三年高考(2017-2019)文数真题分项版解析——专题15 概率与统计(解答题)(解析版)

{ }专题 01 集合与常用逻辑用语1 ．【 2019 年高考全国Ⅰ卷文数】已知集合 U = {1,2,3,4,5,6,7 }，A = {2,3,4,5 }，B = {2,3,6,7 }，则B ð A =UA ． {1,6}C ． {6,7}B ． {1,7}D ． {1,6,7}【答案】C【解析】由已知得 ð A = {1,6,7 }，U所以 B ð A = {6,7} .U故选 C ．【名师点睛】本题主要考查交集、补集的运算，根据交集、补集的定义即可求解.2．【2019 年高考全国Ⅱ卷文数】已知集合 A={x | x > -1} ， B = {x | x < 2}，则 A ∩B =A ．(-1，+∞)C ．(-1，2)B ．(-∞，2)D ． ∅【答案】C【解析】由题知， AB = (-1,2) .故选 C ．【名师点睛】本题主要考查交集运算，是容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．易错点是理解集合的概念及交集概念有误，不能借助数轴解题．3．【2019 年高考全国Ⅲ卷文数】已知集合 A = {-1,0,1,2}, B = {x | x 2 ≤ 1} ，则 AB =A ． {-1,0,1}C ． {-1,1}B ． {0,1}D ． {0,1,2}【答案】A【解析】∵ x 2 ≤ 1,∴ -1 ≤ x ≤ 1 ，∴ B = x-1 ≤ x ≤ 1 ，又 A = {-1,0,1,2} ，∴ A故选 A ．B = {-1,0,1}.1【解析】∵ ðU A = { - 1,3} ，∴ ð A【【名师点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题.4．【2019 年高考北京文数】已知集合 A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，则 A ∪B =A ．（–1，1）C ．（–1，+∞）B ．（1，2）D ．（1，+∞）【答案】C【解析】∵ A = {x | -1 < x < 2}, B = {x |> 1} ，∴ A B = (-1,+∞) .故选 C.【名师点睛】本题考查并集的求法，属于基础题.5．【2019 年高考浙江】已知全集U = {-1,0,1,2,3 }，集合 A = {0,1,2}， B = {-1,0,1}，则 (ð A) UB =A ． {-1}C ． {-1,2,3}【答案】AB ． {0,1}D ． {-1,0,1,3}( )UB = {-1} .故选 A.【名师点睛】注意理解补集、交集的运算.6． 2019 年高考天津文数】设集合 A = {-1,1,2,3,5}, B = {2,3,4}, C = {x ∈ R |1 ≤ x < 3}，则 ( AC ) B =A ． {2}C ． {-1,2,3}【答案】D【解析】因为 A B ． {2,3}D ． {1,2,3,4 }C = {1,2} ，所以 ( A C ) B = {1,2,3,4} .故选 D .【名师点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．7．【2019 年高考天津文数】设 x ∈ R ，则“ 0 < x < 5 ”是“ | x - 1| < 1 ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件2C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由|x-1|<1可得0<x<2，易知由0<x<5推不出0<x<2，由0<x<2能推出0<x<5，故0<x<5是0<x<2的必要而不充分条件，即“0<x<5”是“|x-1|<1”的必要而不充分条件.故选B.【名师点睛】本题考查充分必要条件，解题的关键是由所给的不等式得到x的取值范围. 8．【2019年高考浙江】若a>0，b>0，则“a+b≤4”是“ab≤4”的A．充分不必要条件C．充分必要条件B．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当a>0,b>0时，a+b≥2ab，则当a+b≤4时，有2ab≤a+b≤4，解得a b≤4，充分性成立；当a=1,b=4时，满足ab≤4，但此时a+b=5>4，必要性不成立，综上所述，“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件.故选A.【名师点睛】易出现的错误：一是基本不等式掌握不熟练，导致判断失误；二是不能灵活地应用“赋值法”，通过取a,b的特殊值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.9．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是A．α内有无数条直线与β平行C．α，β平行于同一条直线B．α内有两条相交直线与β平行D．α，β垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：α内有两条相交直线都与β平行是α∥β的充分条件；由面面平行的性质定理知，若α∥β，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内有两条相交直线都与β平行是α∥β的必要条件.31 1故 α∥β 的充要条件是 α 内有两条相交直线与 β 平行.故选 B ．【名师点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行的判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断.10．【2019 年高考北京文数】设函数 f （x ）=cosx +b sinx （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的A ．充分而不必要条件C ．充分必要条件B ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当 b = 0 时， f ( x ) = cos x + b sin x = cos x ， f ( x ) 为偶函数；当 f ( x ) 为偶函数时， f (- x ) = f ( x ) 对任意的 x 恒成立，由 f (- x ) = cos(- x ) + b sin(- x ) = cos x - b sin x ，得 cos x + b sin x = cos x - b sin x ，则 b sinx = 0 对任意的 x 恒成立，从而 b = 0 .故“ b = 0 ”是“ f ( x ) 为偶函数”的充分必要条件.故选 C.【名师点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.11．【2018 年高考浙江】已知全集 U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则UA =A ． ∅C ．{2，4，5}B ．{1，3}D ．{1，2，3，4，5}【答案】C【解析】因为全集，，所以根据补集的定义得.故选 C ．【名师点睛】若集合的元素已知，则求集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定义求解．12．【2018 年高考全国Ⅰ卷文数】已知集合 A = {0 ，2}， B = {-2 ，- 1，0 ， ，2}，则 AA ． {0 ，2}B ． { ，2}4B =1C．{0}D．{-2，-1，0，，2}【答案】A【解析】根据集合的交集中元素的特征，可以求得.故选A.【名师点睛】该题考查的是有关集合的运算问题，在解题的过程中，需要明确交集中元素的特征，从而求得结果.13．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】已知集合A={1,3,5,7}，B={2,3,4,5}，则A B=A．{3} C．{3,5}B．{5} D．{1,2,3,4,5,7}【答案】C【解析】,.故选C.【名师点睛】集合题是每年高考的必考内容，一般以客观题的形式出现，解决此类问题时要先将参与运算的集合化为最简形式，如果是“离散型”集合可采用V enn图法解决，若是“连续型”集合则可借助不等式进行运算.14．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】已知集合A={x|x-1≥0}，B={0,1,2}，则A B=A．{0}C．{1,2}【答案】C【解析】易得集合A={x|x≥1},所以AB．{1}D．{0,1,2} B={1,2}.故选C.【名师点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题.15．【2018年高考北京文数】已知集合A={x||x|<2}，B={–2，0，1，2}，则A B=A．{0，1}C．{–2，0，1，2}【答案】A【解析】，，因此A B=.B．{–1，0，1}D．{–1，0，1，2}5(.故选 A.