2019--2020高考解三角形寒假作业考卷5
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试卷第1页，总105页 2019--2020高考解三角形寒假作业考卷5
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．如图，在ABC中，,233BBC，点D在边AB上，,ADDCDEAC，E为垂足.
（1）若BCD的面积为332，求CD的长；
（2）若332DE，求角A的大小.
【答案】（1）3CD （2）4A
【解析】
试题分析：（1）由BCD的面积可得BD的值，然后在BCD中由余弦定理得CD；（2）由条件得2ACAE，在ABC中由正弦定理得3sin2AEA；又sintancosDEAAAEA，故32sincoscos2AEADEAA，从而得323cos22A，可求得A的值。
试题解析：
（1）由已知得133sin22BCDSBCBDB
又323,sin2BCB，
解得 3BD 试卷第2页，总105页 在BCD中，由余弦定理得
2CD 222cosBCBDBCBDB
221 233223392
∴3CD
即CD的长为3.
（2）由已知得，E为AC中点，∴2ACAE，
在ABC中，由正弦定理得23sin32ACA，所以3sin2AEA，
又sintancosDEAAAEA，所以32sincoscos2AEADEAA，
∴323cos22A，
∴2cos2A，
又0A，
∴4A .
2．在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且sin2sin()0cBbAB
（1）求角B的大小；
（2）设4a，6c，求sinC的值．
【答案】（1）3B（2）32114
【解析】
【分析】
（1）由已知结合正弦定理化简可求cosB，进而可求B；
（2）由余弦定理可得，2221cos22acbBac，代入可求b，由正弦定理可得，sinsincBCb可求．
【详解】
解：（1）由正弦定理得sinsin2sinsin()0CBBAB， 试卷第3页，总105页 化简得2sinsincossinsin0CBBBC.
因为在三角形中，sin0B，sin0C，
可得1cos2B.
又因为(0,)B，所以3B
（2）由余弦定理可得，2221cos22acbBac，
2163612462b，
所以27b，
由正弦定理可得，sin321sin14cBCb.
【点睛】
本题主要考查了两角和及二倍角的公式，正弦定理，余弦定理的综合应用，属于中等试题．
3．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a、b、c，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是“以小斜冥并大斜冥减中斜冥，余半之，自乘于上，以小斜冥乘大斜冥减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积”若把以上这段文字写出公式，即若abc，则2222221()22cabSca．
（1）已知ABC的三边a，b，c，且abc，求证：ABC的面积2222221()22cabSca．
（2）若22a，(1tan)(1tan)2BC，求ABC的面积S的最大值．
【答案】（1）见解析；（2）222
【解析】
【分析】
（1）由三角形的面积公式和同角的平方关系、余弦定理可得证明；
（2）运用两角和的正切公式，求得A，再由余弦定理和基本不等式，结合三角形的面积公式可得所求最大值．
【详解】 试卷第4页，总105页 （1）(0,)B，abc，
211sin122SacBaccosB222222221()22acbacacac
2222221()22acbac；
（2）由(1tan)(1tan)2BC，可得tantan1tantanBCBC，
即有tan()(1tantan)1tantanBCBCBC，
由0BC，可得tantan0BC，tantan1BC，
即有tan()tan1BCA，即tan1A，
由于0,A，故34A，由余弦定理可得222222cos2(22)abcbcAbcbcbc…，
可得884222bc„，当且仅当bc时取得等号，则ABC的面积112sin(842)222222SbcA„，即S的最大值为222．
【点睛】
本题考查三角形的余弦定理和面积公式的运用，考查两角和的正切公式和基本不等式的运用，考查化简运算能力，属于中档题．
4．已知abc，，分别为ABC△的三内角A，B，C的对边，其面积2223602SBacb，，，在等差数列na中，1aa，公差db．数列nb的前n项和为nT，且*210nnTbnN，．
