锐角的三角比知识讲解

第11讲 特殊锐角的三角比的值【学习目标】特殊锐角的三角比的值是九年级数学上学期第二章第一节的内容，本讲主要讲解利用几何方探求30°、45°和60°这三个特殊锐角的三角比的值，重点是熟练运用其进行相关计算，难点是在几何图形中的灵活运用．【基础知识】一、特殊锐角的三角比的值αsin α cos αtan αcot α30°31245° 1 160°312【考点剖析】考点一：特殊锐角的三角比的值例1．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，45A ∠=︒，BC = a ．求A ∠的三角比的值．【难度】★ 【答案】22sin =A ，22cos =A ，1tan =A ，1cot =A ． 【解析】∵45A ∠=︒，∴2245sin sin =︒=A ，2245cos cos =︒=A ， 145tan tan =︒=A ，145cot cot =︒=A ． 【总结】本题主要考查特殊角45角的三角比的值．例2．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，BC = a ．求A ∠的三角比的值．【难度】★ 【答案】21sin =A ，23cos =A ，33tan =A ，3cot =A【解析】∵30A ∠=︒∴2130sin sin =︒=A ，2330cos cos =︒=A ， 3330tan tan =︒=A ，330cot cot =︒=A ． 【总结】本题主要考查特殊角30角的三角比的值．例3．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，60A ∠=︒，AC = a ．求A ∠的三角比的值．【难度】★ 【答案】23sin =A ，21cos =A ，3tan =A ，33cot =A ． 【解析】∵60A ∠=，∴2360sin sin =︒=A ，2160cos cos =︒=A ，360tan tan =︒=A ，3360cot cot =︒=A ． 【总结】本题主要考查特殊角60角的三角比的值．例4．填空：tan 60°= ______；cot 45°= ______；sin 30°= ______；cos 45°= ______． 【难度】★ 【答案】，1，21， 【解析】主要考察特殊角的锐角三角比值．例5．用特殊锐角的三角比填空：（1）12=______ = ______； （22=______ = ______；（3）1=______ = ______；（43=______ = ______． 【难度】★【答案】（1）sin 30°，cos 60°；（2）sin 45°，cos45°；（3） tan45°，cot 45°；（4）sin 60°，cos30°． 【解析】主要考察特殊角的锐角三角比值．例6．已知，等腰ABC ∆的顶角A ∠=120°，求B ∠的三角比的值．【难度】★ 【答案】21sin =B ，23cos =B ，33tan =B ，3cot =B【解析】∵等腰ABC ∆的顶角A ∠=120°，∴︒=∠=∠30C B ．∴2130sin sin =︒=B ，2330cos cos =︒=B ，3330tan tan =︒=B ，330cot cot =︒=B ．【总结】本题一方面考查等腰三角形的性质，另一方面考查特殊角30角的三角比的值．例7．正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，求OAB ∠的三角比的值．【难度】★ 【答案】22sin =∠OAB ，22cos =∠OBA ，1tan =∠OAB ，1cot =∠OAB 【解析】∵正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ， ∴︒=︒⨯=∠=∠45902121BAC OAB ．∴2245sin sin =︒=∠OAB ，2245cos cos =︒=∠OAB ，145tan tan =︒=∠OAB ，145cot cot =︒=∠OAB ．【总结】本题一方面考查正方形的性质，另一方面考查45角的三角比的值．例8．求满足下列条件的锐角α：（1）3cos 02α-=； （2）．【难度】★【答案】（1）︒=30α；（2）︒=45α．【解析】（1）由题意可得：3cos 2α=，则︒=30α；（2）由题意可得：1tan =α，则︒=45α．【总结】本题主要是对特殊锐角三角比的值的综合运用． 例9．若A ∠是锐角，且3tan A =，则cos A = ______．【难度】★★ 【答案】 【解析】∵3tan A =，∴︒=∠30A ，∴2330cos cos =︒=A ．【总结】本题主要考查特殊角的锐角三角比的值以及它们之间的关系．例10．已知，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，cos B =12，求tan A 的值． 【难度】★★ 【答案】【解析】∵1cos 2B =，且∠B 是锐角，∴︒=∠60B ．∵︒=∠+∠90B A ，∴︒=∠30A∴3330tan tan =︒=A ． 【总结】本题主要考查特殊角的锐角三角比的值以及它们之间的关系． 考点二：特殊锐角的三角比的值的应用例1．sin 45°+ cos 45°的值等于（ ） A ． B ．312+ C ．312+ D ．1【难度】★ 【答案】A【解析】sin 45°+ cos 45°=22222=+． 例2．下列不等式，成立的是（ ） A ． B ． C ． D ．【难度】★ 【答案】D【解析】A 答案，正确应为：； B 答案，正确应为：； C 答案，正确应为：【总结】一个锐角的正弦值和正切值随着角度的增大而增大，一个锐角的余弦值和余切值随着角度的增大而减小．例3．计算：（1）；（2）．【难度】★【答案】（1）2；（2）316．【解析】（1）原式=23232322223=-+=⨯-⨯+（2）原式=【总结】本题考查利用特殊角的锐角三角比的值进行实数计算．例4．计算：（1）；（2）．【难度】★【答案】（1）0；（2）32- 【解析】（1）原式=01112323=-=-；（2）原式=．【总结】本题考查利用特殊角的锐角三角比的值进行实数计算．例5．计算：．【难度】★★ 【答案】3【解析】原式=()32132324321343243=--+-+=-++-+．【总结】本题考查利用特殊角的锐角三角比的值进行实数计算．例6．计算：．【难度】★★ 【答案】 【解析】原式=．【总结】本题考查利用特殊角的锐角三角比的值进行实数计算．例7．计算：．【难度】★★【答案】45【解析】原式=．【总结】本题考查利用特殊角的锐角三角比的值进行实数计算．例8．计算：．【难度】★★【答案】6- 【解析】原式=．【总结】本题考查利用特殊角的锐角三角比的值进行实数计算．例9．计算：．【难度】★★ 【答案】3 【解析】原式=．【总结】本题考查利用特殊角的锐角三角比的值进行实数计算．例10．已知030α︒<∠<︒，化简：．【难度】★★【答案】13cot 2--α 【解析】∵030α︒<∠<︒，∴330cot cot =︒>α．∴．【总结】一个锐角的度数越大，余切值反而越小．例11．已知方程()2sin 2sin 2sin 120x x ααα-+++=有两个相等的实数根，求锐角α的大小．【难度】★★ 【答案】30°【解析】∵方程()2sin 2sin 2sin 120x x ααα-+++=有两个相等的实数根，∴()()12sin sin 42sin 42+⨯⨯-+=∆αααααααsin 48sin 416sin 16sin 422--++=0sin 3216=-=α．∴21sin =α． ∴︒=30α．【总结】本题将根的判别式与锐角三角比结合在一起，完成相应计算．