【名师点睛】解决集合问题时，认清集合中元素的属性是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求 解的两个先决条件.16 ．【 2018 年高考天津文数】设集合A = {1, 2, 3, 4}，B = {-1,0,2,3} ，C = {x ∈ R | -1 ≤ x < 2} ，则( A B) C =A ．{ - 1,1}C ．{ - 1,0,1}B ．{0,1}D ．{2,3,4}【答案】C【解析】由并集的定义可得：，结合交集的定义可知：.故选 C.【名师点睛】本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力17．【2018 年高考浙江】已知平面 α，直线 m ，n 满足 m ⊄ α，n ⊂ α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的A ．充分不必要条件C ．充分必要条件B ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为，所以根据线面平行的判定定理得 .由不能得出 与 内任一直线平行，所以是的充分不必要条件.故选 A.【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法：（1）定义法：直接判断“若 则 ”、“若 则 ”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则 是 的充分条件．（2）等价法：利用⇒ 与非⇒ 非 ，⇒ 与非⇒ 非 ，⇔ 与非⇔ 非 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．（3）集合法：若⊆，则 是 的充分条件或 是 的必要条件；若 ＝ ，则 是 的充要条件．18．【2018 年高考天津文数】设 x ∈ R ，则“ x 3 > 8 ”是“ |x |> 2 ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件6.A．A B=⎨x|x<2⎭C．A B=⎨x|x<⎩D．A 2⎭C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】求解不等式可得，求解绝对值不等式可得或，据此可知：“”是“”的充分而不必要条件.故选A.【名师点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法、充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．【2018年高考北京文数】设a,b,c,d是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的A．充分而不必要条件C．充分必要条件B．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当时，不成等比数列，所以不是充分条件；当成等比数列时，则，所以是必要条件.综上所述，“”是“成等比数列”的必要不充分条件.故选B.【名师点睛】此题主要考查充分必要条件，实质是判断命题“⇒”以及“⇒”的真假.判断一个命题为真命题，要给出理论依据、推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例即可，或者当一个命题正面很难判断真假时，可利用原命题与逆否命题同真同假的特点转化问题20．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】已知集合A={x|x<2}，B={x|3-2x>0}，则⎧⎩3⎫⎬B．A B=∅【答案】A ⎧3⎫⎬B=R【解析】由3-2x>0得x<32，33所以A B={x|x<2}{x|x<}={x|x<}.22故选A．71 2， 3 4 123 ，4 22．【2017 年高考北京文数】已知全集U = R ，集合 A = {x | x < -2或x > 2}，则 ð A ={ }【解析】因为 A = {x x < -2 或 x > 2}，所以 ð A = x -2 ≤ x ≤ 2 .【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理．21．【2017 年高考全国Ⅱ卷文数】设集合 A = {1,2,3}, B = {2,3,4} ，则 AB =A ． {，3,4}C ． {2，，}【答案】AB ． {，，}D ． {13，}【解析】由题意 AB = {1,2,3,4} .故选 A.【名师点睛】集合的基本运算的关注点：（1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．（3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和 V enn 图．UA ． (-2,2)C ． [-2,2] B ． (-∞, -2) (2, +∞)D ． (-∞, -2] [2, +∞)【答案】CU故选 C.【名师点睛】集合分为有限集合和无限集合，若集合个数比较少时可以用列举法表示；若集合是无限集合就用描述法表示，并注意代表元素是什么.集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.23．【2017 年高考全国Ⅲ卷文数】已知集合 A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则 AB 中元素的个数为A ．1C ．3【答案】BB ．2D ．4【解析】由题意可得 AB = {2,4}，故 A B 中元素的个数为 2.8( .x x - 1 < 1N则所以选 B.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性 是点集、数集或其他情形)和化简集合，这 是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性24．【2017 年高考天津文数】设集合 A = {1,2,6}, B = {2,4}, C = {1,2,3,4} ，则 ( AB) C =A ．{2}C ．{1,2,4,6}【答案】BB ．{1,2,4}D ．{1,2,3,4,6}【解析】由题意可得 AB = {1,2,4,6 }，所以 ( A B) C = {1,2,4 }．故选 B ．【名师点睛】集合分为有限集合和无限集合，若集合个数比较少时可以用列举法表示，若集合是无限集合就用描述法表示，注意代表元素是什么，集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理．25．【2017 年高考浙江】已知集合 P = {x | -1 < x < 1} ， Q = {0 < x < 2} ，那么 PQ =A ． (-1,2)C ． (-1,0) 【答案】A【解析】利用数轴，取 P , Q 中的所有元素，得 PB ． (0,1)D ． (1,2)Q = (-1,2) ．故选 A.【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理．26．【2017 年高考山东文数】设集合 M ={}， = {x x < 2}， MN =A ． (-1,1)C ． (0,2 )【答案】C【解析】由 | x - 1| < 1 得 0 < x < 2 ,B ． (-1,2 )D ． (1,2 )9故 MN ={x | 0 < x < 2} {x | x < 2} = {x | 0 < x < 2} .故选 C.【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题,应先把集合化简再计算,对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化；对已知连续数集间的关系,求其中参数的取值范围时,要注意单独考察等号能否取到,对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借助 V enn 图．27．【2017 年高考浙江】已知等差数列{a n }的公差为 d ，前 n 项和为 S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的A ．充分不必要条件C ．充分必要条件B ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由 S + S - 2S = 10a + 21d - 2(5a + 10 d ) = d ，46 5 1 1可知当 d > 0 时，有 S + S - 2S > 0 ，即 S + S > 2S ，46 5 4 6 5反之，若 S + S > 2S ，则 d > 0 ，465所以“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的充分必要条件.故选 C ．【名师点睛】本题考查等差数列的前 n 项和公式，通过套入公式与简单运算，可知 S + S - 2S = d ，465结合充分必要性的判断，若 p ⇒ q ，则 p 是 q 的充分条件，若 p ⇐ q ，则 p 是 q 的必要条件，该题“ d > 0 ” ⇔ “ S + S - 2S > 0 ”，故互为充要条件．