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高三数学课题数学归纳法(公开课讲解)

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课题：数学归纳法 【三维目标】： 一、知识与技能 1．了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。 2．抽象思维和概括能力进一步得到提高． 二、过程与方法 通过数学归纳法的学习，体会用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明是解决问题的一种重要途径，用数学归纳法进行证明时，“归纳奠基”与“归纳递推”两个步骤缺一不可，而关键的第二步，其本质是证明一个递推关系。 三、情感，态度与价值观 体会数学归纳法是用有限步骤解决无限问题的重要方法，提高归纳、猜想、证明能力。 【教学重点与难点】： 重点：是了解数学归纳法的原理及其应用。 难点：是对数学归纳法的原理的了解，关键是弄清数学归纳法的两个步骤及其作用。 【课时安排】：2课时 第一课时 【教学思路】： （一）、创设情景，揭示课题 问题1：P71中的例1.在数列｛an｝中，a1＝1，an+1＝nnaa1（n∈N+），先计算a2，a3，a4的值，再推测通项an的公式． 生：a2＝21，a3＝31，a4＝41．由此得到：an＝n1（n∈N+）． 问题2：通过计算下面式子，你能猜出121531nn

的结果

吗？证明你的结论？

________97531________7531_______531_______31

生：上面四个式子的结果分别是：2，-3，4，-5，因此猜想： nnnn1121531 （*） 怎样证明它呢？

问题3：我们先从多米诺骨牌游戏说起，这是一种码放骨牌的游戏，码放时保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌也倒下。只要推倒第一块骨牌，由于第一块骨牌倒下，就可导致第二块骨牌倒下;而第二块骨牌倒下，就可以导至第三块骨牌倒下……最后，不论有多少块，都能全部倒下。 （二）、研探新知 原理分析：问题3：可以看出，使所有骨牌都倒下的条件有两个： （1） 第一块骨牌倒下； （2） 任意相邻的两块骨牌，前一块倒下.一定导致后一块倒下。 可以看出，条件（2）事实上给出了一个递推关系：当第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。这样只要第1块骨牌倒下，其他所有的骨牌就能够相继倒下。事实上，无论有多少块骨牌，只要保证（1）（2）成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下。 问题2：分析： 这个问题的特点是：要证不等式（*）在n 为任何正整数时都成立，虽然我们可以验证n = 1，2，3，4，5，… 甚至n = 1000，10000，…时这个等式成立。但是正整数是无限多个，我们无法对它们一一验证，所以验证的方法无法完成证明。 要证明这个问题，必须寻找一种有限个步骤，就能够处理完无限多个对象的方法。 类比多米骨牌游戏，我们设想将全部正整数由小到大依次排列为无限长一队1，2，3，4，…k，k+1，… 可以验证 （1） 当n = 1时，等式（*）的左右两边都等于-1。即这时等式（*）成立 可以想象 （2） 若从“n = k 时等式（*）成立”能推出n = k + 1时等式（*）也成立，则可以建立一种多米诺骨牌那样的由前到后的自到递推关系 综合（1）（2），就自然地想到一种证明这个等式的方法： 首先证明（1）n = 1时等式（*）成立 然后证明（2）中的递推关系 完成以上两步后，就可由n = 1时等式（*）成立为起点，递推出n = 2时等式（*）成立，再由n = 2时等式（*）成立，递推出n = 3时等式（*）成立 …… 如此继续自动递推下去，就可以说：对于任意正整数n，等式（*）成立 下面按照上述思路具体的证明等式（*） 证明：（1）当n = 1 时，式（*）左右两边都等于 -1，即这时等式（*）成立。 （2）假设当n = k (k≥1) 时等式（*）式成立，即knkk1121531在这个假设下，再考虑n = k + 1 时式

（*）的左右两边。 左边=11211215311knkk

1)1(2)1(11kkkk

右边)1()1(1)1(2)1(11kkkkk。

所以当n = k + 1 时等式（*）成立。 由（1），（2）可知nnnn1121531 )(Nn 总结上述过程，我们用了两个步骤：第一步，证明n = 1 时命题成立，从而奠定了命题成立的一个起点；第二步，先作归纳假设，然后证明由前后的递推关系由这两步保证：对于从起点由前向后的所有正整数

Nn,命题都成立。 一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： （1）（归纳奠基）证明当n取第一个值0n)(*0Nn时命题成立； （2）（归纳递推）假设n = k )(*0Nn时命题成立，证明当n = k +1时命题也成立。 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从0n开始的所有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法（mathematical induction）. 思考：结合上面的证明，你认为数学归纳法的基本思想是什么？ 在数学归纳法的两个步骤中，第一步是奠基，第二步是假设与递推。这两步都是非常重要，缺一不可。第一步确定了n = n0 时命题成立，n = n0 成为后面递推的出发点，没有它递推就成无源之水；第二步确认一种递推关系，借助它，命题成立的范围就能从正整数n0 开始，向后一个数一个数无限传递到n0 以后的每一个正整数，从而完成证明，因此，递推是实现从有限到无限的飞跃的关键，没有它我们就只能停留在对有限情况的把握上。以上就是数学归纳法的基本原理。 下面的框图表示了数归纳法的基本过程

