导数与微分测试题(一)
一、选择题(每小题4分,共20分)
1、
设函数10
()10
2
x x f x x ≠⎪=⎨⎪=⎪⎩ 在0x =处( )
A 、不连续;
B 、连续但不可导;
C 、二阶可导;
D 、仅一阶可导; 2、若抛物线2
y ax =与曲线ln y x =相切,则a 等于( ) A 、1; B 、
12; C 、12e
; D 、2e ; 3、设函数()ln 2f x x x =在0x 处可导,且0()2f x '=,则0()f x 等于( ) A 、1; B 、
2e ; C 、2
e
; D 、e ; 4、设函数()f x 在点x a =处可导,则0
()()
lim
x f a x f a x x
→+--等于( )
A 、0;
B 、()f a ';
C 、2()f a ';
D 、(2)f a ';
5、设函数()f x 可微,则当0x ∆→时,y dy ∆-与x ∆相比就是( ) A 、等价无穷小; B 、同阶非等价无穷小; C 、低阶无穷小; D 、高阶无穷小; 二、填空题(每小题4分,共20分) 1、设函数()f x x x =,则(0)f '=______; 2、 设函数()x
f x xe =,则(0)f ''=______;
3、 设函数()f x 在0x 处可导,且0()f x =0,0()f x '=1,则
01
lim ()n nf x n
→∞+=______; 4、 曲线2
28y x x =-+上点______处的切线平行于x 轴,点______处的切
线与x 轴正向的交角为
4
π
。
5、 d ______ = x
e dx - 三、解答题
1、(7分)设函数()()()
,()f x x a x x ϕϕ=-在x a =处连续,求()f a ';
2、(7分)设函数()a
a
x
a x a f x x a a =++,求()f x '; 3、(8分)求曲线 sin cos 2x t y t
=⎧⎨
=⎩ 在 6t π
= 处的切线方程与法线方程;
4、(7分)求由方程 1
sin 02
x y y -+=所确定的隐函数y 的二阶导数22d y dx
5、(7分)设函数1212()()()n a
a
a
n y x a x a x a =---L ,求 y '
6、(10分)设函数2
1
2
()12
x x f x ax b x ⎧≤
⎪⎪
=⎨
⎪+>
⎪⎩
,适当选择,a b 的值,使得()f x 在1
2
x =
处可导 7(7分)若2
2
()()y f x xf y x +=,其中 ()f x 为可微函数,求dy 8、(7分)设函数()f x 在[,]a b 上连续,且满足
()()0,()()0f a f b f a f b +-''==•>,证明:()f x 在(,)a b 内至少存在一点
c ,使得 ()0f c =
导数与微分测试题及答案(一)
一、1－5 CCBCD
二、1、 0; 2、 2; 3、 1; 4、(1,7)、329
(,
)24
; 5、 x e --; 三、1、 解:()()()()
()lim
lim ()x a x a f x f a x a x f a a x a x a
ϕϕ→→--'===--;
2、 解:1
12()ln ln a
a
x
a a a x x a f x a x ax a a a a a --'=++;
3、 解:当6
t π=
时,曲线上的点为 11(,)22
;
切线的斜率6
6
6
2sin 22cos t t t dy dy t dt k dx dx
t
dt
π
π
π
=
=
=
-=
==
=-,
所以,切线方程 11
2()22y x -=--, 即 4230x y +-=; 法线方程 111
()222
y x -=- , 即 2410x y -+=;
4、 解:方程的两边对x 求12
1cos 022cos dy dy dy y dx dx dx y
-
+=⇒=- 继续求导 2223
24sin sin (2cos )(cos 2)
d y dy y
y dx y dx y =-=-- 5、 解:两边取对数 1122ln ln()ln()ln()n n y a x a a x a a x a =-+-++-L 方程的两边对x 求导
12121
n n
a a a y y x a x a x a '=+++---L ,则 1211
12()(())()i
n n
a n i i i i n i a a a a y y x a x a x a x a x a =='=+++=-----∑∏L
6、 解:因为 可导一定连续,则
2112
2
11
11
(0)lim(),
(0)lim 2224x x f ax b a b f x →
→
+=+=+-==
所以
1111
,2442
a b b a +==- 由可导知
1
112
22
11111
()
1
44242()lim lim lim 1112222
x x x ax b ax a a x f a x x x +→→→
+-
+---'====---
