2020届高考数学(文科)总复习课时跟踪练(五十二)直线与椭圆的综合问题(提升课)

课时跟踪练(四十四)A 组 基础巩固1．设m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，且m ，n ⊂α，则“α∥β”是“m ∥β且n ∥β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若m ，n ⊂α，α∥β，则m ∥β且n ∥β；反之若m ，n ⊂α，m ∥β且n ∥β，则α与β相交或平行，即“α∥β”是“m ∥β且n ∥β”的充分不必要条件．★答案★：A2．(2019·合肥模拟)在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB 和BC 上的点，若AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝1∶2，则对角线AC 和平面DEF 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．在平面内D ．不能确定解析：如图，由AE EB ＝CF FB得AC ∥EF .又因为EF ⊂平面DEF ，AC ⊄平面DEF ，所以AC ∥平面DEF .★答案★：A3．(2019·黄山模拟)下列说法中，错误的是()A．若平面α∥平面β，平面α∩平面γ＝l，平面β∩平面γ＝m，则l∥mB．若平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝l，m⊂α，m⊥l，则m ⊥βC．若直线l⊥平面α，平面α⊥平面β，则l∥βD．若直线l∥平面α，平面α∩平面β＝m，直线l⊂平面β，则l∥m解析：对于A，由面面平行的性质定理可知为真命题，故A正确；对于B，由面面垂直的性质定理可知为真命题，故B正确；对于C，若l⊥α，α⊥β，则l∥β或l⊂β，故C错误；对于D，由线面平行的性质定理可知为真命题，故D正确．综上，选C.★答案★：C4．(2019·广东省际名校联考)已知α，β为平面，a，b，c为直线，下列命题正确的是()A．a⊂α，若b∥a，则b∥αB．α⊥β，α∩β＝c，b⊥c，则b⊥βC．a⊥b，b⊥c，则a∥cD．a∩b＝A，a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥β解析：选项A中，b⊂α或b∥α，不正确．B中b与β可能斜交，或b∥β、b⊂β，B错误．C中a∥c，a与c异面，或a与c相交，C错误．利用面面平行的判定定理，易知D正确．★答案★：D5．(2019·石家庄模拟)过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有()A．4条B．6条C．8条D．12条解析：如图，H，G，F，I是相应线段的中点，故符合条件的直线只能出现在平面HGFI中，有FI，FG，GH，HI，HF，GI共6条直线，故选B.★答案★：B6．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.可以填入的条件有________(填序号)．解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．★答案★：①或③7.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD 的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．解析：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，所以AC＝2 2.又E为AD中点，EF∥平面AB1C，EF⊂平面ADC，平面ADC∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC，所以F为DC中点，所以EF＝12AC＝ 2.★答案★： 28．(2019·泉州模拟)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，当点Q________时，平面D1BQ∥平面PAO.()A．与C重合B．与C1重合C．为CC1的三等分点D．为CC1的中点解析：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，所以PO∥BD1，当点Q为CC1的中点时，连接PQ，则PQ AB，所以四边形ABQP是平行四边形，所以AP∥BQ，因为AP∩PO＝P，BQ∩BD1＝B，AP、PO⊂平面PAO，BQ、BD1⊂平面D1BQ，所以平面D1BQ∥平面PAO.故选D.★答案★：D9．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论．解：(1)点F，G，H的位置如图所示．(2)平面BEG∥平面ACH，证明如下：因为ABCD-EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG，又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，所以四边形BCHE为平行四边形，所以BE∥CH.又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.10.(2019·衡水中学模拟)如图，已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，点O是线段AB的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝CD＝DA＝12AB＝4，M是线段PA的中点．(1)证明：平面PBC∥平面ODM；(2)求点A到平面PCD的距离．(1)证明：由题意，得CD∥BO，且CD＝BO，所以四边形OBCD为平行四边形，所以BC∥OD. 