高三数学讲义(选择题的解法)

高三数学三角函数与解三角形多选题(讲义及答案)含答案一、三角函数与解三角形多选题1．知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，则下述结论中正确的是（ ）A ．若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则()f x 在[]0,2π有且仅有2个极小值点B ．若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则()f x 在20,15π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 C ．若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则ω的范是1519,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．若()f x 的图象关于4x π=对称，且在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调，则ω的最大值为9 【答案】ACD 【分析】 令4t x πω=+，由[]0,2x π∈，可得出,244t ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，作出函数sin y t =在区间,244ππωπ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的图象，可判断A 选项正误；根据已知条件求出ω的取值范围，可判断C 选项正误；利用正弦型函数的单调性可判断B 选项的正误；利用正弦型函数的对称性与单调性可判断D 选项的正误. 【详解】 令4t x πω=+，由[]0,2x π∈，可得出,244t ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦， 作出函数sin y t =在区间,244ππωπ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的图象，如下图所示：对于A 选项，若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则()f x 在[]0,2π有且仅有2个极小值点，A 选项正确；对于C 选项，若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则4254ππωππ≤+<，解得151988ω<≤，C 选项正确； 对于B 选项，若151988ω<≤，则2192154604πππππω≤+<+，所以，函数()f x 在区间20,15π⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，B 选项错误； 对于D 选项，若()f x 的图象关于4x π=对称，则()442k k Z ωππππ+=+∈，()14k k Z ω∴=+∈.52361812T ππππω∴=≥-=，12ω∴≤，()41k k Z ω=+∈，max 9ω∴=. 当9ω=时，()sin 94f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当5,1836x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，339442x πππ<+<， 此时，函数()f x 在区间5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，合乎题意，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sin y A ωx φ=+形式，再求()sin y A ωx φ=+的单调区间，只需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．2．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即S =S 为三角形的面积，a 、b 、c 为三角形的三边）.现有ABC 满足sin :sin :sin 2:A B C =，且ABC 的面积ABC S =△，则下列结论正确的是（ ）A ．ABC 的周长为10+B ．ABC 的三个内角A 、C 、B 成等差数列C ．ABC 的外接圆半径为3D ．ABC 的中线CD 的长为【答案】AB 【分析】本题首先可根据sin :sin :sin 2:A B C =得出::2:3:a b c =ABCS =△以及S =A 正确，然后根据余弦定理求出1cos 2C =，则π3C =，2A B C +=，B 正确，再然后根据2sin c R C =即可判断出C 错误，最后根据余弦定理求出cos B =，再根据cos B =求出CD 长，D 错误. 【详解】A 项：设ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，因为sin :sin :sin 2:A B C =，所以由正弦定理可得::2:a b c =设2a t =，3b t =，()0c t =>，因为ABCS =△，所以=解得2t =，则4a =，6b =，c =故ABC 的周长为10+A 正确；B 项：因为2221636281cos 22462a b c C ab +-+-===⨯⨯，所以π3C =，π2ππ233A B C +=-==， 故ABC 的三个内角A 、C 、B 成等差数列，B 正确；C 项：因为π3C =，所以sin C =由正弦定理得2sin 3c R C ===，3R =，C 错误；D 项：由余弦定理得222cos214a cb B ac +-===，在BCD △中4BC =，BD =由余弦定理得2cos14B ==，解得CD =，D 错误， 故选：AB. 【点睛】本题考查解三角形相关问题的求解，考查的公式有2sin c R C =、222cos 2a c b B ac+-=，考查正弦定理边角互换的灵活应用，考查根据等差中项的性质证明数列是等差数列，考查计算能力，考查转化与化归思想，是难题.3．函数()sin()f x x ωϕ=+的部分图像如图中实线所示，图中的M 、N 是圆C 与()f x 图像的两个交点，其中M 在y 轴上，C 是()f x 图像与x 轴的交点，则下列说法中正确的是（ ）A ．函数()y f x =的一个周期为56B ．函数()f x 的图像关于点4,03成中心对称C ．函数()f x 在11,26⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 D ．圆C 的面积为3136π【答案】BD 【分析】根据图象，结合三角函数的对称性、周期性、值域以及圆的中心对称性，可得,,C M N 的坐标，进而可得()f x 的最小正周期、对称中心、单调减区间，及圆的半径，故可判断选项的正误. 【详解】由图知：1(,0)3C ，3(0,)2M ，23(,)32N ， ∴()f x 中111()2362T =--=，即1T =；对称中心为1,0,23k k Z ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭；单调减区间为17,,1212k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；圆的半径221331()()32r =+=，则圆的面积为3136π； 综上，知：AC 错误，而BD 正确. 故选：BD. 【点睛】本题考查了三角函数的性质，结合了圆的中心对称性质判断三角函数的周期、对称中心、单调区间及求圆的面积，属于难题.4．在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c .已知():():()4:5:6b c c a a b +++=，下列结论正确的是( ) A ．::7:5:3a b c = B ．0AC AB ⋅<C ．753A B C == D ．若8+=b c ，则ABC ∆153【答案】ABD 【分析】设4,5,6(0)b c k c a k a b k k +=+=+=>，求出a ,b ,c 的值，可得A ；由正弦定理，sin :sin :sin ::7:5:3A B C a b c ==，可判定C ，由余弦定理1cos 2A =-，cos 0AC AB bc A ⋅=<，可判定B ；由8+=b c ，结合A 结论，可计算b ,c , 1sin 2ABC S bc A ∆=，可判定D【详解】设4,5,6(0)b c k c a k a b k k +=+=+=>，则753,,222a kb kc k === ，故 ::7:5:3a b c =，即A 选项正确；又222222259491444cos 5322222k k kb c a A bc k k +-+-===-⨯⨯，故cos 0AC AB bc A ⋅=<，B 选项正确；由正弦定理，sin :sin :sin ::7:5:3A B C a b c ==，C 选项错误；若8+=b c ，则2k =，故5,3,120ob c A ===，所以1sin 2ABC S bc A ∆==，D 选项正确 故选：ABD 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于较难题5．（多选题）已知22tan 2tan 10x y --=，则下列式子成立的是（ ） A ．22sin 2sin 1y x =+ B ．22sin 2sin 1y x =-- C ．22sin 2sin 1y x =-D ．22sin 12cos y x =-【答案】CD 【分析】对原式进行切化弦，整理可得：222222sin cos 2sin cos cos cos x y y x y x ⋅-⋅=⋅，结合因式分解代数式变形可得选项. 【详解】∵22tan 2tan 10x y --=，2222sin sin 210cos cos x yx y-⋅-=， 整理得222222sin cos 2sin cos cos cos x y y x y x ⋅-⋅=⋅，∴()()()22222221cos 1sin sin cos cos sin cos x x y x y y x ---⋅=+， 即22222221cos sin sin cos sin cos cos x y y x y x x --+⋅-⋅=，即222sin 12cos 2sin 1y x x =-=-，∴C 、D 正确. 故选：CD 【点睛】此题考查三角函数的化简变形，根据弦切关系因式分解，结合平方关系变形.6．设函数()sin 6f x M x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0,0)M ω＞＞的周期是π，则下列叙述正确的有（ ）A ．()f x 的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()f x 的最大值为MC ．()f x 在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．5,012π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心 【答案】BCD 【分析】已知只有周期的条件，只能求出ω，其中M 未知；A 选项代值判定；B 选项由解析式可知；C 选项由()f x 的单调递减区间在32,2,22k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭上化简可得；D 选项由()f x 的对称中心为(),0,k k Z π∈化简可得. 