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高中数学知识点总结_概率及其应用

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概率及其应用

1. 解概率应用题要学会“说”：首先是记事件，其次是对事件做必要的分析，指出事件的概率类型，包括“等可能性事件”、“互斥事件”、“相互独立事件”、“独立重复试验”、“对立事件”等；然后是列式子、计算，最后别忘了作“答”。

2．“等可能性事件”的概率为“目标事件的方法数”与“基本事件的方法数”的商，注意区分“有放回”和“不放回”；“互斥事件”的概率为各事件概率的和；“相互独立事件”的概率为各事件概率的积；若事件A在一次试验中发生的概率是p，则它在n次“独立重复试验”中恰好发生k次的概率为()(1)kknknnPkCpp；若事件A发生的概率是p，则A的“对立事件”A发生的概率是1-p等。有的同学只会列式子，不会“说”事件，那就根据你列的式子“说”：用排列（组合）数相除的是“等可能性事件”，用概率相加的是“互斥事件”，用概率相乘的是“相互独立事件”，用knC的是“独立重复试验”，用“1减”的是“对立事件”。

[举例1] 已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球，乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．

（Ⅰ）求取出的4个球均为红球的概率；

（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率； （07高考天津文18）

解析：（Ⅰ）设“从甲盒内取出的2个球均为红球”为事件A；从甲盒内取出2个球（基本事件）有27C种方法，它们是等可能的，其中2个球均为红球（目标事件）的有23C种，∴

2327C1()C7PA；设“从乙盒内取出的2个球均为红球”为事件B，有2329C5()C18PB；

而“取出的4个球均为红球”即事件A、B同时发生，又事件AB，相互独立，

∴126518571)()()(BPAPABP．

（Ⅱ）设“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个红球为黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件D．2924271413)(CCCCCCP=212，6310)(2914152724CCCCCDP；

而“取出的4个红球中恰有4个红球”即事件CD，有一个发生，又事件CD，互斥，∴

21016()()()216363PCDPCPD 答：取出的4个球均为红球的概率是1265，取出的4个球中恰有1个红球的概率是6316。

[举例2] 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．（I）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；

（II）任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培养的概率．（07高考湖南文17）

解析：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A，“该人参加过计算机培训”为事件B，由题设知，事件A与B相互独立，且()0.6PA，()0.75PB．

（I）解法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训即事件A、B同时发生，其概率是

1.025.04.0)()()(1BPAPBAPP

所以该人参加过培训的概率是1110.10.9P．

解法二：任选1名下岗人员，设该人只参加过一项培训为事件C，BABAC，BA与BA

互斥，∴P（C）=P（BABA）=P（BA）+P（BA）=0.6×0.25+0.4×0.75=0.45;

该人参加过两项培训为事件D，P(D)=P(AB)=0.6×0.75=0.45

该人参加过培训即C、D有一个发生，且C、D互斥，∴其概率为P(C+D)=P(C)+P(D)=0.9;

（II）解法一：设任选3名下岗人员，3人中恰有2人参加过培训为事件E，E是独立重复实验，其中n=3,k=2,p=0.9,∴P(E)=1.09.0223C=0.243,

设任选3名下岗人员，3人都参加过培训为事件F，P(F)=39.0=0.729．

“3人中至少有2人参加过培训”即E、F有一个发生，又E、F互斥，∴它的概率是：P(E+F)

=P(E)+P(F)=0.243+0.729=0.972；

解法二：设任选3名下岗人员，3人中恰有1人参加过培训为事件G，P(G)=

1230.90.10.027C;设任选3名下岗人员，3人都没有参加过培训为事件H，P（H）=

30.10.001；“3人中至少有2人参加过培训”即FE，

P(FE)=10.0270.0010.972;

答：任选1名下岗人员该人参加过培训的概率是0.9，任选3名下岗人员，这3人中至少有2人参加过培养的概率是0.972

[巩固1] 某条公共汽车线路沿线共有11个车站（包括起点站和终点站），在起点站开出的一辆公共汽车上有6位乘客，假设每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的．求：

（I）这6位乘客在其不相同的车站下车的概率；

（II）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率；（07高考北京文18）

[巩固2] 设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为34和45，且各次射击相互独立． （Ⅰ）若甲、乙各射击一次，求甲命中但乙未命中目标的概率；

