山东2021新高考数学一轮复习1.3全称量词与存在量词学案含解析.doc

§1.3　全称量词与存在量词1．全称量词和存在量词(1)全称量词：“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，用符号“∃”表示．2．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定命题名称语言表示符号表示命题的否定全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M，p(x)∃x0∈M，綈p(x0)特称命题存在M中的一个x0，使p(x0)成立∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，綈p(x)概念方法微思考1．怎样判断一个特称命题是真命题？提示　要判定特称命题“∃x0∈M，P(x0)”，只需在集合M找到一个x0，使P(x0)成立即可．2．命题p和綈p可否同时为真，思考一下此结论在解题中的作用？提示　命题p和綈p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题的否定的真假．题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)至少有一个三角形的内角和为π是全称命题．(　×　)(2)“全等三角形的面积相等”是特称命题．(　×　)(3)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．(　√　)题组二　教材改编2．命题“∀x∈R，x2＋x＋1>0”的否定是________．答案　∃x0∈R，x20＋x0＋1≤03．命题“∃x0∈N，x20≤0”的否定是________．答案　∀x∈N，x2>04．命题“对于函数f (x)＝x2＋ax(a∈R)，存在a∈R，使得f (x)是偶函数”为________命题．(填“真”或“假”)答案　真解析　当a＝0时，f (x)＝x2(x≠0)为偶函数．题组三　易错自纠5．(多选)下列命题的否定中，是全称命题且为真命题的有( )A．∃x0∈R，x20－x0＋1 4 <0B．所有的正方形都是矩形C．∃x0∈R，x20＋2x0＋2＝0D．至少有一个实数x，使x3＋1＝0答案　AC解析　由条件可知：原命题为特称命题且为假命题，所以排除BD；又因为x2－x＋1 4＝(x－12)2≥0，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1>0，所以AC均为特称命题且为假命题，故选AC. 6．下列命题中的假命题是________．(填序号)①∃x0∈R，lg x0＝1；②∃x0∈R，sin x0＝0；③∀x∈R，x3>0；④∀x∈R,2x>0.答案　③解析　当x＝10时，lg 10＝1，则①为真命题；当x＝0时，sin 0＝0，则②为真命题；当x<0时，x3<0，则③为假命题；由指数函数的性质知，∀x∈R,2x>0，则④为真命题．7．若命题“∃t0∈R，t20－2t0－a<0”是假命题，则实数a的取值范围是________．答案　(－∞，－1]解析　命题“∃t0∈R，t20－2t0－a<0”是假命题，等价于∀t∈R，t2－2t－a≥0是真命题，∴Δ＝4＋4a ≤0，解得a ≤－1.∴实数a 的取值范围是(－∞，－1]．全称命题、特称命题的真假例1　(1)以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )A ．锐角三角形有一个内角是钝角B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0C ．两个无理数的和必是无理数D ．存在一个负数x ，使1x >2答案　B解析　A 中锐角三角形的内角都是锐角，所以A 是假命题；B 中当x ＝0时，x 2＝0，满足x 2≤0，所以B 既是特称命题又是真命题；C 中因为2＋(－2)＝0不是无理数，所以C 是假命题；D 中对于任意一个负数x ，都有1x <0，不满足1x >2，所以D 是假命题．(2)下列四个命题：①∃x 0∈(0，＋∞)，；②∃x 0∈(0,1)，；③∀x ∈(0，＋∞)，(12)x >；④∀x ∈(0，13)，(12)x <.其中真命题的序号为________．答案　②④解析　对于①，当x ∈(0，＋∞)时，总有(12)x >(13)x 成立，故①是假命题；对于②，当x ＝12时，有成立，故②是真命题；对于③，当0<x <12时，>1>(12)x ，故③是假命题；0011<23x x⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1123log >log x x 0012log x13log x1112331111=log =log >log 23212log x对于④，∀x ∈(0，13)，(12)x <1<，故④是真命题．思维升华　判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判定特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x 0，使p (x 0)成立．