因为BC⊂平面PBC，OD⊄平面PBC，所以OD∥平面PBC.又因为O是线段AB的中点，M是线段PA的中点，所以OM∥PB.又OM⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，所以OM∥平面PBC.又OM ∩OD ＝O ，OM 、OD ⊂平面ODM ，所以平面PBC ∥平面ODM .(2)解：取CD 的中点N ，连接ON ，PN ，如图所示，则ON ⊥CD .因为PO ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥CD . 又因为ON ⊥CD ，PO ∩ON ＝O ，所以CD ⊥平面PNO .因为PN ⊂平面PNO ，所以CD ⊥PN .由题意可求得ON ＝23，则PN ＝27，设点A 到平面PCD 的距离为d .所以V 三棱锥A-PCD ＝V 三棱锥P-ACD ，即13×12×4×27×d ＝13×12×4×23×4， 所以d ＝4217， 即点A 到平面PCD 的距离为4217. B 组 素养提升11.如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列结论中，错误的是()A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°解析：因为截面PQMN是正方形，所以MN∥PQ，则MN∥平面ABC，由线面平行的性质知MN∥AC，则AC∥截面PQMN，同理可得MQ∥BD，又MN⊥QM，则AC⊥BD，故A、B正确．又因为BD∥MQ，所以异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角，即为45°，故D正确．★答案★：C12.(2019·新乡模拟)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F 分别为B1C1，C1D1的中点，点P是底面A1B1C1D1内一点，且AP∥平面EFDB，则tan ∠APA1的最大值是()A.22B．1C. 2 D．2 2解析：如图，分别取A1D1的中点G ，A1B1的中点H，连接GH，AG，AH，连接A1C1，交GH，EF于点M，N，连接AM，连接AC，交BD于点O，连接ON.易证MN OA，所以四边形AMNO是平行四边形，所以AM∥ON，因为AM⊄平面BEFD，ON⊂平面BEFD，所以AM∥平面BEFD，易证GH∥EF，因为GH⊄平面BEFD，EF⊂平面BEFD，所以GH∥平面BEFD，又AM∩GH＝M，AM，GH⊂平面AGH，所以平面AGH∥平面BEFD，所以点P在GH上，当点P与点M重合时，tan ∠APA1的值最大．设正方体的棱长为1，则A1P＝2 4，所以tan ∠APA1的最大值为124＝2 2.★答案★：D13．如图所示，棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D 是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，则A1D∶DC1的值为________．解析：设BC1∩B1C＝O，连接OD.因为A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD＝OD，所以A1B∥OD，因为四边形BCC1B1是菱形，所以O为BC1的中点，所以D为A1C1的中点，则A1D∶DC1＝1.★答案★：114．(2019·汉阳一中模拟)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC是等边三角形，且AA1⊥平面ABC，D为AB的中点．(1)求证：直线BC1∥平面A1CD；(2)若AB＝BB1＝2，E是BB1的中点，求三棱锥A1-CDE的体积．(1)证明：连接AC1，交A1C于点F，则F 为AC 1的中点，又D 为AB 的中点， 所以DF ∥BC 1，又BC 1⊄平面A 1CD ，DF ⊂平面A 1CD ， 所以BC 1∥平面A 1CD .(2)解：因为△ABC 为等边三角形，D 为AB 中点， 所以CD ⊥AB ，又AA 1⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ， 所以CD ⊥AA 1，因为AB ∩AA 1＝A ，所以CD ⊥平面ABB 1A 1，所以三棱锥的高h 等于点C 到平面ABB 1A 1的距离，即h ＝CD ，易求得CD ＝ 3.又S △A 1DE ＝2×2－12×1×2－12×1×1－12×1×2＝32， 所以VA 1-CDE ＝VC-A 1DE ＝13S △A 1DE ·h ＝13×32×3＝32.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。

课时跟踪检测（五十六） 直线与椭圆的位置关系一、题点全面练1．若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是( )A ．至多为1B ．2C ．1D ．0解析：选B 由题意知4m 2＋n2＞2，即m 2＋n 2＜2， ∴点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，故所求交点个数是2.2．中心为原点，一个焦点为F (0,52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆的方程是( )A.2x 275＋2y 225＝1 B.x 275＋y 225＝1 C.x 225＋y 275＝1 D.2x 225＋2y 275＝1 解析：选C 由题设知c ＝52，设椭圆方程为x 2a 2－50＋y 2a 2＝1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－50＋y 2a 2＝1，y ＝3x －2，消去y ，整理得 (10a 2－450)x 2－12(a 2－50)x ＋4(a 2－50)－a 2(a 2－50)＝0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝12(a 2－50)10a 2－450＝1，解得a 2＝75，所以椭圆方程为x 225＋y 275＝1.3．