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求函数值域的常见方法

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求函数值域的常见方法总结【观察法】有的函数结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质直接观察出函数的值域。

例题：求函数212y x =+【配方法】配方法是求“二次函数类”值域的基本方法。

2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法，解题过程中，要特别关注自变量的取值范围。

例题：确定函数（1）4y =（2）y x=的值域。

【分离常数法】此方法适合与分式函数的值域问题，思路是用分母表示分子，分离出常数，使分子不含变量，再借助基本函数的值域求解。

例题：确定下列函数的值域 （1）312x y x +=- （2）221x x y x x -=-+【判别式法】把函数转化成关于x 的二次方程(,)0F x y =，通过方程有实根，判别式0∆≥，从而求得原函数的值域。

形如21112222a xb xc y a x b x c ++=++（12,a a 不同时为0）的函数的值域常用此法求得。

前提是定义域为R 且分子、分母没有公因式。

例题：求下列函数的值域 （1）22221x x y x x -+=++ （2）22321x x y x -+=-【反解x 法】将y 视为变量，利用数式的性质或已知函数的值域求y ，体现了方程思想。

例题：求下列函数的值域 （1）221xxy =+ （2）2sin 2sin xy x-=+ 【换元法】运用代数或者三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域。

形如y ax b =+±,,,a b c d 均为常数，且0a ≠）的函数常用此法求解。

令t =3t d x c-=且t ≥，使之变为二次函数，再利用配方法；对于含有的结构的函数，可利用三角代换，令cos x a θ=，[0,]θπ∈，或令sin x a θ=，[,]22ππθ∈-。

例题：求下列函数的值域（1）2y x =+ （2）y x =【不等式法】利用基本不等式a b +≥，用此法求值域时，要注意条件“一正二定三相等”即①0a >，0b >；②a b +（ab ）为定值；③取等号条件a b =。

例题：求下列函数的值域（1）231x y xx =++（0x <）；（2）2211x x y x x -+=++； （3）24524x x y x -+=-（52x ≥） 【单调性法】先确定函数的定义域（或定义域的某个子集上）的单调性，再求出函数的值域的方法为单调性法。

考虑用单调性法求值域常见的有y ax b =++,,,a b c d 均为常数，且0ac ≠）看a 与d 是否同号，若同号用单调性求值域，若异号则用换元法求值域；还有在利用重要不等式求值域失效（等号不满足）的情况下，可采用单调性求值域，但须熟悉下述结论。

函数k y x x=+（0,0x k >>），x ∈，函数递减；)x ∈+∞，函数递增。

例题：求下列函数的值域 （1）2y =（2）41y x =-【求导法】当一个函数在定义域上可导时，可根据其导数求最值。

例题：设326158y x x x =+--，试求y 在[0,3]上的最大值和最小值。

【课堂练习】1．求下列函数的值域（1）2131xy -=+ （2）2sin 4cos 1y x x =++（3）125x y x -=+ （4）229712x y x x -=-+ （5）234xy x =+ （6）61y x =++（7）22x y x =- （8）1()2xx y ee -=-确定函数解析式的常见方法【配凑法】根据具体解析式凑出复合变量的形式，从而求出解析式。

例题：已知2211()1f x xxx+=++，求()f x 的表达式【换元法】换元法就是通过引入一个或几个新的变量来替换原来的某些量的解题方法，它的基本功能是化难为易、化繁为简，以快速实现从未知向已知的转换，从而达到顺利解题的目的。

常见的换元法是多种多样的，诸如：局部换元、整体换元、三角换元、分母换元、平均换元等等，它的应用及其广泛。

例题：已知函数()f x 满足21(log)()1a a f x x a x=--（其中0a >，1a ≠，1x >），求()f x 的表达式【待定系数法】已知函数的特征，求函数解析式，可用待定系数法，设出待定系数，根据已知条件建立方程组求出待定系数的值。

例题：设()f x是一次函数，且[()]43=+，求()f x。

f f x x【消元法】此方法的实质是解函数方程。

例题：已知1f x f x+=，求()f x的解析式。

()2()3x【赋值法】赋值法是指给定的关于某些变量的一般关系式，赋予恰当的数值或代数式后，通过运算推理，最后得出结论的一种解题方法。

例题：已知(0)1-=--+，求()f x。

f=，()()(21)f a b f a b a b【典型例题】例题1：已知二次函数()f x满足(2)1f-=-，且f=-，(1)1()f x 的最大值是8，试确定此二次函数。

例题2：已知2()1f x x =-，1(0)()2(0)x x g x xx ->⎧=⎨-<⎩，求[()]f g x 和[()]g f x 的表达式。

例题3：已知()f x 是定义在[6,6]-上的奇函数，它在[0,3]上式一次函数，在[3,6]上是二次函数，且当[3,6]x ∈时，()(5)3f x f ≤=，(6)2f =，求()f x 的解析式。

