弧齿锥齿轮三维数字化设计及其在汽车差速器中的应用
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ＤｉｇｉｔａｌｄｅｓｉｇｎｆｏｒＧｌｅａｓｏｎｓｐｉｒａｌｂｅｖｅｌｇｅａｒａｎｄａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｇｅａｒｉｎｔｈｅａｕｔｏｍｏｂｉｌｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ齐从谦ｌ，甘屹２ＱｌＣｏｎｇ．ｑｉａｎ１．ＧＡＮＹｉ２（１．上海师范大学天华学院，上海２０１８１５：２．上海理工大学机械工程学院，上海２０００９３）搞要：文章系统地论述了直齿锥齿轮、弧齿锥齿轮的工作原理和建模理论基础；以＠ｌｅｏｓｏｎ弧齿锥齿轮为例介绍此类齿轮的三维数字化设计的方法及其在Ｐｒｏ／Ｅ野火环境下的实现过程，并以汽车差速器的装配和机构运动仿真为例，介绍格利森弧齿锥齿轮和直齿锥齿轮的应用。所提出的齿轮三维设计理论和方法对于各种齿轮的数字化设计具有重要的示范作用，从而纠正业界（尤其是在众多的出版物中）在锥齿轮设计中存在的错误和不规范之处，帮助广大ＣＡＤ用户走出齿轮三维设计误区。关键词：Ｇｌｅａｓｏｎ弧齿锥齿轮Ｉ数字化建模；汽车差速器中圈分类号：ＴＰ３９１文献标识码：Ａ
Ｄｏｉ：１０．３９６９／Ｊ．ｉｓｓｎ．１００９－０１３４．２０１１．２（上）．４４
０引言齿轮是机械产品中最常用的零件之一，齿轮传动是靠主动齿轮的轮齿侧边依次拨动从动齿轮侧边来传递运动和动力的，一对标准圆柱齿轮的啮合传动如图ｌ所示。齿轮机构可以传递空间任意轴间的运动和动力，且具有传动平稳、可靠，使用范围广（传递速度和规律的范围大），使用寿
文章编号：１００９－０１３４（２０１１）２（上）－ｏｔ３４－０４
命长等特点，故广泛应用于机械传动中。
齿顶齿根齿顶圆度圆圆根圆
图１‘对齿轮的啮合关系及基本参数
广义的齿轮机构除了标准圆柱齿轮（外啮合或内啮合）之外，还有齿轮齿条、斜齿轮、人字
齿轮（以上为平面齿轮机构）和用于空间齿轮机构的直齿、斜齿锥齿轮，蜗轮、蜗杆及准双曲面齿轮、格利森圆弧齿轮等。由于锥齿轮的设计参数之间的关系比较复杂，目前业界（尤其是在众多的出版物中）在运用三维ＣＡＤ软件进行锥齿轮设计的思路与方法中，存在的错误和不规范之处。本文将分析直齿锥齿轮、弧齿锥齿轮的工作原理和建模理论基
收稿日期：２０１０－０８－１７作者简介：齐从谦（１９４５一），另，教授，研究方向为ＣＡＤ／ＣＡＭ。
【１３４ｌ第３３卷第２期２０１１—２（上）万方数据础；以Ｇｌｅａｓｏｎ弧齿锥齿轮为例介绍此类齿轮的三维数字化设计的方法及其在Ｐｒｏ／Ｅ野火环境下的实现过程，从而纠正在锥齿轮设计中存在的错误和不规范之处，帮助广大ＣＡＤ用户走出齿轮三维设计误区。
１锥齿轮工作原理及建模基础１．１标准圆柱直齿轮的齿廓曲面齿轮传动具有传动精度高、传动平稳等特点。因为齿轮的齿廓是由渐开线曲面构成的，渐开线轮齿侧边之问无滑动的啮合是实现高精度和平稳传动的关键。一对标准圆柱齿轮的啮合关系及其基本参数如图ｌ所示。其中模数ｍ、齿数ｚ、分度圆直径ｄ、齿形角（或分度圆压力角）０【是齿轮的主参数。根据机械原理，当图２中的直线Ｂ—Ｂ由虚线位置沿一圆周作纯滚动时，其上任一点Ｋ在平面上的轨迹ＫＫ，称为该圆的渐开线，这个圆称为基圆。图２中各参数的几何意义如下：１）ｅ。角为Ｉ【（１Ｋ段渐开线的展角２）ｒｋ为渐开线的矢径３）０Ｌ。为压力角４）ｒｈ为基圆的半径：ｒｂ＝ｄ／２＊ｃｏｓｃｔ（１）