46528．【2017 年高考北京文数】设 m ,n 为非零向量，则“存在负数 λ ，使得 m = λ n ”是“ m ⋅ n < 0 ”的A ．充分而不必要条件C ．充分必要条件B ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若 ∃λ < 0 ，使 m = λn ，则两向量 m ,n 反向，夹角是180︒ ，那么 m ⋅ n = m n cos180︒ = - m n < 0 ；若 m ⋅ n < 0 ，那么两向量的夹角为 ( 90︒,180︒] ，并不一定反向，即不一定存在负数 λ ，使得 m = λn ，所以是充分而不必要条件.故选 A.10{ } { } / / /【名师点睛】本题考查平面向量的知识及充分必要条件的判断，若 p ⇒ q ，则 p 是 q 的充分条件，若 p ⇐ q ，则 p 是 q 的必要条件.29．【2017 年高考山东文数】已知命题 p ： ∃x ∈ R, x 2 - x + 1 ≥ 0 ;命题 q ：若 a 2 < b 2 ,则 a <b .下列命题为真命题的是A ． p ∧ qC ． ⌝p ∧ qB ． p ∧⌝ q D ． ⌝p ∧⌝ q【答案】B【解析】由 x = 0 时， x 2 - x + 1 ≥ 0 成立知 p 是真命题；由12 < (-2)2 ,1 > -2 可知 q 是假命题,所以 p ∧⌝ q 是真命题.故选 B.【名师点睛】判断一个命题为真命题,要给出推理与证明；判断一个命题是假命题,只需举出反例．根据“原命题与逆否命题同真同假 ,逆命题与否命题同真同假 ”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时 ,可转化为判断其等价命题的真假．30．【2017 年高考天津文数】设 x ∈ R ，则“ 2 - x ≥ 0 ”是“ | x -1|≤ 1”的A ．充分而不必要条件C ．充要条件B ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由 2 - x ≥ 0 ，可得 x ≤ 2 ，由 | x -1|≤ 1，可得 -1 ≤ x - 1 ≤ 1 ，即 0 ≤ x ≤ 2 ，因为 x 0 ≤ x ≤ 2 ⊂ x x ≤ 2 ，所以“ 2 - x ≥ 0 ”是“ | x -1|≤ 1”的必要而不充分条件.故选 B ．【名师点睛】判断充要关系的的方法：①根据定义，若 p ⇒ q , q ⇒ p ，那么 p 是 q 的充分而不必要条件，同时 q 是 p 的必要而不充分条件，若 p ⇔ q ，那么 p 是 q 的充要条件，若 p ⇒ q , q ⇒ p ，那那么 p 是 q 的既不充分也不必要条件；11. (②当命题是以集合的形式给出时，那就看包含关系，若 p : x ∈ A ， q : x ∈ B ，若 A 是 B 的真子集，那么 p 是 q 的充分而不必要条件，同时 q 是 p 的必要而不充分条件，若 A = B ，那么 p 是 q 的充要条件，若没有包含关系，那么 p 是 q 的既不充分也不必要条件；③命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将“p 是 q ”的关系转化为“⌝q 是 ⌝p ”的关系进行判断．31．【2019 年高考江苏】已知集合 A = {-1,0,1,6} ， B = {x | x > 0, x ∈ R } ，则 A【答案】{1,6}【解析】由题意利用交集的定义求解交集即可.B = ▲ .由题意知， AB = {1,6} .【名师点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题.32．【2018 年高考江苏】已知集合， ，那么 ________．【答案】{1，8}【解析】由题设和交集的定义可知：.【名师点睛】本题考查交集及其运算，考查基础知识，难度较小33．【2017 年高考江苏】已知集合 A = {1,2} ， B = {a, a 2 + 3}，若 AB = {1} ，则实数 a 的值为 ▲ ．【答案】1【解析】由题意1∈ B ，显然 a 2 + 3 ≥ 3 ，所以 a = 1 ，此时 a 2 + 3 = 4 ，满足题意.故答案为 1．【名师点睛】（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．（3）防范空集．在解决有关A虑 ∅ 时是否成立，以防漏解． B = ∅, A ⊆ B 等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考34．【2018 年高考北京文数】能说明“若 a ﹥b ，则 【答案】 ，（答案不唯一）121 1 < ”为假命题的一组 a ，b 的值依次为_________. a b.【解析】使“若，则 ”为假命题，则使“若 ，则 ”为真命题即可，只需取即可满足， 所以满足条件的一组的值为 （答案不唯一）. 【名师点睛】此题考查不等式的运算，解决本题的关键在于对原命题与命题的否定真假关系的灵活转换，对不等式性质及其等价变形的充分理解，只要多取几组数值，解决本题并不困难35．【2017 年高考北京文数】能够说明“设 a ，b ，c 是任意实数．若 a >b >c ，则 a +b >c ”是假命题的一组整数a,b ,c 的值依次为______________________________．【答案】-1，-2，-3（答案不唯一）【解析】 -1 > -2 > -3, -1 + (-2) = -3 > -3 ，矛盾，所以−1，−2，−3 可验证该命题是假命题.【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证，答案不唯一．13。

专题12数列1．【2019年高考全国III 卷文数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a = A ．16 B ．8C ．4D ．2【答案】C【解析】设正数的等比数列｛a n ｝的公比为q ，则231111421111534a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩， 解得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==，故选C ．【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键. 2．【2019年高考浙江卷】设a ，b ∈R ，数列{a n }满足a 1=a ，a n +1=a n 2+b ，n *∈N ，则A ．当101,102b a => B ．当101,104b a => C ．当102,10b a =-> D ．当104,10b a =->【答案】A【解析】①当b =0时,取a =0，则0,n a n *=∈N 。

②当<0b 时，令2x x b =+，即20x x b -+=.则该方程140b ∆=->，即必存在0x ，使得2000x x b -+=， 则一定存在10 ==a a x ，使得21n n n a a b a +=+=对任意n *∈N 成立，解方程20a a b -+=，得12a =，10≤时，即90b -时,总存在a =，使得121010a a a ==⋯=≤， 故C 、D 两项均不正确.③当0b >时，221a a b b =+≥，则2232a a b b b =+≥+,()22243a a bbb b =+++。

(ⅰ）当12b =时,22451111711,1222162a a ⎡⎤⎛⎫++=>>+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦≥，则26111112224a ⎛⎫>++=> ⎪⎝⎭，2719222a >+=， 28918310224a ⎛⎫>+=> ⎪⎝⎭，则2981102a a =+>, 21091102a a =+>， 故A 项正确.（ⅱ)当14b =时,令1==0a a ，则2231111,4442a a ⎛⎫==+< ⎪⎝⎭，所以224311114242a a ⎛⎫=+<+= ⎪⎝⎭,以此类推，所以2210911114242a a ⎛⎫=+<+= ⎪⎝⎭，故B 项不正确. 故本题正确答案为A.【名师点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a 的可能取值，利用“排除法”求解。