【详解】 由题可知2T ππω==，解得2ω=，即()sin 26f x M x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当0x =时，()0sin 20sin 662Mf M M ππ⎛⎫=⨯+== ⎪⎝⎭，故选项A 错误； 因为()sin 26f x M x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以最大值为M ，故选项B 正确； 由解析式可知()f x 在3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈ 即2,63x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦上单调递减，当0k =时，选项C 正确； 由解析式可知()f x 的对称中心的横坐标满足26x k ππ+=，即212k x ππ=- 当1k =时，512x π=，对称中心为5,012π⎛⎫⎪⎝⎭，故选项D 正确. 故选：BCD 【点睛】本题考查()()sin f x A x =+ωϕ型三角函数的性质，其中涉及最值、对称轴、对称中心，属于较难题.7．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．函数()y f x =的周期为πB ．函数()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减 C ．函数()y f x =的图象关于直线512x π=-对称 D ．该图象向右平移6π个单位可得2sin 2y x =的图象 【答案】ACD 【分析】先根据图像求出()y f x =的解析式，再分别验证A 、B 、C 、D 是否正确. 对于A ：利用周期公式求周期；对于B ：利用复合函数“同增异减”求单调区间； 对于C ：计算512f π⎛-⎫⎪⎝⎭，看512x π=-是否经过顶点； 对于D ：利用“左加右减”判断. 【详解】由图像可知：A =2，周期24,2312T T ππππω⎛⎫=-=∴==⎪⎝⎭； 由=2sin 2212122f ππϕπϕ⎧⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪<⎪⎩解得：3πϕ=故函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭对于A ：4312T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故A 正确； 对于B ：当236x ππ-≤≤- 时203x ππ-≤+≤，所以()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上不单调.故B 错误；对于C ：当512x π=-时255s 2121232in f πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎭⎝-⎪⎭+⎝⨯，即直线512x π=-是()y f x =的一条对称轴.故C 正确；对于D ：()y f x =向右平移6π个单位得到2sin 222sin 263y x x ππ⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：ACD 【点睛】求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.8．已知函数()()3sin 222f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线3x π=对称，则（ ）A ．函数12f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数 B ．函数()f x 在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．函数()f x 的图象向右平移()0a a >个单位长度得到的函数的图象关于6x π=对称，则a 的最小值是3π D ．若方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不同实根1x ，2x ，则12x x -的最大值为3π【答案】ACD 【分析】 由条件可得13f π⎛⎫=±⎪⎝⎭，可得6πϕ=-从而得出()f x 的解析式, 选项A 先得出12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的表达式，可判断；选项B 求出函数的单调区间，可判断；选项C 根据图象平移变换得出解析式，可得答案；选项D 作出函数的图像，根据图象可判断.【详解】 根据条件可得23sin 333f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2,32k k Z ππϕπ+=+∈ 则,6k k Z πϕπ=-∈，由22ππϕ-<<，所以6πϕ=-所以()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭选项A. 3sin 212f x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭为奇函数，故A 正确. 选项B. 由3222262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 2522233k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 536k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 当0k =时，536x ππ≤≤，所以函数()f x 在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故选项B 不正确.选项C. 函数()f x 的图象向右平移()0a a >个单位长度得到, ()3sin 23sin 2266y x a x a ππ⎡⎤⎛⎫=--=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭根据条件可得当6x π=时，3sin 23sin 23366a a πππ⎛⎫⎛⎫--=-=±⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2,62a k k Z πππ-=+∈,则1,26a k k Z ππ=--∈ 由0a >，则当1k =-时，a 有的最小值是3π，故C 正确. 选项D. 作出()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，如图当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由()3f x =，可得3x π= 由33sin 662f ππ⎛⎫==⎪⎝⎭，当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由()32f x =，可得2x π= 当332a ≤<时，方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不同实根1x ，2x ，则1x +223x π= 设1x <2x ，则1211122233x x x x x ππ⎛⎫-=--=-⎪⎝⎭，162x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，如图当32a =时，1x ，2x 分别为6π，2π时，12x x -最大，最大值为3π，故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点睛：本题考查三角函数()sin y A x ωϕ=+的图像性质，考查三角函数的图象变换，解答本题的关键是根据正弦型函数的对称性求出ϕ的值，根据三角函数的对称性得到1211122233x x x x x ππ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，162x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，，属于中档题.9．已知函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 的初相为6π- B ．若函数()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则(0,2]ω∈ C ．若函数()f x 关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ω可以为12D ．将函数()f x 的图象向左平移一个单位得到的新函数是偶函数，则ω可以为2023 【答案】AB 【分析】根据选项条件一一判断即可得结果. 【详解】A 选项：函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的初相为6π-，正确；B 选项：若函数()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则2266k ππωππ-+≤-，2362k πωπππ-≤+，k Z ∈，所以21226k k ω-+≤≤+，k Z ∈，又因为0ω<，则02ω<≤，正确；C 选项：若函数()f x 关于点,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，则,26k k Z πωππ-=∈，所以12,3k k Z ω=+∈故ω不可以为12，错误； D 选项：将函数()f x 的图象向左平移一个单位得到()12sin 6f x x πωω⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭是偶函数，则,62k k Z ππωπ-=+∈，所以2,3k k Z πωπ=+∈故ω不是整数，则ω不可以为2023，错误；故选：AB【点睛】掌握三角函数图象与性质是解题的关键.10．已知函数)()lg 1( 2.7)x x f x x e e e -=+-+≈⋯，若不等式(sin cos )2(sin 2)f f t θθθ+<--对任意R θ∈恒成立，则实数t 的可能取值为（ ）A ．1B C ．3 D ．4 【答案】CD【分析】令)()lg x x g x x e e -=+-，则()()1f x g x =+，可判断()g x 是奇函数且单调递增，不等式可变形可得(sin cos )(sin 2)g g t θθθ+<-，所以sin cos sin 2t θθθ>++，令()sin cos sin 2h θθθθ=++，换元法求出()h θ的最大值，()max t h θ>即可.【详解】令)()lg x x g x x e e -=+-，则()()1f x g x =+， ()g x 的定义域为R ，))()()lg lg x x x x g x g x x e e x e e ---+=+-++-0=， 所以()()g x g x -=-，所以()g x 是奇函数，不等式(sin cos )2(sin 2)f f t θθθ+<--等价于[](sin cos )1(sin 2)1f f t θθθ+-<---，即(sin cos )(sin 2)(sin 2)g g t g t θθθθ+<--=-，当0x >时y x =单调递增，可得)lg y x =单调递增， x y e =单调递增，x y e -=单调递减，所以)()lg x x g x x e e -=+-在()0,∞+单调递增，又因为)()lgx x g x x e e -=+-为奇函数，所以)()lg x x g x x e e -=+-在R 上单调递增，所以sin cos sin 2t θθθ+<-，即sin cos sin 2t θθθ>++，令()sin cos sin 2h θθθθ=++，只需()max t h θ>，令sin cos m θθ⎡+=∈⎣，则21sin 2m θ=+，2sin 21m θ=-，所以()21h m m m =+-，对称轴为12m =-，所以m =()max 211h m ==，所以1t >可得实数t 的可能取值为3或4，故选：CD【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是构造函数()g x 奇函数且是增函数，将原不等式脱掉f 转化为函数恒成立问题.。

