[课程设计]基于MATLAB的2×2光纤定向耦合器设计

基于MATLAB 的2×2光纤定向耦合器设计1 设计原理1.1 单模光纤的传导场如图1，光纤的横截面有三层介质，分别是是芯层、包层和涂层，芯层折射率1n 稍大于包层折射率2n ，导波光由于全反射背包层约束在芯层中沿光纤延伸方向传播。

假设光的传播方向为光纤中心轴方向。

图1 阶跃光纤横截面结构图为简化讨论，只考虑基模的耦合。

已知光纤中传导场表达式为()()t i z i e e y x e z a t z y x E ωβ⨯⨯⨯=,),,,( （1-1）其中，()z a 为光纤中导波光场的场振幅，()y x e ,为光纤中导波光场的场分布，β为基模场的传播常数，ω为角频率。

某时刻在光纤中的传导场的空间分布就与()z a ，()y x e ,和β为相关。

1.1.1 单模光纤的场分布当给定波导（即光纤）的边界条件时，求解波导场方程可得本征解及相应的本征值β，即模式。

模式是波导结构的固有电磁共振属性的表征。

单模光纤中只能存在基模，其场分布是确定的，可由亥姆霍兹方程求得。

在弱导光纤中的电磁波，其横向场分量E t 、H t 远大于纵向场分量E z 、H z ，而且横向场分量是线偏振的。

于是我们把电场的横向分量取为y 轴方向，即E t =E y 。

亥姆霍兹方程为()02202=+∇y y E r n k E （1-2）其中()⎩⎨⎧≥≤=a r n ar n r n 21，λπ20=k 为真空中的光波矢量。

利用分离变量法，将方程1-2在圆柱坐标系中求解，并结合电磁场的边界条件，可以解出电场的横向分量E y ：()()()()⎩⎨⎧≥≤=a r W K a Wr K ar U J a Ur J m A E m mm m y θcos （1-3） 其中，r 是点到光纤中心轴的距离，m 是整数，J m 和K m 分别是m 阶贝塞尔函数和m 阶变态汉克尔函数；a 是光纤芯层半径，一般单模光纤的a=2~5µm 。

θ是极角。

横向磁场只包含H x 分量，由于横向电场与横向磁场的比等于波阻抗Z0=122π，故可由E y 计算出H x ：()()()()()()⎩⎨⎧≥≤⋅⋅⋅-=a r W K a Wr K ar U J a Ur J m r n Z A H m mm m x θcos 0 （1-4） 再由麦克斯韦方程组可求出场的纵向分量E z 、H z ：()()()()()()()()()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-⋅-+⋅≤-⋅++⋅⋅=-+-+ar m W K a Wr K m W K a Wr K n W a r m U J a Ur J m U J a Ur J n U a k A j E m m m m m m m m z ]1sin 1sin []1sin 1sin [21111110θθθθ（1-5）()()()()()()()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-⋅-+⋅≤-⋅-+⋅⋅-=-+-+ar m W K a Wr K m W K a Wr K W a r m U J a Ur J m U J a Ur J U aZ k A j E m m m m m m m m z ]1cos 1cos []1cos 1cos [2111100θθθθ（1-6）1.1.2 单模光纤的传播常数由于在无耦合的情况下，光纤中导波光场的场振幅()1=z a 。

故当某时刻t 的场分布只同传播常数有关系。

由式1-3可以得出光纤的本征方程本征方程，即r =0连续。

()()()()W W W 11m m m m K K U J U J U ++⋅=⋅ （1-7）同理，由横向磁场的连续性同样可以得出本征方程:()()()()W W W -11m m m m K K U J U J U --⋅=⋅ （1-8）由于特征方程是超越方程，只能靠计算机数值求解U(或W)。

其中U 与W 定义为22021β-=k n a U （1-9）20222k n a W -=β （1-10）U 与W 是场的横向传播常数，U 反映了导模在芯区中的驻波场的横向振荡频率，W 值反映了导模在包层中的消逝场的衰减速度。

W 越大衰减越快。

式1-6、1-7与β相联系，因此本征方程实际是关于β的一个超越方程。

对于不同的U 值，可求得相应的β值。

由于贝塞尔函数及其导数具有周期振荡性质，所以本征值方程可以有多个不同的解βmn (m =0,1,2,3..., n =1,2,3...),每一个βmn 都对应于一个导模。

单模光纤的本征值为β01 。

光纤的结构参数可由其归一化频率V 表征：∆=+=20122a k n W U V （1-11）其中，其中相对折射率差()121n n n -≈∆，n 1、n 2（n 1>n 2）分别是芯层和包层的折射率，在阶跃折射率光纤中均为常数。