授课资料范本三年高考高考数学真题分项汇编专题14概率与统计（选择题、填空题）文含分析编辑： __________________时间： __________________专题 14 概率与统计（选择题、填空题）1．【 2019 年高考全国Ⅲ卷文数】《西游》《三国演》《水》和《楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称中国古典小四大名著．某中学认识本校学生四大名著的情况，随机了100 位学生，其中《西游》或《楼梦》的学生共有90 位，《楼梦》的学生共有80 位，《西游》且《楼梦》的学生共有60位，校《西游》的学生人数与校学生数比的估A．B．C．D．【答案】 C【分析】由意得，《西游》的学生人数90-80+60=70，其与校学生人数之比70÷．故 C．【名点睛】本考抽数据的，浸透了数据理和数学运算涵养．采用去重法，利用化与化思想解．2．【 2019 年高考全国Ⅰ卷文数】某学校认识 1 000 名再生的身体素，将些学生号1， 2，⋯， 1 000 ，从些再生中用系抽方法等距抽取100 名学生行体．若 46 号学生被抽到，下面 4 名学生中被抽到的是A．8 号学生B． 200 号学生C．616 号学生D． 815 号学生【答案】 C【分析】由已知将 1000 名学生分成 100 个，每 10 名学生，用系抽，46 号学生被抽到，因此第一抽到 6 号，且每抽到的学生号构成等差数列{ a n } ，公差d 10，因此a n 6 10n (n N)，若861 n0 ，解得 n 1610n ，解得，不合意；若2005n 1 9. 4，不合意；若 616610n ， n61，吻合意；若 815 610n， n 80.9 ，不合意．故 C．3．【 2019 年高考全国Ⅱ卷文数】生物室有 5 只兔子，其中只有 3 只量某指，若从 5 只兔子中随机取出 3 只，恰有 2 只量指的概率A．2B．3 35C．2D．1 55【答案】 B【分析】第一用列举法写出全部基本事件，从中确定吻合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式即可求解．【分析】设其中做过测试的 3 只兔子为a, b, c，节余的 2 只为A,B，则从这5只中任取3只的所有取法有{ a, b, c},{ a,b, A},{ a, b, B},{ a, c, A},{ a,c, B},{ a, A, B},{b, c, A} ， { b, c, B},{ b, A, B},{ c, A, B} ，共10 种．其中恰有 2 只做过测试的取法有{ a,b, A},{ a,b, B},{ a, c, A},{ a,c, B}, { b, c, A},{ b, c, B}，共 6 种，63因此恰有 2 只做过测试的概率为，应选 B．105【名师点睛】本题主要观察古典概率的求解，题目较易，侧重了基础知识、基本计算能力的观察．应用列举法写出全部基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子注明字母，利用“树图法”，可最大限度的防备出错．4．【 2018 年高考全国Ⅰ卷文数】某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地认识该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比率，获取以下饼图：建设前经济收入构成比率建设后经济收入构成比率则下面结论中不正确的选项是A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和高出了经济收入的一半【答案】 A【分析】设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，则新农村建设前种植收入为，而新农村建设后的种植收入为，因此种植收入增加了，因此 A 项不正确；新农村建设前其他收入为，新农村建设后其他收入为，故增加了一倍以上，因此 B 项正确；新农村建设前，养殖收入为，新农村建设后为，因此增加了一倍，因此 C 项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的，因此高出了经济收入的一半，因此 D 正确；应选 A．5．【 2018 年高考全国Ⅱ卷文数】从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务，则选中的 2 人都是女同学的概率为A．．BC．．D【答案】 D【分析】设 2 名男同学为， 3 名女同学为，从以上 5 名同学中任选 2 人总合有，共 10 种可能，选中的 2 人都是女同学的情况共有，共 3 种可能，则选中的 2 人都是女同学的概率为，应选D．【名师点睛】应用古典概型求概率的步骤：第一步，判断本试验的结果可否为等可能事件，设出事件；第二步，分别求出基本事件的总数与所求事件中所包含的基本事件个数；第三步，利用公式求出事件的概率．6．【 2017 年高考全国Ⅰ卷文数】如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A．1B．π48C．1D．π24【答案】 B【分析】不如正方形 a ，由形的称性可知，太极中黑、白部分面相等，即各占面的一半．1π ( a )2由几何概型概率的算公式得，所求概率22π， B．a28【名点睛】于一个详尽可否用几何概型的概率公式算事件的概率，关在于能否将几何化，也可依照的详尽情况，取合适的参数建立合适的坐系，在此基上，将的每一果一一于坐系中的一点，使得全体果构成一个可胸襟的地区；别的，从几何概型的定可知，在几何概型中，“等可能”一理解于每个果的点落入某地区内的可能性大小，与地区的胸襟成正比，而与地区的地址、形状没关．7．【 2017 年高考全国Ⅰ卷文数】估一种作物的种植收效，了n 地作田． n 地的量（位： kg）分 x1，x2，⋯， x n，下面出的指中可以用来估种作物量定程度的是A．x1，x2，⋯， x n的平均数． x1，x2，⋯， x n的准差BC．x1，x2，⋯， x n的最大． x1，x2，⋯， x n的中位数D【答案】 B【分析】估种作物量定程度的指是准差或方差，故B．【名点睛】众数：一数据出次数最多的数叫众数，众数反响一数据的多数水平；中位数：一数据中的数（起到分水岭的作用），中位数反响一数据的中水平；平均数：反响一数据的平均水平；方差：反响一数据偏离平均数的程度，用来衡量一批数据的波大小（即批数据偏离平均数的大小）．在本容量相同的情况下，方差越大，明数据的波越大，越不定．准差是方差的算平方根，意在于反响一数据的失散程度．8．【 2017 年高考山卷文数】如所示的茎叶了甲、乙两各 5 名工人某日的量数据（位：件）．若两数据的中位数相等，且平均也相等，x 和 y 的分A．3，5B．5，5 C．3，7D．5，7【答案】 A【分析】由题意，甲组数据为56，62，65，70x ，，乙组数据为，，， 60y ，7459616778．要使两组数据的中位数相等，则6560y ，因此 y 5 ，又平均数相同，则56 62 65(70x)74 596167 6578，解得 x 3 ．应选 A．55【名师点睛】由茎叶图可以清楚地看到数据的分布情况，这一点同频率分布直方图类似．它优于频率分布直方图的第一点是从茎叶图中能看到原始数据，没有任何信息损失；第二点是茎叶图便于记录和表示．缺点是当样本容量较大时，作图较烦杂．利用茎叶图对样本进行估计时，要注意区分茎与叶，茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数．9．【 2017 年高考全国Ⅲ卷文数】某城市为认识游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了20xx 年 1 月至 20xx 年 12 月期间月款待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．依照该折线图，以下结论错误的选项是A．月款待游客量逐月增加B．年款待游客量逐年增加C．各年的月款待游客量巅峰期大体在7，8 月D．各年 1 月至 6 月的月款待游客量相关于7 月至 12 月，颠簸性更小，变化比较平稳【答案】 A【分析】由折线图，可知每年7 月到 8 月折线图呈下降趋势，月款待游客量减少， A 错误；折线图整体表现出增加的趋势，年款待游客量逐年增加， B 正确；每年的款待游客量7，8 月份达到最高点，即各年的月款待游客量巅峰期大体在7，8 月，C正确；每年 1 月至 6 月的月折线图平稳，月款待游客量颠簸性更小，7 月至 12 月折线图不平稳，月款待游客量颠簸性大，D正确．因此选 A．【名师点睛】用样本估计整体时统计图表主要有：（1）频率分布直方图，特点：频率分布直方图中各小长方形的面积等于对应区间的频率，全部小长方形的面积之和为 1；（2）频率分布折线图，连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就获取频率分布折线图；（3）茎叶图，关于统计图表类题目，最重要的是认真观察图表，从中提炼出适用的信息和数据．10．【 2017 年高考天津卷文数】有 5 支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这 5 支彩笔中任取2 支不相同颜色的彩笔，则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为A．4B．3 55C．2D．1 55【答案】 C【分析】采用两支彩笔的方法有：红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共 10 种，含有红色彩笔的选法有：红黄、红蓝、红绿、红紫，共 4 种，由古典概型的概率计算公式，可得所求概率42P．应选 C．105【名师点睛】本题主要观察古典概型及其概率计算，属于基础题．解题时要正确理解题意，先要判断该概率模型可否是古典概型，尔后找出随机事件 A 包含的基本事件的个数n( A)和试验中基本事件的总数，代入公式P即可得解．n( )11．