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2 B.455 C.4105D.8105解析：选C 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝x ＋t ，消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0， 则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4(t 2－1)5.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2· ⎝⎛⎭⎫－85t 2－4×4(t 2－1)5＝425·5－t 2， 当t ＝0时，|AB |max ＝4105. 4．设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP ―→＋OF 2―→)·PF 2―→＝0(O 为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是( )A ．4 B.3 C ．2D ．1解析：选D ∵(OP ―→＋OF 2―→)·PF 2―→＝(OP ―→－OF 1―→)·PF 2―→＝F 1P ―→·PF 2―→＝0，∴PF 1⊥PF 2，∠F 1PF 2＝90°.设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝12,2mn ＝(m ＋n )2－m 2－n 2＝4，mn ＝2，∴＝12mn ＝1. 5.过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F .若13＜k＜12，则椭圆C 的离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫14，34 B.⎝⎛⎭⎫23，1 C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎝⎛⎭⎫0，12 解析：选C 由题意可知，|AF |＝a ＋c ，|BF |＝a 2－c 2a ，于是k ＝a 2－c 2a (a ＋c ).又13＜k ＜12，所以13＜a 2－c 2a (a ＋c )＜12，化简可得13＜1－e 21＋e ＜12，从而可得12＜e ＜23，选C. 6．已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为__________．解析：设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则c ＝1.因为过F 2且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ，B 两点，且|AB |＝3，所以b 2a ＝32，b 2＝a 2－c 2，所以a 2＝4，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.答案：x 24＋y 23＝17．过点M (－2,0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1，P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为__________．解析：过点M (－2,0)的直线m 的方程为y －0＝k 1(x ＋2)，代入椭圆方程化简得(2k 21＋1)x 2＋8k 21x ＋8k 21－2＝0，所以x 1＋x 2＝－8k 212k 21＋1，所以点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 212k 21＋1，2k 12k 21＋1，直线OP 的斜率k 2＝－12k 1，所以k 1k 2＝－12. 答案：－128．(2019·广州模拟)已知中心在坐标原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，点F 关于直线y ＝12x 的对称点在椭圆C 上，则椭圆C 的方程为__________．解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由题意可知c ＝1，即a 2－b 2＝1①，设点F (1,0)关于直线y ＝12x 的对称点为(m ，n )，可得n －0m －1＝－2②.又因为点F 与其对称点的中点坐标为⎝⎛⎭⎫m ＋12，n 2，且中点在直线y ＝12x 上，所以有n 2＝12×m ＋12③，联立②③，解得⎩⎨⎧m ＝35，n ＝45，即对称点为⎝⎛⎭⎫35，45，代入椭圆方程可得925a 2＋1625b 2＝1④，联立①④，解得a 2＝95，b 2＝45，所以椭圆方程为5x 29＋5y 24＝1.答案：5x 29＋5y 24＝19．(2019·长春监测)已知椭圆C 的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且经过点E ⎝⎛⎭⎫3，32.