式（１）中，ｄ为齿轮分度圆的直径，ｑ为分度圆压力角。由渐开线的生成规律，很容易得到极座标下的ｒｋ和Ｏ。与压力角０Ｌ。之间的函数关系如式（２）所示，这里，０。是压力角０Ｌ。的函数，在机械原理中称其为渐开线函数或Ｉｎｖｏｌｕｔｅ函数。注意：式中０Ｌ。的单位可以是角度或弧度，但ｔａｎ（ａ。）的值一定是弧度，因此在具体计算过程中，须将其转为角度量，才能与ｏＬ。相减，所得到的差是角度量，这是ＰＲＯ／Ｅ所默认的单位，而且式（２）所表达的函数关系恰恰与ＰＲＯ／Ｅ所提供的“用柱坐标来构建方程”相一致。式（３）为笛卡尔坐标下的表达式。
图２齿轮渐开线生成原理及计算方法
件山杯ｆｒｋ＝ｒｂ／。ｏｓ伐ｋ（２）
柱坐标｛’７
【Ｏｋ＝ｉｎｖａｋ＝ｔａｎａｋ－％
迪卡尔坐标｛ｘ＝ｒｂ‘（ＣＯＳｔ２ｋ＋Ｏ，ｋ’ｓｉｎ．ｋ）（３）
Ｉｙ＝ｒｂ’Ｉｓｍｏｃｋ－－Ｏｃｋ‘ｃｏｓ０【一
式（２）与式（３）在数学上是等价的，但显然，式（２）在形式上更简洁，其几何意义更为清晰。遗憾的是几乎９５％以上的三维建模人员及有关出版物（ＰＲＯ／Ｅ、ＵＧ等）都在使用笛卡尔坐标系下的式（３）所描述的表达式来创建渐开线。这是误区之一。
１．２锥齿轮三维设计的理论基础直齿锥齿轮是锥齿轮中最简单的，因此要研究锥齿轮的数字化建模，首先要从直齿锥齿轮谈
起。直齿锥齿轮主要用于垂直相交的两轴之间的传动。一对标准直齿锥齿轮传动时，两轮的分度圆锥与各自的节圆锥重合。由于锥齿轮的轮齿分布在锥面上，所以轮齿的一端大，另一端小，沿齿宽方向上的轮齿大小均不相同，故轮齿全长上的模数、齿高、齿宽等都不相同。所以锥齿轮齿廓的模型不能像标准圆柱直齿轮那样简单地采用拉伸来创建。但其齿形仍是以标准圆柱直齿轮的渐开线齿形轮廓为基础来设计的。图３所示为一对锥齿轮啮合的剖面图，作圆锥０．Ｃ。Ｃ和０：Ｃ：Ｃ使之分别在两轮节圆锥处与两轮的大端锥面相切，切点分别为Ｃ。、Ｃ和Ｃ：。则这两个圆锥称为背锥。将两轮的球面渐开线ａｂ和ｅｆ艄ｌＪ投
影到各自的背锥上，得到在背锥上的渐开线ａ～ｂ和ｅ。ｆｔ，由该图可知投影出来的齿形与原齿形非常相似且接近，因此可以用背锥上的齿形代替圆锥齿轮的球面渐开线。然而绝大多数齿轮设计人员不明白这个道理。有些ＣＡＤ设计人员竟然在锥台的顶面和底面上构建齿廓截面，然后采用“混合、减料”形成齿槽。这是误区之二。２直齿锥齿轮三维设计根据上述分析，我们可以获得直齿圆锥齿轮的建模方案：即把一对标准直齿锥齿轮传动看成是在大端面的背锥上的一对当量齿轮在传动，并规定大端面的参数为直齿圆锥齿轮的标准参数，其基本尺寸计算也在大端面上进行。仍然遗憾的是：不少齿轮设计人员不知晓当量齿轮的概念。这是误区之三。
第３３卷第２期２０１１—２（上）１１３５１万方数据当量齿轮是这样定义的：将背锥展开成平面后，可以得到两个扇形齿轮（如图３所示）．其齿敬为锥齿轮的齿敬ｚ，将扇形的缺口补垒（齿数增加）使之成为完整的圆柱齿轮．这个齿轮称为锥齿轮的当量齿轮．其齿形近似于直齿圆锥齿轮大端面的齿形。当量齿轮的分度圆半径ｒ，等于背锥锥距：ｒ。＝ｒ／ｃｏｓ８；锥齿轮当量齿轮的齿敦为：Ｚｖ＝ｚ／ｃｏｓＳ（８为分度圆锥角），显
然，当量齿轮的齿数往往是一个实型教而非整数。这样．就可以缘处理标准圆柱齿轮那样分别在锥齿轮的大螭面和小端面上创建渐开线齿廓藏面，ｊ｝！；后采用“扫描混台”方法生成锥齿
轮的齿槽。
圈３锥齿轮啮台原理亚当量齿轮由式（２）根容易得到柱坐标系下当量齿轮渐开线创建方法：在图４ａ的记事奉中使用的是圆锥齿轮大端当量齿轮的参数，如齿敬为５２３０３，
ｎ＝Ｐ５０，印式（２）中的ａ。。所得到的渐开线如图４ａ所示。由所创建的新开线可以绘制大端当量齿轮齿槽截面和小端当量齿轮齿槽截面如图４ｂ所示。进而采用“混台”操作创建锥面齿槽，阵列后获樽点齿锥齿轮全部齿廓如图５所示。
