基于Hermitian 矩阵的特征分解算法

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协方差矩阵特征值分解
协方差矩阵特征值分解是指将协方差矩阵分解成特征值和特征向量的乘积的过程。

假设一个n维随机向量X=[X1,X2,...,Xn]，它的协方差矩阵为Σ。

协方差矩阵是一个对称正定矩阵，也就是说它的特征值都是实数且大于0。

协方差矩阵特征值分解的过程如下：
1. 求解协方差矩阵Σ的特征值λ1,λ2,...,λn和对应的特征向量v1,v2,...,vn。

特征值和特征向量的关系为：Σvi = λi · vi。

2. 将特征值按照从大到小的顺序排序，特征向量也按照相同的顺序排列形成一个特征矩阵V = [v1,v2,...,vn]，特征值构成对角矩阵Λ = diag(λ1,λ2,...,λn)。

3. 将特征矩阵V和对角矩阵Λ相乘，得到协方差矩阵的特征值分解：Σ = VΛV^-1，其中V^-1是特征矩阵V的逆矩阵。

4. 特征向量v1,v2,...,vn对应的特征值λ1,λ2,...,λn就是协方差矩阵的特征值分解。

协方差矩阵的特征值分解可以帮助我们理解数据的主成分结构和模式，并且可以用于降维、特征选择和数据去相关等应用。

Hermite矩阵第5章Hermite矩阵与正定矩阵5.1Hermite矩阵与Hermite⼆次型5.4Hermite矩阵的特征值5.3矩阵不等式5.2Hermite正定（⾮负定）矩阵Hermite矩阵的性质：(1)如果A是Hermite矩阵，则对正整数k，Ak也是Hermite矩阵；(2)如果A是可逆Hermite矩阵，则A-1也是Hermite矩阵；(3)如果A,B是Hermite矩阵，则对任意实数k,l,kA+lB也是Hermite矩阵；5.1Hermite矩阵与Hermite⼆次型(4)若A,B是Hermite矩阵，则AB也是Hermite矩阵的充分必要条件是AB=BA；(5)A是Hermite矩阵的充分必要条件是对任意⽅阵S，SHAS是Hermite矩阵。

定理5.1.2设A为n阶Hermite矩阵，则定理5.1.1设，则A是Hermite矩阵的充分必要条件是对任意，是实数。

AxxCA×∈nCx∈(1)A的所有特征值全是实数；(2)A的属于不同特征值的特征向量互相正交。

定理5.1.3设，则A是Hermite矩阵的充分必要条件是存在⾣矩阵U使得nnCA×∈),,,(21nHdiagAUUλλλL=Λ=均为实数。

其中nλλλ,,,21L定理5.1.4设，则A是实对称矩阵的充分必要条件是存在正交矩阵Q使得nnRA×∈),,,(diagAQQλλλL=Λ=均为实数。

其中nλλλ,,,21L定理5.1.5设A是n阶Hermite矩阵，则A与矩阵???????????=??rnsrsOIID0000相合，其中r=rank(A)，s是A的正特征值的个数。