(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 位于x 轴上方)，若AF 1―→＝2F 1B ―→，求直线l 的斜率k 的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝|EF 1|＋|EF 2|＝4，a 2＝b 2＋c 2，c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意得直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ＞0)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 24＋y 23＝1，整理得⎝⎛⎭⎫3k 2＋4y 2－6k y －9＝0， Δ＝144k 2＋144＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝6k3＋4k 2，y 1y 2＝－9k 23＋4k 2，又AF 1―→＝2F 1B ―→，所以y 1＝－2y 2， 所以y 1y 2＝－2(y 1＋y 2)2，则3＋4k 2＝8， 解得k ＝±52，又k ＞0，所以k ＝52.10．(2018·成都模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，长半轴与短半轴的比值为2.(1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点A (1,0)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N .若点B (0,1)在以线段MN 为直径的圆上，求直线l 的方程．解：(1)由题可知c ＝3，ab ＝2，a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝2，b ＝1.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)易知当直线l 的斜率为0或直线l 的斜率不存在时，不合题意．当直线l 的斜率存在且不为0时，设直线l 的方程为x ＝my ＋1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y 2＝1，消去x 可得(4＋m 2)y 2＋2my －3＝0. Δ＝16m 2＋48＞0，y 1＋y 2＝－2m 4＋m 2，y 1y 2＝－34＋m 2.∵点B 在以MN 为直径的圆上， ∴BM ―→·BN ―→＝0.∵BM ―→·BN ―→＝(my 1＋1，y 1－1)·(my 2＋1，y 2－1)＝(m 2＋1)y 1y 2＋(m －1)(y 1＋y 2)＋2＝0，∴(m 2＋1)·－34＋m 2＋(m －1)·－2m4＋m 2＋2＝0，整理，得3m 2－2m －5＝0，解得m ＝－1或m ＝53.∴直线l 的方程为x ＋y －1＝0或3x －5y －3＝0.二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．已知点P 是椭圆x 216＋y 28＝1(x ≠0，y ≠0)上的动点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，O 是坐标原点，若M 是∠F 1PF 2的平分线上一点，且F 1M ―→·MP ―→＝0，则|OM ―→|的取值范围是( )A ．[0,3)B ．(0,22)C ．[22，3)D ．(0,4]解析：选B 如图，延长F 1M 交PF 2的延长线于点G . ∵F 1M ―→·MP ―→＝0，∴F 1M ―→⊥MP ―→. 又MP 为∠F 1PF 2的平分线， ∴|PF 1|＝|PG |，且M 为F 1G 的中点． ∵O 为F 1F 2的中点，∴OM 綊12F 2G .∵|F 2G |＝||PF 2|－|PG ||＝||PF 1|－|PF 2||， ∴|OM ―→|＝12|2a －2|PF 2||＝|4－|PF 2||.∵4－22＜|PF 2|＜4或4＜|PF 2|＜4＋22， ∴|OM ―→|∈(0,22)．2．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，设圆C 在点P处的切线斜率为k 1，椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2，则k 1k 2的取值范围为( )A ．(1,6) B.(1,5) C ．(3,6)D ．(3,5)解析：选D 由于椭圆M ：x 2a2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＞6－a 2，6－a 2＞1，解得3＜a 2＜5.设椭圆M ：x 2a 2＋y 2＝1与圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限的公共点P (x 0，y 0)，则椭圆M 在点P 处的切线方程为x 0xa 2＋y 0y ＝1，圆C 在P 处的切线方程为x 0x＋y 0y ＝6－a 2，所以k 1＝－x 0y 0，k 2＝－x 0a 2y 0，k 1k 2＝a 2，所以k 1k 2∈(3,5)．3.如图，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A 1，A 2，B 1，B 2，焦点分别为F 1，F 2，延长B 1F 2与A 2B 2交于P 点，若∠B 1PA 2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为______．解析：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，∠B 1PA 2为钝角可转化为B 2A 2―→，F 2B 1―→所夹的角为钝角，则(a ，－b )·(－c ，－b )＜0，即b 2＜ac ，则a 2－c 2＜ac ，故⎝⎛⎭⎫c a 2＋c a －1＞0，即e 2＋e －1＞0，解得e ＞5－12或e ＜－5－12，又0＜e ＜1，所以5－12＜e ＜1. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫5－12，1 4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，A ，B 为椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ⎝⎛⎭⎫a 5，0，则椭圆的离心率e 的取值范围是__________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝⎛⎭⎫x 1－a 52＋y 21＝⎝⎛⎭⎫x 2－a 52＋y 22，x 21a 2＋y21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 5(x 1－x 2)＝x 21－x 22＋y 21－y 22，y 21＝b 2－b2a 2x 21，y 22＝b 2－b 2a2x 22，所以2a5(x 1－x 2)＝a 2－b 2a 2(x 21－x 22)，所以2a 35(a 2－b 2)＝x 1＋x 2.又－a ≤x 1≤a ，－a ≤x 2≤a ，x 1≠x 2， 所以－2a ＜x 1＋x 2＜2a ，则2a 35(a 2－b 2)＜2a ，即b 2a 2＜45，所以e 2＝1－b 2a 2＞15. 又0＜e ＜1，所以55＜e ＜1.答案：⎝⎛⎭⎫55，1(二)难点专练——适情自主选5．(2018·唐山模拟)在直角坐标系xOy 中，长为2＋1的线段的两端点C ，D 分别在x 轴，y 轴上滑动，CP ―→＝ 2 PD ―→.记点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)经过点(0,1)作直线与曲线E 相交于A ，B 两点，OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，当点M 在曲线E 上时，求四边形AOBM 的面积．解：(1)设C (m,0)，D (0，n )，P (x ，y )．由CP ―→＝ 2 PD ―→，得(x －m ，y )＝2(－x ，n －y )， 所以⎩⎨⎧x －m ＝－2x ，y ＝2(n －y )，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝(2＋1)x ，n ＝2＋12y ，由|CD ―→|＝2＋1，得m 2＋n 2＝(2＋1)2， 所以(2＋1)2x 2＋(2＋1)22y 2＝(2＋1)2，整理，得曲线E 的方程为x 2＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，知点M 坐标为(x 1＋x 2，y 1＋y 2)． 由题意知，直线AB 的斜率存在．设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，代入曲线E 的方程，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0， 则x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1x 2＝－1k 2＋2.y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2＋2. 由点M 在曲线E 上，知(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)22＝1，即4k 2(k 2＋2)2＋8(k 2＋2)2＝1，解得k 2＝2. 这时|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝3[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝322，原点到直线AB 的距离d ＝11＋k 2＝33， 所以平行四边形OAMB 的面积S ＝|AB |·d ＝62. 6．(2018·成都一诊)已知椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点为F ，设直线l ：x ＝5与x 轴的交点为E ，过点F 且斜率为k 的直线l 1与椭圆交于A ，B 两点，M 为线段EF 的中点．(1)若直线l 1的倾斜角为π4，求|AB |的值；(2)设直线AM 交直线l 于点N ，证明：直线BN ⊥l . 解：由题意知，F (1,0)，E (5,0)，M (3,0)． (1)∵直线l 1的倾斜角为π4，∴斜率k ＝1.∴直线l 1的方程为y ＝x －1.代入椭圆方程，可得9x 2－10x －15＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝109，x 1x 2＝－53. ∴|AB |＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2×⎝⎛⎭⎫1092＋4×53＝1659.(2)证明：设直线l 1的方程为y ＝k (x －1)． 代入椭圆方程，得(4＋5k 2)x 2－10k 2x ＋5k 2－20＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝10k 24＋5k 2，x 1x 2＝5k 2－204＋5k 2.设N (5，y 0)，∵A ，M ，N 三点共线， ∴－y 13－x 1＝y 02，∴y 0＝2y 1x 1－3. 而y 0－y 2＝2y 1x 1－3－y 2＝2k (x 1－1)x 1－3－k (x 2－1)＝3k (x 1＋x 2)－kx 1x 2－5kx 1－3＝3k ·10k 24＋5k 2－k ·5k 2－204＋5k 2－5k x 1－3＝0.∴直线BN ∥x 轴，即BN ⊥l .。

