第3章 模糊控制的数学基础
3.1 概述
模糊数学为模糊系统与模糊控制的发展提供了起点和基本语言。模糊数学本身就是一个巨大的领域，其原理是由用模糊集合的概念取代经典数学理论中的集合概念而发展来的。按照这种方式，所有的经典数学分支都可以被“模糊化”，于是诞生了模糊测度理论、模糊拓扑、模糊算数和模糊分析等等分支。显然，模糊数学中仅有一部分可以应用到工程中去。本章仅仅介绍后续模糊控制器设计中所用到的相关内容。
在现实生活中，人们接触过很多概念。任何一个概念都有着其内涵和外延。概念的内涵是这一概念的本质属性，而概念的外延是指符合这一概念的对象范围。当我们谈论某一个概念的外延时，总离不开一定的讨论范围。如我们讨论“工业控制计算机”这一概念时，自然我们不会去考虑那些风马牛不相及的事物，如汽车、机床或老鼠、大象等。我们讨论的这个范围称为“论域”，论域中的每个对象称为“元素”。而具有某些特定属性的元素的全体构成了该论域上的一个集合。对于这些明确的概念，我们可以用德国数学家康托(Contor Georg,
1845-1918)提出的经典集合来表示。对于这种具有明确外延的概念，即对于一个具体的对象来说，它要么属于这个概念的范围，要么不属于这个概念的范围。集合的特征函数描述了这个明确的外延。
然而，在现实生活中，有许多问题不能用Contor集合来描述，即，这些概念没有明确的外延。这种没有明确外延的概念我们称之为模糊概念。如，青年人、老年人、高个子、好人等概念。1965年美国自动控制理论专家L.A.Zadeh提出了模糊集合理论，解决了对这类概念的描述。模糊集合理论将Contor集合论中的概念拓展，即，把特征函数的取值范围从{0，1}扩充到[0，1]，不再把论域中的某个对象说成是属于这个集合还是不属于这个集合，而是说某个对象隶属于这个集合的程度是多少。
A u a b 1
图3-1 Contor集合的特征函0 µA (u)
绪言
任何新生事物的产生和发展，都要经过一个由弱到强,逐步成长壮大的过程，一种新理论、一种新学科的问世，往往一开始会受到许多人的怀疑甚至否定。模糊数学自1965年L.A.Zadeh教授开创以来所走过的道路，充分证实了这一点，然而，实践是检验真理的标准，模糊数学在理论和实际应用两方面同时取得的巨大成果，不仅消除了人们的疑虑，而且使模糊数学在科学领域中，占有了自己的一席之地。
经典数学是适应力学、天文、物理、化学这类学科的需要而发展起来的，不可能不带有这些学科固有的局限性。这些学科考察的对象，都是无生命的机械系统，大都是界限分明的清晰事物，允许人们作出非此即彼的判断，进行精确的测量，因而适于用精确方法描述和处理。而那些难以用经典数学实现定量化的学科，特别是有关生命现象、社会现象的学科，研究的对象大多是没有明确界限的模糊事物，不允许作出非此即彼的断言，不能进行精确的测量。清晰事物的有关参量可以精确测定，能够建立起精确的数学模型。模糊事物无法获得必要的精确数据，不能按精确方法建立数学模型。实践证明，对于不同质的矛盾，只有用不同质的方法才能解决。传统方法用于力学系统高度有效，但用于对人类行为起重要作用的系统，就显得太精确了，以致于很难达到甚至无法达到。
精确方法的逻辑基础是传统的二值逻辑，即要求符合非此即彼的排中律，这对于处理清晰事物是适用的。但用于处理模糊性事物时，就会产生逻辑悖论。如判断企业经济效益的好坏时，用“年利税在100万元以上者为经济效益好的企业”表达，否则，便是经济效益不好的企业。根据常识，显而易见：“比经济效益好的企业年利税少1元的企业，仍是经济效益好的企业”，而不应被划为经济效益不好的企业。这样，从上面的两个结论出发，反复运用经典的二值逻辑，我们最后就会得到，“年利税为0者仍为经济效益好的企业”的悖论。类似的悖论有许多，历史上最著名的有“罗素悖论”。它们都是在用二值逻辑来处理模糊性事物时产生的。
9.3 灰色关联决策
局势效果向量的靶心距是衡量局势优势的一个标准,而局势效果向量与最优效果向量的关联度是评价局势优劣的另一个准则.