高考命题中，常常在选择题或填空题中出现一类比较大小的问题，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序.这类问题的解法往往可以从代数和几何两方面加以探寻，即利用函数的性质及图象解答.本专题以一些典型例题来说明此类问题的方法与技巧.【方法归纳】（一）常用技巧和方法1、如何快速判断对数的符号？八字真言“同区间正，异区间负”，容我慢慢道来：判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为和（1）如果底数和真数均在中，或者均在中，那么对数的值为正数（2）如果底数和真数一个在中，一个在中，那么对数的值为负数例如：等2、要善于利用指对数图象观察指对数与特殊常数（如0,1）的大小关系，一作图，自明了3、比较大小的两个理念：（1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况例如：，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同，从而只需比较底数的大小即可（2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“-1，0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如，可知，进而可估计是一个1点几的数，从而便于比较4、常用的指对数变换公式：（1）（2） （3）（4）换底公式： 进而有两个推论： （令） （二）利用函数单调性比较大小1、函数单调性的作用：在单调递增，则(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁） 2、导数运算法则：（1）（2） 3、常见描述单调性的形式 （1）导数形式：单调递增；单调递减 （2）定义形式：或： ()0,1()1,+∞()0,1()1,+∞()0,1()1,+∞30.52log 0.50,log 0.30,log 30<>>1113423,4,5()()()11111143634212121233,44,55===2log 32221log 2log 3log 42=<<=2log 3nm m na a ⎛⎫= ⎪⎝⎭log log log a a a M N MN +=log log log a a aM M N N-=()log log 0,1,0na a N n N a a N =>≠>log log log c a c bb a=1log log a b b a =c b =log log m n a a nN N m=()f x [],a b []()()121212,,,x x a b x x f x f x ∀∈<⇔<()()()()()()()'''f x g x f x g x f x g x =+()()()()()()()'''2f x f xg x f x g x g x g x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()()'0f x f x >⇒()()'0f x f x <⇒()()12120f x f x x x ->-()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦表示函数值的差与对应自变量的差同号，则说明函数单调递增，若异号则说明函数单调递减 4、技巧与方法：（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点.所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析.在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么.两者对接通常可以确定入手点（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数.在构造时多进行试验与项的调整 （3）在比较大小时，通常可利用函数性质（对称性，周期性）将自变量放入至同一单调区间中进行比较 （三）数形结合比较大小1、对称性与单调性：若已知单调性与对称性，则可通过作出草图观察得到诸如“距轴越近，函数值越……”的结论，从而只需比较自变量与坐标轴的距离，即可得到函数值的大小关系（1）若关于轴对称，且单调增，则图象可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越小（2）若关于轴对称，且单调减，则图象可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越大 2、函数的交点：如果所比较的自变量是一些方程的解，则可将方程的根视为两个函数的交点.抓住共同的函数作为突破口，将其余函数的图象作在同一坐标系下，观察交点的位置即可判断出自变量的大小.【经典例题】例1.【2019全国Ⅰ卷理数】已知，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】即则． 故选B ．例2.【2019全国Ⅱ卷理数】若a >b ，则（ ） A ．ln(a −b )>0 B ．3a <3b C ．a 3−b 3>0 D ．│a │>│b │【答案】C【解析】取，满足，但，则A 错，排除A ；由，知B 错，排除B ；取，满足，但，则D 错，排除D ；因为幂函数是增函数，，所以，即a 3−b 3>0，C 正确. 故选C ．例3.【2019全国Ⅲ卷理数】设是定义域为R 的偶函数，且在单调递减，则A ．（log 3）＞（）＞（）B ．（log 3）＞（）＞（）C ．（）＞（）＞（log 3）D ．（）＞（）＞（log 3）【答案】C【解析】是定义域为的偶函数，． ()f x x a =(),a +∞()f x x a =(),a +∞0.20.32 log 0.220.2a b c ===，，a b c <<a c b <<c a b <<b c a <<22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,c <=<=01,c <<a c b <<2,1a b ==a b >ln()0a b -=219333=>=1,2a b ==-a b >|1||2|<-3y x =a b >33a b >()f x ()0,+∞f 14f 322-f 232-f 14f 232-f 322-f 322-f 232-f 14f 232-f 322-f 14()f x Q R 331(log )(log 4)4f f ∴=，又在(0，+∞)上单调递减，∴，即.故选C ．例4.【2017天津】已知奇函数在R 上是增函数，.若，，，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）（A ） （B ） （C ）（D ）【答案】【解析】因为是奇函数且在上是增函数，所以在时，，从而是上的偶函数，且在上是增函数，，，又，则，所以即，，所以，故选C ．例5.【2017山东】若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，且，，所以选B. 例6.【2019天津理数】已知，，，则的大小关系为（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】A【解析】因为， ， ，即，所以. 故选A.【最新模拟】1．（2020·福建高三（理））设12a e -=，24b e -=，12c e -=，323d e -=，则a bc d ,,,的大小关系为（ ）A ．c b d a >>>B ．c d a b >>>C ．c b a d >>>D ．c d b a >>>.【答案】B 【解析】3241e a e e ==，2416b e =，222444e c e e==，249e d e =，由于 2.7e ≈，27.39e ≈，320.09e ≈，所以c d a b >>>，故选：B ．2．（2020·湖南高三学业考试）10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12.设其平均数为a ，223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>Q ()f x 23323(log 4)22f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()f x ()()g x xf x =2(log 5.1)a g =-0.8(2)b g =(3)c g =a b c <<c b a <<b a c <<b c a <<C ()f x R 0x >()0f x >()()g x xf x =R [0,)+∞22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=0.822<4 5.18<<22log 5.13<<0.8202log 5.13<<<0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<b a c <<()21log 2a b a a b b +<<+()21log 2a b a b a b <+<+()21log 2a b a a b b +<+<()21log 2a ba b a b +<+<0a b >>1ab =()12112log a ba ab a a b b b+>+>+⇒+>+5log 2a =0.5og 2.l 0b =0.20.5c =,,a b c a c b <<a b c <<b c a <<c a b <<551log 2log 2a =<=0.50.5log 0.2log 0.252b =>=10.20.50.50.5c <=<112c <<a c b <<中位数为b ，众数为c ，则有（ ）.A ．a b c >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】B【解析】1(15171410151717161412)14.710a =+++++++++=， 中位数为1(1515)152b =+=，众数为=17c .故选：B.3.（2020·四川省泸县第二中学高三月考（文））已知3log 6p =，5log 10q =7log 14r =，则p ，q ，r 的大小关系为（ ）A ．q p r >>B ．p r q >>C ．p q r >>D ．