跟踪训练1　(1)下列命题中的假命题是( )A ．∀x ∈R,2x －1>0 B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0C ．∃x 0∈R ，lg x 0<1 D ．∃x 0∈R ，tan x 0＝2答案　B解析　当x ∈N *时，x －1∈N ，可得(x －1)2≥0，当且仅当x ＝1时取等号，故B 不正确；易知A ，C ，D 正确，故选B.(2)已知函数f (x )＝，则( )A ．∃x 0∈R ，f (x 0)<0B ．∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≥0C ．∃x 1，x 2∈[0，＋∞)，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0D ．∀x 1∈[0，＋∞)，∃x 2∈[0，＋∞)，f (x 1)>f (x 2)答案　B解析　幂函数f (x )＝的值域为[0，＋∞)，且在定义域上单调递增，故A 错误，B 正确，C 错误，D 选项中当x 1＝0时，结论不成立．含有一个量词的命题的否定1．已知命题p ：“∃x 0∈R ，－x 0－1≤0”，则綈p 为( )A ．∃x 0∈R ，－x 0－1≥0B ．∃x 0∈R ，－x 0－1>0C ．∀x ∈R ，e x －x －1>0D ．∀x ∈R ，e x －x －1≥0答案　C解析　根据全称命题与特称命题的否定关系，可得綈p 为“∀x ∈R ，e x －x －1>0”，故选C.2．(2020·山东模拟)设命题p ：所有正方形都是平行四边形，则綈p 为( )A ．所有正方形都不是平行四边形13log x 12x 12x 0e x0e x0e xB．有的平行四边形不是正方形C．有的正方形不是平行四边形D．不是正方形的四边形不是平行四边形答案　C解析　“所有”改为“存在”(或“有的”)，“都是”改为“不都是”(或“不是”)，即綈p 为有的正方形不是平行四边形．3．命题：“∃x0∈R，sin x0＋cos x0>2”的否定是________________．答案　∀x∈R，sin x＋cos x≤24．(2019·邯郸一中测试)若命题p的否定是“对所有正数x，x>x＋1”，则命题p是____________________．答案　∃x0∈(0，＋∞)，x0≤x0＋1思维升华　对全称命题、特称命题进行否定的方法(1)找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词；(2)对原命题的结论进行否定．根据命题的真假求参数的取值范围例2　(1)已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0；命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围为__________．答案　(－∞，－2]解析　由命题p为真，得a≤0，由命题q为真，得Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≤－2或a≥1，所以a≤－2.(2)已知f (x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝(12)x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f (x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________________．答案　[14，＋∞)解析　当x∈[0,3]时，f (x)min＝f (0)＝0，当x∈[1,2]时，g(x)min＝g(2)＝14－m，由题意得f (x)min≥g(x)min，即0≥14－m，所以m≥14.本例中，若将“∃x2∈[1,2]”改为“∀x2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是________________．答案　[12，＋∞)解析　当x∈[1,2]时，g(x)max＝g(1)＝12－m，由题意得f (x)min≥g(x)max，即0≥12－m，∴m≥12.思维升华　(1)已知命题的真假，可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围．(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．跟踪训练2　(1)由命题“∃x0∈R，x20＋2x0＋m≤0”是假命题，求得实数m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a＝________.答案　1解析　由题意得命题“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，所以Δ＝4－4m<0，即m>1，故实数m的取值范围是(1，＋∞)，从而实数a的值为1.