【过关检测】一、单选题1．（2021·上海九年级一模）在ABC 中，如果1sin 2A =，3cot =B ）A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形【答案】D【分析】根据特殊的三角函数值可知，∠A ＝30°，∠B ＝60°，即可判断三角形的形状．【详解】∵ 1sin 2A =，cot =B∴∠A ＝30°，∠B ＝60°， ∴ ∠A ＋∠B ＝90°，∴ 这个三角形一定是直角三角形， 故选：D ．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，属于基础题型．2．（2021·上海九年级一模）在Rt ABC ∆中，90C =∠，如果33,4AC cosA == ，那么 AB 的长为（ ） A ．94B ．4C ．5D ．【答案】B【分析】根据cosA 34==AC AB ，即可得出AB 的值 【详解】解：在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3， 又∵,osA 34c ==AC AB ∴AB=4 故选：B ．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．（2020·上海民办华二浦东实验学校九年级期中）在Rt ABC △中，90C ∠=︒，B β∠=，AB a ，那么BC 的长为（ ） A ．sin a β B ．cos a βC ．cos aβD ．tan a β【答案】B【分析】根据余弦的定义进行解答即可． 【详解】解：根据已知条件可画出图形，如图： ∵∴cos BC a β=． 故选：B【点睛】本题考查了锐角三角函数，掌握余弦的定义是解题的关键．4．（2019·上海九年级月考）在ABC ∆中，90C ∠=︒，若cos B =，则sin A 的值为( )A B ．C ．D ．12【答案】C【分析】根据特殊角的三角函数值求出∠B ，再求∠A ，即可求解.【详解】在ABC ∆中，90C ∠=︒，若cos B =∠B=30°故∠A=60°，所以sinA= 故选：C【点睛】本题考查的是三角函数，掌握特殊角的三角函数值是关键.5．（2020·上海九年级期中）ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，4CB =，则tan A 的值为（ ） A ．45B ．35C ．43D ．34【答案】C【分析】角的正切值=，代入求值即可. 【详解】tan A =， 故选：C.【点睛】此题考察三角函数，角的正切值=，熟记公式即可正确解答.6．（2019·上海全国·九年级单元测试）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则tan ∠ABC 的值为( ) A ．35B ．43C ．D ．34【答案】D【解析】如图，∠ABC 所在的直角三角形的对边AD =3，邻边BD =4，所以，tan ∠ABC = 34． 故选D ．7．（2019·上海九年级期中）已知∠A 为锐角，且sinA ＝12，那么∠A 等于（ ） A ．15° B ．30°C ．45°D ．60°【答案】B试题分析：∵∠A 为锐角，sinA=12，∴∠A=30°．故选B ． 考点：特殊角的三角函数值． 二、填空题8．（2021·上海九年级一模）在Rt ABC 中，90C ∠=︒，6AC =，3cos 4A =，那么AB 的长为__． 【答案】8【分析】根据余弦函数的定义即可直接求解． 【详解】解：∵，∴AB=34AC ＝634＝8，故答案为：8．【点睛】本题考查了余弦函数的定义，是所邻的直角边与斜边的比，理解定义是关键． 9．（2021·上海九年级专题练习）sin60°•tan45°﹣cos60°•cot30°=_____． 【答案】0 【解析】原式1102-=． 故答案为0．10．（2021·上海九年级一模）如图，点P 在线段BC 上，AB BC ⊥，DP AP ⊥， CD DP ⊥，如果10BC =，2AB =， 1tan 2C =，那么 DP 的长是 _____ ．【分析】由已知条件，根据同角的余角相等得，根据1tan 2C =得1tan 2AB APB BP ==∠，求出4BP =，得出6PC =，利用1tan 2C =和勾股定理即可得DP 的长． 【详解】解：∵AB BC ⊥，DP AP ⊥，CD DP ⊥， ∴90B APD PDC ∠=∠=∠=︒，90C DPC ∠+∠=︒，， ∴， ∵1tan 2C =， ∴1tan tan 2AB APB C BP ===∠， ∵2AB =，10BC =， ∴4BP =，6PC =， 设DP 的长是x ， ∵，∴22CD DP x ==，∴222PC DP CD =+，即()22262x x =+，解得x =5-． 【点睛】本题考查三角函数-正切，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 11．（2021·上海九年级一模）计算：_______________． 【答案】74【分析】根据cos45°=， sin60°=代入运算即可．【详解】解：原式2 3=1+47=4， 故答案为：74． 【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是熟练记忆一些特殊角的三角函数值．12．（2021·上海九年级一模）已知一个锐角的正切值比余切值大，且两者之和是133，则这个锐角的正切值为________．【答案】3【分析】设这个锐角为α，根据题意和三角函数的性质可知：，解方程即可．【详解】解：设这个锐角为α，∴由①，得10cot tan3αα=-③将③代入②，得解得：1 tan3α=或当1tan3α=时，∴cotα=3＞tanα∵α的正切值比余切值大∴此时不符合题意，舍去；当时，cotα=13＜tanα∴此时符合题意．故答案为：3．【点睛】此题考查的是锐角三角函数值的运算，掌握三角函数的性质是解题关键．13．（2021·上海九年级一模）计算：2sin30tan45-=______．【答案】0【分析】把特殊角的三角函数值代入计算即可得到答案．【详解】解：2sin30tan45-=121110, 2⨯-=-=故答案为：0.【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．14．（2021·上海九年级一模）计算____．【答案】【分析】先代入特殊角的三角函数值，然后再进行计算即可．【详解】1sin 30cot 602︒⋅︒=故答案为：．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、实数乘法运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．三、解答题 15．（2021·上海九年级一模）计算：22532sin 60tan 301cot 301cos 4︒︒-+-︒-︒【答案】52【分析】根据各个特殊角的三角函数值和实数的运算法则计算即可． 【详解】解：22532sin 60tan 301cot 301cos 4︒︒-+-︒-︒=221⎝⎭-+-⎝⎭ ==3312-- =52． 【点睛】此题考查的是特殊角的三角函数值的混合运算，掌握各个特殊角的三角函数值是解题关键． 16．（2021·上海九年级一模）计算()01cot 3012sin 60cos 60tan 30︒--︒+︒+︒．【分析】根据特殊三角函数值化简即可求解． 【详解】()01cot 3012sin 60cos 60tan 30︒--︒+︒+︒121-+=【点睛】此题主要考查不同特殊角三角函数值的混合运算，解题的关键是熟知特殊三角函数值．。

