12角的概念的推广和弧度制
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角的概念的推广和弧度制、任意角的三角函数
【基础知识】
1．角的概念
(1)任意角：
①定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个
位置所成的图形；
②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．
(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°
＋α，k∈Z}．
(3)象限角：
①定义：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那
么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么这个角不属于任何一个象限．
②分类：角按终边位置不同分为象限角和轴线角．
2．弧度制
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，正角的弧度数
是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是零．
(2)用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．|α|＝l
r，l是以角α作为圆心
角时所对圆弧的长，r为半径．比值l
r与所取的r的大小无关，仅与角的大小
有关．
(3)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝
π
180rad,1 rad＝⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
180
π°.
(4)扇形的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝1
2lr＝
1
2|α|·r
2.
3．任意角的三角函数
(1)任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sin α＝y，cos α＝x，tan α＝y
x.三个三角函数的初步性质如下表：
三角函数定义域第一象
限符号
第二象
限符号
第三象
限符号
第四象
限符号
sin αR＋＋－－cos αR＋－－＋
tan α{α|α≠kπ＋π
2，k∈Z}
＋－＋－
(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦．4．三角函数线
如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T.
三角函数线
(Ⅰ)(Ⅱ)
(Ⅲ)(Ⅳ)
有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有
向线段AT为正切线
[难点正本疑点清源]
1．对角概念的理解要准确
(1)不少同学往往容易把“小于90°的角”等同于“锐角”，把“0°～90°的
角”等同于“第一象限的角”．其实锐角的集合是{α|0°<α<90°}，第一象限角的集合为{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}．
(2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角的同一
三角函数值相等．
2．对三角函数的理解要透彻
三角函数也是一种函数，它可以看成是从一个角(弧度制)的集合到一个比值的集合的函数，也可以看成是以实数为自变量的函数，定义域为使比值有意义的角的范围．
如tan α＝y
x 有意义的条件是角α终边上任一点P (x ，y )的横坐标不等于零，也
就是角α的终边不能与y 轴重合，故正切函数的定义域为⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫α|α≠k π＋π
2，k ∈Z .
3． 三角函数线是三角函数的几何表示
(1)正弦线、正切线的方向同纵轴一致，向上为正，向下为负． (2)余弦线的方向同横轴一致，向右为正，向左为负．
(3)当角α的终边在x 轴上时，点T 与点A 重合，此时正切线变成了一个点，当角α的终边在y 轴上时，点T 不存在，即正切线不存在．
(4)在“数”的角度认识任意角的三角函数的基础上，还可以从图形角度考察任意角的三角函数，即用有向线段表示三角函数值，这是三角函数与其他基本初等函数不同的地方．
【基础应用】
填表: 度
0°
45° 60°
180°
210 225 240 360°
弧度
6π
2
π
2
3π
Sin cos tan
题型一 角的有关问题
例1
(1)写出终边在直线y＝3x上的角的集合；
(3)已知角α是第一象限角，试确定2α、α
2所在的象限．
题型二三角函数的定义例2
（1）已知角α的终边经过点P(x，－2) (x≠0)，且cos α＝
3
6x，求sin α＋
1
tan α
的值．
（2）已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．题型三三角函数线、三角函数值的符号
例3(1)若θ是第二象限角，试判断sin(cos θ)
cos(sin 2θ)
的符号；
(2)已知cos α≤－1
2，求角α的集合．
(3)y＝sin x－
3
2的定义域为________．
题型四扇形的弧长、面积公式的应用
例4已知一扇形的圆心角为α (α>0)，所在圆的半径为R.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
(2)若扇形的周长是一定值C (C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面
基础训练 一、选择题
1． 角α的终边过点P (－1,2)，则sin α等于
( )
A.55
B.255
C ．－5
5
D ．－255
2． 若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是
( )
A ．sin α＋cos α<0
B ．tan α－sin α<0
C ．cos α－tan α<0
D ．tan αsin α<0
3． 已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
4． 有下列命题：
①终边相同的角的同名三角函数的值相等； ②终边不同的角的同名三角函数的值不等； ③若sin α>0，则α是第一、二象限的角；
④若α是第二象限的角，且P (x ，y )是其终边上一点，则cos α＝－x
x 2＋y 2
. 其中正确的命题的个数是
( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5、若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为
A.3
π
B.32π
C.
3
D.2
6、在半径为10 cm 的圆中，3
4π的圆心角所对弧长为
A.3
40π
B.3
20π C.3
200π
D.3
400π
7、圆的半径是6 cm ，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是
A.2
π cm 2
B.2
3π cm 2 C.πcm 2
D.3π cm 2
二、填空题
8． 已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限． 9． 设α为第二象限角，其终边上一点为P (m ，5)，且cos α＝2
4m ，则sin α的值为________．
10．函数y ＝sin x ＋1
2－cos x 的定义域是________________________．
三、解答题
11． 已知角θ的终边经过点P (－3，m ) (m ≠0)且sin θ＝
2
4
m ，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值．
12．一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB .
作 业
1．把 化成
的形式是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．1 920°转化为弧度数为( )
A.
163 B.323 C.16π3 D.32π3
3．圆的半径为r ，该圆上长为3
2
r 的弧所对的圆心角是( )
A.23 rad
B.32 rad
C.2
3 π D.3
2
π 4．终边在坐标轴上的角的集合是( )
A ．{α|α＝2kπ，k ∈Z} B.{}α| α＝kπ，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪
⎪⎪
α＝kπ＋π
2，k ∈Z
D.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
α⎪
⎪⎪
α＝1
2kπ，k ∈Z
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．下列四个角：1,60°，π
3
，－
π
6
的大小为________．
二、填空题
6．设集合：
, ，，
则集合A、B、C的关系是。
7．角终边落在第二、四象限的角的平分线上，则角的集合是。