(2)若f (x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，∀x1∈[－1,2]，∃x0∈[－1,2]，使g(x1)＝f (x0)，则实数a 的取值范围是________．答案　(0，12]解析　由于函数g(x)在定义域[－1,2]内是任意取值的，且必存在x0∈[－1,2]，使得g(x1)＝f (x0)，因此问题等价于函数g(x)的值域是函数f (x)值域的子集．函数f (x)的值域是[－1,3]，因为a>0，所以函数g(x)的值域是[2－a,2＋2a]，则有2－a≥－1且2＋2a≤3，即a≤12.故a的取值范围是(0，12].1．下列命题中是假命题的是( )A．∃x0∈R，log2x0＝0 B．∃x0∈R，cos x0＝1C．∀x∈R，x2>0 D．∀x∈R,2x>0答案　C解析　因为log21＝0，cos 0＝1，所以选项A，B均为真命题，02＝0，选项C为假命题，2x>0，选项D为真命题，故选C.2．(2020·长沙期末)命题p ：“∀x ∈N *，(12)x ≤12”的否定为( )A ．∀x ∈N *，(12)x >12B ．∀x ∉N *，(12)x >12C ．∃x 0∉N *，>12D ．∃x 0∈N *，>12答案　D解析　命题p 的否定是把“∀”改成“∃”，再把“(12)x ≤12”改为“>12”即可，故选D.3．下列命题是真命题的是( )A ．所有的素数都是奇数B ．∀x ∈R ，x 2＋1≥0C ．对于每一个无理数x ，x 2是有理数D ．∀x ∈Z ，1x ∉Z答案　B解析　对于A,2是素数，但2不是奇数，A 假；对于B ，∀x ∈R ，总有x 2≥0，则x 2＋1≥0恒成立，B 真；对于C ，π是无理数，(π)2＝π还是无理数，C 假；对于D,1∈Z ，但11＝1∈Z ，D 假，故选B.4．若命题p ：∀x ∈R,2x 2－1>0，则该命题的否定是( )A ．∃x 0∈R,2x 20－1<0 B ．∀x ∈R,2x 2－1≥0C ．∃x 0∈R,2x 20－1≤0 D ．∀x ∈R,2x 2－1<0答案　C解析　由题意，根据全称命题与特称命题的关系，可得命题p ：∀x ∈R,2x 2－1>0的否定是“∃x 0∈R,2x 20－1≤0”．5．已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)≥0，则綈p 是( )A ．∃x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)≤0B ．∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<012x 0⎛⎫ ⎪⎝⎭12x 0⎛⎫ ⎪⎝⎭12x 0⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0答案　C解析　已知全称命题p ：∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)≥0，则綈p ：∃x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0，故选C.6．已知命题“∃x 0∈R,4x 20＋(a －2)x 0＋14≤0”是假命题，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0) B ．[0,4]C ．[4，＋∞) D ．(0,4)答案　D解析　因为命题“∃x 0∈R,4x 20＋(a －2)x 0＋14≤0”是假命题，所以其否定“∀x ∈R,4x 2＋(a －2)x ＋14>0”是真命题，则Δ＝(a －2)2－4×4×14＝a 2－4a <0，解得0<a <4，故选D.7．(2019·福州质检)给出下列说法：①“x ＝π4”是“tan x ＝1”的充分不必要条件；②定义在[a ，b ]上的偶函数f (x )＝x 2＋(a ＋5)x ＋b 的最大值为30；③命题“∃x 0∈R ，x 0＋1x 0≥2”的否定是“∀x ∈R ，x ＋1x >2”．其中正确说法的个数是( )A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案　C解析　由x ＝π4，得tan x ＝1，但由tan x ＝1不一定推出x ＝π4，可知“x ＝π4”是“tan x ＝1”的充分不必要条件，所以①正确；若定义在[a ，b ]上的函数f (x )＝x 2＋(a ＋5)x ＋b 是偶函数，则Error!解得Error!则f (x )＝x 2＋5，其在[－5,5]上的最大值为30，所以②正确；命题“∃x 0∈R ，x 0＋1x 0≥2”的否定是“∀x ∈R ，x ＋1x <2”，所以③错误．综上可知，正确说法的个数为2.故选C.8．(多选)有四个关于三角函数的命题，其中是真命题的是( )A ．∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2B ．∃x 0∈R ，sin 2x 0＝sin x 0C ．