设A是n阶Hermite矩阵，如果存在n阶可逆矩阵P,使得则称D为A的相合标准形；s称为A的正惯性指数；r-s称为A的负惯性指数。

000000DOIIAPPrnsrsH=?????????定理5.1.6Hermite矩阵的相合标准形是唯⼀的。

矩阵特征值和特征向量存在性的新证明杨燕妮【摘要】受Argand证明代数基本定理的启发,给出了矩阵特征值和特征向量存在性的一个新证明.该方法仅使用了Weierstrass定理、线性算子逆的定义和代数恒等式.%Inspired by proofing of Argand for algebraic basic theorem,a new proof of the existence of matrix eigenvalues and eigenvectors is given.The method only relies on Weierstrass's theorem,the definition of the inverse of a linear operator and algebraic identities.【期刊名称】《沈阳大学学报》【年(卷),期】2018(030)001【总页数】3页(P84-86)【关键词】谱定理;特征值;特征向量;Weierstrass定理;线性算子【作者】杨燕妮【作者单位】喀什大学数学与统计学院,新疆喀什 844006【正文语种】中文【中图分类】O151.21众所周知,对复数域C上的有限维向量空间,矩阵或算子谱理论研究的一个基本问题是讨论其特征值和特征向量的存在性.它也是进一步讨论线性算子的谱分解和不变子空间的基础.关于矩阵的特征值和特征向量方面有着广泛的研究,如文献[1-2].定理1 设V是C上的有限维向量空间,若T:V→V是线性算子且V≠{0},则∃和使得其中,是属于特征值的特征向量.定理1的传统证明大多借助行列式理论.首先,证明λ∈C是特征值⟺特征多项式det(T-λI)=0;其次,由代数基本定理证明∃λ∈C使得det(T-λI)=0[3].特别地,对实数域R上的有限维向量空间,为证明矩阵(算子)特征值的存在性,可借助中值定理先证明“每个奇次实系数多项式均有一个实根”这一结论[4].或者利用“奇数维实向量空间上的线性算子至少有一个实特征值”的结果,通过代数方法推出任何复向量空间上的线性算子存在特征值[5].设v∈V\{0}且dimV=r.关于线性算子特征值和特征向量存在性的非行列式证明的基本思路是:首先,证明向量组v,T(v),T2(v),…,Tn(v)线性无关,即由(anTn+…+a0I)(v)=0推出a0=…=an=0.其中,a0,…,an∈C;其次,由代数基本定理, 对r∈{1,…,n}和λ1,λ2,…,λr∈C,将特征多项式改写为(T-λ1I)∘(T-λ2I)∘…∘(T-λrI)(v)=0;最后,证明对j∈{1,…,r},(T-λjI)不可逆[6-7].值得注意的是:上面指出的证明方法都依赖于多项式根的存在性.然而,在特征值和特征向量的定义中并未涉及多项式,并且在大多数情况下,它们的数值计算也无需求多项式的根.这就表明特征值和特征向量的存在性证明可不必依赖多项式.无独有偶,在赋范代数的谱理论中已有类似证明,其基本思路是:假设函数λ∈C(T-λI)-1有定义. 然后, 通过Liouville定理、最大模原理、Weierstrass定理等导出矛盾,从而证明算子的特征值和特征向量存在[8-9].本文给出定理1不依赖多项式和算子代数的一个非常初等的证明.之所以称其初等是因为它只用到多变量连续函数、线性映射逆的定义和几何级数的求和公式.对给定的多项式P,Argand在证明代数基本定理[10]时,首先定义了函数z∈C|P(z)|,然后再证明该函数的最小值为0.受此启发,可对替代函数(v,λ)∈(V\{0})×C→‖T(v)-λv‖/‖v‖作最小估计.因此,算子特征值和特征向量的存在性问题就转化为证明替代函数的最小值为0.下面,从推导替代函数存在最小序对入手进行证明.为便于推导,不妨赋予V任意范数.命题1 设V是C上的有限维赋范向量空间.若T:V→V是线性算子且V≠{0},则∃和使得对∀v∈V\{0}和∀λ∈C,都有因替代函数的值域不是紧集,故需借助有限维赋范向量空间上线性算子的有界性.为此,先给出λ的一个合理估计.引理1 设V是C上的有限维赋范向量空间.若T:V→V是线性算子,则∃C∈[0,∞)使得对∀v∈V都有‖T(v)‖≤C‖v‖;进一步,对∀v∈V和λ∈C,都有‖T(v)-λv‖≥(|λ|-C)‖v‖.证明第1个不等式是有限维赋范向量空间上线性算子的经典结论[8].由三角不等式可得第2个结论,即命题1的证明对∀v∈V和∀λ∈C,定义函数选择v0∈V使‖v0‖=1.由引理1,对∀v∈V,‖v‖=1,有f(v,λ)=‖T(v)-λv‖≥|λ|-C.于是,若|λ|>‖T(v0)‖+C且‖v0‖=1,则f(v,λ)>f(v0,0).(1)因f连续且{(v,λ)∈V×C:‖v‖=1,|λ|≤‖T(v0)‖+C}是非空紧集,故由Weierstrass定理可知,∃和使得对满足v∈V,‖v‖=1和|λ|≤‖T(v0)‖+C,λ∈C的每一对(v,λ),都有(2)由不等式(1)可知,对v∈V,‖v‖=1和λ∈C,|λ|>‖T(v0)‖+C不等式(2)也成立.因此,若v∈V\{0}且λ∈C,则有命题2 设V是C上的有限维赋范向量空间,T:V→V是线性算子,若对∀v∈V\{0}和∀λ∈C,都有则命题2表明,若最小序对不是线性算子T对应的特征值及特征向量,则线性算子T的特征值及特征向量将对应另外的最小序对.引理2 设V是C上的有限维赋范向量空间,T:V→V是线性算子,若对∀v∈V\{0}和∀λ∈C,都有则对∀必∃v∈V\{0}使得引理3 设V是C上的有限维赋范向量空间,S:V→V是线性算子,σ,ω∈C,n∈N. 若对∀j∈{1,…,n-1},ωj≠1且ωn=1,满足S可逆且对∀j∈{0,1,…,n-1},S-ωjσI也可逆,则证明首先,注意到I-(σS-1)n=(Sn-σnI)∘S-n.(3)对n用归纳法,可以证明因此,由于故有利用式(3)即可得出结论.引理2的证明假设对∀v∈V\{0}和∀λ∈C,都有(4)令由引理3以及三角不等式, 可得由式(4), 对j∈{1,…,n-1}有另一方面,由式(4)又可得因此,使用前面的不等式,可得用n乘以式(4),可以推出因令n→∞,并取故证毕.命题2的证明假设由引理2可知,对∀λ∈C,若则∃v∈V使得(5)再次利用引理2并由归纳法可以证明,对∀λ∈C和∀n∈N,若则∃v∈V使得式(5)成立.另一方面,由引理1可知,若|λ|>则这与式(5)矛盾.参考文献:【相关文献】[ 1 ] 李艳艳,王东政. 严格对角占优M-矩阵最小特征值的新界[J]. 沈阳大学学报(自然科学版), 2015,27(3):255-258.LI Y Y,WANG D Z. The new bound of the minimum eigenvalue for strictly diagonally dominant M-matrices[J]. Journal of Shenyang University (Natural Science), 2015,27(3):255-258.[ 2 ] 曾富红,司伟建,曲志昱. 基于Hermitian矩阵的特征分解算法[J]. 沈阳大学学报(自然科学版), 2016,28(6):521-517.ZENG F H,SI W J,QU Z Y. The eigendecomposition algorithm based on Hermitian matrix[J]. Journal of Shenyang University(Natural Science), 2016,28(6):521-517.[ 3 ] 王萼芳,石生明. 高等代数[M]. 3版. 北京:高等教育出版社, 2003.WANG E F,SHI S M. Advanced algebra[M]. 3rd edition. Beijing: Higher Education Press, 2003.[ 4 ] 谢彦麟.多项式理论研究综述[M]. 哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社, 2016.XIE Y L. A review of the research ofpolynominal theory[M]. Harbin: The Polytechnic University of Harbin Press, 2016.[ 5 ] 陈辉. 近世代数观点下的高等代数[M]. 杭州:浙江大学出版社, 2009.CHEN H. Advanced algebra under the view of abstract algebra[M]. Hangzhou: Zhejiang University Press, 2009.[ 6 ] 阿克斯勒. 线性代数应该这样学[M]. 3版. 北京:人民邮电出版社, 2016.AXLER S. Linear algebra should be learned this way[M]. 3rd edition. Beijing: Posts and Telecommunications Press, 2016.[ 7 ] SHELDON A. Linear algebra done right[M]. New York: Springer Verlag, 1997.[ 8 ] 李国祯. 实分析与泛函分析引论[M]. 北京:科学出版社, 2004.LI G Z. An introduction to real analysis and functional analysis[M]. Beijing: Science Press, 2004.[ 9 ] SCHAFTINGEN J V. Proving the existence of eigenvalues and eigenvectors by Weierstrass's theorem[J]. American Mathematical Monthly, 2011,120(8):741-746. [10] 陆柱家,李福安. 代数基本定理与线性代数[J]. 数学译林, 2008 (1):91-93.(LU Z J,LI F A. Algebraic fundamental theorem and linear algebra[J]. MathematicsTranslations, 2008(1):91-93.。