【课后练习】1、设二次函数()y f x =的最小值为4，且(0)(2)6f f ==，求()f x 的解析式。

2、已知函数()21f x x =-，2,0()1,0x x g x x ⎧≥=⎨-<⎩，求[()]f g x 和[()]g f x 的表达式。

3、()f x 是定义在R 上的偶函数，其图像关于直线2x =对称，且当(2,2)x ∈-时，2()1f x x =-+，求当(6,2)x ∈--时的表达式。

判断函数奇偶性的方法【定义法】基本步骤如下：（1）确定函数的定义域，看定义域是否关于原点对称，若不对称，则函数为非奇非偶函数； （2）若函数的定义域关于原点对称，函数表达式能化简的，则对函数进行适当化简，以便进行判断；（3）若函数较复杂，可利用变形式子，用求和（或差）法，即看()()f x f x -±与0的关系，或用求商法，即看()()f x f x -与1±的关系；（4）分段函数应分段讨论，要注意根据x 的范围取相应的函数表达式判断。

例题：判断下列函数的奇偶性（1）()|3|3f x x =+-； （2）22()x f x x +=3|03x x x x +⎧⎫∈≥⎨⎬-⎩⎭；（3）0.5()log(f x x =+； （4）2,(0)()2,(0)x x f x x x -<⎧=⎨-->⎩； 【图像法】可借助图像的对称性来判定函数的奇偶性：①()f x 为奇函数⇔其图像关于原点成中心对称图形；②()f x 为偶函数⇔其图像关于y 轴成轴对称图形；例题：求函数2,(0)()2,(0)x x f x x x -<⎧=⎨-->⎩【性质法】（1）奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；（2）在定义域的公共部分内，两奇函数的积（或商）为偶函数；一奇一偶函数之积（或商）为奇函数，两奇函数（或两偶函数）的和、差为奇函数（偶函数）。

函数单调区间的几种确定方法【数形结合法】数形结合法是确定函数单调区间的方法，函数的单调区间形象直观地反映在函数的图像中。

例题：函数||(1)y x x =-在区间A 上式增函数，那么A 的区间是（ ）.A (,0)-∞ .B 1[0,]2.C [0,)+∞ .D 1(,)2+∞ 【复合函数法】复合函数()[()]F x f g x =的单调性一般由函数()y f u =和()u g x =的单调性来确定：（1）当()g x 和()f u 的单调性相同时，函数()F x 为单调递增函数；（2）当()g x 和()f u 的单调性相反时，函数()F x 为单调递减函数；例题：求函数2log (28)ay x x =-++（0a >且1a ≠）的单调区间。

【定义探索法】判断函数的单调性，可根据单调函数的定义，即在()f x 的定义域内任取12x x <，来考查12()()f x f x -的符号，这是常用的方法。

例题：若1(log )af x x x -=+（0a >且1a ≠），求函数()f x 的单调区间。

【导数法】基本步骤：（1）求出函数()f x 的导数'()f x ；（2）如果'()0f x >，则()f x 单调递增，如果'()0f x <，则()f x 单调递减，求出其相应的解集就分别是单调递增和递减区间。

例题：已知函数247()2x f x x-=-，[0,1]x ∈，求()f x 的单调区间。

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高考数学复习函数值域的13种求法

高考数学复习函数值域的13种求法

函数值域十三种求法1. 直接观察法利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域，对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,其值域可通过观察直接得到。

例1. 求函数x 1y =的值域解：∵0x ≠ ∴0x 1≠ 显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域 解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的范围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域 解：将函数配方得：4)1x (y 2+-=∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max =故函数的值域是：[4，8]评注：配方法往往需结合函数图象求值域．3. 判别式法(只有定义域为整个实数集R 时才可直接用) 对于形如21112222a xb xc y a x b x c ++=++（1a ，2a 不同时为0）的函数常采用此法，就是把函数转化成关于x 的一元二次方程（二次项系数不为0时），通过方程有实数根，从而根的判别式大于等于零，求得原函数的值域．对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简如:.112..22222222b a y 型：直接用不等式性质k+xbx b. y 型,先化简，再用均值不等式x mx nx 1 例：y 1+x x+xx m x n c y 型 通常用判别式x mx nx mx n d. y 型 x n法一：用判别式 法二：用换元法，把分母替换掉x x 1（x+1）（x+1）+1 1 例：y （x+1）1211x 1x 1x 1==++==≤''++=++++=+++-===+-≥-=+++例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域 解：原函数化为关于x 的一元二次方程0x )1y (x )1y (2=-+-（1）当1y ≠时，R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆ 解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。

