最新数学建模(数学模型)期末考试题(试卷)及答案详解(附答案)

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数学建模（数学模型）期末考试卷及答案详解

第一部分基本理论和应用

1、计算题(满分10分)

设电路供电网内有10000盏灯，夜间每一盏灯开着的概率为0.7，假设各灯的开关是相互独立的，利用中心极限定理计算同时开着的灯数在6900与7100之间的概率.

2、计算题（满分10分）

设某种电子元件的使用寿命服从正态分布) ,(2N，现随机抽取了10个元件进行检测，

得到样本均值(h)1500x，样本标准差(h)14S. 求总体均值的置信概率为99％的置信区间

3、计算题（满分10分）

从正态总体)6 ,4.3(~2NX中抽取容量为n的样本，如果要求样本均值位于区间

(1.4，5.4) 内的概率不小于0.95，问样本容量n至少应取多大？

4、计算题（满分10分）

设总体X的概率密度为：

其他，,0,10,)1();(xxxf )1(

nXXX,,,21是来自总体X的简单随机样本，求参数的矩估计量和极大似然估计量.

5．（15分）设总体X服从区间[0，]上的均匀分布，＞0未知，12,,,nXXX是来自X的样本,（1）求的矩估计和极大似然估计；（2）上述两个估计量是否为无偏估计量，若不是请修正为无偏估计量；（3）试问（2）中的两个无偏估计量哪一个更有效？

6. （15分）设),(~2NX，nXXX,,,21是取自总体的简单随机样本，X为样本均值，2nS为样本二阶中心矩，2S为样本方差，问下列统计量：（1）22nnS，（2）1/nSXn，（3）212)(niiX各服从什么分布？

7. （10分）一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布.

8. （10分）设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算.

9. （10分）某商品的每包重量2~(200,)XN.若要求{195205}0.98PX,则需要把控制在什么范围内.

10. （15分）设系统L由两个相互独立的子系统12,LL联接而成,联接的方式分别为串联,并联和备用(当系统1L损坏时,系统2L开始工作),如图7.1所示.1L和2L的寿命为X和Y,分别有密度(0,)()()xXpxeIx和(0,)()()yYpyeIy,其中0,0且.请就这三种联接方式分别写出系统L的寿命Z的密度.

答案

第一部分基本理论和应用

1、计算题(满分10分)

解：设同时开着的灯数为X，(10000,0.7)Xb ……………2分

10000*0.7(0,1)10000*0.7*(10.7)XN（近似） ……………3分

100{69007100}2()10.9712100PX …………5分

2、计算题（满分10分）

设某种电子元件的使用寿命服从正态分布) ,(2N，现随机抽取了10个元件进行检测，得到样本均值(h)1500x，样本标准差(h)14S. 求总体均值的置信概率为99％的置信区间.

解： T(1)XntnS 0.005{(1)}0.99PTtn ………4分

0.0050.005{(1)(1)}0.99SSPXtnXXtnnn ………………4分

所求为（1485.61，1514.39） …………2分

3、计算题（满分10分）

从正态总体)6 ,4.3(~2NX中抽取容量为n的样本，如果要求样本均值位于区间

(1.4，5.4) 内的概率不小于0.95，问样本容量n至少应取多大？

解： 3.4(0,1)6XnN ………………3分

3.42{1.45.4}{}2()1663XnnPXPn ……………4分

解2()10.953n 得34.6n n至少取35 ……………3分

4、计算题（满分10分）

设总体X的概率密度为： 其他，,0,10,)1();(xxxf )1(

nXXX,,,21是来自总体X的简单随机样本，求参数的矩估计量和极大似然估计量.

解： 1101()(2EXdx+1)x ……………3分

解12X，得的矩估计量为211XX ……………2分

1()1()niiLxn＝（）

1lnln1lnniiLnx（）+ ……………2分

令1lnln01niidLnxd 得的极大似然估计量为11lnniinX …………3分

解：（1）2EX，令2X，得的矩估计量1ˆ2X； ……………5分

似然函数为：12121,0,,,(,,,;)0nnnxxxLxxx，其它

其为的单调递减函数，因此的极大似然估计为212()ˆmax,,,nnXXXX。

（2）因为1ˆ2EEX，所以1ˆ为的无偏估计量。 ……………5分

又因为()nX的概率密度函数为：1()1,0()0,nnxnxfx其它

所以1()011nnxnEXxndxn

因此2ˆ为的有偏估计量，而3()1ˆnnXn为的无偏估计量。

（3） 221/12ˆ443DDXnn， ……………5分 23(2)212202211ˆ11111ˆ(2)(2)3nnDDXnnxnxndxnnDnnnn

于是3()1ˆnnXn比1ˆ2X更有效。

解：（1）由于)1(~)1(222nSn，又有21221)(1SnnXXnSniin

22)1(SnnSn，因此)1(~222nnSn； ……………5分

（2）由于)1(~/ntnSX，又有1nSnSn，因此

)1(~1/ntnSXn； ……………5分

（3）由),,2,1)(,(~2niNXi得：),,2,1)(1,0(~niNXi，由2分布的定义得：)(~)(2212nXnii ……………5分

解：第1个能正确回答的概率是5/8, ………5分第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是(3/8)(5/7)15/56,

前2个不能正确回答,第3个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(5/6)5/56,

前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(5/5)1/56, …5分

前4个都不能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(0/5)0.

