《方程的根与函数的零点》

3.1.1 方程的根与函数的零点”教学反思朱河中学李丹“方程的根与函数的零点”是高中课程标准新增的内容，教材用了三个版面（人民教育出版社《普通高中课程标准试验教科书·数学1（必修）A版》P.86-87)介绍本课.从表面上看，这一内容的教学并不困难，但要让学生真正理解，在教学设计和难点突破上需要下足够的功夫。

实施本节课的教学，得到一些感悟。

一、背景分析1、学习任务分析函数与方程是中学数学的重要内容,既是初等数学的基础,又是初等数学与高等数学的连接纽带.在新课程教学中有着不可替代的重要位置.为什么要引进函数的零点？原因是要用函数的观点统帅中学数学，把解方程问题纳入到函数问题中.引入函数的零点,解方程的问题就变成了求函数的零点问题。

就本章而言,本节通过对二次函数的图象的研究判断一元二次方程根的存在性以及根的个数的判断建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后由特殊到一般，将其推广到一般方程与相应的函数的情形．它既揭示了初中一元二次方程与相应的二次函数的内在联系,也引出对函数知识的总结拓展。

之后将函数零点与方程的根的关系在利用二分法解方程中（3。

1.2)加以应用，通过建立函数模型以及模型的求解(3.2）更全面地体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系．即体现了函数与方程的思想,又渗透了数形结合的思想.总之，本节课渗透着重要的数学思想“特殊到一般的归纳思想" “方程与函数"和“数形结合”的思想，教好本节课可以为学好中学数学打下一个良好基础，因此教好本节是至关重要的。

2、学生情况分析学生在学习本节内容之前已经学习了函数的图象和性质,理解了函数图象与性质之间的关系，尤其熟悉二次函数,并且已经具有一定的数形结合思想,这为理解函数的零点提供了直观认识,并为求出零点提供了支持，但学生基础普遍较差，因此在设计导学案的时候，都是以基础为主,没有把函数零点的存在性放在里面，主要是理解函数零点的概念和三者之间的关系，为后面零点的存在性和零点的分布打好基础。

3.1.1方程的根与函数的零点课题：方程的根与函数的零点教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学1）》授课: 孙金娥河北师大附属实验中学一、教学目标知识与技能：结合具体的函数图象和方程根的问题，了解函数的零点与方程根的联系，形成函数零点的概念及零点存在的判定方法。

过程与方法：在应用函数研究方程的过程中，体会函数与方程思想，数形结合思想以及化归思想；把从特殊函数零点存在的判定方法上升到一般函数，体现了从特殊到一般的研究方法。

情感态度与价值观：让学生亲身经历数学知识产生的过程，提高学生的学习能力，养成积极主动，勇于探索，不断创新的学习习惯和品质，感受探究的乐趣。

二、教学重点与难点：教学重点：方程的根与函数零点的关系及零点存在性定理的深入理解与应用教学难点：零点存在定理的发现与准确理解三、教学过程探究一：方程的根与相应函数的联系由一次函数做引导，启发学生完成表格方程x+1=0x2－2x－3=0函数y=x+1y= x2－2x－3 函数图象函数图象与x轴交点方程的实数根函数的零点（生先独立做，后可结组讨论）思考：观察方程根与相应函数图象有什么联系?学生叙述两者联系.)31(=x0log2=xxy)31(=xy2log=教师： 方程如果有实数根，那么方程的实数根就是相应函数的图象与x 轴交点的横坐标。

我们把这个横坐标叫做函数的零点。

我们给出零点的概念1.函数零点的概念对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点。

（zero point ） 注：零点是图像与x轴交点的横坐标，不是点设计意图：以学生熟悉的函数图象和方程为平台，观察方程和函数形式上的联系，从而得到方程实数根与函数图象之间的关系，自然的得到零点的概念，理解零点是连接函数与方程的结点。

探究二：结合零点的定义和探究的过程，你认为方程的根与函数的图像与函数的零点三者之间有何联系？方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点。

