝2x ， y ＝log 2x 和y ＝－x 的图象(如图)．由图象易知a <0，0<c <1，而b ＝2， 故a <c <b . 【答案】 B6．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )>0的解集是________． 【解析】 ∵f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2，3. ∴－2，3是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，∴f (x )＝x 2－x －6. ∵不等式af (－2x )>0，即－(4x 2＋2x －6)>0⇔2x 2＋x －3<0， 解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－32<x <1.【答案】 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－32<x <1 7．函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________． 【解析】 由于ln 2<ln e ＝1， 所以f (2)<0，f (3)＝2＋ln 3， 由于ln 3>1，所以f (3)>0，所以增函数f (x )的零点位于区间(2，3)内， 故n ＝2. 【答案】 28．(2019·湖北)函数f (x )＝4cos 2 x2cos ⎝⎛⎭⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为________．【解析】 先化简f (x )，把函数的零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题求解． f (x )＝4cos 2 x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝2(1＋cos x )sin x －2sin x －|ln(x ＋1)| ＝2sin x cos x －|ln(x ＋1)|＝sin 2x －|ln(x ＋1)|. 由f (x )＝0，得sin 2x ＝|ln(x ＋1)|. 设y 1＝sin 2x ，y 2＝|ln(x ＋1)|，在同一平面直角坐标系中画出二者的图象，如图所示．由图象知，两个函数图象有两个交点，故函数f (x )有两个零点． 【答案】 29．判断函数f (x )＝4x ＋x 2－23x 3在区间－1，1]上零点的个数，并说明理由．【解析】 因为f (－1)＝－4＋1＋23＝－73<0，f (1)＝4＋1－23＝133>0，所以f (x )在区间－1，1]上有零点． 又f ′(x )＝4＋2x －2x 2＝92－2⎝⎛⎭⎫x －122，当－1≤x ≤1时，0≤f ′(x )≤92，所以f (x )在－1，1]上单调递增． 所以f (x )在－1，1]上有且只有一个零点．10．关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间0，2]上有解，求实数m 的取值范围． 【解析】 方法一：设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋1，x ∈0，2]， ①若f (x )＝0在区间0，2]上有一解， ∵f (0)＝1>0，则应有f (2)<0， 又∵f (2)＝22＋(m －1)×2＋1， ∴m <－32.②若f (x )＝0在区间0，2]上有两解，则∴－32≤m ≤－1.由①②可知m 的取值范围是(－∞，－1]．方法二：显然x ＝0不是方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0的解， 0<x ≤2时，方程可变形为 1－m ＝x ＋1x，又∵y ＝x ＋1x 在(0，1]上单调递减，1，2]上单调递增，∴y ＝x ＋1x在(0，2]的取值范围是2，＋∞)，∴1－m ≥2，∴m ≤－1，故m 的取值范围是(－∞，－1]．B 组 专项能力提升 (时间：25分钟)11．设函数f (x )的零点为x 1，g (x )＝4x ＋2x －2的零点为x 2，若|x 1－x 2|≤0.25，则f (x )可以是( )A ．f (x )＝x 2－1B ．f (x )＝2x －4C ．f (x )＝ln(x ＋1)D ．f (x )＝8x －2 【解析】 选项A ：x 1＝±1； 选项B ：x 1＝2； 选项C ：x 1＝0； 选项D ：x 1＝28＝14.∵g (x )为增函数，g (1)＝4＋2－2>0， g (0)＝1－2<0， g ⎝⎛⎭⎫12＝2＋1－2>0， g ⎝⎛⎭⎫14＝2＋12－2<0， ∴x 2∈⎝⎛⎭⎫14，12.故选D. 【答案】 D【解析】 利用函数的零点分段求解． ①当0<x ≤1时，方程为－ln x ＝1，解得x ＝1e.②当1<x <2时，f (x )＋g (x )＝ln x ＋2－x 2单调递减，值域为(ln 2－2，1)，方程f (x )＋g (x )＝1无解，方程f (x )＋g (x )＝－1恰有一解．③当x ≥2时，f (x )＋g (x )＝ln x ＋x 2－6单调递增，值域为ln 2－2，＋∞)，方程f (x )＋g (x )＝1恰有一解，方程f (x )＋g (x )＝－1恰有一解．综上所述，原方程有4个实根． 【答案】 413．若方程4－x 2＝k (x －2)＋3有两个不等的实根，则k 的取值范围是________． 【解析】 作出函数y 1＝4－x 2和y 2＝k (x －2)＋3的图象如图所示，函数y 1的图象是圆心在原点，半径为2的圆在x 轴上方的半圆(包括端点)，函数y 2的图象是过定点P (2，3)的直线，因为点A (－2，0)，则k P A ＝3－02－（－2）＝34.直线PB 是圆的切线，由圆心到直线的距离等于半径得，|3－2k PB |k 2PB ＋1＝2，得k PB ＝512.由图可知当k PB <k ≤k P A 时，两函数图象有两个交点，即原方程有两个不等实根．所以512<k ≤34.【答案】 ⎝⎛⎦⎤512，3414．(2019·湖南)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________． 【解析】 将函数f (x )＝|2x －2|－b 的零点个数问题转化为函数y ＝|2x －2|的图象与直线y ＝b 的交点个数问题，数形结合求解．由f (x )＝|2x －2|－b ＝0 得|2x －2|＝b .在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象，如图所示，则当0<b <2时，两函数图象有两个交点，从而函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点． 【答案】 (0，2)15．已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x(x >0)．(1)若y ＝g (x )－m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根． 【解析】 (1)方法一：∵g (x )＝x ＋e 2x ≥2e 2＝2e ，等号成立的条件是x ＝e ， 故g (x )的值域是2e ，＋∞)，因而只需m ≥2e ，则y ＝g (x )－m 就有零点． 方法二：作出g (x )＝x ＋e 2x(x >0)的大致图象如图．可知若使y ＝g (x )－m 有零点，则只需m ≥2e.(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异实根，即g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点， 作出g (x )＝x ＋e 2x(x >0)的大致图象如图．∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2. ∴其图象的对称轴为x ＝e ，开口向下， 最大值为m －1＋e 2. 故当m －1＋e 2>2e ， 即m >－e 2＋2e ＋1时， g (x )与f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根． ∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．。