【 2017 年高考全国Ⅱ卷文数】从分别写有1，2，3，4，5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为A．1B．1 105C．3D．2 105【答案】 D【分析】以下表所示，表中的点的横坐标表示第一次取到的数，纵坐标表示第二次取到的数：12345 1（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）2（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）3（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）4（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）5（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）总计有 25 种情况，满足条件的有10 种．因此所求概率为102 ．255【名师点睛】古典概型中基本事件数的研究方法：（1）列举法；（2）树状图法：合适于较为复杂的问题中的基本事件的研究．关于基本事件有“有序”与“无序”区其他题目，常采用树状图法；（3）列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，经过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目详尽化．12．【 2019 年高考全国Ⅱ卷文数】我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10 个车次的正点率为0.97 ，有 20 个车次的正点率为0.98 ，有 10 个车次的正点率为，则经停该站高铁列车全部车次的平均正点率的估计值为______________．【答案】【分析】本题观察经过统计数据进行概率的估计，采用估计法，利用概率思想解题．【分析】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为102010，其中高铁个数为 10 20 10 40，因此该站全部高铁平均正点率约为0.98 ．40【名师点睛】本题观察了概率统计，浸透了数据办理和数学运算涵养，重视统计数据的概率估计，难度不大．易忽视概率的估计值不是精确值而失误，依照分类抽样的统计数据，估计出正点列车数量与列车总数的比值．13．【 2018 年高考全国Ⅲ卷文数】公司有大量客户，且不相同年龄段客户对其服务的议论有较大差别．为认识客户的议论，该公司准备进行抽样检查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是______________．【答案】分层抽样【分析】由于从不相同年龄段客户中抽取，故采用分层抽样，故答案为：分层抽样．14 ．【 2019 年高考江苏卷】已知一组数据 6 ， 7 ， 8 ， 8， 9， 10，则该组数据的方差是______________．【答案】5367889108 ，【分析】由题意，该组数据的平均数为6因此该组数据的方差是1[(68)2(7 8)2(88)2(88)2(9 8)2(10 8)2 ] 5 ．6315．【 2018 年高考江苏卷】已知 5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图以下列图，那么这5 位裁判打出的分数的平均数为______________．【答案】 90【分析】由茎叶图可知， 5 位裁判打出的分数分别为，故平均数为898990919190 ．516．【 2018 年高考江苏卷】某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生，现从中任选 2 名学生去参加活动，则恰好选中 2 名女生的概率为 ______________．【答案】310【分析】从 5 名学生中抽取 2 名学生，共有 10 种方法，其中恰好选中 2 名女生的方法有3 种，因此所求概率为3．1017．【 2017 年高考江苏卷】记函数 f ( x)6x x2的定义域为 D ．在区间[ 4,5]上随机取一个数 x ，则x D 的概率是 ______________．【答案】59【分析】由 6 x x20 ，即 x2x 60，得2x 3 ，依照几何概型的概率计算公式3( 2)5得 x D 的概率是( 4)．59【名师点睛】（ 1）当试验的结果构成的地区为长度、面积或体积等时，应试虑使用几何概型求解；（ 2）利用几何概型求概率时，要点是试验的全部结果构成的地区和事件发生的地区的搜寻，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的地区；（ 3）几何概型有两个特点：①无量性，②等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无量的，但它们所据有的地区都是有限的，因此可用“比率解法”求解．18．【 2017 年高考江苏卷】某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不相同型号的产品，产量分别为200，400，300， 100 件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上全部的产品中抽取 60 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取______________件．【答案】 18【分析】应从丙种型号的产品中抽取6030018 件，故答案为．100018【名师点睛】在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与整体的个体数之比，即 n i∶N i＝n∶N．。

专题17 概率与统计综合【母题来源一】【2019年高考全国Ⅰ卷文数】某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++．【答案】（1）男、女顾客对该商场服务满意的概率的估计值分别为0.8，0.6；（2）有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．【解析】（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为400.8 50=，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8．女顾客中对该商场服务满意的比率为300.650=，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6．（2）由题可得22100(40203010)4.76250507030K⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯．由于4.762 3.841>，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．【母题来源二】【2018年高考全国Ⅰ卷文数】某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[)00.1，[)0.10.2，[)0.20.3，[)0.30.4，[)0.40.5，[)0.50.6，[)0.60.7，频数13249265使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[)00.1，[)0.10.2，[)0.20.3，[)0.30.4，[)0.40.5，[)0.50.6，频数151310165（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）【答案】（1）见解析；（2）0.48；（3）347.45m．【解析】（1）频率分布直方图如下:（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m 3的频率为 0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48，因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35m 3的概率的估计值为0.48． （3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为11(0.0510.1530.2520.3540.4590.55260.655)0.4850x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为21(0.0510.1550.25130.35100.45160.555)0.3550x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 估计使用节水龙头后，一年可节省水3(0.480.35)36547.45(m )-⨯=．【母题来源三】【2017年高考全国Ⅰ卷文数】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212s ==≈，18.439≈，161()(8.5) 2.78i i x x i =--=-∑，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅．（1）求(,)i x i (1,2,,16)i =⋅⋅⋅的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若||0.25r <，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)x s x s -+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （Ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？（Ⅰ）在(3,3)x s x s -+之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）附：样本(,)i i x y (1,2,,)i n =⋅⋅⋅的相关系数()()niix x y y r --=∑，0.09≈．【答案】（1）18.0-≈r ，可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小；（2）（Ⅰ）需对当天的生产过程进行检查；（Ⅰ）均值与标准差的估计值分别为10.02，0.09．【分析】（1）依公式求r ；（2）（i ）由9.97,0.212x s =≈，得抽取的第13个零件的尺寸在(3,3)x s x s -+以外，因此需对当天的生产过程进行检查；（ii ）剔除第13个数据，则均值的估计值为10.02，方差为0.09． 【解析】（1）由样本数据得(,)(1,2,,16)i x i i =的相关系数为16()(8.5)0.18ix x i r --==≈-∑．由于||0.25r <，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小．（2）（i ）由于9.97,0.212x s =≈，由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(3,3)x s x s -+以外， 因此需对当天的生产过程进行检查．（ii ）剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为1(169.979.22)10.0215⨯-=， 这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02．162221160.212169.971591.134ii x==⨯+⨯≈∑，剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为221(1591.1349.221510.02)0.00815--⨯≈，0.09≈．【名师点睛】解答新颖的数学题时，一是通过转化，化“新”为“旧”；二是通过深入分析，多方联想，以“旧”攻“新”；三是创造性地运用数学思想方法，以“新”制“新”，应特别关注创新题型的切入点和生长点．【命题意图】（1）了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及其简单应用，并能解决一些实际问题.（2）了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别.（3）会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.（4）会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想.（5）考查阅读理解能力、数据处理能力、运算求解能力，考查逻辑推理、数学建模、数学运算、数据分析等核心素养. 【命题规律】从近几年高考试题可以看出，本知识点越来越注重对试题的理解以及数学建模能力的考查，综合性强，多为古典概型与茎叶图、频率分布直方图、回归分析、独立性检验等交汇考查.解题的关键是认真读题，读懂题意，才能利用所学数学知识来解决. 【方法总结】（一）频率分布直方图的应用：（1）已知频率分布直方图中的部分数据，求其他数据．可根据频率分布直方图中的数据求出样本与整体的关系，利用频率和等于1就可求出其他数据．（2）已知频率分布直方图，求某种范围内的数据．可利用图形及某范围结合求解． （3）与概率有关的综合问题，可先求出频率，再利用古典概型等知识求解. （二）求回归直线方程的一般步骤：（1）作出散点图，依据问题所给的数据在平面直角坐标系中描点，观察点的分布是否呈条状分布，即是否在一条直线附近，从而判断两变量是否具有线性相关关系．（2）当两变量具有线性相关关系时，求回归系数ˆˆab 、，写出回归直线方程． （3）根据方程进行估计. （三）独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据列出22⨯列联表；（2）计算随机变量2K 的观测值k ，查表确定临界值k 0：（3）如果0k k ≥，就推断“X 与Y 有关系”，这种推断犯错误的概率不超过()20P K k ≥；否则，就认为在犯错误的概率不超过()20P K k ≥的前提下不能推断“X 与Y 有关系”．（四）求古典概型的基本步骤：（1）算出所有基本事件的个数n .（2）求出事件A 包含的所有基本事件数m .（3）代入公式()mP A n=，求出P (A )．1．【江西省南昌市江西师范大学附属中学2019届高三三模数学试题】为更好地落实农民工工资保证金制度，南方某市劳动保障部门调查了2018年下半年该市100名农民工（其中技术工、非技术工各50名）的月工资，得到这100名农民工月工资的中位数为39百元（假设这100名农民工的月工资均在[]25,55（百元）内）且月工资收入在[45,50)（百元）内的人数为15，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图：（1）求m ，n 的值；（2）已知这100名农民工中月工资高于平均数的技术工有31名，非技术工有19名，则能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关系？参考公式及数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）0.02m =，0.025n =；（2）不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关. 【解析】（1）月工资收入在[45,50)（百元）内的人数为15，∴月工资收入在[45,50)（百元）内的频率为：150.15100=； 由频率分布直方图得：()0.02240.0150.151m n +++⨯+=，化简得：20.07m n +=……①由中位数可得：()0.025********.5m n ⨯+⨯+⨯-=， 化简得：540.2m n +=……② 由①②解得：0.02m =，0.025n =. （2）根据题意得到列联表：()2210019193131 5.7610.82850505050K ⨯⨯-⨯∴==<⨯⨯⨯，∴不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关.【名师点睛】本题考查频率分布直方图中的频率和中位数的计算、独立性检验解决实际问题，考查基础运算能力，属于常规题型.（1）根据频数计算出月工资收入在[45,50)（百元）内的频率，利用频率总和为1和频率分布直方图估计中位数的方法可构造出关于,m n 的方程组，解方程组求得结果； （2）根据题意得到列联表，从而计算出2 5.7610.828K =<，从而得到结论. 2．【湖北省恩施州2019届高三2月教学质量检测数学试题】从甲、乙两班各随机抽取10名同学，下面的茎叶图记录了这20名同学在2018年高考语文作文的成绩（单位：分）.已知语文作文题目满分为60分，“分数36≥分，为及格；分数48≥分，为高分”，且抽取的甲、乙两班的10名同学作文平均分都是44分.（1）求,x y 的值；（2）若分别从甲、乙两班随机各抽取1名成绩为高分的学生，请列举出所有的基本事件；并求抽到的学生中，甲班学生成绩高于乙班学生成绩的概率. 【答案】（1）6x =，4y =；（2）见解析. 【解析】（1）因为甲班的平均数为44， 所以()1263242404246485052564410甲x x =⨯++++++++++=，解得6x =. 同理，因为乙班的平均数为44. 所以()1263430414246505257584410x y =++++++++++=乙，解得4y =. （2）甲班成绩为高分的学生成绩分别为48，50，52，56，共4人，乙班成绩为高分的学生成绩分别为50，52，57，58，共4人，记{},a b 表示从甲、乙两班随机各抽取1名学生的成绩，其中前一个数a 表示从甲班随机抽取1名学生的成绩，后一个数b 表示从乙班随机抽取1名学生的成绩. 从甲、乙两班随机各抽取1名成绩为高分的学生，共有4416⨯=种情况；其中，甲班学生成绩高于乙班学生成绩的有{}52,50，{}56,50，{}56,52，共3种， 故由古典概型得，抽到的学生中，甲班学生成绩高于乙班学生成绩的概率316P =. 【名师点睛】本题主要考查平均数的计算公式，以及列举法求古典概型的概率问题，熟记公式即可求解，属于基础题型.