课时跟踪练(二十六)1．已知函数f (x )＝sin x －2sin 2.3x 2(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间上的最小值．[0，2π3]解：(1)因为f (x )＝sin x －2sin 2 ＝sin x ＋cos x －＝2sin 3x 233－，(x ＋π3)3所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为0≤x ≤，所以≤x ＋≤π.2π3π3π3当x ＋＝π，即x ＝时，f (x )取得最小值．π32π3所以f (x )在区间上的最小值为f ＝－.[0，2π3](2π3)32．(2017·山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b ＝3，·＝－6，S △ABC ＝3，求A 和a . AB → AC →解：因为·＝－6，所以bc cos A ＝－6.AB → AC →又S △ABC ＝3，所以bc sin A ＝6.因此tan A ＝－1.又0<A <π，所以A ＝.3π4又因为b ＝3，所以c ＝2.2由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2b cos A ，得a 2＝9＋8－2×3×2×＝29，2(－22)所以a ＝.293．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若C ＝，3π4且sin(A ＋C )＝2sin A cos(A ＋B )．(1)求证：a ，b ，2a 成等比数列；(2)若△ABC 的面积是1，求c .(1)证明：因为A ＋B ＋C ＝π，sin(A ＋C )＝2sin A cos(A ＋B )，所以sin B ＝－2sin A cos C ，结合正弦定理得b ＝－2a cos C ，因为C ＝，所以b ＝a ，则b 2＝a ·2a ，3π42所以a ，b ，2a 成等比数列．(2)解：S △ABC ＝ab sin C ＝ab ＝1，1224则ab ＝2，①2由(1)知b ＝a ，②2联立①②得a ＝，b ＝2.2在△ABC 中，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝2＋4－2×2×2×＝10.(－22)所以c ＝.104．(2019·濮阳三模)△ABC 内接于半径为R 的圆，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且2R (sin 2 B －sin 2 A )＝(b －c )sin C ，c ＝3.(1)求角A 的大小；(2)若AD 是BC 边上的中线，AD ＝，求△ABC 的面积．192解：(1)因为2R (sin 2 B －sin 2 A )＝(b －c )sin C ，所以2R sin B ·sin B －2R sin A ·sin A ＝(b －c )sin C ，所以b sin B －a sin A ＝b sin C －c sin C ，即b 2－a 2＝bc －c 2，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝＝，又0°<A <180°，所以A ＝60°.b 2＋c 2－a 22bc12(2)以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABEC ，在△ABE 中，∠ABE ＝120°，AE ＝，19由余弦定理得AE 2＝AB 2＋BE 2－2AB ·BE cos 120°，即19＝9＋BE 2－2×3×BE ×，解得BE ＝2(舍负)，所以AC (－12)＝2.故S △ABC ＝AB ·AC sin ∠BAC ＝×3×2×＝.1212323325．(2017·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＝4b sin B ，ac ＝(a 2－b 2－c 2)．5(1)求cos A 的值；(2)求sin(2B －A )的值．解：(1)由a sin A ＝4b sin B 及＝，得a ＝2b .a sin A b sin B 由ac ＝(a 2－b 2－c 2)及余弦定理，得5cos A ＝＝＝－.b 2＋c 2－a 22bc －55ac ac 55(2)由(1)，可得sin A ＝，代入a sin A ＝4b sin B ，得sin B ＝255a sin A 4b＝.55由(1)知，A 为钝角，所以cos B ＝＝.1－sin 2B 255于是sin 2B ＝2sin B cos B ＝，cos 2B ＝1－2sin 2B ＝，4535故sin(2B －A )＝sin 2B cos A －cos 2B sin A ＝×－×45(－55)35255＝－.2556．已知函数f (x )＝cos x (cos x ＋sin x )．3(1)求f (x )的最小值；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若f (C )＝1，S △ABC ＝，c ＝，求△ABC 的周长．3347解：(1)f (x )＝cos x (cos x ＋sin x )＝cos 2 x ＋sin x cos x ＝33＋sin 2x ＝＋sin .1＋cos 2x 23212(2x ＋π6)当sin ＝－1时，f (x )取得最小值－.(2x ＋π6)12(2)f (C )＝＋sin ＝1，所以sin ＝，12(2C ＋π6)(2C ＋π6)12因为C ∈(0，π)，2C ＋∈，π6(π6，13π6)所以2C ＋＝，因此C ＝.π65π6π3因为S △ABC ＝ab sin C ＝，所以ab ＝3.12334又(a ＋b )2－2ab cos ＝7＋2ab ，π3所以(a＋b)2＝16，即a＋b＝4，所以a＋b＋c＝4＋，7故△ABC的周长为4＋.7。

