宜宾专版2019年中考数学总复习第4章图形的初步认识与三角形第15讲等腰三角形与直角三角形精练试题
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第十五讲 等腰三角形与直角三角形
(时间：45分钟)
一、选择题
1.如图,已知等腰三角形ABC,AB＝AC,若以点B为圆心,BC长为半径画弧,交腰AC于点E,则下列结论一定正确的是( C )
A.AE＝EC B.AE＝BE
C.∠EBC＝∠BAC D.∠EBC＝∠ABE
,(第1题图) ,(第2题图)
2.某城市几条道路的位置关系如图所示,已知AB∥CD,AE与AB的夹角为48°,若CF与EF的长度相等,则∠C的度数为( D )
A.48° B.40° C.30° D.24°
3.如图,△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形,△BCD中,∠DBC＝90°,∠BCD＝60°,DC的中点为E,AD与BE的延长线交于点F,则∠AFB的度数为( B )
A.30° B.15° C.45° D.25°
,(第3题图) ,(第5题图)
4.已知等腰三角形的两条边长分别为2和3,则它的周长为( D )
A.7 B.8 C.5 D.7或8
5.如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,CD⊥AB,垂足为D,点E是AB的中点,CD＝DE＝a,则AB的长为( B )
A.2a B.22a C.3a D.433
6.一次函数y＝x＋1的图象交x轴于点A,交y轴于点B.点C在x轴上,且使得△ABC是等腰三角形,符合题意的点C有( C )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
二、填空题
7.如图,在△ABC中,∠B＝__25°__.
8.如图,已知直线l1∥l2,将等边三角形如图放置,若α＝40°,则β等于__20°__.
,(第7题图) ,(第8题图) ,(第9题图)
9.如图,已知△ABC中,AB＝AC,AD平分∠BAC,E是AC的中点,若AB＝6,则DE的长为__3__.
10.如图,已知Rt△ABE中,∠A＝90°,∠B＝60°,BE＝10,D是线段AE上的一动点,过D作CD交BE于C,并使得∠CDE＝30°,则CD长度的取值范围是__0＜CD≤5__.
,(第10题图) ,(第11题图)
11.如图,在△ABC中,AB＝AC＝6,AB的垂直平分线交AB于点E,交BC于点D,连结AD,若AD＝4,则DC＝__5__.
12.在边长为4的等边三角形ABC中,D为BC边上的任意一点,过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F,则DE＋DF＝__23__.
三、解答题
13.如图,在△ABC中,AD⊥BC,EF垂直平分AC,交AC于点F,交BC于点E,且BD＝DE.
(1)若∠C＝40°,求∠BAD的度数；
(2)若AC＝5,DC＝4,求△ABC的周长.
解：(1)∵EF垂直平分AC,∴AE＝CE,
∴∠C＝∠EAC＝40°.
∵AD⊥BC,BD＝DE,
∴AB＝AE,
∴∠B＝∠BEA＝2∠C＝80°,
∴∠BAD＝90°－80°＝10°；
(2)由(1)知AE＝EC＝AB.∵BD＝DE,
∴AB＋BD＝DE＋AE＝DE＋CE＝DC,
∴C△ABC＝AB＋BC＋AC＝2DC＋AC＝2×4＋5＝13.
14.在等边△ABC中,点D、E分别在边BC、AC上,若CD＝2,过点D作DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F,求EF的长.
解：∵△ABC是等边三角形,
∴∠B＝∠ACB＝60°.
∵DE∥AB,∴∠EDC＝∠B＝60°,
∴△EDC是等边三角形,∴DE＝DC＝2.
在Rt△DEF中,∠DEF＝90°,∠EDF＝60°,
∴EF＝DE·tan 60°＝23.
15.如图,四边形ABCD中,∠ABC＝∠ADC＝90°,BD平分∠ABC,∠DCB＝60°,AB＋BC＝8,则AC的长是__863__.
16.如图①,△ABC是边长为4 cm的等边三角形,边AB在射线OM上,且OA＝6 cm.点D从O点出发,沿OM的方向以1 cm/s的速度运动.当D不与点A重合时,将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE,连结DE.
(1)求证：△CDE是等边三角形；
(2)如图②,当6＜t＜10时,△BDE的周长是否存在最小值？若存在,求出△BDE的最小周长；若不存在,请说明理由；
(3)如图③,当点D在射线OM上运动时,是否存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形？若存在,求出此时t的值；若不存在,请说明理由.
(1)证明：∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE,∴∠DCE＝60°,DC＝EC,
∴△CDE是等边三角形；
(2)存在.当6＜t＜10时,由旋转得BE＝AD,
∴C△BDE＝BE＋DB＋DE＝AB＋DE＝4＋DE.
由(1)知,△CDE是等边三角形,
∴DE＝CD,∴C△BDE＝CD＋4.
由垂线段最短可知,当CD⊥AB时,△BDE的周长最小,此时CD＝23 cm,
∴△BDE的最小周长为(23＋4) cm；
(3)存在.
①∵当点D与点B重合时,D、B、E不能构成三角形,∴当点D与点B重合时,不符合题意；
②当0≤t＜6时,由旋转可知,∠ABE＝60°,
∠BDE＜60°,∴∠BED＝90°.
由(1)可知,△CDE是等边三角形,
∴∠DEC＝60°,∴∠CEB＝30°.
∵∠CEB＝∠CDA,∴∠CDA＝30°.
∵∠CAB＝60°,∴∠ACD＝∠ADC＝30°,
∴DA＝CA＝4 cm,∴OD＝OA－DA＝6－4＝2 cm,∴t＝2÷1＝2；
③当6＜t＜10时,∠DBE＝120°＞90°,
∴此时不存在；
④当t＞10时,由旋转可得∠DBE＝60°.
又由(1)知∠CDE＝60°,
∴∠BDE＝∠CDE＋∠BDC＝60°＋∠BDC,
而∠BDC＞0°,∴∠BDE＞60°,
∴只能∠BDE＝90°.
从而∠BDC＝∠BCD＝30°,∴BD＝BC＝4 cm,
∴OD＝14 cm,∴t＝14÷1＝14.
综上所述,当t＝2或14时,以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形.
17.如图,已知AB＝A1B,A1B1＝A1A2,A2B2＝A2A3,A3B3＝A3A4,…,若∠A＝70°,则∠An－1AnBn－1的度数为( C
)
A.702n B.702n＋1 C.702n－1 D.702n＋2