python矩阵特征值分解_讲一下numpy的矩阵特征值分解与奇异值分解矩阵特征值分解和奇异值分解是在矩阵分析和线性代数中经常用到的重要技术。

它们在许多数学和工程领域中都有广泛应用，例如数据降维、信号处理、图像压缩等。

在Python中，NumPy库提供了丰富的函数和方法来执行矩阵特征值分解和奇异值分解。

1.矩阵特征值分解：矩阵特征值分解将一个方阵分解为由特征值和特征向量构成的形式。

NumPy中的`numpy.linalg.eig(`函数可用于计算特征值和特征向量。

下面是一个矩阵特征值分解的示例代码：```pythonimport numpy as np#定义一个矩阵A = np.array([[4, 2], [1, 3]])#计算特征值和特征向量eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(A)#输出特征值和特征向量print("特征值：", eigenvalues)print("特征向量：", eigenvectors)```输出结果为：```特征值：[5.2.]```上述代码中，首先定义了一个矩阵A，然后使用`numpy.linalg.eig(`计算矩阵A的特征值和特征向量。

最后将特征值打印出来，并将特征向量打印出来。

2.奇异值分解：奇异值分解将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积，分别是左奇异向量矩阵、奇异值矩阵和右奇异向量矩阵。

NumPy中的`numpy.linalg.svd(`函数可用于计算奇异值分解。

下面是一个奇异值分解的示例代码：```pythonimport numpy as np#定义一个矩阵A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])U, S, V = np.linalg.svd(A)#输出奇异值分解的结果print("左奇异向量矩阵：", U)print("奇异值矩阵：", S)print("右奇异向量矩阵：", V)```输出结果为：``````上述代码中，首先定义了一个矩阵A，然后使用`numpy.linalg.svd(`计算矩阵A的奇异值分解。

hermite矩阵和对称矩阵Hermite矩阵和对称矩阵是线性代数中两个重要的概念，它们在矩阵理论和应用中都有着广泛的应用。

本文将分别介绍Hermite矩阵和对称矩阵的定义、性质以及其在数学和实际问题中的应用。

我们来介绍Hermite矩阵。

Hermite矩阵是指一个复数矩阵，它的共轭转置等于其本身的负值。

换句话说，设H是一个m×n的复数矩阵，如果存在一个m×n的复数矩阵H'，使得H'的元素等于H的元素的共轭并取负值，即H'的第i行第j列的元素等于H的第i行第j列的元素的共轭并取负值，那么称矩阵H为Hermite矩阵。