定义9.3.1 设},),({BbAabasSjijiij为局势集，},,,{0000000021sjijijijiuuuu为最优效果向量，若00jiu所对应的局势Suji00，则称00jiu为理想最优效果向量，相应的00jis称为理想最优局势。
命题9.3.1 设},),({BbAabasSjijiij为局势集，局势ijs对应的效果向量为
},,,{21sijijijijuuuu；ni,,2,1； mj,,2,1
（1）当k目标效果值越大越好时，取kijmjnikjiuu1,1max00；
（2）当k目标效果值接近某一适中值0u为好时，取000uukji；
（3）当k目标效果值越小越好时，取kijmjnikjiuu1,1min00；
则sjijijijiuuuu00000000,,,21为理想最优效果向量。
命题9.3.2 设},),({BbAabasSjijiij为局势集，局势ijs对应的效果向量为
},,,{21sijijijijuuuu；ni,,2,1； mj,,2,1；
sjijijijiuuuu00000000,,,21
为理想最优效果向量，ij（ni,,2,1； mj,,2,1）为iju与00jiu的灰色绝对关联度，若11ji满足对任意ni,,2,1且1ii和任意mj,,2,1且1jj，恒有ijji11，则11jiu为次优效果向量，11jis为次优局势。
灰色关联决策可按下列步骤进行：
第一步：确定事件集naaaA,,,21和对策集mbbbB,,,21，构成局势集},),({BbAabasSjijiij;
模糊数学及其应用
引言
任何新生事物的产生和发展，都要经过一个由弱到强,逐步成长壮大的过程，一种新理论、一种新学科的问世，往往一开始会受到许多人的怀疑甚至否定。模糊数学自1965年L.A.Zadeh教授开创以来所走过的道路，充分证实了这一点，然而，实践是检验真理的标准，模糊数学在理论和实际应用两方面同时取得的巨大成果，不仅消除了人们的疑虑，而且使模糊数学在科学领域中，占有了自己的一席之地。
经典数学是适应力学、天文、物理、化学这类学科的需要而发展起来的，不可能不带有这些学科固有的局限性。这些学科考察的对象，都是无生命的机械系统，大都是界限分明的清晰事物，允许人们作出非此即彼的判断，进行精确的测量，因而适于用精确方法描述和处理。而那些难以用经典数学实现定量化的学科，特别是有关生命现象、社会现象的学科，研究的对象大多是没有明确界限的模糊事物，不允许作出非此即彼的断言，不能进行精确的测量。清晰事物的有关参量可以精确测定，能够建立起精确的数学模型。模糊事物无法获得必要的精确数据，不能按精确方法建立数学模型。实践证明，对于不同质的矛盾，只有用不同质的方法才能解决。传统方法用于力学系统高度有效，但用于对人类行为起重要作用的系统，就显得太精确了，以致于很难达到甚至无法达到。
精确方法的逻辑基础是传统的二值逻辑，即要求符合非此即彼的排中律，这对于处理清晰事物是适用的。但用于处理模糊性事物时，就会产生逻辑悖论。如判断企业经济效益的好坏时，用“年利税在100万元以上者为经济效益好的企业”表达，否则，便是经济效益不好的企业。根据常识，显而易见：“比经济效益好的企业年利税少1元的企业，仍是经济效益好的企业”，而不应被划为经济效益不好的企业。这样，从上面的两个结论出发，反复运用经典的二值逻辑，我们最后就会得到，“年利税为0者仍为经济效益好的企业”的悖论。类似的悖论有许多，历史上最著名的有“罗素悖论”。它们都是在用二值逻辑来处理模糊性事物时产生的。
