三角函数的周期性（说课稿）
江苏省常州高级中学周洁
使用教材：普通高中课程标准实验教科书数学4（必修）第1章《三角函数》
1.3.1 三角函数的周期性
一、教材分析
(一)教材内容及地位分析
三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型，有着广泛的实践意义和理论价值，它是学生在高中阶段学习的又一类重要的基本初等函数。《三角函数的周期性》位于本章的第三节，通过此前两节的学习，学生对任意角、弧度以及任意角的三角函数有了基本的认识，本节开始研究三角函数的图象和性质，周期性是其中第一个研究点。
本节的主要内容包括周期函数的定义，正弦、余弦、正切函数的周期性，经过复合的三角函数的周期并形成结论。
老教材以及现行的人教版、湘教版教材关于三角函数的性质以并列的形式呈现，但事实上对于学生而言，各条性质的学习在难易程度上是有很大区别的。必修1中学习的基本初等函数都不具备周期性，使学生没有任何经验可供类比，加之周期函数的概念比较抽象，是一个学习难点。而对三角函数周期性的理解，又关系到后续的单调性等性质的学习。因此，苏教版教材的编排顺序突出了三角函数周期性的地位，更符合学生的认知规律。
另一方面，在整个高中数学的学习中，周期性与单调性、奇偶性相比，无论是出现的频率还是知识的综合程度，要求都不高，因此，从课本内容的编排来看，并没有过多地纠缠于周期函数这一抽象的概念，而是偏重于对具体的三角函数周期性的认识，并且形成了相应的结论，今后只需直接用结论即可，因此，在教学中，教师应注意教学重心的把握。(二)教学目标
了解周期函数的概念，会判断一些简单的、常见的函数的周期性，并会求一些简单三角函数的周期。
根据学生的生活经验创设情境，使学生感受周期现象的广泛存在，认识周期现象的变化规律，从具体到抽象建立周期函数的概念，研究三角函数的周期，体会数形结合和化归转化的数学思想方法。
使学生感受到数学与生活的密切联系，体会从感性到理性的思维过程，培养学生勇于探索、勤于思考的科学素养。
(三) 教学重点、难点
周期函数的定义和正弦、余弦、正切函数的周期性
对周期函数概念的理解及周期函数y=A sin(ωx+φ)和y=A cos(ωx+φ) (其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期的求法
二、教法学法分析
①生活经验：生活中遇到过各种周期现象，但很少会有同学用数学的方式去思考周期现象；
②知识准备：函数的概念，三角函数线，诱导公式，（奇偶性的定义）；
③思想方法：数形结合，换元，化归；
④能力准备：一定的观察能力和逻辑思维能力，数学表达和数学交流的能力，但不同的学校、不同的班级层次、同一班级的学生之间存在一定的差异。
教学，是师生的双边活动。“教师为主导，学生为主体”的说法，确切地道出了教学系统中这两个要素之间的关系。为此，教学设计、教学方法的选择，首先应着眼于学生怎样学，既把学为主体作为实施教学的基本点，又使教为主导成为学生主体的根本保证。
本节课采用探究式教学法。在教学上运用多种方法，如观察、分析、归纳、讨论、类比，；学生在知识的学习过程中，重视知识的形成过程和概括过程；在解决问题中，引导学生多角度分析、归纳方法，注意锻炼学生的思维能力。教学过程中还要充分利用动态生成的课堂资源并考虑到学生个体之间的差异，尽可能激发每一位学生的学习热情和兴趣。
三、教学过程设计
(一)创设情境，提出问题
情境1：每天都有太阳的东升西落，每星期都是从星期一到星期日，每年都有春、夏、秋、冬四季的更替，摩天轮某一点高度的变化——生活中按一定规律“周而复始”的周期现象。
情境2：正、余弦函数值有规律的重复出现，三角函数线的变化规律呈现出周期现象。
提出问题：如何用数学语言刻画函数的周期性？