Hermite矩阵具有许多特殊的性质。

首先，Hermite矩阵的主对角线上的元素都是实数。

其次，Hermite矩阵的特征值均为实数。

此外，Hermite矩阵可以通过相似变换化为一个对角矩阵，且对角线上的元素即为它的特征值。

Hermite矩阵在数学和实际问题中有着广泛的应用。

在数学中，Hermite矩阵常用于矩阵分析、线性代数和数值计算等领域。

例如，在量子力学中，Hermite矩阵可以表示一个量子系统的哈密顿算符，它的特征值对应着系统的能级。

在实际问题中，Hermite矩阵可以用于信号处理、图像处理和通信系统等领域。

例如，在图像处理中，Hermite矩阵可以用于图像的特征提取和图像压缩等方面。

接下来，我们来介绍对称矩阵。

对称矩阵是指一个矩阵的转置等于其本身。

换句话说，设A是一个n×n的矩阵，如果A的转置等于A，即A的第i行第j列的元素等于A的第j行第i列的元素，那么称矩阵A为对称矩阵。

对称矩阵也具有许多特殊的性质。

首先，对称矩阵的特征值均为实数。

其次，对称矩阵可以通过正交相似变换化为一个对角矩阵，且对角线上的元素即为它的特征值。

此外，对称矩阵的特征向量对应的特征值是两两正交的。

对称矩阵在数学和实际问题中也有着广泛的应用。

在数学中，对称矩阵常用于矩阵分析、线性代数和优化理论等领域。

非方阵求特征值的方法
求特征值和特征向量的问题对于非方阵来说更具挑战性，因为非方阵可能具有奇数行或奇数列，这使得求特征值和特征向量的方法与方阵有所不同。

下面介绍几种求非方阵特征值和特征向量的方法: 1. 特征值分解法
特征值分解法是将非方阵分解成两个矩阵的乘积，从而求出特征值和特征向量的方法。

具体来说，可以将非方阵分解成
A = QDQ^(-1)
其中，Q 是正交矩阵，D 是对角矩阵，对角线上的元素是特征值。

通过这种方法，可以求出非方阵的特征值和特征向量。

2. 矩阵特征值算法 (MLA)
矩阵特征值算法是一种基于数值计算的方法，用于求特征值和特征向量。

该方法的基本思想是，通过对矩阵进行迭代，逐渐逼近特征值和特征向量。

MLA 方法对于大规模非方阵的计算效率较低，但是它可以求解非线性方程组，因此在某些情况下非常有用。

3. 共轭梯度法 (CG)
共轭梯度法是一种常用的线性代数求解方法，可以用于求特征值和特征向量。

该方法的基本思想是，通过求解非线性方程组，得到特征值和特征向量。

CG 方法在求解特征值和特征向量时具有较高的计算效率，尤其是在大规模计算中非常有用。

以上是几种求非方阵特征值和特征向量的方法。

这些方法各有优缺点，具体应用要根据具体情况来选择。

本文介绍了几种求非方阵特征值和特征向量的方法。

这些方法各有优缺点，具体应用要根据具体情况来选择。

此外，由于非方阵的特征值和特征向量具有重要的应用，未来的研究可能会集中在非方阵特征值和特征向量的计算方法上。

求矩阵特征值的方法矩阵特征值是矩阵在线性代数中的重要概念之一，它在很多数学和物理问题中都有着重要的应用。

求解矩阵特征值的方法有很多种，下面将介绍常见的几种方法。

1. 通过特征方程求解：设A为一个n阶矩阵，I为n阶单位矩阵，如果存在一个非零向量x使得Ax=λx，其中λ为一个常数，则称λ为矩阵A的一个特征值，x 为对应的特征向量。

特征方程为：A-λI =0。

对于一个n阶矩阵，特征方程是一个n次多项式，其根即为特征值。

根据特征方程求解特征值的一般步骤为：(1) 计算特征方程A-λI =0中的行列式；(2) 求解特征方程，得到特征值。

2. 使用特征值分解：特征值分解是将一个矩阵分解成特征值和特征向量的乘积的形式。

对于一个n阶方阵A，如果存在一个可逆矩阵P和一个对角矩阵D，使得A=PDP^ -1，则称D为A的特征值矩阵，P为A的特征向量矩阵。

特征值分解的一般步骤为：(1) 求解矩阵A的特征值和对应的特征向量；(2) 将特征值按降序排列，将对应的特征向量按列排列，得到特征向量矩阵P；(3) 构造对角矩阵D，将特征值按对角线排列；(4) 计算可逆矩阵P的逆矩阵P^ -1；(5) 得到特征值分解A=PDP^ -1。

特征值分解方法对于对称矩阵和正定矩阵特别有用，可以将这些矩阵转化为对角矩阵，简化了矩阵的计算。

3. 使用幂迭代方法：幂迭代法是一种用于估计矩阵的最大特征值和对应特征向量的迭代方法。

它的基本思想是先任意给定一个非零向量，将其标准化得到单位向量，然后通过矩阵不断作用于该向量使其逐渐趋近于所求的特征向量。

幂迭代法的一般步骤为：(1) 随机选择一个初始向量x(0)，其中x(0)的范数为1；(2) 迭代计算向量x(k+1) = A * x(k)，直到x(k)收敛于所求的特征向量；(3) 使用向量x(k)计算特征值λ(k) = (A * x(k)) / x(k)。

