数学物理方法随谈

数学物理方法在物理学中的应用
数学物理方法在物理学中的应用 1、经典力学
（1）解决物体多自由度运动问题：利用数学物理方法可以求解出解决
多自由度力学问题中运动方程，从而确定它们在各个时刻的速度和位置。

（2）求解轨道运动问题：在轨道中，物体的状态是由它的动量和能量
所控制的，其运动规律可以应用数学物理方法求解出轨道方程，从而
画出轨道的形状。

2、热力学
（1）传热问题：利用数学物理方法可以分析温度场及能量场的变化，
求解出传热的温度分布，从而得到网壳体的温度场。

（2）传质问题：由于热流动系统中存在物理场的变化，数学物理方法
可以分析该物理场，从而求解出传质问题中的速度场及浓度场流动分
布规律。

3、电磁学
（1）静电场问题：由于引力和磁力在电磁学中经常和静电场一起考虑，数学物理方法可以求解出电位在物体表面上的分布，从而判断物体表
面的性质。

（2）旋转电磁波问题：数学物理方法可以求解出旋转电磁波的四向场，从而分析波形的变化特性以及衰减的加速度 ity。

4、固体物理
（1）晶格结构分析：数学物理方法可以确定晶体晶格结构中离子、原子、分子之间的参数关系，从而求解出正常状态下晶体的性质。

（2）电子态分析：利用数学物理方法可以推导出离子的能级，分析电子的运动轨迹，从而求解出晶体不同的电子状态。

5、流体力学
（1）湍流研究：利用数学物理方法可以求解速度场和压力场的分布特性，从而确定流体在边界的分布情况。

（2）声学研究：数学物理方法可以推导出波在流体中的传播特性，从而分析不同声场产生的效果。

非线性偏微分方程的求解方法
杨春教授在数值计算方面提出了基于有限元法的数值计算方法，该方法能够处理复杂的几何形状和边界条件，适用于各种物理问题的数值模拟。
有限差分法是一种经典的数值计算方法，杨春教授在该领域也有深入研究，提出了一些改进的有限差分法，提高了数值计算的精度和稳定性。
数学物理方法的数值计算
在流体动力学方程的研究中，提出了新的数学模型和数值方法，为流体力学和气象学等领域提供了理论支持。
将数学物理方法应用于材料科学，为新型材料的研发提供了数学理论基础。
研究领域与成果
对数学物理方法的贡献
推动了偏微分方程理论和数值解法的发展
丰富了流体动力学方程的研究方法和理论体系
将数学物理方法应用于实际问题，促进了数学与其它学科的交叉融合。
本科毕业于北京大学数学系
博士毕业于中国科学院数学研究所
曾赴美国加州大学伯克利分校进行博士后研究
教育经历
在此添加您的文本17字
在此添加您的文本16字
在此添加您的文本16字
在此添加您的文本16字
在此添加您的文本16字
在此添加您的文本16字
非线性偏微分方程
流体动力学方程
数学物理方法在材料科学中的应用
发展了若干非线性偏微分方程的数值解法，为相关领域提供了有效的数值模拟工具。
有限差分法
有限元法
数学物理方法的实际应用
流体动力学
杨春教授将数学物理方法应用于流体动力学领域，研究了流体动力学中的一些非线性偏微分方程，为流体动力学的发展提供了重要的理论支持。
固体力学
在固体力学领域，杨春教授利用数学物理方法研究了弹性力学和塑性力学中的一些问题，提出了一些新的理论和方法，为解决工程实际问题提供了有效的工具。

《数学物理方法》（Methods of MathematicalPhysics）《数学物理方法》是物理类及光电子类本科专业学生必修的重要基础课，是在《高等数学》课程基础上的一门重要的应用数学类课程，为专业课程的深入学习提供所需的数学方法及工具。

课程内容：复变函数（18学时），付氏变换（20学时），数理方程（26学时）第一篇复变函数（38学时）绪论第一章复变函数基本知识4学时第二章复变函数微分4学时第三章复变函数积分4学时第四章幂级数4学时第五章留数定理及应用简介2学时第六章付里叶级数第七章付里叶变换第八章拉普拉斯变换第二篇数学物理方程（26学时）第九章数理方程的预备知识第十章偏微分方程常见形式第十一章偏微分方程的应用绪 论含 义使用数学的物理——（数学）物理 物理学中的数学——（应用）数学Mathematical Physics方 程1=x{222111c y b x a c y b x a =+=+()t a dtdx= ⎰=)(t a xdt常微分方程0222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x dt x d ω ()C t A x +=ωcos偏微分方程——数学物理方程0222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z y x ψψψ ()z y x ,,ψψ=12=x()ψψψψψz y x U zy x m h t h i ,,22222222+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂()t z y x ,,,ψψ=复 数1. 数的概念的扩充正整数（自然数） 1，2，…运算规则 ＋，－，×，÷，()2，－ 121-=-负 数 0，-1，-2，…整 数 …，-2，-1，0，1，2，…÷ 5.021= 333.031=有理数（分数） 整数、有限小数、无限循环小数414.12=无理数 无限不循环小数 实 数 有理数、无理数i =-1 虚 数y i复 数 实数、虚数、实数＋虚数 yi x y x +,,2. 负数的运算符号12-=xi x ±=i 虚数单位，作为运算符号。

