D1_8连续性间断点

•函数连续的定义 设函数 yf(x) 在点x0的某一个邻域内有定义 如果
Dx0
lim [ f (x0 + Dx) - f (x0)] 0 或 , lim f (x) f (x0 )
x x0
那么就称函数 yf(x) 在点x0处连续
•讨论 如何用e-d 语言叙述函数的连续性定义？
§1. 8 函数的连续性与间断点
一、函数的连续性
二、函数的间断点
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一、函数的连续性
•变量的增量 若变量u从初值u1变到终值u2 则u2-u1就叫做变量u的 增量 记作Du 即Du u2-u1 •函数的增量 设函数yf(x)在点x0的某一 个邻域内有定义 当自变量x在 该邻域内从 x0 变到 x0+Dx时 对 应的函数 y 的增量为 Dy f(x0+Dx)- f(x0)
x x0
lim P(x) P(x0 )
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•函数在区间上的连续性
在区间上每一点都连续的函数 叫做在该区间上的 连续函数 或者说函数在该区间上连续 如果区间包括端 点 那么函数在右端点连续是指左连续 在左端点连续是 指右连续
•连续函数举例
2 函数 ysin x 在区间(- +)内是连续的 这是因为 函数ysin x在(- +)内任意一点x处有 定义 并且
1 y sin x
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•间断点举例
2 -1 x 例3 3 函数 y 例 在 x1 没有定义 x -1 所以点x1是函数的间断点 2 -1 x lim (x +1) 2 因为 lim x 1 x -1 x1 如果补充定义: 令x1时y2 则所给 函数在 x1 成为连续 所以 x1 称为 该函数的可去间断点

函数的连续性与间断点一、函数的连续性1． 增量：变量x 从初值1x 变到终值2x ，终值与初值的差叫变量x 的增量，记作x ∆，即x ∆＝1x －2x 。

（增量可正可负）。

例1 分析函数2x y =当x 由20=x 变到05.20=∆+x x 时，函数值的改变量。

2．函数在点连续的定义定义１：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果自变量x 的增量x ∆=0x x -趋向于零时，对应的函数增y ∆＝)()(0x f x f -也趋向于零，则称函数y ＝)(x f 在点0x 处连续。

定义２：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果函数)(x f 当0x x →时的极限存在，即)()(lim 00x f x f x x =→，则称函数y ＝)(x f 在点0x 处连续。

定义3：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果对任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于适合不等式δ<-0x x 的一切x ，所对应的函数值)(x f 都满足不等式：ε<-)()(0x f x f ，则称函数y ＝)(x f 在点0x 连续。

注：1、上述的三个定义在本质上是一致的，即函数)(x f 在点0x 连续，必须同时满足下列三个条件：（1） 函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义（函数y ＝)(x f 在点0x 有定义），（2） )(lim 0x f x x →存在；（3）)()(lim 00x f x f x x =→。

3．函数y ＝)(x f 在点0x 处左连续、右连续的定义：（1）函数y ＝)(x f 在点0x 处左连续⇔)(x f 在(]00,x x δ-内有定义，且)()(lim 000x f x f x x =-→（即)()0(00x f x f =-）。

（2）函数y ＝)(x f 在点0x 处右连续⇔)(x f 在[)δ+00,x x 内有定义，且)()(lim 000x f x f x x =+→（即)()0(00x f x f =+）。

绘制草图
通过绘制函数草图，可以直观地展示函数在间断点处的变化趋势和取值情况。
利用计算机软件
利用数学软件（如Mathematica、MATLAB等）绘制精确的函数图像，以便更准确地分析间断点处的 函数性质。
04 典型问题解析与思路拓展
求解含有参数方程间断点问题
确定参数范围
首先根据题目条件确定参数的取值范围。
高等数学连续性间断点
目录
• 连续性概念与性质 • 间断点类型及判定方法 • 函数在间断点处表现特征 • 典型问题解析与思路拓展 • 复习巩固与提高建议
01 连续性概念与性质
连续性定义及意义
连续性定义
如果函数在某一点的极限值等于该点 的函数值，则称函数在该点连续。
连续性意义
连续性是函数的一个重要性质，它保 证了函数在局部范围内的变化是平稳 的，没有出现突变或跳跃。
震荡间断点
函数在该点处无极限，且不是无穷间断点。如函数f(x)=sin(1/x)在x=0处（注意： 该函数在x=0处并无定义，但常在讨论间断点时作为例子）。
判定方法总结与实例分析
判定方法
首先判断函数在该点处是否有定义，再计算该点处的左右极限，根据极限的存在 性、相等性及是否为无穷大来判断间断点的类型。
实例分析
对于给定的函数，通过分析其在特定点处的行为，结合判定方法，可以准确地判断 出间断点的类型。例如，对于函数f(x)=(x^2-1)/(x-1)，通过分析其在x=1处的行为， 可以判断出这是一个可去间断点。
03 函数在间断点处表现特征
极限存在性与左右极限关系
极限存在性
在间断点处，函数可能不具有极限， 或者极限存在但不等于函数值。
构造辅助函数
根据题目要求，构造适当的辅助函数， 使其满足连续性条件。

有定义，但 lim f ( x)不存在；
0
x x0
x （3） 虽在
0 有定义，且
lim f ( x)存在，但
x x0
x x 则函数 f ( x)在点 0不连续， 而点 0 称为函数
或间断点。
若函数 f ( x)
lim
x x0
f (x)
f ( x0 );
f ( x) 的不连续点
5
函数间断点的几种常见类型：
0,
1,
x 1 x 1, x 1
x,
f
(
x
)
0,
x,
x,
x x
1 1
0, x,
x 1
0,
x,
x 1 x 1 1 x 1 x 1 x 1
14
f 1 0 lim x 1 f 1 x10
f 1 0 lim x 1 f 1 x10
函数在 x 1处既不左连续，也不右连续。 x 1是跳跃间断点。
x
3
证明：函数
y sin x 是连续函数。
证： 设 x (,),
x x 当 有增量
时，则
y sin( x x) sin x 2sin x cos(x x )
cos x x 1
2
2
2
y sin( x x) sin x 2 sin x .
2
又因为当 0 时， sin
f 1 0 lim 3 x 2 x10
则
x 1是跳跃间断点，属于第一类间断点。
所以 x 0
13
例7 讨论函数 判断其类型。
1 x2n
f ( x) lim
x 的连续性，若有间断点
n 1 x 2n
0,