（Ⅱ）若甲、乙各射击两次，求两人命中目标的次数相等的概率．（07高考重庆文17）

3．要准确理解题意，吃透其中的“关键词”，如： “至多”、“至少”、“恰有“、“不全是”、“全不是”等；要能读出题目的“言下之意”。

[举例1]在医学生物试验中，经常以果蝇作为试验对象．一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔．

（I）求笼内恰好剩下1只果蝇的概率；

（II）求笼内至少剩下5只果蝇的概率．（07高考安徽文19）．

解析：设笼内恰好剩下k只果蝇的事件为kA (016)k，，，．

（I）笼内恰好剩下1只果蝇即第7只飞出的是苍蝇，而前6只飞出的蝇子中有1只苍蝇、5只果蝇；基本事件有78A种，它们是等可能的，其中目标事件有665612ACC种，

故)(1AP=78665612AACC=143；（II）笼内至少剩下5只果蝇为事件5A+6A，)(5AP=38221612AACC

=141，28226)(AAAP=281，又事件5A、6A互斥，故P(5A+6A)=P(5A)+P(6A)=141+281

=283；答：笼内恰好剩下1只果蝇的概率为143，笼内至少剩下5只果蝇的概率283。

356563()()()()28PBPAAPAPA．

[举例2]甲、乙两人个有4张卡片，现以掷硬币的形式进行游戏。当出现正面朝上时，甲赢得乙一张卡片，否则乙赢得甲一张卡片，如果某人已赢得所有卡片，则游戏立即终止，求掷币次数不大于6时游戏恰好终止的概率。

解析：显然，至少需掷币4次，游戏才可能终止；现要求掷币次数不大于6时游戏终止，看似有三种情况，即掷币次数分别为4、5、6，但事实上掷币5次游戏终止的情况是不可能出现的：因为，首先前4次不可能都为正面或反面（否则掷币4次后游戏已经终止），若前4次中有1次反面而其它4次都为正面，此时甲手中有7张卡片，乙手中有1张卡片，游戏尚未终止。设掷币4次游戏终止的事件为A，P（A）=2×4)21(=81；掷币6次游戏终止的事件为B，则前4次中有1次反面而其它5次都为正面，或前4次中有1次正面而其它5次都为反面，∴P（B）=2×514)21(21C=81，有又掷币次数不大于6时游戏恰好终止为A+B ，且

A、B互斥，∴P（A+B）=P（A）+P（B）=81+81=41；

[巩固1] 甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束，设各局比赛相互间没有影响，求（Ⅰ）前三局比赛甲队领先的概率；

（Ⅱ）本场比赛乙队以3：2取胜的概率.（精确到0.001）

[巩固2] 10个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取出一球，直到第n次才取得kkn次红球的概率为（ ）

A．2191010nk，B．191010knk C．11191010knkknC D．111191010knkknC

[巩固3] 从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96PA．

（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；

（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率()PB．（07高考全国卷Ⅱ理19）

4．关注概率与其它知识点的“交汇”，如数列、不等式、解析几何等。

[举例1]设集合{12}{123}AB，，，，，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点()Pab，，记“点()Pab，落在直线xyn上”为事件(25)nCnnN≤≤，

，若事件nC的概率最大，则n的所有可能值为（ ） （07高考山东文12）

A．3 B．4 C．2和5 D．3和4

解析：点()Pab，落在直线xyn上，即nba；集合A和B中随机取一个数a和b

有6种方法，它们是等可能的，其中使得2ba有1种，使得3ba有2种，使得4ba有2种，使得5ba有1种；故使得事件nC的概率最大的n可能为3和4。

[举例2] 正四面体的各顶点为4321,,,AAAA，进入某顶点的动点 X不停留在同一个顶点上，每隔1秒钟向其他三个顶点以相同的概率移动。n秒后X在)4,3,2,1(iAi的概率用)(nPi(n=0,1,2……) 表示。当21)0(,41)0(21PP，81)0(3P，81)0(4P时，

（1）求)2(),1(22PP； (2)求)(2nP与)1(2nP的关系（Nn）

（3）求)(2nP关于n的表达式， （4）求)(1nP关于n的表达式

解析：)1(2P即1秒后动点在2A的概率，它有三种情况；①开始时（0秒）在1A，1秒后移动到2A；由题意知，每隔1秒钟动点 X从一个顶点移动到另一个顶点的概率均为31；所以这种情况的概率为：)0(1P×31=121；②开始时在3A，1秒后移动到2A；其概率为：