沪教版初三数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习《锐角的三角比》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA 、cosA、tanA、cotA表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦、余弦、正切和余切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角的度数.2．能够正确地使用计算器，由已知锐角求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角；3．理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题. 4．通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，通过解直角三角形的学习，体会数学在解决实际问题中的作用，并结合实际问题对微积分的思想有所感受.【知识网络】【要点梳理】要点一、锐角三角函数1.正弦、余弦、正切、余切的定义如右图，在Rt△ABC中，∠C=900，如果锐角A确定：(1)∠A的对边与斜边的比值是∠A的正弦，记作sinA＝∠A的对边斜边(2)∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦，记作cosA＝∠A的邻边斜边(3)∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切，记作tanA＝∠A的对边∠A的邻边(4)∠A的邻边与对边的比值是∠A的余切，记作cotA＝∠A的邻边∠A的对边要点诠释：(1)正弦、余弦、正切、余切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.(2)sinA、cosA、tanA、cotA是一个整体符号，即表示∠A四个三角函数值，书写时习惯上省略符号“∠”，但不能写成sin·A，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写成sin∠BAC，而不能写出sinBAC.(3)sin2A表示(sinA)2，而不能写成sinA2.(4)三角函数有时还可以表示成等.2.锐角三角函数的定义锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数.要点诠释：1. 函数值的取值范围对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是∠A的函数.同样，cosA、tanA、cotA也是∠A的函数，其中∠A是自变量，sinA、cosA、tanA、cotA分别是对应的函数.其中自变量∠A的取值范围是0°＜∠A＜90°，函数值的取值范围是0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0，cotA＞0.2．锐角三角函数之间的关系：余角三角函数关系：“正余互化公式”如∠A+∠B=90°，那么：sinA=cosB； cosA=sinB； tanA=cotB, cotA=tanB.同角三角函数关系：sin2A＋cos2A=1；30°、45°、60°角的三角函数值和解30°、60°直角三角形和解45°直角三角形为本章重中之重，是几何计算题的基本工具，三边的比借助锐角三角函数值记熟练.要点二、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B=90°；边边关系：勾股定理，即；边角关系：锐角三角函数，即要点诠释：解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：(1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.1.解这类问题的一般过程(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.2.常见的应用问题(1)坡度：；坡角:.(2)方位角：(3)仰角与俯角：要点诠释：12．用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系．借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．3．锐角三角函数的应用用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状的三角形，而三角函数的计算是在直角三角形中解决问题，所以在直角三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁。