［１３６１第３３卷第塌２０１１—２（上）
囤５“混合”操作获耨齿措宴体并阵刊生成全韶齿廓３Ｇｌｅａｓｏｎ弧齿锥齿轮的三维设计
弧齿锥齿轮传动平稳，噪声低。承载能力高于直齿锥齿轮：便于控制和调整齿面接触区．且对误差和变形不太敏感．常用于圆周速度ｕ＞５ｒｄｓ的相盘轴（通常为９０。）之间的动力和运动传动，具有传递扭矩大、传递运动精确、可靠性高的特点。由于其承载能力大、传动平稳、噪声小、结构紧凑等优点，是航空（发动机）、造船（发动机）、汽车（差速器）、能源、装备、国防等部门产品的关键零件，因此弧齿锥齿轮生产在现代化机械制造业中占有十分重受的地位。
图６菇齿锥齿轮的齿形与主要设计参数弧齿锥齿轮的齿形如图６ａ所示。它是一种节锥齿线为曲线的锥齿轮，其齿形是齿廓曲线沿分度圆锥面上的一条螺旋线扫描而形成的。该螺旋线过分度圆锥面齿线上任一点的切线与分度圆锥母线之间的夹角称为螺旋角Ｂ，在设计和制造时．通常把这一点设置在分度圆锥面齿宽中点处．因
图象Ｏ万方数据此，叉称其为齿宽中点螺旋线：螺旋的方向按下面的方法确定：面对齿轮顶锥面，自齿宽中点到大端，齿线的旋向为顺时针方向为右旋齿轮，齿线的旋向为逆时针方向为左旋齿轮。一对相互啮台的螺旋弧齿锥齿轮的螺旋方向按主动轮转向确定，若主动轮为右旋．则被动轮必为左旋．反之亦然。美国Ｇｉｅ拈ｏｎ公司（格利森）是生产弧齿锥齿轮铣齿机的著名厂家，它制定了“格利森翩”的弧齿锥齿轮标准。“格利森制”弧齿锥齿轮的几何设计、强度计算和切齿调整计算法被各国广泛采用。我国目前尚未制定弧齿锥齿轮的基本齿廓标准，国内有关生产企业多措用“格和森制”。本文所设计的格利森制弧齿锥齿轮的主要参教如下（如图６ｂ所示）。１）齿教：车４６２）祛向压力角：ａ＝２０。３）大端端面模数：ｍ。＝５ｍｍ４）齿宽中点螺旋角：Ｂ－３５。，螺旋方向：右旋５）大墙分度圆直径：ｄ＝玑Ｘｚ口＝２３０ｍｍ６）分度圆锥角６＝７１９３９５。７）齿顶圆锥角：６产７３５７２０。８）齿根圆锥角：６，＝６８６５９２。９）锥距：Ｒ＝扎ＸＺ４ｓｉ惦／２＝１２０９５９７ｍｍ１０）齿宽：取ｂ＝０２５Ｒ＝３０ｒｎｍ（取整）１１）当量齿轮齿教：乙＝ＺＪｃｏｓ（８）＝１４８３７７０１２）大端当量齿轮分度删直径：ｄｒ＝吨×Ｚ。＝７４ｌ８８５ｒａｍ１３）大端当量齿轮基圆直径｛ｄ萨ｄ∥Ｘｃｏｓ缸０１４）齿顶高系数：ｃ＋＝ｎ８５１５）顶隙系数：ｈ＋＝０１８８（等顶隙收缩齿）１６）当量齿轮端面压力角：ｃｈ＝ａｒｃｔａｎ（ｔａｎ“），ｃｏｓｍ））＝２３９５６８。１７）大端当量齿轮齿顶圆直径：ｄ。。＝ｄ。＋２ｘ皿Ｘｃ＊＝７５０３８５ｍｍ１８）大端当量齿轮齿根圆直径：ｄｒ＝ｄｒ－２×札×ｆｌ＋ｈ＋ｋ７３０００５ｒ衄１９）小端端面模散：ｍ。＝ｍｔｘ（Ｒ—ｂ）／Ｒ＝３７１８６ｍｍ（取ｂ＝３１进行计算）２０）小端当量齿轮分度圆直径；也。＝ｍ。ｘｚ。＝５５Ｉ７５４７ｒａｍ２１）小端当量齿轮齿顶圆直径：ｄ。．－ｄ。，＋２ｘｍ．Ｘｃ｛＝５５８０７６３ｍｍ２２）小端当量齿轮齿根圆直径：ｄ，Ｆｄ旷２×ｍｍ×ｒ１＋ｈ＋ｋ５４２９１９３ｍｉｌｌ弧齿锥齿轮的设计与直齿锥齿轮的设计方癌相似，也须从当量齿轮做起。不同之处是弧齿锥齿轮的大小端齿槽截面的位置与齿宽中点螺旋线有关；在记事本中描述新开线的柱坐标方程时须用当量齿轮端面压力角２３９５６８。代替标准压力角２０４。按照上进鑫数设计的弧齿锥齿轮大、小端
齿槽截面如图７所示。（、妒熟
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