r q p >>【答案】C【解析】依题意得31+log 2p =，51log 2q =+，71log 2r =+，而357log 2log 2log 2>>，所以p q r >>.4. （2020·四川省泸县第四中学高三月考（理））设｛a n ｝是等比数列，则“a 1＜a 2＜a 3”是数列｛a n ｝是递增数列的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件、C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】1212311101a a a a a a q a q q >⎧<<⇒<<⇒⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩，所以数列｛a n ｝是递增数列,若数列{a n }是递增数列，则“a 1＜a 2＜a 3”，因此“a 1＜a 2＜a 3”是数列｛a n ｝是递增数列的充分必要条件，选C 5．（2020·四川棠湖中学高三月考（文））设log a =2019log b =，120192018c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）．A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】C 【解析】因为20182018201811log 2018log log ,2a =>=>=201920191log log ,2b =<=102019201820181c =>=，故本题选C.6．（2020·北京八十中高三开学考试）设0.10.134,log 0.1,0.5a b c ===，则 （ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．b c a >> 【答案】C 【解析】0.10.1341,log 0.10,00.51a b c =>=<<=<，a c b ∴>>，故选C .7．（2020·河南高三月考（文））己知a =544log 21b =， 2.913c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c a b >> 【答案】B【解析】因为104661a ==>=，2.95544411log log 10,012133b c ⎛⎫⎛⎫=<=<=<= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以a c b >>，故选：B.8. （2020·广东高三月考（文））已知3log 8a =，0.80.25b -=，c =则（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ． a c b <<【答案】D【解析】3log 82<，0.80.8 1.6 1.50.254222-==>=>，∴a c b <<． 故选：D.9. （2020·新兴县第一中学高三期末（理））函数()()2x bf x x c -+=+的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．0,0b c <>B ．0,0b c >>C ．0,0b c ><D ．0,0b c <<【答案】C 【解析】∵()()2x bf x x c -+=+的图象与y 轴交于M ,且点M 的纵坐标为正，∴20by c =>，故0b >， ()()2x bf x x c -+=+Q 定义域为{}|x x c ≠-其函数图象间断的横坐标为正，∴0c ->，故0c <.故选：C10.（2020·云南高三（理））已知1t >，235=log ,log ,=log x t y t z t =，则A ．235x y z <<B ．523z x y <<C ．352y z x <<D ．325y x z <<【答案】D【解析】由题意222log x t ==，333log y t ==，555log z t ==，116228==113639==，易知113223<，11510525=，11102232=，即115252<， ∴1115321523<<<，又1t >，∴325y x z <<，故选D ．11．（2020·天水市第一中学高三月考（理））定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的曲线，且()()2xf x f x e =-，当0x >时，()()f x f x '>恒成立，则下列判断一定正确的是（ ）A ．()()523e f f <- B ．()()523f e f <- C ．()()523e f f ->D ．()()523f e f -<【答案】B【解析】构造函数()()x f x g x e=，因为()()2xf x f x e =-，所以()()2x f x f x e-=，则()()()()()2x x x x f x f x f x e g x g x e e e ----====， 所以()g x 为偶数，当0x >时，()()()0xf x f xg x e'-'=>， 所以()g x 在()0,∞+上单调递增，所以有()()32g g >，则()()32g g ->，即()()3232f f e e-->，即()()532e f f ->. 12. ．（2020·海南中学高三月考）已知函数())lnf x x =，设()3log 0.2a f =，()0.23b f -=，()1.13c f =-，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】D【解析】∵())lnf x x =∴()ln()f x x ==∴())f x x -=∵当0x >1x >；当0x <时，01x <<，∴当0x >时，())))f x x x x ==-=，())f x x -=；当0x <时()))f x x x ==；()))f x x x -=-=. ∴()()f x f x =-，∴函数()f x 是偶函数， ∴当0x >时，易得())f x x =为增函数 ∴33(log 0.2)(log 5)a f f ==， 1.1 1.1(3)(3)c f f =-=， ∵31log 52<<，0.2031-<<， 1.133>∴ 1.10.23(3)(log 5)(3)f f f ->>，∴c a b >>，故选D.13. （2020·黑龙江实验中学高三开学考试（文））若2log 3a =，4log 8b =，5log 8c =，则,,a b c 的从大到小顺序为 . 【答案】a b c >>【解析】由于42221log 8log 8log log 2b a ===<=，即a b >.由于48811log 8log 4log 8b c ==>=，即b c >.所以a b c >>. 14、（2020·山东高三月考）已设,a b 都是正数，则“33a b log log ＜”是“333a b ＞＞”的 条件 .（填“充分不必要”、 “必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”） 【答案】必要不充分 【解析】由33a b log log ＜，得01b a ＜＜＜或01a b ＜＜＜或1a b ＞＞，由333a b ＞＞，得1a b ＞＞，∴“33a b log log ＜”是“333a b ＞＞”的必要不充分条件． 15. （2020·四川省泸县第四中学高三月考（理））已知||()2x f x x =g，3(log a f =，31(log )2b f =，(3)c f ln =，则,,a b c 的从大到小顺序为 . 【答案】c a b >>【解析】由函数的解析式可知函数为奇函数，当0x ≥时，()2xf x x =⋅，此时函数为增函数，结合奇函数的性质可知函数()f x 是定义在R 上的单调递增函数，由于331ln 31log 0log 2>>>>, 故()(3132f ln f log f log ⎛⎫>> ⎪⎝⎭.即c a b >>.16. （2020·河北工业大学附属红桥中学高三月考）已知函数()32cos f x x x =+,若a f =(2),b f =2(log 7),c f =则,,a b c 的从小到大顺序为 . 【答案】b c a << 【解析】因为函数()32cos f x x x =+，所以导数函数()'32f x sinx =-，可得()'320f x sinx =->在R 上恒成立，所以()f x 在R 上为增函数，又因为222log 4log 73=<<<b c a <<，故选D.。

第1讲 比较实数(或代数式)的大小知识与方法比较实数(或代数式)的大小以不等式的性质为主要依据,涉及不等式、函数等数学知识,具有涉及面广、解法灵活等特点,因此,理解、掌握比较实数(或代数式)大小的基本事实,掌握不等式性质及常用方法,是解决问题的关键.一、基本事实1 0;0;0a b a b a b a b a b a b ->⇔>-=⇔=-<⇔<.2 已知,a b 是两个正数,则1;1;1a a a a b a b a b b b b>⇔>=⇔=<⇔<. 二、不等式性质1 a b b a >⇔<;2 ,a b b c a c >>⇒>;3 a b a c b c >⇒+>+;4 ,0;,0a b c ac bc a b c ac bc >>⇒>><⇒<;5 ,a b c d a c b d >>⇒+>+;6 0,0a b c d ac bd >>>>⇒>;7 ()0,2n n a b a b n n >>⇒>∈N三、常用方法1.作差比较;2.作商比较;3.赋值;4.构造函数.四、易错警示1 利用不等式的性质时需要注意该性质成立的前提条件.2 变形后比较大小需要关注变形的等价性.五、典型例题【例1】已知a>b>0的大小. 【分析】比较代数式大小的基本方法是作差比较,又因为两个代数式都是大于零的,所以也可以尝试作商比较.【解析】解法1：-=+=.⎛⎫=因为0a b>>,0 >>,所以0⎛⎫>,>.解法2：因为0a b>>,=>>.所以2222a ba bb a-=--+()()()332221()0,a ba baba ab ba baba ba bab+=-+⎛⎫-+=+-⎪⎝⎭-=+>所以22>.>.解法3：1a b====+.因为0a b >>,所以11+>,1>.0->，>. 【点睛】(1)作差比较基本步骤:作差、变形、定号、结论.(2)作商比较基本步骤:作商、变形、定号、结论.【例2】已知实数a,b,c,d 满足,a b c d a d b c +=++<+,则a,b,c,d 的大小关系是( ) A.,a c d b B.,a c d b <<C.,a c d b ><D.,a c d b >>【分析】此题不宜用作差比较或作商比较,考虑利用不等式的主要性质.另外,对选择题还可以采用赋值法.【解析】解法1：因为a b c d +=+,所以a c d b -=-.又因为a d b c +<+,所以a c b d -<-,所以d b b d -<-,所以,0d b a c d b <-=-<,即,a c d b <<.故选B.解法2：令3,5,7,1a b c d ====,则满足,a b c d a d b c +=++<+.故选B.【点睛】解法1借助不等式性质构建a c -与b d -的关系,继而得出d b <,从而解决了问题. 解法2既快又准,适用于选择题.【例3】若 0,0,0a b c b d >>>-<<，试比较 ,,,b a b c a d a b a c b d++++的大小.} 【分析】先分成两组,一组比1大,一组比1小,再作差比较.【解析】解法1：因为0a b >>,所以1,1b a a b. 又因为0,0c b d >-<<,所以1,1b c a d a c b d++++. 