设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为X,则X有分布

X 0 1 2 3

P 5/8 15/56 5/56 1/56

解：设一天中某人收到X位朋友的电子邮件,则~(100,0.04)XB,一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是(4)PX.

1) 用二项分布公式计算 …5分

31001000(4)1(4)10.04(10.04)0.5705kkkkPXPXC.

2) 用泊松近似律计算 …5分

331004100004(4)1(4)10.04(10.04)10.5665!kkkkkkPXPXCek.

9. （10分）某商品的每包重量2~(200,)XN.若要求{195205}0.98PX,则需要把控制在什么范围内.

解设200~(0,1)XZN,则~(0,1)ZN. …4分

195200205200{195205}(5/)(5/)2(5/)1PXPZ.

{195205}0.982(5/)10.98PX

15/(0.99)2.335/2.332.15. …6分

数模期末考试试题及答案

一、单项选择题（每题3分，共30分）

1. 数学建模中，以下哪个步骤是正确的？

A. 问题定义 → 模型假设 → 模型求解 → 模型验证

B. 模型假设 → 问题定义 → 模型求解 → 模型验证

C. 问题定义 → 模型求解 → 模型假设 → 模型验证

D. 模型假设 → 模型求解 → 问题定义 → 模型验证

答案：A

2. 在数学建模中，以下哪个不是模型的基本要素？

A. 变量

B. 参数

C. 函数

D. 数据

答案：D

3. 对于一个数学模型，以下哪个说法是错误的？

A. 模型应该尽可能地简化

B. 模型应该尽可能地精确

C. 模型应该尽可能地符合实际

D. 模型应该尽可能地包含所有相关因素

答案：D

4. 在数学建模中，以下哪个方法不是常用的优化方法？

A. 线性规划

B. 非线性规划

C. 动态规划

D. 概率论

答案：D

5. 在数学建模中，以下哪个软件不是常用的数学建模软件？

A. MATLAB

B. Mathematica

C. Python

D. Photoshop

答案：D

6. 数学建模中，以下哪个步骤是用于评估模型的？

A. 模型假设

B. 模型求解

C. 模型验证

D. 模型分析

答案：C

7. 在数学建模中，以下哪个不是模型的类型？

A. 确定性模型 B. 随机模型

C. 静态模型

D. 动态模型

答案：C

8. 在数学建模中，以下哪个不是模型的分析方法？

A. 敏感性分析

B. 稳定性分析

C. 可行性分析

D. 可靠性分析

答案：C

9. 在数学建模中，以下哪个不是模型的验证方法？

A. 残差分析

数学建模_暨南大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年

1. 将多个评价指标合成一个整体性的综合评价指标的常用方法有：

参考答案:

线性加权综合法_逼近理想点法

2. 数学规划中目标函数值不能进一步优化，是因为

参考答案:

紧约束的限制

3. 层次分析法的特点有

参考答案:

定性与定量相结合_系统化_层次化

4. 选用评价指标需要考虑

参考答案:

可测性_系统性

5. 对实际问题中遇到前人研究过的普遍规律，也必须从无到有创造性地建立数学模型。

参考答案:

错误

6. 通过DW检验可以判断原模型的随机误差是否存在自相关性。

参考答案:

正确

7. 数学规划包括：

参考答案:

非线性规划_线性规划_多目标规划_整数规划

8. 层次分析法最重要的一步是

参考答案:

设计层次分析模型(结构图)

9. 线性规划模型常用求解软件有：

参考答案:

LINGO_MATLAB

10. 对具体数学规划模型进行拓展讨论和分析较好的办法，是直接重新建立模型及求解。

参考答案:

正确

11. 形象思维、逻辑思维范畴内的能力包括

参考答案:

想象力_判断力_洞察力

12. 层次分析结构图包括：

参考答案:

方案层_准则层_目标层

13. 一般解决评价、决策问题的步骤有：

参考答案:

确定各个评价指标的权重系数_建立评价体系、收集数据并做预处理_对评价结果进行排序，做出合理决策

14. 在数学规划模型中，用决策变量来表达回答问题的“结构”。

参考答案:

正确

15. 整数规划的特点是部分决策变量要求取整数。

参考答案:

正确

16. 将多目标规划模型转为单目标规划模型的常用方法有：

参考答案:

目标函数线性加权求和法_主次目标法

17. 关于指派问题，下面说法正确的有：

参考答案:

指派问题是要将若干个任务分配给若干个对象_每个对象只能完成一个或多个任务_一个任务只能由一个或多个对象来完成

18. 通过观察自变量和因变量的散点图，可以大致给出自变量和因变量的关系。

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