压轴题1

1 1 如图，已知抛物线y＝41x2＋bx经过点(4，0)，顶点为M。

(1) 求b的值；

(2) 将该抛物线沿它的对称轴向下平移n个单位长度，平移后的抛物线与x轴交于A(6，0)、B两点，与y轴交于C点。①试求n的值；②在第二象限内的抛物线y＝41x2＋bx上找一个点P，使得：S△PBC＝S△MBC，并求出点P的坐标。

B y

x

C M O A 2 2 如图，已知抛物线4412bxxy经过点（-0,2），与y轴交于A点，与x轴交于B、C两点.

（1）求b的值；

（2）设以线段BC为直径的圆的圆心为点D，试判断点A与⊙D的位置关系，并说明理由；

（3）设P是抛物线上一个动点，且点P位于第一象限内，求当四边形PAOC的面积最大时，求点P的坐标.

3 3. 已知：如图，抛物线3212bxxy与x轴的正半轴交于A、B两点(A在B的左侧)，且与y轴交于点C，O为坐标原点，4OB.

(1)直接写出点B、C的坐标及b的值；

(2)过射线．．CB上一点N，作MN∥OC分别交抛物线、x轴于M、T两点，设点N的横坐标为t.

①当40t时，求线段MN的最大值；

②以点N为圆心，MN为半径作⊙N，当点B恰好在⊙N上时，求此时点M的坐标.

yxTNBACOM 4 4．如图，已知平行四边形ABCD的顶点A的坐标是(016)，，AB平行于x轴，BCD，，三点在抛物线2425yx上，DC交y轴于N点，一条直线OE与AB交于E点，与DC交于F点，如果E点的横坐标为a，四边形ADFE的面积为1352．

（1）求出BD，两点的坐标；

（2）求a的值；

（3）作ADN△的内切圆P，切点分别为MKH，，，求tanPFM的值．

x y

A E

B

H

D M N P K F

C

O 5 5.如图，在平面直角坐标系x0y中，半径为1的圆的圆心O在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点。抛物线2ybxcax与y轴交于点D，与直线y=x交于点M、N，且MA、NC分别与圆O相切与点A和点C。

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线的对称轴交x轴于点E，连接DE，并延长DE交圆O于F，求EF的长；

（3）过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P，判断点P是否在抛物线上，说明理由。

6 1 解：（1）把点(4，0)代入抛物线y＝41x2＋bx 解得：b＝－1

(2)①由（1）得：y＝41x2－x＝41(x－2) 2－1 ∴顶点M(2，－1)

设抛物线平移后的解析式为y＝41(x－2) 2－1－n

∵平移后的抛物线与x轴交于A(6，0) ∴41(6－2) 2－1－n＝0 解得：n＝3

②过点M作直线PM∥BC交抛物线于P，则S△PBC＝S△MBC

由①得：平移后的解析式为y＝41(x－2) 2－4，其图象与x轴交点B(－2，0)，

与y轴交点C(0，－3)。设直线BC的解析式为y＝kx＋m

∴302bbk 解得：35.1bk ∴y＝－23x－3

设直线PM的解析式为y＝－23x＋b，并把M(2，－1)代入得：b＝2 ∴y＝－23x＋2

∵平移后的抛物线与直线PM交于P， ∴41(x－2) 2－4＝－23x＋2

整理得：x 2＋2x－8＝0 解得：x1＝－4，x 2＝2 (不合题意，舍去)

当x1＝－4时，y＝－23×(－4) ＋2＝8 ∴点P(－4，8)

2 解：（1）∵抛物线4412bxxy经过点（-0,2）

∴0422412b

∴23b……………………………………（3分）

（2）令0423412xx解得：8,221xx

∴0,8,0,2CB ∴0,3,10DBC ……………………………（6分）

令0x得：4y ∴4OA

∴BCODOAAD215342222 ……………………………（7分）

∴点AD 在⊙D上…………………………………………………………………（8分）

（3）连接OP，设yxP,，则四边形PAOC的面积为：

42341424221212xxxyxyOCxOASSSPOCPAO

32416822xxx ………………………………………（12分）

∴当4x，即P的坐标为6,4时，S最大．…………………………（13分） 7 3解：(1)点0,4B、3,0C，

411b.…………………………………………………………（3分）

（2）①如图1，设过点0,4B、3,0C的直线CB的解析式为 0ykxmk，

则有40,3kmm，解得：3,43km

∴直线CB的解析式是343xy………………………………（ 5分）

∵MN∥OC

∴依题意得：343,ttN, M341121,2ttt，

∵当04t时，点M在点N的下方

∴2311133424MNttt

221221222ttt.

…………………………………………………………………………………………………（ 7分）

∴当2t时，MN有最大值2.…………………………………………………………………（ 8分）

②依题意得：当MNNB时，点B恰好在⊙N上………………………………………………（9分）

a）当04t时，如图1，由①得：MN2122tt

又∵MN∥OC，OC⊥OB

∴MN⊥OB，垂足为(,0)Tt

∴4cos5TBOBNBTNBBC，即54NBTB……………………………………………………（Ⅰ）

此时点N在点T的上方，点T在点B的左边，

∴4TBt

代入（Ⅰ）式，可得：5(4)4NBt yxTNBACOM(图1)

(图2) yxTNBACOM 8 由2122tt5(4)4t，可整理得：0201322tt，

解得41t（不合题意，舍去），252t,

故此时点M的坐标是43,25.…………………（ 11分）

b）当4t时，如图2，点M在点N的上方，MN2122tt

此时点N在点T的下方，点T在点B的右边，

∴4TBt

代入（Ⅰ）式，可得：5(4)4NBt

由251(4)242ttt，可整理得：0201322tt，

解得41t（不合题意，舍去），252t（不合题意，舍去）. ……………………………（ 13分）

综上，符合题意的点M的坐标为43,25.

4（1）∵点A的坐标为（0，16），且AB∥x轴

∴B点纵坐标为4，且B点在抛物线2254xy上

∴点B的坐标为（10，16）...............................1分

又∵点D、C在抛物线2254xy上，且CD∥x轴

∴D、C两点关于y轴对称

∴DN＝CN＝5...............................2分

∴D点的坐标为（－5,4）...............................3分

（2）设E点的坐标为（a，16），则直线OE的解析式为：xay16..............................4分 9

∴F点的坐标为（4,4a）..............................5分

由AE＝a，DF＝54a且2135ADFES梯形，得

2135)416)(54(21aa..............................6分

解得a＝5..............................7分

（3）连结PH，PM，PK

∵⊙P是△AND的内切圆，H，M，K为切点

∴PH⊥AD PM⊥DN PK⊥AN..............................8分

在Rt△AND中，由DN＝5，AN＝12，得AD＝13

设⊙P的半径为r，则12521)13125(21rSAND r＝2.............................9分

在正方形PMNK中，PM＝MN＝2

∴413452NFMNMF

在Rt△PMF中，tan∠PMF＝1384132MFPM.............................10分

5：解：（1）21yxx，

（2）3510，

（3）点P在抛物线上，

设yDC=kx+b,将（0，1），（1，0），带入得k=-1,b=1， 10 ∴直线CD为y=-x+1，

∵过点B作⊙O的切线BP与x轴平行，

∴P点的纵坐标为-1，

把y=-1带入y=-x+1得x=2，

∴P（2，-1），

将x=2带入21yxx，得 y=-1，

∴点P在抛物线21yxx上。