实际的光纤的∆很小，一般小于1%，因此也称之为弱导光纤。

归一化频率V 描述了光纤的结构参数a ，∆，n 1以及工作波长（包含在k 0中），是一个重要的综合性参数。

V 值越大，允许存在的导模数就越多。

除了基模之外，其他导模都可能在某一个V 值以下截止，这时导模转化为辐射模。

当某一模式截止时，它就不能沿光纤传输了。

当W 2 > 0时，对于导波模，场在纤芯外是指数衰减的；当W 2 < 0时，W 为虚数，场在纤芯外不再衰减了，也就不被约束在芯层中传播了，这种波叫做辐射波。

而W 2 =0正好是临界状态，以此作为导波模被截止的条件，此时的W 记做W c ，相应的U 和V 值记做U c 和V c ，并称V c 为归一化截止频率。

截止条件(W=0)下，特征方程可以简化为()()0V 11==--c m c m J U J （1-12）对于m=0，n=1时，截止时由1-9式得V c =U c =0，说明这种模式永不截止，是光纤中的最低阶模，也称基模。

第二个归一化截止频率较低的模式是当m=1，n=1时，称为二阶模，其归一化截止频率V c =U c =2.40483。

当光纤中只有基模工作而其他模式均被截止时，就称为单模光纤。

要保证单模传输，必须要求光纤的归一化频率小于二阶模LP 11的截止 频率V c ，即让二阶模截止：()40483.21,1V V c ===<n m （1-13）此即单模传输条件。

1.1.3 LP mn 模的功率密度以及功率平均坡印廷矢量S av 的大小就代表功率密度，可由⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯=→→→*Re 21H E S 以及场解1-3~1-6式，可以计算出光纤横截面上的功率密度(S av )近似为：()()()()[]()()[]⎪⎩⎪⎨⎧≥≤⋅⋅⋅=a r W K a Wr K a r U J a Ur J m r n Z A S m m mm z 22202cos 2θ （1-14） 平均坡印廷矢量对横截面积分便得到光纤中的功率P ：()()()()()][4211220222W K W K W K U V Z A a n P m m m ++⋅⋅=π （1-15） 令P=1 (归一化功率)，可算出以上各式的常数A ：()()()()()211m 121220][]4[W K W K W K V U a n Z A m m ++⋅⋅=π （1-16）1.2 2×2光纤定向耦合器的场振幅在两根单模光纤耦合的情况下，光纤中导波光场的场振幅()1≠z a ，而是随着轴向距离z 变化的。

故某时刻的场传导方程就还需求解场振幅。

2×2光纤定向耦合器的示意图如下图所示：图(a) 2×2光纤定向耦合器的示意图 图(b) 2×2光纤耦合器横截面示意图 图(c) 耦合器纵向剖面示意图(即rz 面)如图所示，两平行直光纤的纤芯相互接近时，在其中传输的基模场分布就会互相渗透和交叠。

这样1号光纤中传播的导模场将在2号光纤中产生极化作用，从而在2号光纤中激起传导模。

设nc_01和 nc_02分别为1号光纤和2号光纤的芯层折射率，nc_clad 为包层折射率。

可将两光纤中的传导场写为：（1-17） （1-18）其中e 1、e 2是两根单模阶跃光纤中的横向电场，其表达式由（1-3）式给出。

a 1(z)、a 2(z)为复数振幅，可由耦合波方程解得：（1-19） （1-20）其中，∆β=β1－β2为失配相位常数。

k 12、k 21为耦合系数，取决于波导结构以及波长，且满足：（1-21）耦合系数可由下式计算：（1-22） （1-23）其中，n1(r)、n2(r)分别代表1号光纤和2号光纤的折射率分布。

P0（=1，已经归一化）为输入光功率。

（1-19）式两边对z 求导，并利用(1-20)式，可得到：0122111=+'∆⋅-''a k a i a β （1-24） 求解(1-24)式，解得22222121(()4)(()4)112() (20)j k j k a z c c ββββ∆+∆+∆-∆+⋅⋅⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎣⎦（1-25） 再利用(1-19)式解得2221222122(()4)21211222(()4)212(()4)()[(()4)] (21)j k j k zj k j a z c k j k c ββββββββ-∆+∆+⋅-∆-∆+⋅∆+∆+=∆-∆++ （1-26）积分常数c 1和c 2由边界条件12(0)1; (0)0 (20)a a ==，给出 则最终求解出2112(0)c c a c ==- （1-27）1.3 耦合光纤中的耦合效率耦合光纤中的功率密度分布即为平均坡印廷矢量的大小。

光耦合发生时，光横截面上功率密度还需要在(1-14)式上乘上复数振幅的绝对值平方21()a z （1号光纤）或22()a z （2号光纤）。

这样在任意的耦合距离z 处，直通臂（即1号光纤）中的相对功率2_11() (22)out P a z = （1-28） 耦合臂（2号光纤）中的相对功率为2_22() (23)out P a z = （1-29） 耦合效率为2_220() (24)out P a z P η== （1-30）其中P 0=1为归一化的输入光功率。

2 设计方案基于上述原理，现通过MATLAB 进行设计仿真实现。

MATLAB 具有功能强大的数据可视化功能，可以给出数据的二维、三维的图形表现。

本次课程设计可以通过对上述设计原理的MATLAB 语言描述及求解，应用MATLAB 中常用的二维、三维绘图函数以及和绘图有关的命令，对两根单模光纤的耦合规律进行计算机仿真。

在设计中，需要注意几个重要的问题，如如何求解单模光纤的本征值。

从原理可以知道，传播常数跟光纤的本征值有着一一对应的关系，故而对传播常数的求解便是关键问题。