问题：数学归纳法适用于证明什么的命题呢？对于一些与无限多个正整数相关的命题，如果不易有以前所学习过的方法证明，用数学归纳法可能收到较好的效果。 思考：如果要用数学归纳法证明某命脉题对于全体正整数都能立，应取n0为何值？为什么？ （三）、例题剖析 例1：（教材第94页例1）

验证n = n0时 命题成立。

若n = k ( k = n0 )时命题成立，

证明n = k + 1时命题也成立。

归纳奠基 归纳递推

命题对从n0开始所有的正整数n都成立时命题成立。 例2：（教材第94页例2） （四）、巩固深化，反馈矫正 （教材第95页练习 1、2） 第二课时 【教学思路】： （一）、复习回顾 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： （1） （归纳奠基）证明当n取第一个值*00()nnN时命题成立; （2） （归纳递推）假设*0(,)nkknkN时命题成立，证明当1nk时 命题也成立 。--------------数学归纳法 （二）、例题剖析： 例1．用数学归纳法证明：)(17)13(Nnnn能被9整除. 证明：（1）当n=1时，（3+1）×7－1=27 能被9整除，命题成立 （2）假设当n=k时命题成立，即)(17)13(Nnkk能被9整除 那么，当n=k+1时， 17]1)1(3[1kk 1111(31)73717(31)7371(31)716(31)737[(31)71](1827)7kkkkkkkkkkkkkkk



由归纳假设)(17)13(Nnkk能被9整除 及kk7)2718(是9的倍数 所以kkkk7)2718(]17)13[(能被9整除 即n=k+1时，命题成立 由（1）（2）知命题对任意的Nn均成立 例2．若n为大于1的自然数，用数学归纳法证明：2413212111nnn

证明：(1)当n=2时，2413127221121 (2)假设当n=k时成立，即2413212111kkk

1,1111111232212211131111311242122124212213113.242(21)(1)24nkkkkkkkkkkkkkkk则当时

不等式也成立 由(1)、 (2)知原不等式对一切大于2的自然数都成立。 例3 ．已知na23123(1)nnnn (*nN) 求证：1na

证明：(1)当n=1时，a1=21＜1，不等式成立. （2）假设n=k(k≥1)时，不等式成立，即ak=kkkk)1(32132＜1 亦即1+22+33+…+kk＜(k+1)k 当n=k+1时 ak+1

=111132)2()1()1(]1)1[()1(321kkkkkkkkkkkk

=1)2()2()1(kkkkk=(21kk)k＜1. ∴n=k+1时，不等式也成立. 由（1）、（2）知,对一切n∈N*，不等式都成立. 例4 ．用数学归纳法证明等式对所有n∈N*均成立． 111111111234212122nnnnn



证明：i)当n=1时，左式=21211，右式=21111， ∴ 左式=右式，

等式成立． ii)假设当n=k(k∈N)时等式成立，

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高三数学归纳法课件

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n( n 1) 求证: f ( n) . 2
(n) ,
【练习】平面内有n条直线，其中任意两
条都相交，任意三条不共点，证明:这n条
n n2 直线被分成 段. 2
2
【例6】用数学归纳法证明:
n 2 ( n N , n 5)
2 n
【例7】用数学归纳法证明:
| sin n | n | sin | ( n N )
左式= 右式= ； 。
基础练习：
1 1 1 (n N ) 3、已知 f ( n ) n 1 n 2 2n
则当n=1时，f ( n ) 则当n=k+1时， ；
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f ( k 1) f ( k )
。
数学归纳法的应用：
1、证明恒等式； 2、证明数列问题；
3、证明整除问题；
4、证明几何问题； 5、证明不等式。
【例1】用数学归纳法证明：
n( n 1)( 2n 1) 1 ＋2 ＋3 ＋＋n 6
2 2 2 2
【练习】用数学归纳法证明：
1 4＋2 7＋＋ n (3n 1) n ( n 1)
2
【例2】已知数列{an }满足 S n 2 n a n ，
求证：an
2
1
2
n 1
【练习】已知数列 {an } 满足：
a1 1, a n a n 1 3 ( n 2)
n 1
3 1 求证：an 2
n
【例3】用数学归纳法证明:
n 5n ( n N ) 能够被6整除.
3
【练习】用数学归纳法证明:
n n ( n N ) 能够被2整除.
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数学归纳法优质课件高中数学优质课件一、教学内容本节课，我们将在高中数学教材第四章“数列与数学归纳法”中，深入学习数学归纳法。

具体内容涉及教材第2节，详细探讨数学归纳法基本原理、步骤及其在数列中应用。

二、教学目标1. 理解数学归纳法概念、原理和应用；2. 掌握数学归纳法证明步骤，并能运用其解决数列相关问题；3. 培养学生逻辑思维能力和推理能力。

三、教学难点与重点1. 教学难点：数学归纳法证明过程中，如何引导学生从特殊到一般，再由一般到特殊逻辑推理；2. 教学重点：数学归纳法证明步骤及其在数列中应用。

四、教具与学具准备1. 教具：PPT课件、黑板、粉笔；2. 学具：练习本、笔。

五、教学过程1. 实践情景引入：通过生活中实例，如“登楼梯问题”，引导学生思考如何用数学方法解决此类问题，从而引出数学归纳法；2. 例题讲解：讲解数学归纳法基本原理和步骤，结合具体例题，让学生直观地解数学归纳法在实际问题中应用；3. 随堂练习：让学生独立完成数列相关数学归纳法证明题，并及时给予指导和反馈；5. 课堂小结：让学生回顾本节课所学内容，巩固知识点。