又因为()()()()0,0a b c b a d b c b a d a a c a a a c b d b b b d --++-=>-=>++++, 故b b c a a d a a c b b d++<<<++. 解法2：令4,3,2,1a b c d ====-, 则3453,,,4362b a bc ad a b a c b d ++====++,故b b c a a d a a c b b d++<<<++. 【点睛】(1)已知0a b >>,且0m >,则b b m a a m+<+; (2)已知0a b >>,且0m >,则a a m b b m+>+. 【例4】已知1,01a b c ><<<,设1,,log cb b x a y zc a -⎛⎫=== ⎪⎝⎭,试比较,,x y z 的大小. 【分析】根据式子结构构造函数,并用函数性质比较大小.【解析】解法1：因为1a >,所以函数xy a =是递增函数. 又因为01b c <<<,所以11c c b y a x a a -⎛⎫==>=> ⎪⎝⎭.又log log 1b b z c b =<=,故y x z >>.解法2：因为,1,0bb c c x a a a b c y a-==>-<, 所以1,1x x y,即1x y <<. 而log log 1b b z c b =<=,故y x z >>.解法3：令4,0.25,0.5a b c ===,则0.50.250.25142,log 0.50.54x y z -⎛⎫====== ⎪⎝⎭.【点睛】根据代数式结构构造函数是突破,用函数的性质比较大小是关键,熟练掌握基本函数及其性质是解题的基础.【例5】已知a,b 为正实数,且242log 42log a ba b +=+，试比较a 与2b 的大小.【分析】等式两边的结构类似,可化成同等结构变成不等式,然后通过构造函数并利用函数的单调性比较大小.【解析】解法1：因为()2224222log 42log 2log 2log 2a b b b a b b b +=+=+<+, 令()22log x f x x =+,则()()2f a f b <.又因为()22log x f x x =+是递增函数,故2a b <.解法2：假设2a b ,则()2222242log 2log 241log 4log 42log a b b b b a b b b b ++=++>+=+,这与已知条件242log 42log a b a b +=+矛盾,所以假设不成立.故2a b <.解法3：令1b =,则22log 4a a +=.因为函数()22log x f x x =+是递增函数,且()()12,25f f ==,则12a <<.【点睛】解法1与解法2是解答题的两种常规解法. 解法1通过放缩变成结构相同的代数式,然后构造函数并利用函数性质解决. 解法2是用反证的恩想,当正面难以解答时,考虑从反面解答. 解法3是赋值法,适用于小题.【例6】已知12,24a b a b -+,求证:54210a b -【分析】建立所求不等式与已知不等式的关系，再利用不等式的性质进行运算.【解析】解法1：设()()()()42a b m a b n a b m n a m n b -=-++=+--,则4,2,m n m n +=⎧⎨-=⎩解得3,1,m n =⎧⎨=⎩即()()423a b a b a b -=-++. 因为12,24a b a b -+,故54210a b -.解法2：令()2f x ax bx =+,则()()1,1,f a b f a b ⎧-=-⎪⎨=+⎪⎩ 所以()()()()11,211,2f f a f f b ⎧+-=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩所以()()42311a b f f -=-+.又因为()()112,214f f -,故54210a b -.【点睛】多次使用不等式性质有可能会扩大取值范围,因此要用整体思想求解,即所求式子用条件表示.强化训练1. 已知,a b 为非零实数,试比较22a b b a-与a b -的大小. 【解析】解法1：()()2233a b a b a b a b b a ab ⎛⎫----=--= ⎪⎝⎭()22a b a b ab+- 所以,当0a b >或0a b >时,22a b a b b a--;当0a b >>时,22a b a b b a -<-; 当0b a >或0b a >时,22a b a b b a --;当b >0a >时,22a b a b b a->-. 【解析】解法2：当a b =时,22a b a b b a-=-; 当a b ≠时,()223322a b a b a ab b b a a b ab a b ab --++===--221a b ab++ 当0a b >>或0a b >>时,22a b a b b a->-; 当0a b >>时,22a b a b b a-<-; 当0b a >>或0b a >>时,22a b a b b a-<-; 当0b a >>时,22a b a b b a->-. 2.（多选题)设01,a b c <<<∈R ,则下列不等式成立的是（）A.ac bc >B.33a b <C.11a b <D.()20a b c -【答案】BD【解析】当0c 时选项A 不成立;根据不等式性质,得到33a b <,选项B 成立; 由110b a a b ab --=>得11a b>,选项C 不成立; 因为20,0a b c -<,由不等式性质④得()20a b c -.3.某建筑公司建居民住宅时,要求窗户面积与卧室地面面积的比值达到20%左右,这个比值越大采光条件越好.如果同时减少相等的窗户面积和卧室地面面积,那么采光条件A.变好了B.变差了C.没有发生变化【答案】B【解析】:由0a b >>,且0m >,则b b m a a m+<+,可得采光条件变差了. 4.若,,x y z 是正实数,满足235x y z ==,试比较3,4,6x y z 的大小.【解析】令235x y z k ===,则233log ,4x k y ==354log ,66log k z k =, 所以23lg 33log 33lg3lg27lg21lg 44log 4lg2lg164lg3kk x k y k ====>, 即34x y >.同理可得36,64x z z y >>.故364x z y >>.5.若22sin sin a a b b b a -<-,则（）A.a b >B.a b <C.a b <D.a b >【答案】C【解析】:令()2sin f x x x x =+,则()f x 为偶函数. 又当0x >时,()()sin cos 2cos 1f x x x x x x x x =++=+++'sin 0x , 所以()f x 在[)0,∞+上单调递增.因为222sin sin sin sin a a b b b a a a a b b -<-⇔+<2b +,即()()f a f b <,所以a b <.6.若22ππαβ-<<<,则2αβ-的取值范围为_____. 【答案】3,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】:因为22ππαβ-<<<,所以0παβ-<-<,所以()322ππααβ-<+-<, 故2αβ-的取值范围为3,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 7.已知ABC 的三边长分别为,,a b c ,且满足3b c a +,则c a的取值范围是_____. 【答案】()0,2【解析】:由已知三角形三边关系得3,,,a b c ab a cc a b<+⎧⎪<+⎨⎪<+⎩所以13,1,1,b ca ab ca ac ba a⎧<+⎪⎪⎪<+⎨⎪⎪<+⎪⎩即13,11,b ca ac ba a⎧<+⎪⎪⎨⎪-<-<⎪⎩故ca的取值范围是()0,2.。

第2课时 直线与椭圆的位置关系考点一 直线与椭圆的位置关系【例1】 已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点.解 将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立， 得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ， ①x 24＋y 22＝1， ②将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点.(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点.(3)当Δ<0，即m <－32或m >32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解.这时直线l 与椭圆C 没有公共点. 规律方法 研究直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数.(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.【训练1】 直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( ) A.相交B.相切C.相离D.不确定解析 直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交. 答案 A考点二 中点弦及弦长问题 多维探究角度1 中点弦问题【例2－1】 已知椭圆x 22＋y 2＝1，(1)过A (2，1)的直线l 与椭圆相交，求l 被截得的弦的中点轨迹方程； (2)求过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12且被P 点平分的弦所在直线的方程.解 (1)设弦的端点为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，其中点是M (x ，y )，则x 2＋x 1＝2x ，y 2＋y 1＝2y ，由于点P ，Q 在椭圆上，则有：⎩⎪⎨⎪⎧x 212＋y 21＝1，①x 222＋y 22＝1，② ①－②得y 2－y 1x 2－x 1＝－x 2＋x 12（y 2＋y 1）＝－x2y ， 所以－x 2y ＝y －1x －2，化简得x 2－2x ＋2y 2－2y ＝0(包含在椭圆x 22＋y 2＝1内部的部分).(2)由(1)可得弦所在直线的斜率为k ＝－x 2y ＝－12，因此所求直线方程是y －12＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化简得2x ＋4y －3＝0. 规律方法 弦及弦中点问题的解决方法(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立、消元，利用根与系数关系表示中点；(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率.角度2 弦长问题【例2－2】 (2019·孝义模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且点F 1到椭圆C 上任意一点的最大距离为3，椭圆C 的离心率为12. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为－1的直线l 与以线段F 1F 2为直径的圆相交于A ，B 两点，与椭圆相交于C ，D ，且|CD ||AB |＝837？