数学物理方法应用
数学物理方法是将数学和物理学相结合的一种方法，它是物理学的基础和核心。

它包含许多不同的技术和工具，例如微积分，偏微分方程，矩阵运算和变分原理等。

这些技术和工具在解决物理学问题时非常有用，它们在天文学，力学，电磁学，量子力学和统计力学等领域中得到了广泛的应用。

在天文学中，数学物理方法常用于计算行星轨道及天体的运动。

在力学中，数学物理方法可用于求解刚体运动、弹性体振动和气体动力学等问题。

在电磁学中，数学物理方法可用于求解电磁场分布和电磁波传播。

在量子力学中，数学物理方法被广泛应用于研究原子和分子结构，以及粒子物理学中的粒子交互作用。

在统计力学中，数学物理方法可用于研究热力学和相变等问题。

除了在物理学中的应用，数学物理方法还在其他领域中得到了广泛的应用。

生物学家使用数学物理方法来研究生物系统的动态和稳定性。

金融学家和经济学家使用数学物理方法来分析市场趋势和金融风险。

工程师使用数学物理方法来设计和优化系统和设备，例如制造和航空工程中的机械系统和材料科学中的材料性质。

总之，数学物理方法是物理学和其他科学领域中不可或缺的一部分。

它们为我们提供了解决复杂问题的工具和技术，以及对自然现象和系
统的深入理解。

《数学物理方法》笔记摘要【写在学习本课程之前】对于本课程本人的学习目标是熟悉数学物理方程本身的物理实质，对常见的分离变量法等要掌握解法，但公式等不必记住，会解决简单条件下的实际问题，如扩散方程、电测深问题、三维电场问题等。

第一章 数学物理方程基本概念一、数学物理方程的提出要解决物理量在时间和多维空间上的变化规律问题，这就导致了偏微分方程的产生。

注意：所谓变化规律就是微分的思想，而在时间和空间上的多维变化就是偏微分方程。

二、定解问题定解问题由泛定方程、边界条件、初始条件组成。

①泛定方程：数学物理方程本身叫做泛定方程，不含有边界条件和初始条件。

②边界条件：即物理问题所处的“环境”，也就是物理量在边界上的状况。

③初始条件：及物理问题的“历史”，也就是开始时刻物理量的状况。

所以，解决物理问题，泛定方程是纽带，将边界值和初始值通过纽带推算到每个点、每个时刻，这就是解决数学物理问题的实质过程！三、泊松方程和拉普拉斯方程的物理本质①泊松方程是解决的物理场中的“有源”问题。

②拉普拉斯方程解决的是物理场中的“无源”问题。

四、扩散方程详见课本p145，将在后面的部分解决常见的扩散方程。

五、边界条件分类（1）第一类边界条件指的是在边界上物理量本身的值。

（2）第二类边界条件指的是在边界上物理量法向导数的值，【物理意义】针对电场、热传导、扩散问题来说就是在边界上的“对外”或“对内”的流量问题。

（3）第三类边界条件对于热传导问题就是描述的自由冷却问题，即杆端热流强度与温度差之间的关系，详见课本p156.六、线性偏微分方程的分类（1）线性偏微分方程的定义（2）分类双曲型抛物线型椭圆型第二章 分离变量法一、偏微分方程能够进行分离变量的条件（1）方程是常系数线性偏微分方程；（2）边界条件是齐次的。

二、分离变量法解决偏微分方程的步骤（1）将非齐次边界条件化为齐次边界条件；（2）将非齐次泛定方程表示成两个泛定方程的线性组合；（3）将分离变量形式代入泛定方程，得到两个常微分方程；（4）将分离变量代入边界条件，和一个常微分方程组成特征方程，解出特征值；（5）将特征值代入另一个常微分方程并解之；（6）综合两个常微分方程的解，写出偏微分方程的解，然后代入初始条件，接触系数。

