高数试卷（一）（上册）一、单项选择题（每题4分，共20分，把选择题答案填在括号里）1．当0x →时，()sin f x x ax =-与2()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小，则（ ）．A.11, 6a b ==B.11, 6a b =-= C.11, 6a b ==- D.11, 6a b =-=-2．函数2()sin πx x f x x-=的可去间断点的个数为（ ）．A.1B.2C.3D.无穷多个3．曲线321x y x =-的渐近线有（ ）．A.1条B.2条C.3条D.4条 4．下面等式正确的是（ ）．A. d ()()f x f x '⎡⎤'=⎣⎦⎰B.()d()d ()f x x f x =⎰C.d ()d ()d f x x f x C x =+⎰ D.d ()d ()d ba f x x f x x=⎰ 5．已知广义积分2d 1xkx+∞+⎰收敛1（0k >），则k =（ ）．A.π22π2 D.2π4二、填空题（每题4分，共20分）6．222111lim π2ππn n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭． 7．设函数)(x y y =由方程y x xy+=2所确定，则d x y== ．8．设⎩⎨⎧-=-=),1e (,π)(3tf y t f x 其中f 可导且(0)0f '≠，则0d d t y x == ． 9．不定积分6d (1)xx x =+⎰． 10．定积分π322π2(sin cos )d x x x -+=⎰ ． 三、计算题（每题7分，共28分）11．求极限0x →．12．曲线y =的切线与x 轴和y 轴围成一个图形，记切点的横坐标为a ，试求切线方程和这个图形的面积S ．当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化趋势如何？13．求不定积分⎰．14．已知21()e d xt f x t -=⎰，求10()d f x x ⎰．四、证明题（本题6分）15．设)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且1233()d (0)f x x f =⎰，求证：在(0,1)内存在一点ξ使()0f ξ'=．五、讨论题（每小题8分，共16分）16．已知⎪⎩⎪⎨⎧≤+>+=.0),ln(,0,1sin )(2x x a x bx x x x f 试讨论 （1）a 、b 取何值时，)(x f 在0=x 点连续；（2）a 、b 取何值时，)(x f 在0=x 点可导，并求)0(f '．17．讨论函数0()(4)d xF x t t t =-⎰在[1,5]-上的增减性、极值和凹凸区间及拐点．六、应用题（本题10分）18．设2y x =定义在[0,1]上，t 为[0,1]上任意一点，试问t 为何值时，参考答案一、1．C ；2．B ；3．C ；4．A ；5．D ．二、6．1；7． x d )12(ln -；8．3；9．61ln ln(1)6x x C -++；10．2π． 三、11．解 因为当0→x 时，x x x x 232sin 31~1sin 1-+， x x 2~1e 2-， 22~tan x x ，所以，2222001sin 13lim lim (e 1)tan 2x x x x xxx x →→=-⋅ 2221sin 1sin 1666x x x x ⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎝⎭． 12．解 由题设可知切点的横坐标为0>a，代入曲线方程y =可求的切点坐标为a ⎛⎝，因为312212y x x --''⎛⎫'===-= ⎪⎝⎭，所以，曲线在该点的切线斜率x ak y ='==，切线方程为)y x a =-，即230x a +-=．分别令0y =和0,x =得切线在x 轴和y 轴上的截距分别为3, X a Y ==，切线与x 轴和y 轴围成一个图形为直角三角形AOB ∆，（如图所示）其面积为a a a XY S 492332121=⋅⋅==.因为+∞==+∞→+∞→a S a a 49limlim ，049lim lim 00==++→→a S a a ， 故当切点沿曲线趋于x 轴正方向无穷远时，面积S 趋于无穷大；当切点沿曲线趋于y 轴正方向无穷远时，面积S 趋于零．13．解 设sin x t =，ππ,22t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则 原式1cos d sin cos tI t t t==+⎰，若设2sin d sin cos tI t t t=+⎰，则121cos sin d cos sin t tI I t t C t t++==++⎰，122cos sin d ln sin cos cos sin t tI I t t t C t t--==+++⎰，故()11ln cos sint 2I t t C =+++(1arcsin ln 2x x C =+++． 14．