利用导数研究方程的根
函数与x 轴即方程根的个数问题解题步骤
第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；
第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系； 第三步：解不等式（组）即可；
1、已知函数()e ,x f x x =∈R .
(Ⅰ) 求f (x )的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程;
(Ⅱ) 证明: 曲线y = f (x) 与曲线2112
y x x =++有唯一公共点. 【答案】解:(Ⅰ) f (x)的反函数x x g ln )(=,则y=g(x)过点(1,0)的切线斜率k=(1)g'.
1(1)g'x
1(x)g'==⇒=
k .过点(1,0)的切线方程为:y = x+ 1 (Ⅱ) 证明曲线y=f(x)与曲线12
12++=x x y 有唯一公共点,过程如下. 则令,,121121)()(22R x x x e x x x f x h x ∈---=---= 0)0('',0)0('0)0(,1)('')(',1)('===-=--=h h h e x h x h x e x h x x ，，且的导数因此, 单调递增
时当单调递减时当)('0)(''0;)('0)(''0x h y x h x x h y x h x =⇒>>=⇒<<0)(,0)0(')('===≥=⇒x R x h y h x h y 个零点上单调递增，最多有一在所以
所以,曲线y=f(x)与曲线1212++=
x x y 只有唯一公共点(0,1).(证毕) 2、已知函数()1x a f x x e
=-+(a R ∈,e 为自然对数的底数). (1)求函数()f x 的极值;
(2)当1a =的值时,若直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点,求k 的最大值.
(1)()1x a f x e
'=-, ①当0a ≤时,()0f x '>,()f x 为(),-∞+∞上的增函数,所以函数()f x 无极值.
②当0a >时,令()0f x '=,得x e a =,ln x a =.
(),ln x a ∈-∞,()0f x '<;()ln ,x a ∈+∞,()0f x '>.
所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减,在()ln ,a +∞上单调递增,
故()f x 在ln x a =处取得极小值,且极小值为()ln ln f a a =,无极大值.
综上,当0a ≤时,函数()f x 无极小值;
当0a >,()f x 在ln x a =处取得极小值ln a ,无极大值.
(2)当1a =时,()11x f x x e
=-+. 直线l :1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点,
等价于关于x 的方程111x
kx x e -=-+在R 上没有实数解,即关于x 的方程: ()11x k x e -= (*)
在R 上没有实数解.
①当1k =时,方程(*)可化为
10x e
=,在R 上没有实数解. ②当1k ≠时,方程(*)化为11x xe k =-. 令()x g x xe =,则有()()1x
g x x e '=+. 令()0g x '=,得1x =-,
当x 变化时,()g x '的变化情况如下表:
当1x =-时,()min g x e
=-,同时当x 趋于+∞时,()g x 趋于+∞, 从而()g x 的取值范围为1
,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
. 所以当11,1k e ⎛⎫∈-∞- ⎪-⎝⎭
时,方程(*)无实数解, 解得k 的取值范围是()1,1e -.
综上,得k 的最大值为1.
3、已知函数232)1(31)(x k x x f +-=
，kx x g -=3
1)(，且)(x f 在区间),2(+∞上为增函数． （1） 求实数k 的取值范围；
（2） 若函数)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围．
解：（1）由题意x k x x f )1()(2+-='∵)(x f 在区间),2(+∞上为增函数，
∴0)1()(2>+-='x k x x f 在区间),2(+∞上恒成立
即x k <+1恒成立，又2>x ，∴21≤+k ，故1≤k ∴k 的取值范围为1≤k
（2）设3
12)1(3)()()(23-++-=-=kx x k x x g x f x h ， )1)(()1()(2--=++-='x k x k x k x x h
令0)(='x h 得k x =或1=x 由（1）知1≤k ，
①当1=k 时，0)1()(2≥-='x x h ，)(x h 在R 上递增，显然不合题意…
②当1x ),(k -∞ k
)1,(k 1 ),1(+∞ )(x h ' + 0 —
0 + )(x h ↗ 极大值3
12623-+-k k ↘ 极小值21-k ↗ 由于02
<，欲使)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，即方程0)(=x h 有三个不同的实根，故需0312623>-+-k k ，即0)22)(1(2<---k k k ∴⎩⎨⎧>--<0
2212k k k ，解得31-4、已知函数()()
ln ()x f x e a a =+为常数是实数集R 上的奇函数，函数()()sin g x f x x λ=+是区间[一1，1]上的减函数．
(I)求a 的值；
(II) 若()21g x t t λ≤++在x ∈[一1，1]上恒成立，求t 的取值范围． (Ⅲ)讨论关于x 的方程2ln 2()
x x ex m f x =-+的根的个数。 解：（I ）)ln()(a e x f x
+=是奇函数，则(0)0f =恒成立.0ln()0.e a ∴+=01,0.e a a ∴+=∴=（II ）又)(x g 在[－1，1]上单调递减，,1sin )1()(max --=-=∴λg x g ,11sin 2++≤--∴t t λλ只需
.)1(011sin )1(2恒成立其中-≤≥++++∴λλt t 令),1(11sin )1()(2-≤++++=λλλt t h 则⎩⎨⎧≥+++--≤+,011sin 1012t t t ,
01sin 01sin 122恒成立而≥+-⎩⎨⎧≥+--≤∴t t t t t 1-≤∴t . （III ）由（I ）知,2ln ,)(2m ex x x x x x f +-=∴=方程为
令m ex x x f x x x f +-==2)(,ln )(221，21ln 1)(x x x f -=' ， 当],0()(,0)(,),0(11e x f x f e x 在时∴≥'∈上为增函数；