第六讲 锐角的三角比知识要点：（一）锐角的三角比的定义：在Rt △ABC 中，若∠C =90o ，AB 称作斜边，AC 、BC 称作直角边.其中与∠A 相对的直角边称为∠A 的对边，与∠A 相邻的直角边称为∠A 的邻边. ∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别记为a 、b 、c .邻边b对边aA①我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切（tangent ）.记作tan A .tan A ＝ba=∠∠的邻边的对边A A②我们把锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切(cotangent).记作cot A .cot A ＝的邻边的对边∠∠A A =ba③我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦（sine ）.记作A sin .caA A A =∠∠=斜边的对边sin④我们把锐角A 的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦（cosine ）.记作A cos .cA A A bcos =∠∠=斜边的邻边（二）特殊角三角比的值：22sin cos 1,tan cot 1αααα+==（三）解直角三角形的定义：由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形. 1.已知Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A=45o ，设BC=a ,根据含45°角的直角三角形三边长之间的关系，求45°角的正切、余切、正弦、余弦值. 解：1, 1,22,222.在直角坐标平面中有一点P （3，4）.求OP 与x 轴正半轴的夹角α的正切、正弦、和余弦的值.解：作PQ ⊥x 轴于点Q ，则∠OQP =900.由点P 的坐标为（3，4）得OQ =3,QP =4.则OP =5.∴tan α=43=PQ OQ ,sin α=45=PQ OP ,cos α=35=OQ OP . 3.计算：222sin 60cos60tan 604cos45--o oo o解：原式()2231222342⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=-⨯3122322322-==--322=+ 4.在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =6，3sin 4=A .求：（1）AB 的长 ；（2）sin B 的值.解：（1）在Rt △ABC 中，∠C =90°，∵sin =BC A AB ∴sin =BC AB A 又36,sin ,4==BC A ∴6834==AB(2)由勾股定理，得27=AC ∴277sin ===AC B AB 5. 如图，已知在∆ABC 中，点D 是BC 边上一点，⊥DA AB ，12=AC ， 7=BD ，9=CD . （1）求证：∆ACD ∽∆BCA ；（2）求tan ∠CAD 的值．解：（1）证明：∵7BD =，9CD =，∴16BC =，∵12AC =，∴34CD AC =，34AC BC =，∴CD ACAC BC=，∵C C ∠=∠，∴ACD ∆∽BCA ∆.（2）∵ACD ∆∽BCA ∆，∴CAD B ∠=∠，34AD CD AB AC ==， ∵DA AB ⊥，∴3tan 4AD B AB ==，∴3tan 4CAD ∠=.6.已知：ABC ∆中，090=∠C ，030=∠A ，求015tan 的值。