其中 即
为常数，若
为路径的切线和铅垂线所构成的角度，
（13.3.4）
若如果折射率
是位置的连续函数，这意味着
沿着路径是一常数．若应用到分界面上，就得到光学中的 折射定律（Snell’s law）
（13.3.5）
在大气中光线轨迹的微分方程，由公式(13.3.3)得到 （13.3.6）
的泛函，记为
必须注意，泛函不同于通常讲的函数．决定通常函数值的
因素是自变量的取值，而决定泛函的值的因素则是函数的取
形．如上面例子中的泛函T的变化是由函数
本身的变化
（即从A到B的不同曲线） 所引起的．它的值既不取决于某一个
值，也不取决 于某一个 与 的函数关系． 泛函通常以积分形式出现，比如上面描述的最速降线 落径问题的式（13.1.1）．更为一般而又典型的泛函定义为 (13.1.2) 其中 称为泛函的核． 值，而是取决于整个集合C中
普通函数对 的变分定义为
的求极值的问题．同时，函数曲线
(13.1.3) 因此可得 (13.1.4) 这里 所以 即变分和微分可以交换次序． 代表对 求一阶导数． (13.1.5)
四、 泛函的变分
定义： 泛函的变分 泛函的增量 变分问题 泛函的变分定义为 (13.1.6)
在极值曲线
附近，泛函
的增量，定义为
而当
时，
对应于式(13.2.1),即为 取极值．于是原来的泛函极值 问题，就化为一个求普通函数 取极值的必要条件，有 的极值问题．由函数
即有
（13.2.2）
1.泛函表示为一个自变量，一个函数及其一阶导数
的积分形式
泛函表示为一个自变量，一个函数及其一阶导数的积分形式，
（13.1.2） 若考虑两端固定边界的泛函问题：积分是在区域内通过两点

数学物理方法经典
数学物理方法是指应用数学的理论和技巧来解决物理问题的方法。

经典数学物理方法是指在经典物理理论框架下使用数学的方法来分析和解决物理问题。

经典数学物理方法涵盖了多个数学分支，包括微积分、线性代数、微分方程等。

其中微积分是应用最广泛的数学工具之一，它可以用来描述物体的运动、力的作用等，提供了求导、积分、微分方程等方法来解决物理问题。

线性代数则用于描述物体在空间中的位置、方向等，通过矩阵和向量的运算来推导和求解物理问题。

微分方程是数学物理中最重要的工具之一，它描述了物理量随时间和空间变化的关系，可以作为模型的基础来解决各种物理问题。

经典数学物理方法在解决一些基本的物理问题，如平抛运动、受迫振动、电场中的电荷分布等方面非常有效。

它们可以通过数学的形式化和推导来得到精确的解析解，从而提供了对物理现象的深入理解和预测能力。

然而，在一些更加复杂和抽象的物理问题中，经典数学物理方法可能会遇到困难。

这时，需要借助更高级的数学和物理工具，如量子力学、场论、复变函数等来解决。

但经典数学物理方法仍然是学习和理解这些高级理论的重要基础。

数学物理方法论
数学物理方法论是研究如何应用数学原理和方法来解决物理问题的学科。

它主要包括以下几种方法：
1. 比例法：这种方法可以避开与解题无关的量，直接列出已知和未知的比例式进行计算，使解题过程大为简化。

2. 图像法：中学物理中的一些比较抽象的习题常较难求解，若与数学图形结合，再恰当引入物理图像，则可变抽象为形象，突破难点、疑点，使解题过程大大简化。

以上信息仅供参考，建议查阅相关书籍获取更全面和准确的信息。

弹性力学方程的求解
总结词
弹性力学方程是描述弹性物体变形和应力分布的偏微分方程 ，通过求解该方程可以了解物体的弹性和稳定性。
详细描述
弹性力学方程的一般形式为 $nabla cdot sigma = f$，其中 $sigma$ 是应力张量，$f$ 是体力密度，$nabla cdot$ 是散 度算子。求解该方程可以得到应力分布、应变能和弹性常数 等。
在工程学中的应用
机械工程
数学物理方法在机械工程 中广泛应用于分析力学、 热传导、流体力学等问题 。
电子工程
在电子工程中，数学物理 方法用于描述电磁波的传 播、散射和吸收等。
土木工程
在土木工程中，数学物理 方法用于分析结构力学、 地震工程等问题。
在经济学中的应用
金融建模
数学物理方法在金融领域中用于 建立复杂的金融模型，如期权定
在此添加您的文本16字
数学物理方法将进一步发展，以适应未来科技发展的需求 ，特别是在能源、环境、生物医学等领域。
在此添加您的文本16字
随着人工智能和机器学习的发展，数学物理方法将与这些 技术相结合，以实现更高效、精确的问题解决方案。
06 数学物理方法的实际案例分析
一维波动方程的求解
总结词
一维波动方程是描述一维波动现象的基本方程，通过求解该方程可以了解波的传播规律 。
这些概念在描述物理现象的变化规律 和求解物理问题中发挥着关键作用， 例如在描述速度、加速度、功和能量 等物理量时。
微积分中的基本概念包括极限、连续 性、导数和积分等。
微分方程
微分方程是描述物理现象变化规律的数学工具，它表示一个或多个未知函数的导数 之间的关系。
微分方程的基本类型包括常微分方程、偏微分方程和积分微分方程等。