幂迭代法的收敛性与初始向量的选择有关，在实际应用中通常需要进行多次迭代并取得多个结果进行比较，以获得较准确的特征值。

一种基于窄带信号多普勒频率测量的运动目标直接定位方法王鼎;张刚【摘要】相比于常规的两步定位方法,目标直接定位方法具有更高的定位精度,但现有的直接定位方法主要是针对静止目标所提出的,并具有较大的运算量.本文提出了一种针对匀速运动目标的多普勒频率直接定位方法.文中首先基于最大似然准则推导了直接估计目标初始位置和运动速度的优化模型,针对该优化模型是以矩阵特征值的形式给出而难以数值求解的问题,提出了一种基于矩阵特征值扰动定理的Newton型迭代算法,该算法可以避免多维参数网格搜索所导致的庞大运算量.此外,文中还推导了关于目标初始位置、运动速度以及运动航迹估计的克拉美罗界的闭式表达式.数值实验表明新方法的目标位置估计方差可以达到克拉美罗界,并且具有较少的运算量.%Compared to the conventional two-step localization method,the direct position determination (DPD) method has higher location accuracy.However,the DPD method is usually proposed for static target and is computationally expensive.This paper presents a novel DPD method for moving target at constant velocity based on the Doppler frequency shifts.First,the optimization model for directly determining the initial position and velocity of the emitter is constructed on the basis of maximum likelihood estimator (MLE),and the cost function is formulated as the maximal eigenvalue of the Hermitian matrix.In order to avoid multidimensional grid search,a Newton-type iterative algorithm based on matrix eigenperturbation theory is proposed,which involves lower computational complexity than the multidimensional grid search.In addition,the compact Cramér-Rao bound (CRB) expressions for initialposition,moving velocity and track estimates are derived,which can provide a theoretical prediction for target position determination.Simulation results corroborate that the estimate variance of the proposed method is able to attain the CRB with lower computational complexity.【期刊名称】《电子学报》【年(卷),期】2017(045)003【总页数】8页(P591-598)【关键词】直接位置确定;多普勒频率;最大似然估计;匀速运动目标;特征扰动;克拉美罗界【作者】王鼎;张刚【作者单位】解放军信息工程大学信息系统工程学院,河南郑州450001;解放军信息工程大学科研部,河南郑州450001【正文语种】中文【中图分类】TN911.7最为典型的无线电信号定位观测量包括:到达角度(Angle Of Arrival,AOA)[1]、到达时间差(Time Difference Of Arrival,TDOA)[2,3]、到达频率差(Frequency Difference Of Arrival,FDOA)或称多普勒频率[4-6]、到达时间(Time Of Arrival,TOA)[7]、到达频率(Frequency Of Arrival,FOA)[8]、接收信号强度(Received Signal Strength,RSS)[9]等空、时、频、能量域参数.根据上述观测量可以建立目标位置信息(包括位置和运动速度等参数)和观测站位置信息间的代数方程,通过优化求解该方程即可估计目标的位置参数.当目标与观测站存在径向速度时,采用多普勒频率定位是一种较好的选择.最为经典的多普勒频率定位方法是差分多普勒(Differential Doppler,DD)定位法[4～6,10],这种定位方式通常称为两步估计定位方法.针对两步估计定位方法的不足,Weiss和Amar等人提出了一种新型无线电信号定位方法[10～16],即目标位置直接确定(Direct Position Determination,DPD)或称直接定位(Direct Localization,DL)技术.该技术的基本思想是从观测站接收到的无线电信号中直接提取目标位置信息.大量实验表明:直接定位方法比两步估计定位方法具有更高的估计精度和更低的分辨门限.针对多普勒频率定位体制,Weiss和Amar设计了基于窄带信号多普勒频率的直接定位方法[10].然而,该方法是针对静止目标所设计的,而且其中推导的定位优化函数是以矩阵特征值的形式给出,难以形成有效的数值优化方法.因此,本文在文献[10]的基础上,提出了一种针对匀速运动目标的多普勒频率直接定位方法.文中首先依据最大似然准则建立直接估计目标初始位置和运动速度的数学优化模型,针对该优化模型,文中提出了一种基于矩阵特征值扰动定理的Newton迭代算法,该算法可避免多维网格搜索所导致的庞大运算.此外,文中还推导了参数估计方差的克拉美罗界(Cramér-Rao Bound,CRB)的闭式表达式.现有一个待定位的匀速直线运动目标,其初始位置向量为q0,运动速度向量为,目标辐射窄带无线电信号,并且该信号能够同时被L个运动观测站所截获.假设每个观测站在K个时隙段对目标辐射信号进行采样,相邻两个时隙段的时间间隔为T,并将第一个时隙段的目标位置设为其初始位置(即q0).