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解 (1)根据题意，设F 1，F 2的坐标分别为(－c ，0)，(c ，0)， 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝3，c a ＝12，解得a ＝2，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝3， 故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)假设存在斜率为－1的直线l ，设为y ＝－x ＋m ， 由(1)知F 1，F 2的坐标分别为(－1，0)，(1，0)， 所以以线段F 1F 2为直径的圆为x 2＋y 2＝1， 由题意知圆心(0，0)到直线l 的距离d ＝|－m |2<1， 得|m |< 2. |AB |＝21－d 2＝21－m 22＝2×2－m 2，联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝－x ＋m ，消去y ，得7x 2－8mx ＋4m 2－12＝0，由题意得Δ＝(－8m )2－4×7(4m 2－12)＝336－48m 2＝48(7－m 2)>0，解得m 2<7， 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝8m7，x 1x 2＝4m 2－127，|CD |＝2|x 1－x 2|＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫8m 72－4×4m 2－127＝2×336－48m 249＝467×7－m 2＝837|AB |＝837×2×2－m 2，解得m 2＝13<7，得m ＝±33.即存在符合条件的直线l ，其方程为y ＝－x ±33.规律方法 1.解决直线与椭圆相交的问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题. 2.设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2](k 为直线斜率). 【训练2】 (1)(一题多解)已知斜率为2的直线经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1，与椭圆相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为________.(2)(一题多解)(2019·广东五校调研)若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，直线y ＝3x ＋7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为( ) A.x 212＋y 220＝1 B.x 24＋y 212＝1 C.x 212＋y 28＝1D.x 28＋y 212＝1解析 (1)法一 由题意知，椭圆的右焦点F 1的坐标为(1，0)，直线AB 的方程为y ＝2(x －1)，由⎩⎨⎧y ＝2（x －1），x 25＋y 24＝1消去y ，得3x 2－5x ＝0， 故得A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43，则|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－532＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2－432＝553. 法二 由题意知，椭圆的右焦点F 1的坐标为(1，0)， 直线AB 的方程为y ＝2(x －1)，由⎩⎨⎧y ＝2（x －1），x 25＋y 24＝1，消去y 得3x 2－5x ＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝53，x 1x 2＝0， 则|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] ＝（1＋22）⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫532－4×0＝553.(2)法一 ∵椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)， ∴设椭圆方程为y 2b 2＋4＋x 2b 2＝1(b >0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2b 2＋4＋x 2b 2＝1，y ＝3x ＋7消去x ，得(10b 2＋4)y 2－14(b 2＋4)y －9b 4＋13b 2＋196＝0，设直线y ＝3x ＋7与椭圆相交所得弦的端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由题意知y 1＋y 22＝1，∴y 1＋y 2＝14（b 2＋4）10b 2＋4＝2，解得b 2＝8. ∴所求椭圆方程为x 28＋y 212＝1.法二 ∵椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)， ∴设椭圆的方程为y 2b 2＋4＋x 2b 2＝1.设直线y ＝3x ＋7与椭圆相交所得弦的端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧y 21b 2＋4＋x 21b 2＝1， ①y 22b 2＋4＋x22b 2＝1，②①－②得（y 1－y 2）（y 1＋y 2）b 2＋4＋（x 1－x 2）（x 1＋x 2）b 2＝0， 即y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－b 2＋4b 2， 又∵弦AB 的中点的纵坐标为1，故横坐标为－2，k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝3，代入上式得3×2×12×（－2）＝－b 2＋4b 2，解得b 2＝8，故所求的椭圆方程为x 28＋y 212＝1.答案 (1)553 (2)D 考点三 最值与范围问题易错警示【例3】 (2019·沈阳质检)已知P 点坐标为(0，－2)，点A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点，直线BP 交E 于点Q ，△ABP 是等腰直角三角形，且PQ→＝32QB →. (1)求椭圆E 的方程；(2)设过点P 的动直线l 与E 相交于M ，N 两点，当坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外时，求直线l 斜率的取值范围.解 (1)由△ABP 是等腰直角三角形，得a ＝2，B (2，0). 设Q (x 0，y 0)，则由PQ →＝32QB →，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝65，y 0＝－45， 代入椭圆方程得b 2＝1， 所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)依题意得，直线l 的斜率存在，方程设为y ＝kx －2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 24＋y 2＝1，消去y 并整理得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.(*)因直线l 与E 有两个交点，即方程(*)有不等的两实根， 故Δ＝(－16k )2－48(1＋4k 2)>0，解得k 2>34. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝16k1＋4k 2，x 1x 2＝121＋4k 2，因坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外， 所以OM →·ON →>0，即x 1x 2＋y 1y 2>0，又由x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1－2)(kx 2－2) ＝(1＋k 2)x 1x 2－2k (x 1＋x 2)＋4＝(1＋k 2)·121＋4k 2－2k ·16k 1＋4k 2＋4>0， 解得k 2<4，综上可得34<k 2<4，则32<k <2或－2<k <－32.则满足条件的斜率k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2.规律方法 最值与范围问题的解题思路1.构造关于所求量的函数，通过求函数的值域来获得问题的解.2.构造关于所求量的不等式，通过解不等式来获得问题的解.在解题过程中，一定要深刻挖掘题目中的隐含条件，如判别式大于零等.易错警示 (1)设直线方程时，应注意讨论斜率不存在的情况.(2)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.【训练3】 已知P (x 0，y 0)是椭圆C ：x 24＋y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若PF 1→·PF 2→<0，则x 0的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，263 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－63，63解析 由题意可知F 1(－3，0)，F 2(3，0)，则PF 1→·PF 2→＝(x 0＋3)(x 0－3)＋y 2＝x 20＋y 20－3<0.因为点P 在椭圆上，所以y 20＝1－x 204.所以x 20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204－3<0，解得－263<x 0<263，即x 0的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，263. 答案 A[思维升华]1.判断直线与椭圆的位置关系主要是代数法，即通过联立直线方程和椭圆方程所得的二次方程的根的个数来进行，当直线过某一定点时，也可利用该定点与椭圆的位置关系，来判断直线与椭圆的位置关系.2.解决中点弦、弦长及最值与范围问题一般利用“设而不求”的思想，通过根与系数的关系构建方程求解参数、计算弦长、表达函数. [易错防范]1.涉及直线的斜率时，要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意.2.直线与椭圆有交点时，注意由直线方程和椭圆方程联立所得二次方程的Δ≥0.3.求某几何量的最值或范围要考虑其中变量的取值范围.数学运算——高考解析几何问题中的“设而不求”1.数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程，解析几何正是利用数学运算解决几何问题的一门科学.2.“设而不求”是简化运算的一种重要手段，它的精彩在于设而不求，化繁为简.解题过程中，巧妙设点，避免解方程组，常见类型有：(1)灵活应用“点、线的几何性质”解题；(2)根据题意，整体消参或整体代入等.类型1 巧妙运用抛物线定义得出与根与系数关系的联系，从而设而不求 【例1】 (2017·山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A ，B 两点，若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________.