多元函数的可微性

技　直　

多元函数的连续性，偏导数存在及可微性之间的关系　

重庆青年职业技术学院基础教学部　杜峰　

［摘要］本文具体就二元函数的连续性，偏导数存在及可微性之间的关系通过实例作深入的探讨，然后推广到多元函数由此来总结　有关多元函数微分学中关于上述三个概念之间的关系，并通过二元函数具体的实例详细加以证明，建立它们之间的关系图，对有效　

理解和掌握多元函数微分起到重要作用。　［关键词］多元函数偏导性可微性　

１．引言　多元函数微分学是数学专业学习中的一个重点和难点，它涉及的　内容实际上是微积分学在多元函数中的体现，其中有关多元函数的连　续性，偏导数存在及可微性之间的关系是学生在学习中容易发生概念　模糊和难以把握的一个重要知识点。　当前，多元函数的连续性，偏导数存在及可微性之间的关系研究方　面已经取得了很大的成果，它们三者之间的关系已经得到了普遍的说　明，但是，在国内的许多教材中只是对它们三者的定义作了说明，而对它　们之间的关系很少提及或没有提到，在一些学术性论文中也只是对二　元函数的连续性，偏导数存在及可微性的关系做了具体的说明，因此在　让学生学习这方面知识时能达到对这方面知识做到全面的掌握仍是当　前教学中的一大难题。　２．二元函数的连续性。偏导数存在及可微性之间的关系。　２．１确定性关系　２．１．１函数在某点可微分，则函数在某点一定连续　定理２．１：设函数ｚ＝ｆ（ｘ，Ｙ）在点（ｘ，Ｙ）可微，则函数ｚ＝ｆ（ｘ，Ｙ）在　该点连续。　２．１．２函数在某点处可微分，则函数在某点的偏导数一定存在　定理２．２：设函数ｚ＝ｆ（ｘ，．ｙ）在点ｐ（ｘ，　）可微，即Ａｚ＝ＡＡ＝ｃ＋ＢＡｙ＋０（ｆ０）　

成立，则函数ｚ＝ｆ（ｘ，．ｙ）在该点的偏导数．　＝Ａ，譬一Ｂ。　ｏｙ　

２．１－３函数偏导数存在且连续，则函数一定可微　定理２．３：设函数ｚ＝ｆ（ｘ　Ｙ）在点（　０，Ｙ。）的邻域内存在偏导数，并　且偏导数连续，有Ａｚ＝ｆ￣　（　。，ｙｏ）Ａｘ斗　（　ｏ，ｙＪ，ｙ＋０　，即可微。　２．２不确定性关系　２．２．１函数在某点处偏导数存在，但同极限不存在，不连续，不可微　２．２．２函数在某点处连续，但偏导数不一定存在　２．２＿３函数在某点处有极限，连续且偏导数存在，但可能不可微　２＿２．４函数在某点处连续，偏导数存在且可微，但偏导数不一定连续　２＿３函数在某点可微的充要条件：　（１）　ｘ，ｙ），　（ｚ，．），）在点（ｚｏ，ｙ０）的某邻域存在，且在点（Ｘｏ，ｙｏ）　处连续。　

第 1 页 共 3 页 感谢百度文库让我们在这里与你相见，您的下载就是我们最大的动力。

多元函数在某点可微的充要条件

多元函数在某点可微可是个挺有趣的事儿呢！咱们就像唠嗑一样来聊聊它的充要条件哈。

咱先从一个角度看，要是一个多元函数在某点可微呢，那它在这个点肯定是连续的呀。你想啊，就好比一个小珠子在一个光滑的曲面上滚动，如果这个曲面在某点突然断开或者有个大坑（不连续了），那小珠子就没法很顺畅地在这个点按照原来的那种很和谐的方式运动啦，所以连续是个很重要的基础呢。

还有哦，多元函数在某点的偏导数得存在。这偏导数就像是从不同方向去看这个函数的变化情况。比如说你站在一个大广场的中间，你要看看你往左走和往右走这个广场地面的高度变化，这就有点像多元函数里不同方向的偏导数啦。如果在这个点，这些不同方向的变化情况都没法确定（偏导数不存在），那这个函数在这个点可微就没门儿啦。

而且呀，这些偏导数还不能是那种调皮捣蛋的，得满足一定的关系才行呢。具体来说就是函数在这个点的全增量和由偏导数表示的线性主部之间得有某种近似关系。就好比你想知道从你家到学校的总路程变化（全增量），这个总路程变化得和你先往东走一段（一个偏导数相关的部分）再往北走一段（另一个偏导数相关的部分）这些路程变化有个合理的近似关系，如果这个关系乱套了，那可微就不成立啦。