)0(3P×31=241；③开始时在4A，1秒后移动到2A；其概率为：)0(4P×31=241；

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高中概率知识点总结

高中概率知识点总结

高中概率知识点总结

高中概率是数学中的一个重要分支，它探究的是随机事件发生的可能性。在高中阶段，我们学习了概率的基本概念、概率的计算方法以及与概率相关的统计学知识。下面，我们就来总结一下高中概率的知识点。

一、概率的基本概念

概率是指某一随机事件发生的可能性大小，通常用一个介于0和1之间的数来表示。其中，0表示不可能事件，1表示必然事件。

在概率的基本概念中，我们学习了几个重要的概念，包括样本空间、随机事件、事件的概率等。

样本空间是指一个随机试验的所有可能结果构成的集合。例如，掷一枚硬币的样本空间为{正面，反面}。

随机事件是指样本空间的一个子集，它代表了我们感兴趣的试验结果。例如，掷一枚硬币得到正面朝上，就是一个随机事件。

事件的概率是指某个随机事件发生的可能性大小，通常用P(A)来表示。它的值介于0和1之间，并且所有事件的概率之和等于1。

二、概率的计算方法

概率的计算方法主要有两种，分别是古典概型和几何概型。

古典概型适用于样本空间中的每个结果发生的可能性相等的情况。计算方法为P(A) = 事件A的基本事件数/样本空间的基本事件数。 几何概型适用于样本空间中的每个结果发生的可能性不相等的情况。计算方法为P(A) = 面积(A)/面积(样本空间)。

在实际问题中，我们经常会遇到多个事件发生的联合概率、互斥事件的概率以及事件的补事件概率等。针对这些情况，我们可以运用概率的加法定理、乘法定理和补法定理来求解。

三、与概率相关的统计学知识

统计学是与概率密切相关的一个学科，它研究的是数据的收集、组织、分析和解释。

在高中阶段，我们学习了统计学中的一些基本概念和方法，包括数据的分类与整理、频率分布表与直方图、概率分布与频率分布图等。

概率与统计学的结合使我们能够更好地分析和解释数据，并做出准确的推断。例如，我们可以通过样本数据来推断总体，从而做出有关总体的统计推断。

四、实际问题中的概率应用

概率的应用广泛存在于我们的日常生活中，例如掷骰子、抽奖、研究疾病概率等。这些实际问题中，概率的计算和应用对我们做出准确决策具有重要意义。

高中数学概率知识点总结

高中数学概率知识点总结

高中数学概率知识点总结

一、概率的基本概念

1.1 概率的定义

在日常生活中，我们经常会遇到很多不确定的事件，比如掷骰子的结果、抽奖的中奖情况等等。而概率就是用来描述这些不确定事件发生的可能性的。概率可以理解为某件事情发生的可能性大小，通常用一个介于0和1之间的数值来表示，其中0表示不可能发生，1表示一定会发生。

1.2 样本空间和事件

在进行概率计算时，通常需要确定一个样本空间，即所有可能发生的结果的集合。比如掷一枚骰子，样本空间为{1,2,3,4,5,6}。事件则是样本空间的一个子集，表示我们关心的那部分结果。比如“出现奇数点数”的事件为{1,3,5}。

1.3 古典概率和频率概率

古典概率是指在所有可能结果等可能时，事件发生的概率即为事件发生的次数与样本空间元素总数的比值。而频率概率是指在实际观察中，某一事件发生的次数与总次数的比值。古典概率适用于理论计算，而频率概率适用于实际观测。

1.4 概率的性质

概率具有以下几个重要性质：

（1）非负性：任何事件的概率都大于等于0；

（2）规范性：全集事件的概率为1；

（3）可列可加性：对于两个互不相容的事件，它们的概率之和等于这两个事件并起来的概率。

二、概率的计算方法

2.1 古典概率的计算

在古典概率中，当每个事件发生的可能性相等时，概率等于事件发生的次数除以总事件数，即P(A)=n(A)/n(S)。

2.2 几何概率的计算

几何概率是通过几何模型中的面积、长度或体积来计算概率的方法。比如说，在一个正方形的面积中，事件发生的可能性可以表示为事件的面积与总面积的比值。 2.3 频率概率的计算