（1）由平均数的计算公式，结合题中数据即可求出结果；（2）用列举法列举“甲班学生成绩高于乙班学生成绩”所包含的基本事件，以及“分别从甲、乙两班随机各抽取1名成绩为高分的学生”所包含的基本事件总数，基本事件的个数比即是所求概率.3．【河北省示范性高中2019届高三下学期4月联考数学试题】某省确定从2021年开始，高考采用“312++”的模式，取消文理分科，即“3”包括语文、数学、外语，为必考科目；“1”表示从物理、历史中任选一门；“2则是从生物、化学、地理、政治中选择两门，共计六门考试科目.某高中从高一年级2000名学生（其中女生900人）中，采用分层抽样的方法抽取n 名学生进行调查.（1）已知抽取的n 名学生中含男生110人，求n 的值及抽取到的女生人数；（2）学校计划在高二上学期开设选修中的“物理”和“历史”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的n 名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目）.下表是根据调查结果得到的22⨯列联表，请将列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；（3）在（2）的条件下，从抽取的选择“物理”的学生中按分层抽样抽取6人，再从这6名学生中抽取2人，对“物理”的选课意向作深入了解，求2人中至少有1名女生的概率.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.2.706【答案】（1）200n =，90；（2）有99.5%的把握认为选择科目与性别有关，理由见解析；（3）35. 【解析】（1）因为11020001100n =， 所以200n =，女生人数为20011090-=. （2）列联表为：2K 的观测值()2200606050308.9997.8791109090110k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99.5%的把握认为选择科目与性别有关.（3）从90个选择物理的学生中采用分层抽样的方法抽6名，这6名学生中有4名男生，记为a ，b ，c ，d ；2名女生记为A ，B .抽取2人所有的情况为(),a b 、(),a c 、(),a d 、(),a A 、(),a B 、(),b c 、(),b d 、(),b A 、(),b B 、(),c d 、(),c A 、(),c B 、(),d A 、(),d B 、(),A B ，共15种，选取的2人中至少有1名女生情况的有(),a A 、(),a B 、(),b A 、(),b B 、(),c A 、(),c B 、(),d A 、(),d B 、(),A B ，共9种，故所求概率为93155P ==. 【名师点睛】本题考查分层抽样，填写列联表和求2K 的观测值，古典概型，属于基础题. （1）根据分层抽样的特点，求出n 的值和抽取到的女生的人数.（2）补全列联表，然后将相应的值代入到2K 公式中，得到结果，然后作出判断. （3）将所有情况列出，然后找到符合要求的情况，根据古典概型公式，求出概率. 4．【山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试数学试题】某机构为了了解不同年龄的人对一款智能家电的评价，随机选取了50名购买该家电的消费者，让他们根据实际使用体验进行评分.（1）设消费者的年龄为x ，对该款智能家电的评分为y .若根据统计数据，用最小二乘法得到y 关于x 的线性回归方程为 1.240y x =+，且年龄x 的方差为214.4x s =，评分y 的方差为222.5ys =.求y 与x 的相关系数r ，并据此判断对该款智能家电的评分与年龄的相关性强弱；（2）按照一定的标准，将50名消费者的年龄划分为“青年”和“中老年”，评分划分为“好评”和“差评”，整理得到如下数据，请判断是否有99%的把握认为对该智能家电的评价与年龄有关.附：线性回归直线y bx a =+的斜率121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑；相关系数()()niix x y y r --=∑，独立性检验中的22()()()()()n ad bc K a b a c b d c d -=++++，其中n a b c d =+++. 临界值表：【答案】（1）0.96r =，相关性较强；（2）有99%的把握认为对该智能家电的评价与年龄有关.【解析】（1）相关系数50()()iix x y y r --=∑()()()5015021i i i ii x x y y x x ==--=-∑∑12ˆ 1.20.9615b==⨯=. 故对该款智能家电的评分与年龄的相关性较强. （2）由列联表可得2250(862016)9.624 6.63524262822K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯.故有99%的把握认为对该智能家电的评价与年龄有关.【名师点睛】本题考查回归直线方程、独立性检验，考查推理论证能力、运算求解能力以及数据分析能力.（1）由r 的公式计算求解即可；（2）由列联表计算2K ，再对照表格判断即可.5．【江西省景德镇市2019届高三第二次质检数学试卷】某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可参加一次抽奖.随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该商场对前5天抽奖活动的人数进行统计，y 表示第x 天参加抽奖活动的人数，得到统计表如下：经过进一步统计分析，发现y 与x 具有线性相关关系.（1）若从这5天随机抽取两天，求至少有1天参加抽奖人数超过70的概率；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆybx a =+，并估计该活动持续7天，共有多少名顾客参加抽奖？参考公式及数据：552122111ˆˆ,,1200,55ni ii i i ini i ii x y nx ybay bx x y xxnx ====-==-==-∑∑∑∑.【答案】（1）710；（2）ˆ1236yx =+，588名. 【解析】（1）设第i 天的人数为()1,2,3,4,5i y i =，从这5天中随机抽取2天的情况为：()12,y y ，()13,y y ，()14,y y ，()15,y y ，()23,y y ，()24,y y ，()25,y y ，()34,y y ，()35,y y ，()45,y y ，共10种结果；这5天中只有第4，5天的人数超过70，至少有1天参加抽奖人数超过70的情况为：()14,y y ，()15,y y ，()24,y y ，()25,y y ，()34,y y ，()35,y y ，()45,y y ，共7种结果，则所求事件的概率为710P =. （2）依题意1234535x ++++==，50607080100725y ++++==， 5115026037048051001200i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，522222211234555ii x==++++=∑，21200537212553ˆ5b-⨯⨯∴==-⨯，721336ˆ2a =-⨯=，1236ˆyx ∴=+， 6x =时ˆ108y=，7x =时ˆ120y =， 则此次活动参加抽奖的人数约为50607080100108120588++++++=.∴线性回归方程为1236ˆyx =+，若该活动持续7天，共有588名顾客参加抽奖. 【名师点睛】本题考查古典概型，回归直线的求解与应用，仔细审题是解题的关键，属基础题.（1）列出5天中随机抽取2天的所有情况，共10种结果，选出满足条件的情况，代入公式，即可求解.（2）求出x ，y 的值，结合题中条件，求出ˆb ，代入即可求出回归直线方程1236ˆyx =+，并预测第6，7天参与抽奖的人数，即可求出总人数.6．【福建省2019届高三模拟考试数学试题】某中学为了组建一支业余足球队，在高一年级随机选取50名男生测量身高，发现被测男生的身高全部在160cm 到184cm 之间，将测量结果按如下方式分成六组：第1组[160,164)，第2组[164,168)，…，第6组[180,184]，如图是按上述分组得到的频率分布直方图，以频率近似概率.（1）若学校要从中选1名男生担任足球队长，求被选取的男生恰好在第5组或第6组的概率；（2）试估计该校高一年级全体男生身高的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）与中位数；（3）现在从第5组与第6组男生中选取两名同学担任守门员，求选取的两人中最多有1名男生来自第5组的概率.【答案】（1）0.12；（2）平均数为168.72，中位数为168.25；（3）35. 【解析】（1）被选取的男生恰好在第5组或第6组的概率为()0.020.0140.12P =+⨯=.（2）全体男生身高的平均数为()1620.051660.071700.081740.021780.021820.01⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯()4168.72cm ⨯=.