∀x ∈[－π2，π2]，1＋cos 2x2＝cos xD ．∀x ∈(0，π)，sin x >cos x 答案　BC解析　对于选项A ，因为sin x 0＋cos x 0＝2sin (x 0＋π4)，所以sin x 0＋cos x 0的最大值为2，可得不存在x 0∈R ，使sin x 0＋cos x 0＝2成立，故命题A 是假命题；对于选项B ，因为存在x 0＝k π或±π3＋2k π(k ∈Z )，使sin 2x 0＝sin x 0成立，故命题B 是真命题；对于选项C ，因为1＋cos 2x2＝cos 2x ，所以1＋cos 2x2＝|cos x |，结合x ∈[－π2，π2]得cos x ≥0，由此可得1＋cos 2x2＝cos x ，故命题C 是真命题；对于选项D ，因为当x ＝π4时，sin x ＝cos x ＝22，不满足sin x >cos x ，所以存在x ∈(0，π)，使sin x >cos x 不成立，故命题D 是假命题．9．(2020·北京通州区模拟)已知命题“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a >0”的否定为假命题，则实数a 的取值范围是______________．答案　(56，＋∞)解析　由“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a >0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x 2－5x ＋152a >0对任意实数x 恒成立．设f (x )＝x 2－5x ＋152a ，则其图象恒在x 轴的上方．故Δ＝25－4×152a <0，解得a >56，即实数a 的取值范围为(56，＋∞).10．已知命题“∀x ∈R ，sin x －a ≥0”是真命题，则a 的取值范围是________．答案　(－∞，－1]解析　由题意，对∀x ∈R ，a ≤sin x 成立．由于对∀x ∈R ，－1≤sin x ≤1，所以a ≤－1.11．若命题“∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题，则k 的取值范围是________________．答案　(－4,0]解析　“对∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题，当k ＝0时，则有－1<0；当k ≠0时，则有k <0且Δ＝(－k )2－4×k ×(－1)＝k 2＋4k <0，解得－4<k <0，综上所述，实数k 的取值范围是(－4,0]．12．已知下列命题：①“∀x ∈(0,2)，3x >x 3”的否定是“∃x 0∈(0,2)，≤x 30”；②若f (x )＝2x －2－x ，则∀x ∈R ，f (－x )＝－f (x )；③若f (x )＝x ＋1x ＋1，则∃x 0∈(0，＋∞)，f (x 0)＝1.其中真命题是________．(将所有真命题的序号都填上)答案　①②解析　对于①，命题“∀x ∈(0,2)，3x >x 3”的否定是“∃x 0∈(0,2)，≤x 30”，故①为真命题；对于②，若f (x )＝2x －2－x ，则∀x ∈R ，f (－x )＝2－x －2x ＝－(2x －2－x )＝－f (x )，故②为真命题；对于③，对于函数f (x )＝x ＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1－1≥2－1＝1，x >－1，当且仅当x ＝0时，f (x )＝1，故③为假命题．故答案为①②.13．(2019·石家庄质检)命题“∀x ∈R ，f (x )·g (x )≠0”的否定是( )A ．∀x ∈R ，f (x )＝0且g (x )＝0B ．∀x ∈R ，f (x )＝0或g (x )＝0C ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝0且g (x 0)＝0D ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝0或g (x 0)＝0答案　D解析　根据全称命题与特称命题的互为否定的关系可得：命题“∀x ∈R ，f (x )·g (x )≠0”的否定是“∃x 0∈R ，f (x 0)＝0或g (x 0)＝0”．故选D.14．若“∃x 0∈[12，2]，使得2x 20－λx 0＋1<0成立”是假命题，则实数λ的取值范围是________．答案　(－∞，22]解析　若“∃x 0∈[12，2]，使得2x 20－λx 0＋1<0成立”是假命题，即“∃x 0∈[12，2]，使得λ>2x 0＋1x 0成立”是假命题，x 0∈[12，2]，当x 0＝22时，2x 0＋1x 0取最小值22，03x 03x故实数λ的取值范围为(－∞，22]．15．(多选)下列命题正确的是( )A．∃x0>0，ln x0＋1ln x0≤2B．命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是“∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1”C．