求函数值域的常见方法大全教师版

求函数值域的常见方法大全教师版

求函数值域的几种常用方法在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。

研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。

确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。

对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。

本文就求函数值域的方法归纳如下，供参考。

一、直接观察法这是最基本的方法，通过对函数的定义域及其对应关系的观察分析，求函数的值域。

例1 求函数y =x 1的值域。

解： x ≠0 ，∴ x1≠0显然函数的值域是：（ -∞，0 ）∪（0 ，+∞）. 例2 求函数y = 3 -x 的值域。

解： x ≥0 ∴- x ≤0 3 -x ≤3 故函数的值域是：(,3]-∞ .二、反函数法当一个函数存在反函数又便于求其反函数时，可以通过求原函数的定义域来确定反函数的值域。

例3 求函数y =6543++x x 值域。

解：由原函数式可得：x =3564--y y，则其反函数为：4653xy x -=- 其定义域为：x ≠53，故所求函数的值域为：33(,)(,)55-∞⋃+∞.注：本题还可以用分离系数法，把原函数式变形为：3252530y x =++同样达到目的。

例4 求函数11()211()2xxy -=+值域。

解：由原函数式可得：121log 1yx y-=+，则其反函数为：121log 1xy x -=+ 由101xx->+，知11x -<<， 故所求函数的值域为：(1,1)-.注：本题还可以利用函数的有界性法，把原函数式变形为：11()021xyy-=>+同样达到目的 三、配方法配方法是求二次函数（即形如2()()()f x ag x bg x c =++的函数）值域最基本的方法之一。

求函数值域十种常见求法总结

求函数值域十种常见求法总结

函数值域方法归纳1．常见函数的值域．（1）一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R ．（2）二次函数()20y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭， 当0a <时的值域为24,4ac b a ⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦． （3）反比例函数()0k y k x=≠的值域为{}0y R y ∈≠． （4）指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >． （5）对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R ．（6）正，余弦函数的值域为[]1,1-，正切函数的值域为R ．2．求函数值域（最值）的常用方法．一、观察法（根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数）1、求y=|x+2|+3的值域．2、求函数y =的值域． 二、配方法（当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求值域）1、求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域．2、若,42=+y x 0,0>>y x ，试求xy 的最大值。

三、反表示法（分子、分母只含有一次项的函数，也可用于其它易反解出自变量的函数类型）1、求函数12+=x x y 的值域． 2、求函数2241x y x +=-的值域．四、判别式法（分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为0)()()(2=++y C x y B x y A 的形式，再利用判别式加以判断）1、求函数2122x y x x +=++的值域．2、求函数3274222++-+=x x x x y 的值域五、换元法（通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是无理函数、三角函数（用三角代换）等）1、求函数的值域①y x =+x x y 41332-+-=．2.求函数y=cos2x-sinx+3的值域。

六、数形结合法（对于一些能够准确画出函数图像的函数来说，可以先画出其函数图像，然后利用函数图像求其值域）1、求函数13y x x =-+-的值域。

求函数的值域、最值的13种方法

求函数的值域、最值的13种方法


⑦单调性法：先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值．这种求解方
法在高考中是必考的，且多在解答题的某一问中出现．
⑧导数法：设函数 f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，则 f(x)在[a，b]上的最
大值和最小值应为 f(x)在(a，b)内的各极值与 f(a)，f(b)中的最大值和最小值．利用这种
方法二：（判别式法）由
1 y＝x＋ ＋1，得
x2＋(1－y)x＋1＝0.
x
∵方程有实根，∴Δ＝(1－y)2－4≥0.即(y－1)2≥4，∴y－1≤－2 或y－1≥2.得y≤－1 或y≥3.
1 （x＋1）（x－1）
方法三：（导数法）令 y′＝1－ ＝
<0，得－1<x<0 或 0<x<1.
x2
x2
∴函数在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，此时y≥3；函数在(－1，0)上递减，在(－∞，－1)上递增，
此时 y≤－1.∴y≤－1 或 y≥3.即函数值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
(4)方法一：（单调性法）定义域为{x|x≥－1}，函数y＝2x，y＝ 1＋x均在[－1，＋∞)上递增，
故 y≥2×(－1)＋ 1＋（－1）＝－2.
方法二：（换元法）令 1＋x＝t，则 t≥0，且 x＝t2－1.
∴y＝2t2＋t－2＝2(t＋1)2－17≥－2(t≥0)．∴函数值域为[－2，＋∞)． 48
cx＋d
2x＋1 sinx＋2
③反解法：适用于分子、分母只含有一次项的函数（即有理分式一次型），也可用于易反解出
自变量的函数类型.
④配方法：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)及二次型函数 y＝a[f(x)]2＋b[f(x)]＋c(a≠0) ⑤换元法：换元法有两类，即代数换元和三角换元．如可用三角代换解决形如 a2＋b2＝1 及部