解 由题设可得2()e x f x -'=，(1)0f =，则111201()d ()()d 0e d 0x f x x xf x xf x x x x -'=-=-⎰⎰⎰ 122101111e d()(e 1)1222e x x --⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭⎰． 四、15．证明 由积分中值定理知12323()d (), ,13f x x f ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦⎰ηη， 即()(0)f f η=．于是)(x f 在[0,]η上满足罗尔定理的条件，知存在(0,)(0,1)ξη∈⊂，使()0f ξ'=.五、16．解（1）因00lim ()lim ln()ln ,x x f x a x a --→→=+= 2001lim ()lim sin 0,x x f x x bx x +-→→⎛⎫=+= ⎪⎝⎭(0)ln ,f a =要使函数)(x f 在0=x 点连续必须使函数在该点左、右极限相等且等于该点的函数值即ln 0, 1a a ==．故当1, a b =为任意实数时，函数)(x f 在0=x 点连续．（2）由于连续是可导的必要条件，所以要使)(x f 在0=x 点可导，必须首先令1a =，此时函数变为⎪⎩⎪⎨⎧≤+>+=.0),ln(,0,1sin )(2x x a x bx xx x f 又因为0()(0)ln(1)0(0)lim lim0---→→-+-'==-x x f x f x f x x1lim ln(1)ln e 1,-→=+==xx x 2001sin 01(0)lim lim sin ,0x x x bx x f x b b x x +++→→+-⎛⎫'==+= ⎪-⎝⎭要使)0(f '存在必须使其在该点左、右导数存在并相等即(0)(0)(0)11f f f b -+'''===⇒=．所以当1a =且1b =时，)(x f 在0=x 点可导，此时(0)1f '=．17．解（1）0()(4)d (4)xF x t t t x x '⎡⎤'=-=-⎢⎥⎣⎦⎰， 令()0F x '=，得驻点120, 4x x ==． （2）()24F x x ''=-，令()0F x ''=，得 32x =． （3）列表：（4(1,0)-(0,2)单减且上凸；在区间上(2,4)单减且上凹；在区间(4,5)上单增且上凹． 在0x =处取得极大值0，在4x =处取得极小值332-；)316,2(-. 五、18．解 如图所示，阴影1S 部分的面积为222331012()d 033t t S t x x t x x t =-=-=⎰， 阴影2S 部分的面积为122323221121()d 333t S x t x x t x t t t =-=-=-+⎰，故)10(3134)(2321≤≤+-=+=t t t S S t S ，从而2d 42d S t t t =-，令d 0d S t =，得驻点1210, 2t t ==． 分别求出1112(0), , (1),3243S S S ⎛⎫=== ⎪⎝⎭比较可知，当12t =时，1S 与2S 之和最小．检测题（二）（上册）一、单项选择题（每题4分，共20分，把选择题答案填在括号里）1．函数y =ln u x =能构成复合关系的区间是（ ）．A.1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.(0,)∞C.1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.(0,e) 2．设1010()ln , (), ()e xf x xg x xh x ===则当x 充分大时有（ ）A.()()()g x f x h x <<B.()()()h x g x f x <<C.()()()f x g x h x <<D.()()()g x h x f x <<3．设函数(),()f x g x 具有二阶导数，且()0g x ''<．若0()g x a =是()g x 的极值，则[()]f g x 在0x 取得极大值的一个充分条件是（ ）．A.()0f a '<B.()0f a '>C.()0f a ''<D.()0f a ''> 4．下面等式正确的是（ ）． A.21arctan d C 1x x x=++⎰； B.arcsin C x =+； C.1ln d x x C x=+⎰； D.d()d ()d baf x x f x x =⎰．5．已知广义积分11d kx x ⎰收敛2（0k >），则k =（ ）． A.32； B.1； C.2； D.12．二、填空题（每题4分，共20分）6．若011lim e 1x x a x x →⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则a = ． 7．设2()()lim1()x af x f a x a →-=--，则()f x 在x a =取得极 值．8．若曲线321y x ax bx =+++有拐点(1,0)-则b = ． 9．定积分π32π2(sin cos )d x x x -+=⎰ ． 10．不定积分22d (1)(4)x xx x =++⎰．