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的必要不充分条件D．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件答案　ABD解析　当x0＝12>0时，ln x0<0，ln x0＋1ln x0<0，故A正确；根据特称命题的否定为全称命题，得“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是“∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1”，故B正确；当x≥2且y≥2时，x2＋y2≥4，当x2＋y2≥4时却不一定有x≥2且y≥2，如x＝5，y＝0，因此“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件，故C错误；因为当a≠0时，ab有可能等于0，当ab≠0时，必有a≠0，所以“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件，故D正确．16．已知p：∀x∈[14，12]，2x>m(x2＋1)，q：函数f (x)＝4x＋2x＋1＋m－1存在零点．若命题p，q一真一假，则实数m的取值范围是____________．答案　[817，1)解析　∀x∈[14，12]，2x>m(x2＋1)，即m<2x x2＋1＝2x＋1x在[14，12]上恒成立，当x＝14时，(x＋1x)max＝174，∴(2x x2＋1)min＝817，∴若p为真，则m<8 17 .设t＝2x，则t∈(0，＋∞)，则函数f (x)化为g(t)＝t2＋2t＋m－1，由题意知g(t)在(0，＋∞)上存在零点，令g(t)＝0，得m＝－(t＋1)2＋2，又t>0，所以若q为真，则m<1.又命题p，q一真一假，则Error!或Error!解得817≤m<1.故所求实数m的取值范围是[817，1).。

全称量词与存在量词建议用时：45分钟一、选择题1．已知命题p：∃x0∈R，log2(3x0＋1)≤0，则()A．p是假命题；¬p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0B．p是假命题；¬p：∀x∈R，log2(3x＋1)＞0C．p是真命题；¬p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0D．p是真命题；¬p：∀x∈R，log2(3x＋1)＞0B[因为3x＞0，所以3x＋1＞1，则log2(3x＋1)＞0，所以p是假命题，¬p：∀x∈R，log2(3x＋1)＞0.故应选B.]2．[多选]已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是()A．命题¬p是假命题B．命题p是特称命题C．命题p是全称命题D．命题p既不是全称命题也不是特称命题AC[该命题是全称命题且是真命题．故选AC.]3．下列特称命题中真命题的个数为()①存在实数x0，使x20＋2＝0；②有些角的正弦值大于1；③有些函数既是奇函数又是偶函数．A．0B．1C．2 D．3B[因为x2＋2≥2，所以①是假命题；因为∀x∈R均有|sin x|≤1，所以②是假命题；f(x)＝0既是奇函数又是偶函数，③是真命题．故选B.]4．已知命题p：若a＞|b|，则a2＞b2；命题q：若x2＝4，则x＝2.下列说法正确的是()A．p为真命题B．q为真命题C ．“¬p ”为真命题D ．“¬q ”为假命题A [由a ＞|b |≥0，得a 2＞b 2，所以命题p 为真命题．因为x 2＝4⇔x ＝±2，所以命题q 为假命题．“¬p ”为假命题，“¬q ”为真命题．综上所述，可知选A.]5．(2019·玉溪模拟)有四个关于三角函数的命题： P 1：∃x ∈R ，sin x ＋cos x ＝2； P 2：∃x ∈R ，sin 2x ＝sin x ； P 3：∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，1＋cos 2x2＝cos x ； P 4：∀x ∈(0，π)，sin x ＞cos x . 其中真命题是( )A ．P 1，P 4B ．P 2，P 3C ．P 3，P 4D ．P 2，P 4B [因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以sin x ＋cos x 的最大值为2，可得不存在x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝2成立，得命题P 1是假命题；因为存在x ＝k π(k ∈Z )，使sin 2x ＝sin x 成立，故命题P 2是真命题； 因为1＋cos 2x2＝cos 2x ，所以1＋cos2x 2＝|cos x |，结合x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2得cos x ≥0，由此可得1＋cos 2x2＝cos x ，得命题P 3是真命题； 因为当x ＝π4时，sin x ＝cos x ＝22，不满足sin x ＞cos x ，所以存在x ∈(0，π)，使sin x ＞cos x 不成立，故命题P 4是假命题．