六、板书设计1. 数学归纳法基本原理和步骤；2. 数列相关例题及解题过程；3. 课堂小结和课后作业。

七、作业设计1. 作业题目：（1）证明：1+3+5++(2n1)=n^2；（2）证明：1^2+2^2+3^2++n^2=n(n+1)(2n+1)/6。

答案：（1）略；（2）略。

2. 拓展延伸：让学生思考数学归纳法在其他数学领域（如不等式、函数等）应用。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对数学归纳法掌握情况，分析学生在证明过程中可能遇到问题，调整教学方法；2. 拓展延伸：引导学生探索数学归纳法在其他领域应用，培养学生创新思维和探究能力。

重点和难点解析在教学过程中，有几个细节是需要我重点关注。

实践情景引入方式对于激发学生学习兴趣至关重要。

例题讲解深度和广度直接影响到学生对数学归纳法理解程度。

数学课题：数学归纳法(公开课讲解)

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课题：数学归纳法钱桥中学高二理科备课组：方兵，吴国元，吴亚萍，陆克义，鲍晓祥，阮月芳，桂春生2010-4-7【三维目标】：一、知识与技能1．了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

2．抽象思维和概括能力进一步得到提高．二、过程与方法通过数学归纳法的学习，体会用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明是解决问题的一种重要途径，用数学归纳法进行证明时，“归纳奠基”与“归纳递推”两个步骤缺一不可，而关键的第二步，其本质是证明一个递推关系。

三、情感，态度与价值观体会数学归纳法是用有限步骤解决无限问题的重要方法，提高归纳、猜想、证明能力。

【教学重点与难点】：重点：是了解数学归纳法的原理及其应用。

难点：是对数学归纳法的原理的了解，关键是弄清数学归纳法的两个步骤及其作用。

【课时安排】：2课时第一课时【教学思路】：（一）、创设情景，揭示课题问题1：P 71中的例1.在数列｛a n ｝中，a 1＝1，a n+1＝n n a a +1（n ∈N+），先计算a 2，a 3，a 4的值，再推测通项an 的公式．生：a 2＝21，a 3＝31，a 4＝41．由此得到：a n ＝n 1（n ∈N +）． 问题2：通过计算下面式子，你能猜出()()121531--++-+-n n Λ的结果吗？证明你的结论？________97531________7531_______531_______31=-+-+-=+-+-=-+-=+-生：上面四个式子的结果分别是：2，-3，4，-5，因此猜想： ()()()n n nn 1121531-=--++-+-Λ （*） 怎样证明它呢？ 问题3：我们先从多米诺骨牌游戏说起，这是一种码放骨牌的游戏，码放时保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌也倒下。

只要推倒第一块骨牌，由于第一块骨牌倒下，就可导致第二块骨牌倒下;而第二块骨牌倒下，就可以导至第三块骨牌倒下……最后，不论有多少块，都能全部倒下。

高三一轮总复习理科数课件：-数学归纳法 .ppt..

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试猜测 S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1 的结果，并用数学归纳法证明．
你是我心中最美的云朵
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【解】 由题意知，当 n＝1 时，S1＝1＝14； 当 n＝2 时，S1＋S3＝16＝24； 当 n＝3 时，S1＋S3＋S5＝81＝34； 当 n＝4 时，S1＋S3＋S5＋S7＝256＝44. 猜想：S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4. 下面用数学归纳法证明： ①当 n＝1 时，S1＝1＝14，等式成立．
你是我心中最美的云朵
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解：(1)当 n＝1 时，由已知得 a1＝a21＋a11－1， a21＋2a1－2＝0. ∴a1＝ 3－1(a1>0)． 当 n＝2 时，由已知得 a1＋a2＝a22＋a12－1， 将 a1＝ 3－1 代入并整理得 a22＋2 3a2－2＝0. ∴a2＝ 5－ 3(a2>0)．同理可得 a3＝ 7－ 5. 猜想 an＝ 2n＋1－ 2n－1(n∈N*)．
你是我心中最美的云朵
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「基础小题练一练」
1．利用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－1－ana＋2(a≠1，n∈N*)”时，在
验证 n＝1 成立时，左边应该是( )
A．1
B．1＋a
C．1＋a＋a2
D．1＋a＋a2＋a3
解析：用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－1－ana＋2(a≠1，n∈N*)”在验证
你是我心中最美的云朵
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用数学归纳法证明等式应注意的 2 个问题 (1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成 规律，等式两边各有多少项，以及初始值 n0 的值． (2)由 n＝k 到 n＝k＋1 时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用 n＝k 时的式 子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．