为了对运动目标实现直接定位,这里还需要做出如下两点假设:(a)在每个采样时隙段内(通常时间很短),目标与观测站的瞬时位置和速度均保持不变,于是目标在第k个时隙段的位置向量为,并且将第l个观测站在第k个时隙段内的位置向量和速度向量分别记为pl,k和l,k;(b)目标辐射窄带信号,并且信号带宽B小于信号到达不同观测站的时延最大值τmax的倒数,即B<1/τmax.基于上述讨论和假设,第l个观测站在第k个时隙段所截获到的信号模型可以描述为=αl,ksk(t)·exp{j2πfl,kt}+nl,k(t) =xl,k(t)+nl,k(t),(1≤l≤L;1≤k≤K)式中sk(t)表示信号在第k个时隙段内的复包络,它对于每个观测站而言是一致的(由于假设(b)),nl,k(t)表示零均值高斯白噪声,αl,k表示未知的复标量,它反映了信号在第k个时隙段到达第l个观测站的传播系数,fl,k表示第l个观测站在第k个时隙段截获信号的频率,该频率可以建模表示为式中fc表示信号载波频率的标称值,Δfk表示由于目标辐射信号的不稳定而导致的频率扰动,)的代数表达式为式中T]T,在目标做匀速直线运动的假设条件下该向量包含了目标全部位置信息.需要指出的是,通常有)<<1和Δfk<<fc,于是fl,k可以近似表示为由于fc是已知量,因此通过下变频处理后得到的信号频率可以表示为假设观测站的信号采样时间间隔为Ts,并且在每个时隙段采出了N个信号样本点,若将这N个信号采样值合并成向量的形式就可以得到如下观测模型式中3.1 直接定位优化模型的确立为了给出渐近最优的估计精度,这里将利用最大似然准则对未知向量进行参数估计.假设nl,k服从零均值高斯分布,其方差为σ2,则可以得到如下最小二乘优化模型需要指出的是,为了避免参数连乘(αl,k和sk之间)所导致的估计模糊问题,需要增加约束‖sk‖2=1.下面将讨论式(8)的优化求解问题.首先,由式(8)可以得到复标量αl,k的最优闭式解为将式(9)代入式(8)中可得分别定义一个新的向量和矩阵如下则可将式(10)转化为式中vk满足约束‖vk‖2=1.不难证明式(12)中向量vk的最优解为将式(13)代入式(12)中可以得到仅关于未知向量的数学优化模型为式(14)即为直接定位的数学优化模型,其优化求解过程并不易实现,主要原因在于目标函数)是以矩阵特征值的形式给出.针对该问题,下面将基于矩阵特征扰动理论,提出一种Newton型迭代算法.我们将通过Hermitian矩阵特征扰动理论推导)的梯度向量和Hessian矩阵的代数表达式,从而利用Newton迭代法进行数值寻优.虽然该算法属于迭代类算法,但是其计算量相对于网格遍历搜索而言会大大降低.3.2 基于Newton型迭代的数值优化算法下面首先给出一个关于Hermitian矩阵特征值扰动的重要结论.命题1 设X是n×n阶半正定Hermitian矩阵,该矩阵n个特征值及其单位特征向量分别为λ1,λ2,…,λn和e1,e2,…,en,令该矩阵受到扰动后得到半正定Hermitian 矩阵为(其扰动量-X亦为Hermitian矩阵),并且它的n个特征值分别为,则有如下关系式式中下面将基于命题1中的结论推导)的梯度向量和Hessian矩阵.首先令),并假设其L 个特征值为λk,1≤λk,2≤…≤λk,L,相应的单位特征向量为ek,1,ek,2,…,ek,L,再令是属于的某个ε-领域内的向量(其扰动向量为),并且矩阵)的L个特征值为k,L,相应的单位特征向量为k,L,再记,则根据命题1中的结论可得+o(‖式中基于上述分析,下面还需要接着推导扰动矩阵k关于扰动向量的二阶表示形式.若记D]T,并将矩阵)在处进行二阶Taylor级数展开可得(‖式中根据式(19)可知扰动矩阵k的二阶误差表示为+o(‖将式(21)代入式(17)中可得(‖式中其中根据式(22)可以得到)关于向量的扰动量的二阶表示形式为式中显然,)和)即为目标函数)关于向量的梯度向量和Hessian矩阵的解析表达式,基于此就可以给出求解式(14)的Newton型迭代算法:步骤1 利用差分多普勒两步估计定位法确定初始值(0),并设置步长因子μ(0<μ<1),再令ε为小正数(例如ε=10-6)和m←0;步骤2 对矩阵进行特征分解,确定其单位特征向量ek,l(1≤k≤K;1≤l≤L),并根据式(18)计算矩阵Ek,L(1≤k≤K);步骤3 利用式(20)计算矩阵和步骤4 利用式(23)至式(25)计算向量和矩阵,并根据式(27)确定梯度向量和Hessian 矩阵步骤5 若‖‖2≤ε则停止计算,否则转至步骤6;步骤6 计算,再令m←m+1,并转至步骤2.4.1 未知参量的估计方差克拉美罗界本小节将推导未知参量的估计方差克拉美罗界的表达式.为此首先给出如下结论. 命题2[17] 假设实向量y的估计方差克拉美罗界矩阵为CRB(y),若定义一个新的实向量=Fy(其中F为可逆方阵),则关于向量的估计方差克拉美罗界矩阵可表示为)=F·CRB(y)·FT.首先定义一个新的向量ρ包含所有未知参量,即有式中则关于向量μ的估计方差克拉美罗界矩阵可以表示为式中更具体地,式(31)中每个子矩阵块的表达式为式中需要指出的是,从式(30)中难以直接获得关于)的闭式表达式.为了能够获得)的表达式,需要定义一个新的实参数向量式中根据式(34)可得式中根据命题2可知关于向量的估计方差克拉美罗界矩阵可以表示为式中根据式(38)至式(40)以及分块矩阵求逆公式可得的闭式表达式为4.2 目标运动航迹估计方差的克拉美罗界本小节将根据第4.1小节中的结论推导目标航迹估计方差的克拉美罗界表达式,即估计每个时隙段目标位置向量qk的克拉美罗界表达式.根据第2节的讨论可知,目标在第k个时隙段的位置向量可以表示为根据式(41)和式(42)可知,在第k个时隙段目标位置向量qk估计方差的克拉美罗界可以表示为CRB(qk)= ·(Re(Ψ)-Re(Ω) ·Re-1(Ξ)·Re(ΩH))-1 ·[I (k-1)TI]T)5.1 算法对未知参量的估计性能的比较由于目标的整个运动航迹可直接由向量来决定,因此对参量的估计精度决定了对目标运动航迹的估计精度.基于这一考虑,这里首先比较算法对未知参量的估计性能,其中比较了三种算法,分别为基于Newton迭代的直接定位方法、基于网格搜索的直接定位方法以及基于差分多普勒的两步估计定位方法.假设目标辐射源的初始位置向量为q0=[0 0]Tm,速度向量为=[10 10]Tm/s,目标辐射窄带调频(FM)信号,信号的载波频率为0.3GHz,现有三个运动机载观测站可截获其信号,并且每隔10s对信号进行一个时隙段的采样(共有11个时隙段),观测站的运动速度为200m/s,其运动轨迹与目标的运动轨迹如图1所示.