解析 法一 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，由抛物线定义可得|AF |＋|BF |＝y A ＋p 2＋y B＋p 2＝4×p2⇒y A ＋y B ＝p ， 由⎩⎨⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py 可得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，所以y A ＋y B ＝2pb 2a 2＝p ，解得a ＝2b ，故该双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .法二 (点差法)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知|AF |＝y 1＋p2，|BF |＝y 2＋p 2，|OF |＝p 2，由|AF |＋|BF |＝y 1＋p 2＋y 2＋p2＝y 1＋y 2＋p ＝4|OF |＝2p ，得y 1＋y 2＝p .易知直线AB 的斜率k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝x 222p －x 212px 2－x 1＝x 2＋x 12p .由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝b 2（x 1＋x 2）a 2（y 1＋y 2）＝b 2a2·x 1＋x 2p ，则b 2a 2·x 1＋x 2p ＝x 2＋x 12p ，所以b 2a 2＝12⇒b a ＝22，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .答案 y ＝±22x类型2 中点弦或对称问题，可以利用“点差法”，“点差法”实质上是“设而不求”的一种方法【例2】 (1)△ABC 的三个顶点都在抛物线E ：y 2＝2x 上，其中A (2，2)，△ABC的重心G 是抛物线E 的焦点，则BC 所在直线的方程为________________. (2)抛物线E ：y 2＝2x 上存在两点关于直线y ＝k (x －2)对称，则k 的取值范围是________.解析 (1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，边BC 的中点为M (x 0，y 0)，易知G ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＋23＝12，y 1＋y 2＋23＝0，从而⎩⎨⎧x 0＝x 1＋x22＝－14，y 0＝y 1＋y22＝－1，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，－1，又y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2(x 1－x 2)，则直线BC 的斜率k BC ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2y 1＋y 2＝22y 0＝1y 0＝－1，故直线BC 的方程为y －(－1)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋14，即4x ＋4y ＋5＝0.(2)当k ＝0时，显然成立.当k ≠0时，设两对称点为B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，BC 的中点为M (x 0，y 0)，由y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2(x 1－x 2)，则直线BC 的斜率k BC ＝ y 1－y 2x 1－x 2＝2y 1＋y 2＝22y 0＝1y 0，由对称性知k BC ＝－1k ，点M 在直线y ＝k (x －2)上，所以y 0＝－k ，y 0＝k (x 0－2)，所以x 0＝1.由点M 在抛物线内，得y 20<2x 0，即(－k )2<2，所以－2<k <2，且k ≠0. 综上，k 的取值范围为(－2，2). 答案 (1)x ＋y ＋54＝0 (2)(－2，2)类型3 中点弦或对称问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证Δ>0 【例3】 人教A 版教材《选修2－1》第62页习题2.3 B 组第4题：已知双曲线x 2－y 22＝1，过点P (1，1)能否作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点？解 假设存在直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，易知x 1≠x 2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 21－y 212＝1，x 22－y 222＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－（y 1＋y 2）（y 1－y 2）2＝0，又x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝1，所以2(x 1－x 2)－(y 1－y 2)＝0，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2， 故直线l 的方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x 2－y 22＝1，消去y 得2x 2－4x ＋3＝0， 因为Δ＝16－24＝－8<0，方程无解，故不存在一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点.类型4 求解直线与圆锥曲线的相关问题时，若两条直线互相垂直或两直线斜率有明确等量关系，可用“替代法”，“替代法”的实质是设而不求【例4】 (2017·全国Ⅰ卷改编)已知F 为抛物线C ：y 2＝2x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为________.解析 法一 由题意知，直线l 1，l 2的斜率都存在且不为0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，设l 1：x ＝ty ＋12，则直线l 1的斜率为1t ，联立方程得⎩⎨⎧y 2＝2x ，x ＝ty ＋12，消去x 得y 2－2ty －1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2t ，y 1y 2＝－1. 所以|AB |＝t 2＋1|y 1－y 2|＝t 2＋1（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝t 2＋14t 2＋4＝2t 2＋2，同理得，用1t 替换t 可得|DE |＝2t 2＋2，所以|AB |＋|DE |＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋1t 2＋4≥4＋4＝8，当且仅当t 2＝1t 2，即t ＝±1时等号成立，故|AB |＋|DE |的最小值为8.法二 由题意知，直线l 1，l 2的斜率都存在且不为0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，不妨设l 1的斜率为k ，则l 1：y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，l 2：y ＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12.由⎩⎨⎧y 2＝2x ，y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，消去y 得k 2x 2－(k 2＋2)x ＋k 24＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝1＋2k 2. 由抛物线的定义知，|AB |＝x 1＋x 2＋1＝1＋2k 2＋1＝2＋2k 2.同理可得，用－1k 替换|AB |中k ，可得|DE |＝2＋2k 2，所以|AB |＋|DE |＝2＋2k 2＋2＋2k 2＝4＋2k 2＋2k 2≥4＋4＝8，当且仅当2k 2＝2k 2，即k ＝±1时等号成立，故|AB |＋|DE |的最小值为8. 答案 8基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( ) A.(1，＋∞) B.(1，3)∪(3，＋∞) C.(3，＋∞)D.(0，3)∪(3，＋∞)解析由⎩⎨⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋y 23＝1，得(m ＋3)x 2＋4mx ＋m ＝0. 由Δ>0且m ≠3及m >0得m >1且m ≠3. 答案 B2.设直线y ＝kx 与椭圆x 24＋y 23＝1相交于A ，B 两点，分别过A ，B 两点向x 轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k 等于( ) A.±32B.±23C.±12D.±2解析 由题意可知，点A 与点B 的横坐标即为焦点的横坐标，又c ＝1，当k >0时，不妨设A ，B 两点的坐标分别为(－1，y 1)，(1，y 2)，代入椭圆方程得y 1＝－32，y 2＝32，解得k ＝32；同理可得当k <0时k ＝－32. 答案 A3.(2019·长春二检)椭圆4x 2＋9y 2＝144内有一点P (3，2)，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( ) A.－23B.－32C.－49D.－94解析 设以P 为中点的弦所在的直线与椭圆交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，斜率为k ，则4x 21＋9y 21＝144，4x 22＋9y 22＝144，两式相减得4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋9(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，又x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝4，y 1－y 2x 1－x 2＝k ，代入解得k ＝－23.答案 A4.(2018·武汉调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)及点B (0，a )，过点B 与椭圆相切的直线交x 轴的负半轴于点A ，F 为椭圆的右焦点，则∠ABF ＝( ) A.60°B.90°C.120°D.150°解析 由题意知，切线的斜率存在，设切线方程y ＝kx ＋a (k >0)，与椭圆方程联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋a ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y 整理得(b 2＋a 2k 2)x 2＋2ka 3x ＋a 4－a 2b 2＝0， 由Δ＝(2ka 3)2－4(b 2＋a 2k 2)(a 4－a 2b 2)＝0，得k ＝c a ，从而y ＝c a x ＋a 交x 轴于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2c ，0，又F (c ，0)，易知BA →·BF →＝0，故∠ABF ＝90°.