数学物理方法百科数学物理方法百科数学物理方法是研究物理现象的数学方法，它是物理学的重要分支之一。

数学物理方法的应用范围非常广泛，包括量子力学、相对论、统计力学、流体力学、电磁学等领域。

本文将介绍数学物理方法的一些基本概念和应用。

1.微积分微积分是数学物理方法中最基本的工具之一。

它是研究物理现象的数学方法中最常用的方法之一。

微积分的主要应用包括求导、积分、微分方程等。

在物理学中，微积分被广泛应用于研究物理现象的变化和运动规律。

2.线性代数线性代数是数学物理方法中另一个重要的工具。

它主要研究向量、矩阵、线性方程组等。

在物理学中，线性代数被广泛应用于研究物理现象的空间结构和变换规律。

3.偏微分方程偏微分方程是数学物理方法中最重要的工具之一。

它主要研究物理现象的变化和运动规律。

在物理学中，偏微分方程被广泛应用于研究物理现象的波动、传播、扩散等。

4.变分法变分法是数学物理方法中另一个重要的工具。

它主要研究物理现象的最小化问题。

在物理学中，变分法被广泛应用于研究物理现象的最小化问题，如能量最小化、作用量最小化等。

5.群论群论是数学物理方法中另一个重要的工具。

它主要研究物理现象的对称性和变换规律。

在物理学中，群论被广泛应用于研究物理现象的对称性和变换规律，如对称群、李群等。

数学物理方法是研究物理现象的数学方法，它是物理学的重要分支之一。

数学物理方法的应用范围非常广泛，包括量子力学、相对论、统计力学、流体力学、电磁学等领域。

本文介绍了数学物理方法的一些基本概念和应用，希望能够对读者有所帮助。

经典数学物理方法
1. 微积分
微积分是数学中最基本和最重要的工具之一，它对物理学的发展发挥了重要作用。

微积分是研究函数的变化和变化率的数学工具，可用于解决许多物理问题，如速度、加速度、力、功等等。

2. 线性代数
线性代数研究矩阵的性质、向量空间和线性变换等问题，是解决许多物理问题的有力工具。

线性代数在量子力学、统计力学、电磁学和其他领域中发挥了至关重要的作用。

3. 微分方程
微分方程是解决许多物理问题的重要工具。

微分方程是描述物理系统演化的数学工具，如动力学、热力学、流体力学和电动力学等。

4. 计算机模拟
现代计算机模拟技术可以用于解决许多复杂的物理问题，如流体动力学、量子力学等。

计算机模拟技术可以通过数值方法解决微分方程和概率问题。

这种技术可
以用于验证和验证理论模型，预测物理系统的行为。

5. 群论
群论是研究代数系统的数学分支，尤其是通过群变换描述对称性的数学分支。

在物理学中，群论被广泛应用于描述物理系统的对称性，如粒子物理、场论、凝聚态物理等。

6. 变分法
变分法是一种数学方法，可用于寻找函数的自然极值，以及求解微分方程的特解。

这种技术已被广泛应用于物理学中，如量子力学、天体物理学等。

变分法被认为是数学物理方法中最重要的方法之一。

7. 傅里叶分析
傅里叶分析是一种数学工具，可将任何复杂的周期函数分解成若干简单的正弦和余弦函数的线性组合。

傅里叶分析在物理学和工程学中应用广泛，用于分析振动、波动、信号等。

数学物理方法在物理中的应用数学物理方法是物理学家们在研究自然界中的各种现象时所使用的数学工具和技巧。

通过将数学方法应用于物理学中，科学家们能够更好地理解和解释各种物理现象，从而推动科学的发展。

本文将介绍一些常见的数学物理方法及其在物理中的应用。

微积分是研究连续变化的数学工具。

在物理中，微积分被广泛应用于描述和解决物理量的变化问题。

例如，物体的速度是位置随时间的变化率，加速度是速度随时间的变化率，这些物理量可以通过微积分来计算和描述。

此外，微积分还可以用于解决求和、求极限和求边界等问题，这些都是在物理学中很常见的计算。

线性代数是研究向量、矩阵和线性方程组等数学工具。

在物理学中，线性代数被用来描述和解决涉及向量空间的问题。

例如，电磁场、量子力学和热力学等物理学领域中都离不开线性代数的应用。

线性代数可以帮助物理学家们描述和求解多维空间中的物理量，如波函数、态矢量和酉变换等。

此外，线性代数还在量子力学中的矩阵力学和算符方法中发挥着重要的作用。

傅里叶变换是将一个函数在频域和时域之间进行转换的数学工具。

在物理学中，傅里叶变换可用于分析和解决周期性现象和波动问题。

例如，光和声波的传播可以通过傅里叶变换分解成不同频率的单色波，从而更好地理解它们的特性。

此外，傅里叶变换还可以用于解决偏微分方程、信号处理和图像处理等问题，这些都是物理学研究中经常遇到的问题。

微分方程是描述物理系统演化的数学工具。

在物理学中，微分方程被广泛应用于描述和解决时间和空间的变化问题。

例如，动力学中的牛顿运动定律可以通过微分方程来描述物体的运动。

此外，波动方程、热传导方程和量子力学中的薛定谔方程等都是物理学中常见的微分方程。

通过求解微分方程，物理学家们可以预测和解释物理系统的演化和行为。

概率论与统计学是研究不确定性和随机性的数学工具。

在物理学中，概率论与统计学被用于描述和解释随机现象和测量误差。

例如，量子力学中的波函数给出了测量结果的概率分布，统计物理学则研究大量粒子的集体行为。

浅谈数学基础课程与数学物理方法课程的衔接杨明东南大学数学系, 南京 210096.Email: mathyangming@ .摘要:作者在本文中对数学物理方法中的一些知识点与数学基础课中知识点的联系做了探讨.主要目的是通过这些研究,合理地安排好这些课程中的教学内容,让它们在不同课程中衔接好,达到帮助学生理解和掌握的目的.关键字:高等数学,线性代数,数学物理方法,教学内容与方法.1. 介绍数学物理方法课是工科电类本科专业的重要课程,也被认为是一门难度较大的课程.因为在这门课程中,学生需要综合应用数学基础课程(高等数学,线性代数)的知识去解决新的问题,同时也会接触到现代数学中的一些抽象的基本概念,从而为进一步学习先进数学工具打下坚实的基础.我们在教学研究中发现,数学物理方法中的知识点其实在数学基础课中都有体现,如果能衔接好数学基础课与数学物理方法中的知识点,将能较好地让学生理解并掌握这门课程中的思想和方法.本文中,我们从具体的教学内容出发,来说明我们的教学方法.2. 