另一方面,信号的载波频率扰动量在[-100 100]Hz内服从均匀分布,信道传播系数的幅度均设为1,相位在[-π π]内服从均匀分布.首先将每个时隙段内的样本点数固定为100,图2给出了目标初始位置和运动速度估计均方根误差随着信噪比的变化曲线;再将信噪比固定为0dB,图3给出了目标初始位置和运动速度估计均方根误差随着每个时隙段内样本点数的变化曲线.图2和图3结果表明:本文提出的基于Newton迭代的直接定位方法的性能要明显优于基于差分多普勒的两步估计定位方法(尤其在低信噪比和小样本点情况下),并且其定位性能与基于网格搜索的直接定位方法基本相当,它们的性能曲线都可以渐近逼近相应的克拉美罗界曲线.5.2 算法对目标航迹跟踪性能的比较假设目标辐射源的初始位置向量为q0=[0 0]Tm,速度向量为=[-8 8]Tm/s,目标辐射窄带调频(FM)信号,信号的载波频率为0.3GHz,信噪比为-3dB,现有四个运动机载观测站可截获其信号,并且每隔5s对信号进行一个时隙段的采样,每个时隙段采100个样本点,观测站的运动速度为200m/s,其运动轨迹与目标的运动轨迹如图4所示.另一方面,信号的载波频率扰动量在[-100 100]Hz内服从均匀分布,信道传播系数的幅度均设为1,相位在[-π π]内服从均匀分布.图5给出了目标位置(跟踪)估计均方根误差随着信号采样时隙段数的变化曲线.图5结果表明:本文提出的基于Newton迭代的直接定位方法的目标航迹跟踪性能要明显优于基于差分多普勒的两步估计定位方法,并且其目标跟踪性能曲线可以渐近逼近相应的克拉美罗界曲线,从而进一步说明了新方法的优越性.5.3 算法复杂度的比较首先定义如下一些参数:(a)Newton迭代的迭代次数记为Miter;(b)在网格搜索中,目标位置和速度在每个维度的搜索区间分别记为Δp和Δv;(c)在网格搜索中,目标位置和速度在每个维度的搜索步长分别记为ηp和ηv.基于上述符号定义,表1和表2分别给出了两种直接定位方法的计算复杂度(均以复乘计).表1和表2结果表明,当N>>D和N>>L时,Newton迭代中的一次迭代计算量是网格搜索一次搜索计算量的大约D2+2D+1倍,然而,Newton迭代通常在迭代10步以内即可收敛,而网格搜索通常要在多维空间中的上千甚至更多个网格内进行计算(以4维搜索空间,并且每个维度仅搜索10个网格为例,则需要在10000网格内计算),因此比较总运算量可知,基于Newton迭代的直接定位方法要具有明显优势. 下面再同一仿真平台下比较两者的算法运行时间,仿真条件分别与图3完全一致,表3给出了两种直接定位方法的平均运行时间(运行100次取均值,单位为s).表3结果表明,本文提出的基于Newton迭代的直接定位方法具有更少的运行时间. 本文提出了一种针对匀速运动目标的多普勒频率直接定位方法.文中首先依据最大似然准则建立了直接估计目标初始位置和运动速度的数学优化模型,并针对该优化模型是以矩阵特征值的形式给出而难以进行有效数值优化的问题,提出了一种基于矩阵特征值扰动定理的Newton迭代算法,该算法具有较快的收敛速度,可以避免多维参数网格搜索所导致的庞大运算量.此外,文中还推导了关于目标初始位置、运动速度以及运动航迹估计的克拉美罗界的闭式表达式,从而为直接定位方法的参数估计精度提供定量的理论参考.仿真实验表明:文中提出的运动目标直接定位方法的性能能够渐近逼近相应的克拉美罗界,并且其运算效率要远优于多维参数网格搜索方法.王鼎男,1982年生于安徽芜湖.现为解放军信息工程大学信息系统工程学院讲师.主要研究方向为无源定位和阵列信号处理.E-mail:***********************张刚男,1975年生于河南西平.现为解放军信息工程大学讲师.主要研究方向为通信与信息处理.E-mail:*********************【相关文献】[1]Wang D,Zhang L,Wu Y.The structured total least squares algorithm for passive location based on angle information[J].Science China:Information Science,2009,52(6):1043-1054.[2]Yang L,Ho K C.An approximately efficient TDOA localization algorithm in closed-form for locating multiple disjoint sources with erroneous sensor positions[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2009,57(12):4598-4615.[3]Yang K,An J P,Bu X Y,Sun G C.Constrained total least-squares location algorithm using time-difference-of-arrival measurements[J].IEEE Transactions on Vehicular Technology,2010,59(3):1558-1562.[4]Ho K C,Chan Y T.An asymptotically unbiased estimator for bearings-only and Doppler-bearing target motion analysis[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2006,54(3):809-822.[5]Yang L,Sun M,Ho K C.Doppler-bearing tracking in the presence of observer location error[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2008,56(8):4082-4087.[6]李金洲,郭福成.传感器位置误差条件下仅用到达频率差的无源定位性能分析[J].航空学报,2011,32(8):1497-1505. 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正交变换法化标准型
正交变换法是一种将线性代数中的矩阵转换为标准型的方法。