三、计算题（每题8分，共32分）11．求极限20ln(1)lim sin x x x x x→+-． 12．已知 ⎩⎨⎧+==),1ln(,arctan 2t y t x 求22d 1d y t x =．13．设可导函数()y y x =由方程2200e d sin d x yxt t x t t --=⎰⎰确定，求d 0d yx x =．14．分别用第一换元法（凑微分法）和第二换元法求不定积分．四、讨论题（12分）15．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<+=,0,1e ,0,,0,1)(2x x x x x x f x αα试讨论α的值在什么范围内，函数满足（1）在0x =点有极限；（2）在0x =点连续；（3）在0x =点可导．五、应用题（本题10分）16．设位于曲线)y x t =≤≤下方，x 轴上方的区域为G ，求（1）G 绕x 轴旋转一周所得空间区域的体积()V t ；（2）当t 为何值时，该旋转体的体积()V t 最大？最大体积是多少？六、证明题（6分）17．设)(x f 在[0,)+∞上连续，在(0,)+∞内可导，如果存在两个正数12k k 、满足1212(0)()d 0k k k k f f x x +-=⎰，证明：存在ξ0>使()0f ξ'=．检测题（二）参考答案一、1．A ；2．C ；3．B ；4．B ；5．D ．二、6．2；7．大；8．3；9．34；10．2211ln 64x C x +++．三、11．解 因为当0→x 时，22~)1ln(x x x x ⋅+，所以，222000ln(1)3lim lim lim sin sin 1cos x x x x x x x x x x x x x→→→+⋅==--- 061limsin 6x x x →==． 12．解 因为2d 2, d 1y t t t =+2d 1d 1x t t=+，所以 22d d d 212 d d d 11y y t t t t x x t t +===+， 2222d d d 2d d 2(1)d d d 11y y t x t x x t t⎛⎫⎪⎝⎭===++， 22211d 2(1)4d t t y t x ===+=． 13．解 由题设可知2200e d sin d x yxt t x t t --=⎰⎰，方程两边同时求导得2()220e(1)sin d sin xx y y t t x x --'-=+⎰，把0x =代入上述等式得1y '=，故d 10d yx x ==．14．解法1 凑微分法2C===．解法2 第二类换元积分法==设11sin22x t-=π2t⎛⎫<<⎪⎝⎭，则原式1cos d d2t t t==⎰arcsin(21)t C x C=+=-+．解法3 第二类换元积分法x=⎰，令2πsin02x t t⎛⎫=<<⎪⎝⎭，则d2sin cos dx t t t=，所以原式112sin cos d2dsin cost t t tt t=⋅⋅=⎰⎰2t C C=+=．四、解（1）因为00lim()lim(1)1,x xf x x--→→=+=00lim()lim(e1)1,xx xf x x++→→=+=α可见α是任意实数时，函数在0x=点左、右极限都相等．（2）又因为2(0)f=α，要使函数)(xf在0=x点连续必须使函数在该点极限值等于该点的函数值，即21,1a==±α．故当1±=α时，函数)(xf在0=x点连续.（3）由于连续是可导的必要条件，所以要使)(xf在0=x点可导，必须首先令21=α，此时函数变为⎪⎩⎪⎨⎧>+=<+=,0,1e ,0,1,0,1)(x x x x x x f x α0()(0)(1)1(0)lim lim 10x x f x f x f x x---→→-+-'===-， 00(e 1)1(0)lim lim e ,x x x x x f x+++→→+-'===ααα 要使)0(f '存在必须使其在该点左、右导数存在并相等，即(0)(0)(0) 1 1f f f -+'''====⇒=αα．所以当1=α时，)(x f 在0=x 点可导，此时(0)1f '=． 五、16．解 （1）222e ee 11()πd πd πd ln (1ln )1ln ttt x V t y x x x x x x ===++⎰⎰⎰ []e ππarctan(ln )πarctan(ln )4t x t ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．（2）因为2π()0 (e)(1ln )V t t t t '=>>+，这说明()V t 在[e,)+∞上单调递增，所以当t →+∞时，()V t 取得最大值，其最大值为[]2max e πππ()πlim arctan(ln )π244tt V t x →+∞⎛⎫==-= ⎪⎝⎭． 六、17．证明 由积分中值定理知[]1212112()d (), ,k k k f x x k f k k k +=∈+⎰ηη，代入题设等式得()(0)f f η=．于是)(x f 在[0,]η上满足罗尔定理的条件，知存在112(0,)[,](0,)k k k ∈⊂+⊂+∞ξη，使()0f ξ'=．。