教学案例:(1) 线性非齐次常微分方程在高等数学中,对于线性非齐次常微分方程的求解方法,重点是介绍了常数变异法和待定函数法,参见文献[1],对积分因子方法(凑导数)和齐次化原理的介绍很少,而后两者却是推导非齐次问题解的表达式的常用方法.积分因子方法一般用来处理一阶方程,而齐次化原理对高阶方程也是有效的,而且偏微分方程的齐次化原理和常微分方程的齐次化原理也是相通的.因此理解和熟练应用常微分方程的积分因子方法和齐次化原理具有重要意义.下面我们来简单地叙述和推导下一阶线性常微分方程的积分因子方法和齐次化原理.考虑下面的问题:'()().(0)y p x y q x y y +=⎧⎨=⎩ (i) 积分因子法(凑导数)0000()()()()('())(), ()'(),x xx x p s ds p s ds p s ds p s ds e y p x y q x e ye q x e ⎰⎰+=⎰⎰=0000()()00()()00|(),()(()).x tx t x p s ds p s ds xx p s ds p s ds ye q t e dt y x e y q t e dt -⎰⎰=⎰⎰=⋅+⎰⎰其中0()x p s ds e ⎰被称为积分因子. (ii) 齐次化原理先做线性拆分,将原来问题分成两个问题,一个初值为0,一个非齐次项为0,即'()0'()(), (I) , (II)(0)(0)0v p x v u p x u q x v y u +=+=⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ 其中齐次方程(II)用分离变量法可解出,0()0()xp s ds v x y e -⎰=⋅. 下面来考虑问题(I).为此我们引入一个带参数的新问题:'()0.(0;)()w p x w w t q t +=⎧⎨=⎩用分离变量法将该问题求出,0()(;)()xp s ds w x t q t e -⎰=⋅, 则0()(;).xu x w x t t dt =-⎰ 直接验证可得上面的表达式即为所求,但验证时要用到含参变量的导数的求法,一般工科的高等数学中不做要求,需要教师补充,即()()(,)d t c t d f x t dx dt ⎰. 值得注意的是本方法可以推广导高阶线性常微分方程和线性偏微分方程,请读者自行推导.(2) Gauss 公式,第二Green 公式以及位势方程的基本解在高等数学中,Gauss 公式是要求重点掌握的内容,利用该公式来计算第二型曲面积分是学生比较熟悉的方法.向量形式的Gauss 公式就是散度定理(divergence theorem):div w dx w n dS Ω∂Ω=⋅⎰⎰⎰⎰⎰ , 其中Ω是空间区域,n 是∂Ω的单位外法向量.利用散度定理可以方便的推出第二Green公式,参见文献[2,3],()()v u u v v u dx u v dS n nΩ∂Ω∂∂∆-∆=-∂∂⎰⎰ . 第二Green 公式是用Green 函数法研究位势方程的重要工具.下面我们利用它来证明三维情况下,位势方程的基本解是:1()4||x x φπ=.这是一个重要的证明,是学生学会处理函数奇性的一个重要例子.证明需要综合运用在高等数学中的知识,证明等价于证明全空间下的位势方程:3(), u f x x R -∆=∈, 30()f C R ∞∈的解为3()()()().Ru x f x x y f y dy φφ=*=-⎰ 下面我们来推导一下.33()()() ()().x Ry R u f x f x y y dy f x y y dy φφφ-∆=*=-∆-=-∆-⎰⎰ 因为()y φ在原点有奇性且()0,0y y φ∆=≠,所以我们将以原点为圆心半径为ε的小球B ε挖去,并求极限.3\0lim [()()()()].y y R B u f x y y y f x y dy εεφφ→-∆=-∆-∆-⎰下面利用第二Green 公式,将积分转化为球面||y ε=上的积分,||0()()lim [()()]y y y f x y u f x y y dS n nεεφφ=→∂∂--∆=--+∂∂⎰ , 其中n 是球面||y ε=的单位外法向量.再利用()y φ的表达式计算,并利用积分中值定理即得,2||01()lim [()]().4y y f x y u f x y dS f x nεεεπε=→∂--∆=-+=∂⎰ 这样,我们有3()()(),x Ru x y f y dy f x φ-∆=-∆-=⎰ 故()(),x x y x y φδ-∆-=-即1()4||x x φπ=是三维位势方程的基本解. (3)向量空间k C 与函数空间2(,)L a b在线性代数课程中,我们学习了向量的内积,下面我们把内积的概念推广到分段连续函数上.先来回顾一下n 维复向量的内积.k 维向量1(,,)k k a a a C =⋅⋅⋅∈可以看成是定义在集合{1,,}k ⋅⋅⋅上的函数,它的分量是()j a j a = .所以它的内积和模就是:12211,()(), |()|.k k j j a b a j b j a a j ==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑记区间[,]a b 上的分段连续函数的全体为(,)PC a b .将函数(,)f PC a b ∈看成是无穷维向量,它的分量是()f x ,x 在区间[,]a b 上.那么定义函数的内积和模,我们只要简单地将上面的求和改为它在连续情况下的形式即积分:()122,()(), |()|.b b a a f g f x g x dx f f x dx ==⎰⎰ 因为只改变函数在有限多个点的值,函数的积分不会改变.这就产生了一个问题,如果函数f 在[,]a b 上除了有限多个点外都是0,则0f =.这与模的要求不符,怎么解决呢?我们可以用等价类的观点来看待这个问题,即对于(,)PC a b 中的函数,我们可以简单认为如果两个函数仅在有限多个点处值不等(或者说这两个函数是几乎处处相等的),那么我们仍然认为它们是相等的.另外还有个问题就是(,)PC a b 并不是一个像欧氏空间k C 那样的很好的无穷维空间,因为它并不完备,即(,)PC a b 中的柯西列的极限未必在(,)PC a b 中.