2021年九年级数学中考一轮复习专题突破训练（选择题专项）：轴对称之线段最短问题（二）
1．如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝120°，M是BC边的一个三等分点，P是对角线AC上的动点，当PB+PM的值最小时，PM的长是（ ）
A． B． C． D．
2．平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣1）三点，D（1，m）是一个动点，当△ACD的周长最小时，△ABD的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．2+
4．如图，直线l外不重合的两点A、B，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短，作法为：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′与直线l相交于点C，则点C为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是（ ）
A．转化思想
B．三角形的两边之和大于第三边 C．两点之间，线段最短
D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
5．如图，四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
6．如图，抛物线y＝x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y交于C点，且A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，m的值是（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，四边形OABC为正方形，边长为6，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D在OA上，且D的坐标为（2，0），P是OB上的一动点，试求PD+PA和的最小值是（ ）
A．2 B． C．4 D．6
8．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（ ）
中考压轴题（5）最短路径问题2
【典型例题】
1．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的
垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，
点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为_______．
2．图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．点A、B、M、N均在格点上．要求只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，保留作图痕迹．
（1）在图①中的线段MN上确定一点P，使PA+PB的值最小．
（2）在图②中的线段MN上确定两点C、D，使CD=2，且AC+CD+DB的值最小．
知识点
思想方法
步 骤
其 他 【对应练习】
3．如图，在RtABC中，90ACB＝，6AC，8BC，AD平分CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，求CEEF的最小值．
4．如图，在锐角ABC中，7ACcm，221ABCScm，AD平分BAC，MN、分别是AD和AB上的动点，求BMMN的最小值并说明理由.
5．如图1，△ABC中AB=AC，DE垂直平分AB分别交AB，AC于点D，E．
（1）若∠C=70°，则∠A的大小为 ；
（2）若AE=BC，求∠A的度数；
（3）如图2，点M是边BC上的一个定点，若点N在直线DE上，当BN+MN最小时，点N在何处？请用无刻度直尺作出点N的位置．（不需要说明理由，保留作图痕迹）
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，点O为坐标原点，点A在x轴上，点(0,6)B，ABAC，ABAC，30BAO．
（1）如图①，若点D为AB的中点，求OD的长；
（2）如图②，若点E在x轴上，且45OEB，求ACE的度数；
（3）如图③，设BF平分ABO交x轴于点P，点M是射线BF上一动点，点N是射线PA上一动点，OMMN的最大值为m，判断是否存在这样点M，N，使m的值最小？若存在，请在答题卷上作出点M，N，并直接写出作法和m的最小值；若不存在，请说明理由．
初中数学最短距离题型实例解析
1. 确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题；
2. 确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题；
3. 确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径；
4. 全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。
问题原型
“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”。
涉及知识：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”。
出题背景
角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
解题思路
找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。
12个基本问题
例题一：
已知在平面直角坐标系中，A(2，-3），B(4,-1). (1) 若点P（x,0)是X轴上的动点，当三角形PAB的周长最短时，求X的值。
(2) 若点C、D是X轴上的两个动点，且D（a，0），当四边形ABCD的周长最短时，求a的值；
(3) 设M、N分别为X轴、Y轴的动点。问是否存在这样的点（m,0）和N（0，n）使得四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出m、n。若不存在，请说明理由。
例题二：
应试小技巧
一、进入考场，首先要做的是让自己冷静下来。具体做法是：首先，做一次深呼吸，然后告诫自己：“欲速则不达”，“不要着急，按时交卷就行了”。
二、开考铃声响前有5分钟时间让你浏览试卷。此时不可用笔答题，否则违反考纪。你可以一边深呼吸，一边看试卷，但切记不可看作文题，以免影响答题情绪。
三、开考铃声响后允许答题。答题过程中要注意避免以下几种心态：
1、偏急心态，为了抢时间，没有审清题目条件，慌忙答题，解决方法是心中默念：“匆忙做题，做了也白做”。
2、固执心态，久攻不下的试题，又不愿意放弃，徒然浪费时间，解决方法是心中默念：“我攻不下，别人也攻不下，暂时先搁着，做了其它题目后或许会有灵感”。
1 奶站问题的讨论以及解决策略
奶站问题中中,关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或利用平移和展开图来处理。这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。理论依据：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”“立体图形展开图”。教材中的例题“饮马问题”，“造桥选址问题”“立体展开图”。考的较多的还是“饮马问题”。
解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，利用平移把“折”转“直”，利用平面展开图把“折”转“直”。
一、运用轴对称解决距离最短问题利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离。
基本思路是运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．
注意：利用轴对称解决最值问题应注意题目要求，根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．
1、两点在一条直线异侧
例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。
解：连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。（根据：两点之间线段最短.）
2、 两点在一条直线同侧
例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．
解：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C， 2 则点C就是所求的点．
应用1、（2009年达州）在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）.