故选B.]6．设命题p ：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0＋1x 0＞3；命题q ：∀x ∈(2，＋∞)，x 2＞2x ，则下列说法正确的是( )A ．p ，q 都是真命题B ．p ，q 都是假命题C ．p 为真命题，q 为假命题D ．p 为假命题，q 为真命题C [命题p ：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0＋1x 0＞3，是真命题，例如取x 0＝4；命题q ：∀x ∈(2，＋∞)，x 2＞2x ，是假命题，例如取x ＝4时，x 2＝2x .故选C.]7．(2019·福建三校联考)若命题“∃x0∈R，使得3x20＋2ax0＋1＜0”是假命题，则实数a的取值范围是()A．[－3，3]B．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C．(－∞，－3]D．[3，＋∞)A[命题“∃x0∈R，使得3x20＋2ax0＋1＜0”是假命题，即“∀x∈R，3x2＋2ax＋1≥0”是真命题，故Δ＝4a2－12≤0，解得－3≤a≤ 3.]二、填空题8．已知函数f(x)的定义域为(a，b)，若“∃x0∈(a，b)，f(x0)＋f(－x0)≠0”是假命题，则f(a＋b)＝________．0[若“∃x0∈(a，b)，f(x0)＋f(－x0)≠0”是假命题，则“∀x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)＝0”是真命题，即f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数，则a＋b＝0，即f(a＋b)＝f(0)＝0.]9．以下四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2＞0恒成立；②∃x0∈Q，x20＝2；③∃x0∈R，x20＋1＝0；④∀x∈R，4x2＞2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________．0[∵x2－3x＋2＝0的判别式Δ＝(－3)2－4×2＞0，∴当x＞2或x＜1时，x2－3x＋2＞0才成立，∴①为假命题；当且仅当x＝±2时，x2＝2，∴不存在x0∈Q，使得x20＝2，∴②为假命题；对∀x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题；4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，∴④为假命题，∴①②③④均为假命题．故真命题的个数为0.]10．已知命题“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a ＞0”的否定为假命题，则实数a 的取值范围是________．(56，＋∞) [由“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a ＞0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x 2－5x ＋152a ＞0对任意实数x 恒成立．设f (x )＝x 2－5x ＋152a ，则其图象恒在x 轴的上方，所以Δ＝25－4×152a ＜0，解得a ＞56.故实数a 的取值范围为(56，＋∞).]1．(2019·惠州第一次调研)设命题p ：若定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，则∀x ∈R ，f (－x )≠f (x ).命题q ：f (x )＝x |x |在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．则下列判断错误的是( )A ．p 为假命题B ．¬q 为真命题C ．p 为真命题D ．q 为假命题C [函数f (x )不是偶函数，仍然可∃x ∈R ，使得f (－x )＝f (x )，p 为假命题；f (x )＝x |x |＝⎩⎨⎧x 2（x ≥0），－x 2（x ＜0）在R 上是增函数，q 为假命题．故选C.]2．[多选]已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x ＞x 2；q ：“ab ＞1”是“a ＞1，b ＞1”的充分不必要条件，则下列说法正确的是( )A ．p 为真命题B ．p 为假命题C ．q 为真命题D ．q 为假命题BD [命题p ：对任意x ∈R ，总有2x ＞x 2，它是假命题，例如取x ＝2时，2x 与x 2相等．q ：由a ＞1，b ＞1⇒ab ＞1；反之不成立，例如取a ＝10，b ＝12.