我们需要将(,)PC a b 扩充成一个完备的空间,以包含一些具有高度奇性的函数.幸运的是,我们有一套Lebesgue 积分理论,参见文献[3],它可以处理对正则性要求很低的函数,称之为可测函数.一般来说,在工科数学范围内遇到的函数都是可测函数.记区间[,]a b 上的平方可积函数空间为2(,)L a b ,即{}22(,):|()|,b a L a b f f x dx =<∞⎰这里的积分指的是Lebesgue 积分.与(,)PC a b 空间上函数内积和模的定义一样定义2(,)L a b 上的函数的内积和模.关于Lebesgue 积分,我们工科学生并不需要知道它复杂的构造方法和技巧,而只要知道它的定义和下面的结论即可.结论: (i) 2(,)L a b 按摸收敛下是完备空间;(ii) 对任意的2(,)f L a b ∈,存在函数列[,]n f C a b ∈使得在2(,)L a b 中n f f →.这个结论可以通俗的理解为通过填满(,)PC a b 空间的缝隙而得到2(,)L a b .我们认为在数学物理方程这门课程中引入2(,)L a b 是很有必要,也是很好的时机.这样既可以深化学生对Fourier 级数理论的认识,也是学生认识无穷维空间的一个很好的例子,从而为后面学习泛函分析等抽象的数学课程提供具体感性的认识.学习要从简单到复杂, 从具体到抽象,只有这样才符合我们的认知规律.(4)Sturm-Liouville 问题与线性代数中自共轭算子的特征值问题的联系我们在利用分离变量法求解偏微分方程时,经常会遇到如下的Sturm-Liouville 问题(特征值问题).设()(')'L f rf pf =+,其中,',r r p 是[,]a b 上的实的连续函数且在[,]a b 上,0r >.考虑如下常微分方程边值问题(正则的Sturm-Liouville 问题):()0,(,), , ()0,L f wf x a b B f λ+=∈⎧⎨=⎩ 其中λ为常数,实的连续函数0w >,边界条件()0B f =一般是指:12121212()'()0,()'()0,(,)(0,0),(,)(0,0)f a f a f b f b ααββααββ+=+=≠≠.当然研究实际问题时也会遇到周期边界条件:()()0,'()'()0f a f b f a f b -=-=或其他边界条件.记{}122,()()(), ,, (,):.b w w w w w a f g f x g x w x dx f f f L a b f f ===<∞⎰关于Sturm-Liouville 问题,最核心的结论是:不同特征值的特征函数关于权函数w 加权正交,且所有特征函数构成了空间2(,)w L a b 的一组正交基.那么如何来认识这个抽象的结论呢?其实我们在线性代数中已经学习过一个类似的结论,即关于自共轭线性变换的特征向量的结论.设线性变换:k kT C C →,若,,,,k T a b a Tb a b C =∀∈ ,则称T 是自共轭的.当T 是自共轭时,T 的特征向量构成了k C 的一组正交基,参见文献[4].这是一个在k 维内积空间k C 上的精妙结论,那么自然可以想到在无穷维内积空间2(,)w L a b 上也有类似结论,即2(,)w L a b 上的自共轭线性算子的特征函数构成2(,)w L a b 的正交基.而这正是我们在上面的Sturm-Liouville 问题的结论,唯一需要做的就是验证上面的常微分方程边值问题是一个自共轭问题,这里留给读者验证.我们认为虽然工科学生对Sturm-Liouville 问题结论的证明不做要求,但是理解该结论与k C 上自共轭线性算子的结论的联系却是必要的.这样的话,如果在线性代数教学时能让学生对自共轭线性算子的特征值问题有比较深入的认识,那么对这里的Sturm-Liouville 问题的结论就不难理解了.我们认为虽然工科数学更加侧重对计算的要求,但是如果离开对数学内容的深刻地认识,那么学生的数学能力是不会有大的提高的.对任何数学问题来说,深入理解总是第一重要的.3. 总结本文对数学物理方法中的一些知识点与数学基础课中知识点的联系做了探讨,主要的目的是通过这些研究,希望能把这些课程中教学内容按照从简单到复杂,从具体到抽象的认知规律合理地安排好,让它们在不同课程中衔接好,达到帮助学生理解和掌握的目的.参考文献:[1] 东南大学高等数学教研室, 高等数学(上), 北京:高等教育出版社,2007.7.[2] 王明新, 数学物理方程, 北京:清华大学出版社, 2009.10.[3] 王元明, 数学物理方程与特殊函数, 北京:高等教育出版社, 2004.7.[4] E. H. Lieb, M. Loss, 分析学 (第二版), 北京:高等教育出版社, 2006.10.[5] S. J. Leon, 线性代数 (第七版), 北京: 机械工业出版社, 2008.7Talk about the connection of mathematic basic coursesand mathematical physics courseYang MingDepartment of Mathematics, Southeast University, Nanjing 210096.Email: mathyangming@ .Abstract: In this paper, the authors study the connection of mathematic basiccourses and mathematical physics course. The main purpose of this paper is to findthe way of linking the contents of these courses by arranging them well, so that thestudents may grasp the ideas and contents well in mathematical physics course.Key words: Advanced mathematics, Linear algebra, Mathematical physics, Contendand method of teaching.。