再换个角度说，我们可以想象多元函数是一幅很复杂的画，可微就意味着这幅画在这个点的局部是可以用一种很简单的线性方式去近似描绘的。如果不满足上面说的那些条件，就像这幅画在这个点突然变得奇形怪状，没法用简单的线条（线性关系）去勾勒出个第 2 页 共 3 页 感谢百度文库让我们在这里与你相见，您的下载就是我们最大的动力。

大概了。

咱们再把这个事儿说得更直白一点。假设你在做一个很复杂的蛋糕（多元函数），这个蛋糕在某一个小块的地方（某点）如果要可微，那就得这个小块的地方是比较规则的（连续），你从不同方向切这个小块蛋糕（偏导数）能切得动而且切的方式得符合一定的道理，如果这些都不满足，那这个小块蛋糕就不是那种可以用简单方式描述（可微）的啦。

第十七章 多元函数微分学 ( 1 6 时 )

§1 可微性 ( 4 时 )

一． 可微性与全微分：

1． 可微性：由一元函数引入.))()((22yx亦可写为yx,

) , (yx) 0 , 0 (时) , () 0 , 0 (.

2． 全微分:

例1 考查函数xyyxf),(在点) , (00yx处的可微性. [1]P105 E1

二. 偏导数:

1. 偏导数的定义、记法:

2. 偏导数的几何意义: [1]P109 图案17—1.

3. 求偏导数:

例2 , 3 , 4 . [1]P142—143 E2 , 3 , 4 .

例5 设

. 0 , 0, 0 ,),(22222223yxyxyxyxyxf

证明函数),(yxf在点) 0 , 0 (连续 , 并求) 0 , 0 (xf和) 0 , 0 (yf.

证 )sincos(lim),(lim2320sin,cos)0,0(),(yxyxyxf

)0,0(0)sincos(lim230f. ),(yxf在点) 0 , 0 (连续 .

) 0 , 0 (xf0||lim)0,0()0,(lim300xxxxfxfxx,

) 0 , 0 (yf||lim)0,0(),0(lim200yyyyfyfyy 不存在 .

Ex [1]P116—117 1⑴—⑼，2 — 4 .

三. 可微条件: 1. 必要条件:

Th 1 设) , (00yx为函数),(yxf定义域的内点.),(yxf在点) , (00yx可微

) , (00yxfx和) , (00yxfy存在, 且

数学分析/第16章多元函数微分学

-1-第十六章多元函数微分学

【教学目的】

1.理解并掌握多元函数全微分、偏导数的概念和基本求法；掌握多元函数的偏导数、全微分、连续及

偏导存在、偏导连续等之间关系；

2.掌握多元函数可微性的讨论方法；掌握多元复合函数的求导法；掌握多元函数极值和最值的求法。

【教学重点】

全微分和偏导数的概念、偏导数的计算方法以及应用。

【教学难点】

复合函数偏导数的计算及多元函数的泰勒公式。

【教学时数】12-18学时

本章和下一章，我们将对照一元函数的可微性，平行建立多元函数的可微性，并介绍多元函数偏导数

的求法。不失一般性，我们还是以二元函数为例

§1可微性

一、可微性与全微分一元函数可微的定义和二元函数可微的定义对照表

一元函数()fx在点

0x可微的定义二元函数()(,)fPfxy在点

000(,)Pxy可微的定义

基本条

件()fx定义在

0()Ux内基本条件()(,)fPfxy定义在

0()UP内

()fx在点

0x可微存在常数A，使得，

0()()fxAxox（0x），

其中线性部分Ax称为()fx在点

0x的微分，记为

00()()dfxAxAdxfxdx。()(,)fPfxy在点

0P可微存在常数A和B，使

得，

0()()fPAxByo（0），

其中22()()xy，线性部分AxBy称

为()fP在点

0P的全微分，记为

0()dfPAxByAdxBdy。

数学分析/第16章多元函数微分学

-2-注：

10由可微的定义知，若()(,)fPfxy在点

0P可微，则

（1）()(,)fPfxy在点

0P连续（可微与连续的关系）；

（2）当x和y都很小时，

00()()fPdfPAxBy，即

0()(,)()fPfxyfPAxBy。（称为()fP的有限增量公式）

20可微的定义中，()o总可以表示成下面的形式：