（1）求数列nnab，的通项公式；
（2）若nnncab，求数列nc的前n项和nS．
【答案】（1）2nan，12nnb；（2）1(1)22nnSn
【解析】
【分析】
（1）运用三角形的面积公式和余弦定理，解得a＝b＝c＝2，由等差数列的通项公式可得an＝2n；再由数列的通项与前n和的关系，可得数列{bn}为等比数列，求得bn； 试卷第5页，总105页 （2）由（1）得2nncn，由此利用错位相减求和法能求出Tn．
【详解】
（1）S12acsinB12ac•332，∴ac＝4，
又2222acb，2b＝222acaccosB，
∴24bac，∴b＝2，
从而2ac＝22264acac⇒ 8ac∴2ac,
故可得：122ad，∴na＝2+2（n﹣1）＝2n；
∵210nnTb，∴当n＝1时，11b，
当n≥2时，11210nnTb，
两式相减，得12nnbb，（n≥2）
∴数列{nb}为等比数列，
∴12nnb．
（2）由（1）得1222nnncnn，
∴nS＝1a•1b +2a•2b+…+na•nb
＝1×21+2×21+3×21+…+ 2nn，
∴2nS＝1×22+2×23+3×24+…+n2n+1，
∴﹣nS＝1×21+（22+23+…+2n）﹣n2n+1，
即：﹣nS＝（1-n）2n+1-2，
∴nS＝（n﹣1）2n+1+2.
【点睛】
本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，涉及三角形的余弦定理和面积公式的运用，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用，属于中档题．
5．在 中，角 所对的边分别是 ， n .
（1）求角 的大小；
（2） 是 边上的中线，若 ， ，求 的长. 试卷第6页，总105页 【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理化简已知等式可得： n n n ，由于 n ，可得： n ，结合范围 ，可求 的值．
（2）由三角形面积公式可求 ，进而利用余弦定理可得 ，即可解得
的值．
【详解】
解：（1）在 中， n ，由正弦定理得 n n n ，
∵ ，∴ n ，
∴ n ，即 n ，
∵ ，∴
.
（2）在 中， ， ，
，∴
，
∴ ，
∵ 是 的中线，∴ ，
在 中，由余弦定理得
.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
6．在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且coscossinABCabc.
（Ⅰ）证明：sinsinsinABC；
（Ⅱ）若22265bcabc，求tanB.
【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）4. 试卷第7页，总105页 【解析】
【详解】
试题分析：（Ⅰ）将已知等式通分后利用两角和的正弦函数公式整理，利用正弦定理，即可证明．（Ⅱ）由余弦定理求出A的余弦函数值，利用（Ⅰ）的条件，求解B的正切函数值即可
试题解析：（1）根据正弦定理，设sinaA=sinbB=sincC=k（k>0）．
则a=ksinA，b=ksinB，c=ksin C．
代入cosAa+cosBb=sinCc中，有cossinAkA+cossinBkB=sinsinCkC，变形可得
sin Asin B=sinAcos B+cos Asin B=sin（A+B）．
在△ABC中，由A+B+C π，有sin（A+B）=sin（π–C）="sin" C，
所以sin Asin B=sinC．
（2）由已知，b2+c2–a2=65bc，根据余弦定理，有cos A=2222bcabc=35．
所以sin A=21cosA=45．
由（Ⅰ），sin Asin B="sin" Acos B+cos Asin B，所以45sin B=45cos B+35sin B，
故tan B=sincosBB=4．
考点：余弦定理的应用；正弦定理；余弦定理
7．在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若coscosaAbB，试判断ABC的形状.
【答案】ABC为等腰三角形或直角三角形.
【解析】
【分析】
根据正弦定理将边化为角后再进行判断，可得三角形的形状．
【详解】
由正弦定理及coscosaAbB得sincossincosAABB，
所以sin2sin2AB．
因为2,20,2AB，
所以22AB或22AB．