（5）
同理有二维（薄片）及三维热传导方程
u 2u 2u 2 a ( 2 2 ) f ( x, y, t ) t x y u u u u 2 a ( 2 2 2 ) f ( x, y, z, t ) t x y z
2 2 2
29
热传导方程可统一表示为：
u 在t 0时， u ( x, t1 ) u ( x, t 2 ) t t
故Q温度变化 u c A x t t
24
m v A x
Q流动热量满足傅立叶实验定律：
物体在无穷小时段dt内流过一个无穷小面积ds的 热量dQ与物体温度沿曲面ds法线方向导数成正比。
ut a u f
2
其中Δ为拉普拉斯算子，f=0时为齐次方程，f≠0时 为非齐次方程。 （注：扩散情况也满足此方程，此时为扩散方程， u为浓度。）
30
泊松方程或拉普拉斯方程
前两类方程的特例，稳定场情况，即u不随时间变化。
u 0 t
u 0
（6）
（6）式即为拉普拉斯方程。
u f
特殊性，即个性。
泛定方程：不带有边界和初始条件的方程称为泛定方程。 它反映了问题的共性。
5
具体的问题的求解的一般过程： 1、根据系统的内在规律列出泛定方程——客观规律 2、根据已知系统的边界状况和初始状况列出边界条件和
初始条件——求解所必须用的 3、求解方法 —— 行波法、分离变量法等
三类数学物理方程的一种最常用解法 分离变量法 偏微分方程 标准的常微分方程 标准解，即为各类特 殊函数 6
2
从物理规律角度来分析，数学物理定解问题表征的 是场和产生这种场的源之间的关系．