设全体男生身高的中位数为x ，因为第1组[)160,164对应的频率为0.20，第2组[)164,168对应的频率为0.28， 所以[)168,172x ∈，则()0.20.281680.080.5x ++-⨯=，解得()168.25cm x =.（3）第5组有500.084⨯=人，记为a ，b ，c ，d ，同理第6组有2人记为A ，B ， 所有的情况为(),a b 、(),a c 、(),a d 、(),a A 、(),a B 、(),b c 、(),b d 、(),b A 、(),b B 、(),c d 、(),c A 、(),c B 、(),d A 、(),d B 、(),A B ，共15种，选取的两人中最多有1名男生来自第5组的有(),a A 、(),a B 、(),b A 、(),b B 、(),c A 、(),c B 、(),d A 、(),d B 、(),A B ，共9种，所以所求概率为93155P ==. 【名师点睛】本题主要考查直方图的应用以及古典概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有：(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先11(,)A B ，12(,)A B ，…， 1(,)n A B ，再21(,)A B ，22(,)A B ，…，2(,)n A B ，依次31(,)A B ，32(,)A B ，…，3(,)n A B …… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.7．【山东省临沂市2019年普通高考模拟考试（三模）数学试题】甲、乙两人参加一个射击的中奖游戏比赛，在相同条件下各打靶50次，统计每次打靶所得环数，得下列频数分布表．比赛中规定所得环数为1，2，3，4时获奖一元，所得环数为5，6，7时获奖二元，所得环数为8，9时获奖三元，所得环数为10时获奖四元，没命中则无奖．（1）根据上表，在给定的坐标系内画出甲射击50次获奖金额（单位：元）的条形图；（2）估计甲射击1次所获奖至少为三元的概率；（3）要从甲、乙两人中选拔一人参加射击比赛，请你根据甲、乙两人所获奖金额的平均数和方差作出选择．【答案】（1）见解析；（2）1225；（3）派甲参赛比较好.【解析】（1）依题意知甲50次获奖金额（单位：元）的频数分布表为：其获奖金额的条形图如下图所示：（2）甲射击一次所获奖金至少为三元，即打靶所得环数至少为8， 因为甲所得环数至少为8的有166224++=（次）， 所以估计甲射击一次所获奖金至少为三元的概率为24125025=. （3）甲50次获奖金的平均数为15(1122532242)502⨯⨯+⨯+⨯+⨯=， 乙50次获奖金的平均数为15(1322132442)502⨯+⨯+⨯+⨯=， 甲50次获奖金额的方差为2222155551122532242502222⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-⨯+-⨯+-⨯+-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦137********=⨯=. 乙50次获奖金额的方差为2222155551322132442502222⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+-⨯+-⨯+-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦145950220=⨯=. 甲、乙的平均数相等，但甲的方差小，故派甲参赛比较好.【名师点睛】本题主要考查条形图的应用，古典概型概率公式的应用以及平均数与方差的实际意义，属于中档题.样本数据的算术平均数121(...)n x x x x n=+++，样本方差222121[()()...s x x x x n=-+-++2()]n x x -，标准差s =.（1）根据表格中所给数据可得甲50次获奖金额（单位：元）的频数，从而可画出条形图；（2）甲射击一次所获奖金至少为三元，即打靶所得环数至少为8，由表格得到甲所得环数至少为8的次数，利用古典概型概率公式可得结果；（3）利用平均数公式算出甲、乙50次获奖金的平均数，利用方差公式算出甲、乙50次获奖金额的方差，根据平均数与方差的实际意义可得结论.8．【湖南省怀化三中2019届高三第三次模拟考试数学试题】某度假酒店为了解会员对酒店的满意度，从中抽取50名会员进行调查，把会员对酒店的“住宿满意度”与“餐饮满意度”都分为五个评分标准：1分（很不满意）；2分（不满意）；3分（一般）；4分（满意）；5分（很满意）.其统计结果如下表（住宿满意度为x ，餐饮满意度为y ）.（1）求“住宿满意度”分数的平均数；（2）求“住宿满意度”为3分时的5个“餐饮满意度”人数的方差；（3）为提高对酒店的满意度，现从23x ≤≤且12y 的会员中随机抽取2人征求意见，求至少有1人的“住宿满意度”为2的概率. 【答案】（1）3.16；（2）2；（3）45P =. 【解析】（1）5192153154653.1650⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）当“住宿满意度”为3分时的5个“餐饮满意度”人数的平均数为1253435++++=，其方差为()()()()()22222132353334325-+-+-+-+-=.（3）符合条件的所有会员共6人，其中“住宿满意度”为2的3人分别记为,,a b c ，“住宿满意度”为3的3人分别记为,,d e f . 从这6人中抽取2人有如下情况：()()()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a e a f b c b d b e b f c d c e c f ()()(),,,,,d e d f e f ，共15种情况；满足至少有1人的“住宿满意度”为2的情况有：()()()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a e a f b c b d b e b f c d c e c f 共12种，所以至少有1人的“住宿满意度”为2的概率124155P ==.【名师点睛】本小题主要考查平均数的计算，考查方差的计算，考查利用列举法求古典概型问题，属于中档题.（1）求出“住宿满意度”分数的总分，然后除以总人数50，求得平均数. （2）利用方差的计算公式，计算出所求的方差.（3）符合条件的所有会员共6人，其中“住宿满意度”为2的有3人，“住宿满意度”为3的有3人，利用列举法和古典概型概率计算公式，计算出所求的概率.9．【河北省中原名校联盟2019届高三3.20联考考试数学试题】某县畜牧技术员张三和李四9年来一直对该县山羊养殖业的规模进行跟踪调查，张三提供了该县某山羊养殖场年养殖数量(y 单位：万只)与相应年份(x 序号)的数据表和散点图(如图所示)，根据散点图，发现y 与x 有较强的线性相关关系，李四提供了该县山羊养殖场的个数(z 单位：个)关于x 的回归方程ˆ230z x =-+．（1）根据表中的数据和所给统计量，求y 关于x 的线性回归方程(参考统计量：921()60ii x x =-=∑，()91()12)i i i x x y y =--=∑；（2）试估计：①该县第一年养殖山羊多少万只？②到第几年，该县山羊养殖的数量与第一年相比缩小了？附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，(),,n n u v ⋯，其回归直线v u =+βα的斜率和截更多资源关注微信公众号：学起而飞 距的最小二乘估计分别为()121()ˆ()ni ii n ii u u v v u u ==--=-∑∑β，ˆˆv u =-αβ． 【答案】（1）0.21y x =+；（2）①33.6万只；②第10年.【解析】（1）设y 关于x 的线性回归方程为ˆˆybx c =+， 1234567895,9x ++++++++== 1.2 1.5 1.6 1.6 1.8 2.5 2.5 2.6 2.72,9y ++++++++== ()()()9192112ˆ0.2,60i ii i i x x y y b x x ==--===-∑∑ 20.251c =-⨯=.所以y 关于x 的线性回归方程为0.21ˆyx =+. （2）①估计第x 年山羊养殖的只数为()()20.212300.4430.ˆˆz y x x x x ⋅=+-+=-++ 第1年山羊养殖的只数为0.443033.6-++=，故该县第一年养殖山羊约33.6万只.②由题意，得20.443033.6x x -++<，整理得()()910x x -->，解得9x >或1x <（舍），所以到第10年该县山羊养殖的数量相比第1年缩小了.【名师点睛】本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x 与y 之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的,线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.。