答案 B5.斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A.2B.455C.4105D.8105解析 设直线l 的方程为y ＝x ＋t ，代入x 24＋y 2＝1，消去y 得54x 2＋2tx ＋t 2－1＝0，由题意知Δ＝(2t )2－5(t 2－1)>0即t 2<5，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8t5，x 1x 2＝4（t 2－1）5，|AB |＝（1＋12）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝4255－t 2≤4105(当且仅当t ＝0时取等号). 答案 C 二、填空题6.已知椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A (1，0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆方程为________________________.解析 因为椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1的右顶点为A (1，0)，所以b ＝1，焦点坐标为(0，c )，因为过焦点且垂直于长轴的弦长为1，所以2b 2a ＝1，a ＝2，所以椭圆方程为y 24＋x 2＝1.答案 y 24＋x 2＝17.(2019·河南八校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，经过原点的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，若|PQ |＝a ，AP ⊥PQ ，则椭圆C 的离心率为________.解析 不妨设点P 在第一象限，O 为坐标原点，由对称性可得|OP |＝|PQ |2＝a2，因为AP ⊥PQ ，所以在Rt △POA 中，cos ∠POA ＝|OP ||OA |＝12，故∠POA ＝60°，易得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，3a 4，代入椭圆方程得116＋3a 216b 2＝1，故a 2＝5b 2＝5(a 2－c 2)，所以椭圆C 的离心率e ＝255.答案 2558.已知椭圆的方程是x 2＋2y 2－4＝0，则以M (1，1)为中点的弦所在直线方程是________.解析 由题意知，以M (1，1)为中点的弦所在直线的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋b ，则有k ＋b ＝1，即b ＝1－k ，即y ＝kx ＋(1－k )，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2－4＝0，y ＝kx ＋（1－k ），则有(1＋2k 2)x 2＋(4k －4k 2)x ＋(2k 2－4k －2)＝0， 所以x 1＋x 22＝12·4k 2－4k1＋2k 2＝1， 解得k ＝－12(满足Δ>0)，故b ＝32， 所以y ＝－12x ＋32，即x ＋2y －3＝0. 答案 x ＋2y －3＝0 三、解答题9.(2017·北京卷)已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2，0)，B (2，0)，焦点在x 轴上，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5. (1)解 设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0).由题意得⎩⎨⎧a ＝2，c a ＝32，解得c ＝3.所以b 2＝a 2－c 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 设M (m ，n )，则D (m ，0)，N (m ，－n ). 由题设知m ≠±2，且n ≠0.直线AM 的斜率k AM ＝nm ＋2， 故直线DE 的斜率k DE ＝－m ＋2n .所以直线DE 的方程为y ＝－m ＋2n (x －m ).直线BN 的方程为y ＝n2－m (x －2).联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－m ＋2n （x －m ），y ＝n2－m （x －2），解得点E 的纵坐标y E ＝－n （4－m 2）4－m 2＋n 2.由点M 在椭圆C 上，得4－m 2＝4n 2， 所以y E ＝－45n .又S △BDE ＝12|BD |·|y E |＝25|BD |·|n |，S △BDN ＝12|BD |·|n |.所以△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.10.已知A ，B 分别为椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)在x 轴正半轴、y 轴正半轴上的顶点，原点O 到直线AB 的距离为2217，且|AB |＝7. (1)求椭圆C 的离心率；(2)直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝2相切，并与椭圆C 交于M ，N 两点，若|MN |＝1227，求k 的值.解 (1)由题设知，A (b ，0)，B (0，a )，直线AB 的方程为x b ＋ya ＝1，又|AB |＝a 2＋b 2＝7，ab a 2＋b2＝2217，a >b >0， 计算得出a ＝2，b ＝3，则椭圆C 的离心率为e ＝1－b 2a 2＝12.(2)由(1)知椭圆方程为y 24＋x 23＝1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 24＋x 23＝1，y ＝kx ＋m消去y得，(3k 2＋4)x 2＋6kmx ＋3m 2－12＝0，直线l 与椭圆相交，则Δ>0，即48(3k 2－m 2＋4)>0，且x 1＋x 2＝－6km3k 2＋4，x 1x 2＝3m 2－123k 2＋4.又直线l 与圆x 2＋y 2＝2相切， 则|m |k 2＋1＝2，即m 2＝2(k 2＋1). 而|MN |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·48（3k 2－m 2＋4）3k 2＋4＝1＋k 2·48（k 2＋2）3k 2＋4＝43·k 4＋3k 2＋23k 2＋4，又|MN |＝1227，所以43·k 4＋3k 2＋23k 2＋4＝1227，即5k 4－3k 2－2＝0，解得k ＝±1，且满足Δ>0，故k 的值为±1.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.(2019·北京东城区调研)已知圆M ：(x －2)2＋y 2＝1经过椭圆C ：x 2m ＋y 23＝1(m >3)的一个焦点，圆M 与椭圆C 的公共点为A ，B ，点P 为圆M 上一动点，则P 到直线AB 的距离的最大值为( ) A.210－5 B.210－4 C.410－11D.410－10解析 易知圆M 与x 轴的交点为(1，0)，(3，0)，∴m －3＝1或m －3＝9，则m ＝4或m ＝12.当m ＝12时，圆M 与椭圆C 无交点，舍去.所以m ＝4.联立⎩⎨⎧（x －2）2＋y 2＝1，x 24＋y 23＝1，得x 2－16x ＋24＝0.又x ≤2，所以x ＝8－210.故点P 到直线AB 距离的最大值为3－(8－210)＝210－5. 答案 A12.(2019·广州调研)在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －22＝0与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相切，且椭圆C 的右焦点F (c ，0)关于直线l ：y ＝c b x 的对称点E 在椭圆C 上，则△OEF 的面积为( ) A.12 B.32C.1D.2解析联立方程可得⎩⎨⎧x ＋2y －22＝0，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去x ，化简得(a 2＋2b 2)y 2－8b 2y ＋b 2(8－a 2)＝0，由Δ＝0得2b 2＋a 2－8＝0.设F ′为椭圆C 的左焦点，连接F ′E ，易知F ′E ∥l ，所以F ′E ⊥EF ，又点F 到直线l 的距离d ＝c 2c 2＋b2＝c 2a ，所以|EF |＝2c 2a ，|F ′E |＝2a －|EF |＝2b 2a ，在Rt △F ′EF 中，|F ′E |2＋|EF |2＝|F ′F |2，化简得2b 2＝a 2，代入2b 2＋a 2－8＝0得b 2＝2，a ＝2，所以|EF |＝|F ′E |＝2，所以S △OEF ＝12S △F ′EF ＝1. 答案 C13.已知直线l ：y ＝kx ＋2过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的上顶点B 和左焦点F ，且被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为L ，若L ≥455，则椭圆离心率e 的取值范围是________.解析 依题意，知b ＝2，kc ＝2. 设圆心到直线l 的距离为d ，则L ＝24－d 2≥455，解得d 2≤165.又因为d ＝21＋k2，所以11＋k 2≤45， 解得k 2≥14.于是e 2＝c 2a 2＝c 2b 2＋c 2＝11＋k2，所以0＜e 2≤45，又由0＜e ＜1，解得0＜e ≤255.答案 ⎝⎛⎦⎥⎤0，255 14.(2019·咸阳一模)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P (2，1)，且离心率e ＝32. (1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求△PAB 的面积的最大值. 解 (1)因为e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，所以a 2＝4b 2.又椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P (2，1)，所以4a 2＋1b 2＝1.所以a 2＝8，b 2＝2.故所求椭圆方程为x 28＋y 22＝1.(2)设l 的方程为y ＝12x ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，x 28＋y 22＝1消去y 整理，得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0. 所以x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－4.又直线l 与椭圆相交，所以Δ＝4m 2－8m 2＋16>0，解得|m |<2. 则|AB |＝1＋14×（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝5（4－m 2）.点P 到直线l 的距离d ＝|m |1＋14＝2|m |5.所以S △PAB ＝12d |AB |＝12×2|m |5×5（4－m 2）＝m 2（4－m 2）≤m 2＋4－m 22＝2.当且仅当m 2＝2，即m ＝±2时，△PAB 的面积取得最大值为2.。