的两个
单值分支。每一个分支是一个单值函数。
造成根式函数
多值的原因：
z的辐角的多值性，即
考察z的连续变化：在复平面上可用
一条曲线来描述z的变化过程。
(1) z从某一给定的 z =ρe iφ0 出发，对应的w从w0出发。令 z沿 逆时针方向环绕原点(z=0)转一圈回到原处时，它的辐角由φ0 变为φ0+2π =φ1 ，而w由 w0变为w1，即w从一个单值分支变到 另一个单值分支。继续令z沿逆时针方向绕 z =0 转一圈，z再 次回到原处，它的辐角由φ0+2π =φ1变为 φ0 + 4π，
图3-5-6
为确定起见，设出发点的w(z)值处于w0分支，即0 0
满足 0 0 0 2 。
(1) 选择回路C1 考察 z = a是否为支点。 z点沿着C1 转一 圈后，有
arg(z a) 0 2 , arg(z b) 0
由此得
w(z)
e w i
1 2
(0
0
2
)
1
即w值处于另一分支，故 z = a 为支点。
2
由z0到－1
(3-5-6)
上式的方括号表示，当z由z0移动到 –1点时，z及(1-z)的辐 角的改变量之和。
(1) 作割线如图3-5-7，并规定argw(z0)=0，此时从z0出发还 可沿C逆和C顺两条路径达到z＝–1点，尽管沿两条路径求得 的Δargz,Δarg(1–z) 以及 argw(–1)不同，但w(-1)具有确定
一圈(相当于z绕∞点转一圈) 时，w 的值不会还原，可见 z=
∞是
的另一支点。
2.将多个单值分支分开的方法
在根式函数的两个支点之间作割缝，并规定：z在连续

姜颖教授数学物理方法讲义一、引言数学物理方法是一种综合应用数学和物理的学科，可以用数学的工具和方法来解决物理问题。

数学物理方法非常广泛，包括了常微分方程、偏微分方程、复变函数、辛几何等等。

本讲义将从常微分方程和偏微分方程两个方面进行介绍。

二、常微分方程1.常微分方程简介常微分方程是指未知函数只有一个自变量的微分方程，例如dy/dx=f(x, y)。

常微分方程的解是关于未知函数的函数表达式。

在物理中，常微分方程常常用于描述运动的规律，例如牛顿第二定律F=ma就可以转化为二阶常微分方程。

2.常微分方程的解法常微分方程的解法包括几种常见的方法，例如分离变量法、齐次方程法、一阶线性方程法等等。

分离变量法是将未知函数的变量分离出来，然后进行积分。

齐次方程法是将未知函数的变量进行变换，使方程具有齐次的形式。

一阶线性方程法是将方程进行变形，然后利用线性方程的求解公式。

3.常微分方程的应用常微分方程在物理中有广泛的应用，可以描述各种物理现象。

例如，RC电路中的电荷衰减问题可以用常微分方程来描述；弹簧振子的运动方程也可以用常微分方程来描述。

常微分方程还可以用于动力学、电动力学、量子力学等领域的问题求解。

三、偏微分方程1.偏微分方程简介偏微分方程是指未知函数的偏导数出现在方程中的方程，例如△u=f(x,y,z)。

偏微分方程的解是关于未知函数和多个自变量的函数表达式。

在物理中，偏微分方程常常用于描述连续介质的运动规律，例如波动方程、热传导方程等。

2.偏微分方程的分类偏微分方程根据方程中的未知函数的阶数和导数的类型可以进行分类。

常见的偏微分方程包括椭圆型、双曲型和抛物型方程。

椭圆型方程的解具有稳定性，例如泊松方程；双曲型方程的解具有传播性，例如波动方程；抛物型方程的解具有扩散性，例如热传导方程。

3.偏微分方程的解法偏微分方程的解法需要根据方程的类型来选择合适的方法。

例如，对于线性偏微分方程，可以用变量分离法、特征曲线法、格林函数法等方法来求解。