第一节 锐角的三角比§25.1锐角的三角比的意义教学目标(1)经历锐角三角比的概念的形成过程，获得从实际的数学问题中抽象出数学概念的体验。

(2)掌握锐角的三角比的定义，会根据直角三角形中两边的长求锐角的三角比的值。

(3)了解锐角的三角比的范围。

教学重点让学生经历锐角的正切概念的形成过程，掌握正切、余切的定义。

引进锐角的正弦和余弦，帮助学生掌握正弦和余弦的定义，了解三角比的含义和符号表示。

知识概要1.直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的长度的比值随着这个锐角大小的变化而变化。

锐角的大小确定，则对边与邻边的比值唯一确定。

2.我们把直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切。

锐角A 的正切记作tan A ， tan =A BC a A A AC b==锐角的对边锐角的邻边。

注：在ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠的对边通常分别用,,a b c 表示。

在Rt ABC ∆中，090C ∠=，直角边BC 和AC 分别叫做A ∠的对边和邻边。

3.我们把直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切。

锐角A 的余切记作cot A ， cot =A AC b A A BC a ==锐角的邻边锐角的对边。

根据正切与余切的意义，可以得到 1tan cot A A =。

在Rt ABC ∆中，090C ∠=，可知090A B ∠+∠=，cot tan B A =。

4.如果直角三角形的一个锐角是确定的，那么它的对边或邻边与斜边的比也是确定的。

我们定义： 直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦。

直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦。

在Rt ABC ∆中，090C ∠=，锐角A 的正弦记作sin A ，这时 sin =A BC a A A AB c ==锐角的对边锐角的邻边； 锐角A 的余弦记作cos A ，这时 cos =A AC b A A AB c ==锐角的邻边锐角的邻边。