频率概率是通过实验次数和事件发生次数的比值来计算概率的方法，即P(A)=n(A)/n。

2.4 排列和组合

排列是指从n个不同元素中取出m个元素，按一定的次序排成一列，不同元素的个数为n!/(n-m)!。组合是指从n个不同元素中取出m个元素，不考虑次序的情况，不同元素的个数为n!/(m!(n-m)!)。

高中数学必修一概率与统计概念知识点总结及练习题

高中数学必修一概率与统计概念知识点总结及练习题

高中数学必修一概率与统计概念知识点总结及练习题

概率的基本概念

- 事件：指某个特定的结果或情况。

- 样本空间：所有可能结果的集合。

- 随机试验：具有确定结果但无法预知的试验。

- 事件发生的概率：一个事件发生的可能性大小。

概率的计算方法

频率定义法

- 通过大量重复试验来估计某个事件发生的概率。

古典定义法

- 对于具有确定结果的试验，通过分析样本空间和事件的个数来计算概率。

几何定义法

- 通过几何形状的面积或长度来计算概率。

组合计数法

- 通过组合的方法计算某个事件发生的概率。

概率的性质

- 概率的取值范围：[0,1]

- 必然事件的概率：1

- 不可能事件的概率：0

- 互斥事件的概率：两个事件不可能同时发生，概率为两个事件概率之和。

统计的基本概念

- 总体：研究对象的全体。 - 样本：从总体中选取的一部分。

- 参数：总体的某个数值特征。

- 统计量：样本的某个数值特征。

抽样方法

- 随机抽样：每个样本都有相同的机会被选中。

- 系统抽样：按照一定的规则抽取样本。

- 分层抽样：将总体划分成几个层次，然后从每个层次中随机抽取样本。

- 整群抽样：将总体划分成若干个互相独立的群组，然后随机选择某些群组作为样本。

统计的应用

- 描述统计：通过图表和指标等方式描述数据特征。

- 推断统计：通过样本的统计量推断总体参数。

练题

1. 一个骰子掷一次，计算以下事件的概率：

- 出现奇数的概率

- 出现大于4的概率

2. 甲、乙、丙三个班级参加校运动会，根据每个班级报名人数的统计数据，计算以下事件的概率：

- 一个学生随机选中是甲班的概率

- 一个学生随机选中是丙班的概率

3. 一名学生参加数学竞赛，根据往年的统计数据，该学生获奖的概率为0.4。如果该学生连续参加了5次数学竞赛，计算以下事件的概率：

- 至少获奖一次的概率

- 恰好获奖3次的概率

4. 某商品以正态分布的价格出售，平均价格为100元，标准差为10元。计算以下事件的概率：

高中数学概率与统计知识点

高中数学概率与统计知识点

高中数学概率与统计知识点

1、概率的定义

随机事件A的概率是频率的稳定值；频率是概率的近似值。

2、等可能事件的概率

如果一次试验中可能出现的结果有n个，且所有结果出现的可能性都相等，那么，每一个基本事件的概率都是1/n，如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P(A)=m/n。

3、互斥事件

不可能同时发生的两个事件叫互斥事件。如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生（A、B中有一个发生）的概率，等于事件A、B分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)。

4、对立事件

对立事件是指两个事件必有一个发生的互斥事件。例如:从1~52张扑克牌中任取一张抽到“红桃”与抽到“黑桃”互为互斥事件，因为其中一个不可能同时发生，但又不能保证其中一个必然发生，故不是对立事件。而抽到“红色牌”与抽到“黑色牌”互为对立事件，因为其中一个必发生。

对立事件的性质:

1)对立事件的概率和等于1:P(A)+P(Ä)=P(A+A)=1。

2)互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件。

5、相互独立事件

事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A·B)=P(A)·P(B)。

相互独立事件的性质:

1)如果事件A与B相互独立，那么A与B,A与B，A与B也都相互独立。

2)必然事件与任何事件都是相互独立的。

3)独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件，且这多个事件不能同时发生，故这些事件相互之间必然影响，因此互斥事件一定不是独立事件。

6、独立重复试验

若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的。如果在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率:P„(k)=CP*(1-P)"-*