专题19抛物线三年高考数学(理)试题分项版解析Word版含解析
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1.【2017课标1，理10】已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为
A．16 B．14 C．12 D．10
【答案】A
【解析】试题分析：设11223344(,),(,),(,),(,)AxyBxyDxyExy，直线方程为1(1)ykx
联立方程214(1)yxykx得2222111240kxkxxk∴21122124kxxk212124kk
同理直线与抛物线的交点满足22342224kxxk
由抛物线定义可知1234||||2ABDExxxxp
221222222212121224244416482816kkkkkkkk
当且仅当121kk（或1）时，取得等号.
【考点】抛物线的简单性质
2.【2016年高考四川理数】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线22(p0)ypx上任意一点，M是线段PF上的点，且PM=2MF,则直线OM的斜率的最大值为( )
（A）33（B）23（C）22（D）1
【答案】C
【解析】
试题分析：设22,2,,PptptMxy（不妨设0t），则22,2.2pFPptpt由已知
得13FMFP，22,2362,3pppxtpty，22,332,3ppxtpty，2211212121222OMtkttt，max22OMk，故选C.
考点：抛物线的简单的几何性质，基本不等式的应用．
3.【2016年高考四川理数】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线22(p0)ypx上任意一点，M是线段PF上的点，且PM=2MF,则直线OM的斜率的最大值为( )
（A）33（B）23（C）22（D）1
【答案】C
【解析】
试题分析：设22,2,,PptptMxy（不妨设0t），则22,2.2pFPptpt由已知得13FMFP，22,2362,3pppxtpty，22,332,3ppxtpty，2211212121222OMtkttt，max22OMk，故选C.
考点：抛物线的简单的几何性质，基本不等式的应用．
【名师点睛】本题考查抛物线的性质，结合题意要求，利用抛物线的参数方程表示出抛物线上点P的坐标，利用向量法求出点M的坐标，是我们求点坐标的常用方法，由于要求最大值，因此我们把k斜率用参数表示出后，可根据表达式形式选用函数，或不等式的知识求出最值，本题采用基本不等式求出最值．
4.【2016高考新课标1卷】以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、E两点.已知|AB|=42,|DE|=25,则C的焦点到准线的距离为
(A)2 (B)4 (C)6 (D)8
【答案】B
【解析】
【名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算,注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因.
5.【2015高考四川，理10】设直线l与抛物线24yx相交于A，B两点，与圆22250xyrr相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）
（A）13，（B）14，（C）23，（D）24，
【答案】D
【解析】
显然当直线的斜率不存在时，必有两条直线满足题设.当直线的斜率存在时，设斜率为.设11221200(,),(,),,(,)AxyBxyxxMxy，则21122244yxyx，相减得121212()()4()yyyyxx.由于12xx，所以12121222yyyyxx，即02ky.圆心为(5,0)C，由CMAB得000001,55ykkyxx，所以0025,3xx，即点M必在直线3x上.将3x代入24yx得2012,2323yy.因为点M在圆22250xyrr上，所以22222000(5),412416xyrry.又2044y（由于斜率不存在，故00y，
所以不取等号），所以204416,24yr.选D.
xy–12123456789–1–2–3–4–5–6123456ABCFOM
6.【2015高考浙江，理5】如图，设抛物线24yx的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则BCF与ACF的面积之比是（ ）
A. 11BFAF B. 2211BFAF
C. 11BFAF D. 2211BFAF
【答案】A.
【解析】11AFBFxxACBCSSABACFBCF，故选A.
【考点定位】抛物线的标准方程及其性质
【名师点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其性质，属于中档题，解题时，需结合平面几何中同高的三角形面积比等于底边比这一性质，结合抛物线的性质：抛物线上的点到准线的距离等于其到焦点的距离求解，在平面几何背景下考查圆锥曲线的标准方程及其性质，是高考中小题的热点，在复习时不能遗漏相应平面几何知识的复习.
7.【2017课标II，理16】已知F是抛物线C:28yx的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N。若M为FN的中点，则FN。
【答案】6
【解析】
试题分析：
【考点】抛物线的定义；梯形中位线在解析几何中的应用。
【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化。如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题。因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化。
8.【2016高考天津理数】设抛物线222xptypt，（t为参数，p＞0）的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点
A作l的垂线，垂足为B.设C（72p,0），AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|，且△ACE的面积为32，则p
的值为_________.
【答案】6
【解析】
试题分析：抛物线的普通方程为22ypx，(,0)2pF，7322pCFpp，又2CFAF，则32AFp，由抛物线的定义得32ABp，所以Axp，则||2Ayp，由//CFAB得EFCFEAAB，即2EFCFEAAF，所以262CEFCEASS，92ACFAECCFESSS，
所以132922pp，6p．
考点：抛物线定义
【名师点睛】1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．
2．若P(x0，y0)为抛物线y2＝2px(p＞0)上一点，由定义易得|PF|＝x0＋p2；若过焦点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．
9.【2016高考浙江理数】若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是_______．
【答案】
【解析】
试题分析：1109MMxx
考点：抛物线的定义．
【思路点睛】当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时，一般会想到转化为抛物线上的点到准线的距离．解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离，进而可得点到y轴的距离．
10.【2017北京，理18】已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）.过点（0，12）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.
（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点.
【答案】（Ⅰ）方程为2yx，抛物线C的焦点坐标为（14，0），准线方程为14x.（Ⅱ）详见解析.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）代入点P求得抛物线的方程，根据方程表示焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）设直线l的方程为12ykx（0k），与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，直线ON的方程
为22yyxx，联立求得点B的坐标2112(,)yyxx，证明1211220yyyxx.
试题解析：解：（Ⅰ）由抛物线C：22ypx过点P（1，1），得12p.
所以抛物线C的方程为2yx.
抛物线C的焦点坐标为（14，0），准线方程为14x.
21122112112222yyyyyyxxyxxx122112211()()222kxxkxxxxx
122121(22)()2kxxxxx22211(22)42kkkkx0，
所以211122yyyxx.
故A为线段BM的中点.
【考点】1.抛物线方程；2.直线与抛物线的位置关系
【名师点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了转换与化归能力，当看到题目中出现直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整
体代换到后面的计算中去，从而减少计算量.
11.【2016高考江苏卷】（本小题满分10分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线:20lxy，抛物线2:y2(0)Cpxp
（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；
（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.
①求证：线段PQ的中点坐标为(2,).pp；