它通过一系列的正交变换将矩阵转化为标准型，使得标准型在一定条件下更易于分析和计算。

具体来说，正交变换法可以用于将实对称矩阵对角化，将复数域上的Hermitian矩阵对角化，以及将实矩阵进行特征值分解等。

下面是正交变换法化标准型的一般步骤：
1. 求出矩阵的特征值和对应的特征向量。

2. 将特征向量组成正交矩阵Q，其中Q的列向量是单位正交的。

3. 计算矩阵P，其中P的列向量是特征向量组成矩阵Q的正规化后的列向量。

4. 计算标准型矩阵D，其中D为对角矩阵，对角线上的元素为矩阵的特征值。

5. 得到矩阵的标准型：A = PDP^(-1)，其中A为原始矩阵。

通过正交变换法，可以将原始矩阵化为标准型，从而简化矩阵的计算和分析。

特别是对于对角矩阵，可以直接得到其特征值和特征向量，使得问题更加直观明了。

矩阵的jordan分解算法矩阵的Jordan分解是一种矩阵的特征值分解方法，将矩阵分解为Jordan标准型的形式。

Jordan分解是求解线性差分方程、线性递推关系的重要方法，也在控制论、量子力学等领域有广泛应用。

下面将简要介绍矩阵的Jordan分解算法及其相关参考内容。

1. 矩阵的特征值与特征向量：矩阵的特征值与特征向量是进行Jordan分解的基础。

特征值是矩阵的根特征，可以通过求解特征方程得到。

特征向量是对应于特征值的非零向量，满足矩阵和特征向量的线性变换关系。

矩阵的特征值与特征向量可以在线性代数的教材或参考书中找到详细说明。

2. 寻找Jordan块：通过矩阵的特征值和特征向量，可以找到矩阵的Jordan块。

对于每一个特征值，对应的Jordan块由特征向量构成，其中主对角线上的元素为该特征值，且主对角线上方为1的子对角线上的元素都是1。

3. 重复特征值的处理：如果矩阵存在重复特征值，需要进一步处理。

对于重复特征值，可以使用特征向量的广义特征向量来构造Jordan块。

广义特征向量要满足(A-λI)^k v = 0，其中k表示广义特征向量的阶数。

4. Jordan分解的实现：通过以上步骤，可以将矩阵分解为Jordan标准型的形式。

Jordan标准型是一个上三角矩阵，主对角线由Jordan块构成。

在文献和资料中，关于矩阵的Jordan分解算法有大量的研究和讨论，以下是其中一些参考内容：1. "Matrix Analysis and Applied Linear Algebra" (Carl D. Meyer): 这本书详细介绍了矩阵分析和应用线性代数的各种概念和方法，包括Jordan分解。

书中描述了Jordan分解的算法和步骤，并给出了相关的例子和应用。

2. "Matrix Computations" (Gene H. Golub, Charles F. Van Loan):这本经典的数值计算书籍对于矩阵计算提供了深入的讨论。

第三章积空间 正规矩阵 Hermite 矩阵3－1(1)证明：),(αβ＝H A αβ=H H A )(βα=HA βα ，(βα,k )＝),(βαβαk A k H=),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+=+=+=+H H H A A AH A αααα=),(，因为A 为正定H 矩阵，所以0),(≥αα，当且仅当0),(0==ααα时，由上可知cn是酉空间。

証毕。

（2）解： ∑∑==n jnij ij i Hy a x A |||),(|βαβα∑∑==n jnij ijix ax ),(||||ααα，∑∑==n jnij ijiy ay ),(||||βββ由Cauchy-Schwarz 不等式有：∑∑∑∑∑∑≤n jn ij ijin jnin jnij ijij ijiy ay x ax y ax *3－2解：根据核空间的定义知道N(A)是方程组[][][]()1234512312321-113=011-101=0,1,1,0,0=-1,1,01,0=4-5,0,0,1=span{,,}T T Tx x x x x N A αααααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦的解空间，解得它的基础解系为，，，，从而[]()()()()()()1121221211131323312312112212311122schmidt ==0,1,1,0,0,111=-=-=-1,,-,1,0,222,,-513=--=-+,,257663=,-,,,15555==00,022=TTTTβααββαβαβββαβαββαββαββββββββββγββγβ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎣⎦首先应用正交化方法得到：然后将，，单位化后得到：，，2333123=--0510105==().TTN A βγβγγγ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，，所以，，即为的标准正交基3－3（1）解：由|λE-A| = (λ+1)3得λ= －1是A 的特征值，当λ＝－1时，可得|λE-A|＝000000201于是ε1＝（0，1，0）T是A 的特征向量。