课时跟踪练(三十)A 组　基础巩固1．(2018·全国卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝( )A ．－3－i B ．－3＋i C ．3－iD ．3＋i解析：(1＋i)(2－i)＝2－i ＋2i －i 2＝3＋i.答案：D2．已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3，1)B ．(－1，3)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－3)解析：由已知可得⇒⇒－3＜m ＜1.{m ＋3＞0，m －1＜0，){m ＞－3，m ＜1，)答案：A3．(2019·武邑中学模拟)设i 是虚数单位，复数是纯虚数，则a ＋i2－i实数a ＝( )A ．2 B.12C ．－D ．－212解析：因为＝＝是a ＋i 2－i（a ＋i ）（2＋i ）5（2a －1）＋（a ＋2）i5纯虚数，所以2a －1＝0且a ＋2≠0，所以a ＝.12答案：B4．(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( )A ．1 B.C. D ．223解析：因为x ，y ∈R ，(1＋i)x ＝1＋y i ，所以x ＋x i ＝1＋y i ，所以所以|x ＋y i|＝|1＋i|＝＝.{x ＝1，y ＝1，)12＋122答案：B5．若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( )A ．－1 B ．0C ．1D ．2解析：因为(2＋a i)(a －2i)＝－4i ⇒4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，所以解得a ＝0.{4a ＝0，a 2－4＝－4，)答案：B6．(2018·浙江卷)复数(i 为虚数单位)的共轭复数是( )21－i A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋iD ．－1－i解析：因为＝＝1＋i ，21－i 2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）所以的共轭复数为1－i.21－i答案：B7．(2019·深圳二模)设i 为虚数单位，则复数＝( )|1－3i|1＋i A ．－1＋i B ．－2＋2i C ．1－iD ．2－2i解析：＝＝＝1－i.|1－3i|1＋i21＋i 2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）答案：C8．(2019·九江联考)在复平面内，复数z 对应的点与对应的21－i点关于实轴对称，则z 等于( )A ．1＋iB ．－1－iC ．－1＋iD ．1－i解析：因为复数z 对应的点与＝＝1＋i 对21－i 2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）应的点关于实轴对称，所以z ＝1－i.答案：D9．(2019·天津十二所重点中学毕业班联考)已知复数的实部3i －ai 与虚部相等(i 为虚数单位)，那么实数a ＝________．解析：因为＝＝3＋a i 的实部与虚部相等，3i －a i －3－a i －1所以a ＝3.答案：310．[一题多解](2017·江苏卷)已知复数z ＝(1＋i)(1＋2i)，其中i 是虚数单位，则z 的模是________．解析：法一　因为z ＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i ＋i －2＝－1＋3i ，所以|z |＝＝.（－1）2＋3210法二　|z |＝|1＋i||1＋2i|＝×＝.2510答案：1011．(2018·天津卷)i 是虚数单位，复数＝________．6＋7i1＋2i 解析：＝＝＝4－i.6＋7i 1＋2i （6＋7i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）20－5i5答案：4－i12．已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝，则的最大值为________．3yx 解析：因为|z －2|＝＝，（x －2）2＋y23所以(x －2)2＋y 2＝3.由图可知＝＝.(y x )max 313答案：3B 组　素养提升13．(2019·太原二模)计算：＝( )（2＋i ）（1－i ）21－2i A ．2 B ．－2C ．2i D ．－2i解析：＝＝＝2.（2＋i ）（1－i ）21－2i （2＋i ）（－2i ）1－2i 2－4i1－2i答案：A14．(2019·河南百校联盟4月模拟)已知复数z 的共轭复数为，—z 若(1－2i)＝5－i(i 为虚数单位)，则在复平面内，复22数z 所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，＝a －b i ，—z 则＋＝2a ＋b i ，3z 2故2a ＋b i ＝＝1＋i ，故a ＝，b ＝.5－2i1－22i 2122则在复平面内，复数z 所对应的点的坐标为，位于第一(12，2)象限．答案：A15．(2019·三湘名校教育联盟联考)已知i 为虚数单位，复数z ＝，则以下为真命题的是( )3＋2i2－iA ．z 的共轭复数为－754i5B ．z 的虚部为85C ．|z |＝3D ．z 在复平面内对应的点在第一象限解析：因为z ＝＝＝＋，3＋2i 2－i （3＋2i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）457i5所以z 的共轭复数为－，z 的虚部为，|z |＝＝，457i 575(45)2 ＋(75)2 655z 在复平面内对应的点为，在第一象限．(45，75)答案：D16．已知i 为虚数单位，若复数z ＝(a ∈R)的实部为－3，1－a i1＋i则|z |＝________．解析：因为z ＝＝＝的1－a i 1＋i （1－a i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）1－a －（a ＋1）i2实部为－3，所以＝－3，解得a ＝7.1－a 2所以z ＝－3－4i ，故|z |＝＝5.（－3）2＋（－4）2答案：5。