教师的教学质量 比较高 ， 其教学风格在 ２种不同类 型的教师中具有一定 的代表性 ， 当然分析 ２ 节优 秀 课 例不 一定 能概 况地 说 明所 有 教师 的教 法和思 想 ， 只是试 图 以一些 特定 背景 和视 角进 行课 例 比较 ， 由
它 们来 透视 和展 现 我 国 数学 教 师 对 现 行数 学 教 材 的理解 与把 握．
要的思想——以函数概念和思想统一数学教育的 内容 ， 为 函 数 概 念 应 该 成 为 数 学 教 育 的灵 魂． 认
１０ ９８年 ， 克莱 因 当选 为 国 际数 学 教 育 委 员 会 的 第
一
（ 各一 节新 授 课 ） 为 研 究 个 案． 了 尽 量 真 实 地 作 为
反 映教学 情 况 ， 不 对 教 师 与 学 生 产 生 过 多 的干 又
质 的研 究 方 法 是 近几 年 来 社会 科 学 研究 中受
到 青睐 的一 种 研 究 方 法 ， 它是 “ 以研 究 者 本 人 ” 为 研究 工具 ， 自然 情境 下采用 多 种资料 收集 方法 对 在
第１ Ｏ期
白改平 ， ： 方程 的根 与函数的零点》 等 《 的课 堂教 学案例 的比较研 究
任主席 ， 在之 后 的演 讲 和 著作 中一 再 强 调 ： 并 教
育应 该是 发生 性 的 ， 因此 空 间 的 直 观 、 数学 上 的应 用、 函数 的概 念是 非 常必要 的 ， 应该 把算术 、 代数 和 几 何学 方面 的 内容 ， 几何 的形 式 以 函数 为 中心 的 用 观 念 综 合 起 来 ． 此 可 见 ， 中数 学 新 课 程 引 入 由 高 “ 点” 零 的概 念 是 数 学教 育 发 展 的 必 然 趋 势 ， 符 是 合 数学 教育 发展 规律 的． 然而 ， 教材 内容 发生 变化 仅是课 程 改革 的第一 步 ， 师作 为教 学 的实 施 者 ， 应 尽 快 适 应并 理 解 教 理

相应的二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)，问题 1 的结论是
否仍然成立？请思考并填写下表.
××大学××学院
问题 1： 解下列方程，画出对应函数的简图.观察:“方程
的根”与“函数图象和 x 轴交点的横坐标”之间有 怎样的关系？
⑴ x2 2x 3 0， y x2 2x 3 ⑵ x2 2x 1 0， y x2 2x 1 ⑶ x2 2x 3 0 ， y x2 2x 3
象 与 x 轴交点的横坐标
.
⑵“方 程 f(x)=0 有 实 数 根” 函数 y=f(x)
有零点 ， 函数 y=f(x)的图象 与 x 轴有交点 .
××大学××学院
函数零点的等价关系 根
零点
作用:
图象与x轴交点横坐标
××大学××学院
函数零点的等价关系 根
零点
图象与x轴交点横坐标
作用:求方程 f(x)=0 的实数根→求函数 y=f(x)的零点.
小结 ⑴函数零点的定义是怎样的？它与方程的根、函 数的图象有怎样的等价关系？ ⑵函数“零点存在性定理”的内容是怎样的？ ⑶本节内容蕴含了哪些数学思想？
××大学××学院
作业：《步步高》方程的根与函数的零点； 思考：如果函数f(x)在定义域内是单调的，
在区间[a,b]上的图象是连续不断的， 且f(a)f(b)<0,那么f(x)函数在区间(a,b) 上零点的情况是怎样的？
象 与 x 轴交点的横坐标
.
⑵“方 程 f(x)=0 有 实 数 根” 函数 y=f(x)
有零点 ， 函数 y=f(x)的图象 与 x 轴有交点 .
××大学××学院
问题 6：（用恰当的文字填空）