设计意图：利用生活中的问题和课本上已有的知识创设情境，使教学内容不仅贴近生活，而且来源于旧知，问题的提出体现了“使学生学会用数学的思考方式解决问题、认识世界”的课标理念。
(二)分析概括，提炼定义
问题1：之前学习的哪一个数学公式中蕴含了正、余弦函数值的重复出现及三角函数线的变化规律？（sin(x+2π)=sin x，cos(x+2π)=cos x）
问题2：若记f(x)=sin x，如何表达上述诱导公式？
问题3：你能否试着给周期函数下定义？
问题4：对比课本给出的定义思考哪些是定义中的关键词？（非零常数、定义域内、每一个）问题5：你如何理解这些关键词？
设计意图：通过环环相扣的问题引导学生思考，在给出周期函数的定义之前设置了三个问题，不会使这个抽象的定义来得突然，学生通过比较自己尝试写出的定义和课本给出的定义，加深了对周期函数定义的理解。（教师的引导要适度，不能操之过急，走得过远，不在函数理论上过于纠缠。）
(三)探索研究，深化定义
1．根据周期函数的定义，说明2π是正弦函数和余弦函数的周期。（用几何画板展示周期函数y=sin x的图象，使学生感知其图象特征。）
2．引导学生思考除了2π，是否存在其它的非零常数可以作为正弦函数和余弦函数的周期？这些常数有什么共同特征？能否用周期函数的定义加以解释？
3．提出最小正周期的概念，观察正弦线的变化特征观察出2π是正弦函数的最小正周期。（如何证明2π是正弦函数的最小正周期？是否所有的周期函数都有最小正周期？这些
问题在课堂上提出还是留作课后有能力的同学的思考根据学生的反应及课堂生成资源的情况而定）
4．类比得出余弦函数、正切函数的最小正周期。
5．引导学生思考为什么要研究在周期中是否存在着最小正周期？指出如不加说明，课本中所说的周期指最小正周期。（研究函数周期性的目的，就是要研究一个周期函数在整个定义域上的性质，只要研究它在一个周期内的性质，然后经过周期延拓即可。如果能够确定最小正周期，可使研究的范围缩小在最小正周期的范围内，这无疑给我们研究周期函数的性质带来方便。）
(四)运用新知，解决问题
例1：（课本P25例1）根据图形回答问题
设计意图：数形结合加深对函数周期性的理解。
例2：求下列函数的周期
（1）()3cos f x x =；（2）()cos 2f x x =；（3）()3cos(2)6f x x π=+
。
第（1）问，学生能很容易独立完成；
第（2）问，先由学生思考后发表意见，可能出现如下情况：①认为周期是2π；②认为π是周期，并用定义加以验证但无法解释为什么是最小正周期；③用换元的方法将问题化归为余弦函数的周期问题，从而得出结论π。对以上方案引导学生自我评价，相互评价后教师点评，并在黑板上板书第③种方案。
第（3）问，在解决（2）的基础上，由学生完成。
设计意图：课本仅由第（2）问的分析就直接给出最终结论，而对复合函数的认识，换元化归思想的应用，恰恰是学生理解的难点，设计三个小问，是希望在分析问题、解决问题的过程中突破难点，这也在无形中培养了学生的能力，有利于培养学生勇于探索、勤于思考的科学素养。 (五)归纳总结，形成结论
得出结论：周期函数y =A sin(ωx +φ)和y =A cos(ωx +φ) (其中A ，ω，φ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期为2T π
ω=。
设计意图：由于学生在例2中对结论的证明过程已经有了两次体验，而这一结论的证明本身比较抽象，今后也只需要用结论解决问题，因此仅通过归纳得出结论。
例3：（1）求函数()tan(5)3f x x π
=-的周期；
设计意图：类比结论得到y =A tan(ωx +φ) (其中A ，ω，φ为常数，且A ≠0，ω＞0)