∴“ab ＞1”是“a ＞1，b ＞1”的必要不充分条件，即q 是假命题．故选BD.] 3．若∃x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得2x 20－λx 0＋1＜0成立是假命题，则实数λ的取值范围是________．(－∞，22] [因为∃x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得2x 20－λx 0＋1＜0成立是假命题，所以∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得2x 2－λx ＋1≥0恒成立是真命题，即∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得λ≤2x ＋1x 恒成立是真命题，令f (x )＝2x ＋1x ，则f ′(x )＝2－1x 2，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，22时，f ′(x )＜0，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤22，2时，f ′(x )＞0，所以f (x )≥f (22)＝22，则λ≤2 2.]4．已知命题p ：x 2＋2x －3＞0；命题q ：13－x ＞1，若p 为真命题，q 为假命题，则x 的取值范围是________．(－∞，－3)∪(1，2]∪[3，＋∞) [q 为真命题时，x －2x －3＜0，即2＜x ＜3，所以q 为假命题时，有x ≥3或x ≤2；p 为真命题时，由x 2＋2x －3＞0，解得x ＞1或x ＜－3，由⎩⎨⎧x ＞1或x ＜－3，x ≥3或x ≤2， 得x ≥3或1＜x ≤2或x ＜－3，所以x 的取值范围是(－∞，－3)∪(1，2]∪[3，＋∞).]1．[一题两空]已知命题p ：∀x ∈[0，1]，a ≥e x ；命题q ：∃x 0∈R ，使得x 20＋4x 0＋a ＝0.若命题p 为真命题，则实数a 的取值范围为______；若命题p ，q 都为真命题，则实数a 的取值范围是_______．[e ，＋∞) [e ，4] [由已知命题p ，q 都是真命题．由∀x ∈[0，1]，a ≥e x ，得a ≥e ；由∃x 0∈R ，使x 20＋4x 0＋a ＝0，知Δ＝16－4a ≥0，得a ≤4，因此e ≤a ≤4.]2．已知函数f (x )＝x 2－x ＋1x －1(x ≥2)，g (x )＝a x (a ＞1，x ≥2).(1)若∃x 0∈[2，＋∞)，使f (x 0)＝m 成立，则实数m 的取值范围为________． (2)若∀x 1∈[2，＋∞)，∃x 2∈[2，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值范围为________．(1)[3，＋∞) (2)(1，3] [(1)∵f (x )＝（x －1）2＋（x －1）＋1x －1＝(x －1)＋1x －1＋1，∵x≥2，∴x－1≥1，∴f(x)≥2（x－1）·1x－1＋1＝3.当且仅当x－1＝1x－1，即x－1＝1，x＝2时等号成立．∴m∈[3，＋∞).(2)∵g(x)＝a x(a＞1，x≥2)，∴g(x)min＝g(2)＝a2.∵∀x1∈[2，＋∞)，∃x2∈[2，＋∞)使得f(x1)＝g(x2)，∴g(x)min≤f(x)min，∴a2≤3，即a∈(1，3].]快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。

2．设 n∈N＋，一元二次方程 x2－4x＋n＝0 有整数根的充要条件是 n＝ __3_或___4__.
解析 由 Δ＝16－4n≥0，得 n≤4. 又 n∈N＋，则 n＝1,2,3,4.当 n＝1,2 时，方程没有整数根；当 n＝3 时， 方程有整数根 1,3， 当 n＝4 时，方程有整数根 2.综上可知，n＝3 或 4.
(4)∃ x0∈Q，x20＝3； (5)∀ x∈R，x2－3x＋2>0； (6)∃ x0∈R，x20＋1＝0. 解 (1)由于∀ x∈R，都有 x2≥0，因而有 x2＋2≥2>0，即 x2＋2>0，所 以命题“∀ x∈R，x2＋2>0”是真命题. (2)由于 0∈N，当 x＝0 时，x4≥1 不成立，所以命题“∀ x∈N，x4≥1” 是假命题. (3)由于－1∈Z，当 x＝－1 时，能使 x3<1，所以命题“∃ x0∈Z，x30<1” 是真命题.
2．(2020·石家庄模拟)设 a，b 都是不等于 1 的正数，则“3a>3b>3”是
“loga3<logb3”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B 解析 “3a>3b>3”等价于“a>b>1”，“loga3<logb3”等价于“a>b>1 或 0<a<1<b 或 0<b<a<1”，从而“3a>3b>3”是“loga3<logb3”的充分不必要条件．故 选 B.
□09 既不充分也
条件
p⇒/ q 且 q⇒/ p A，B 互不 □10 包含
3．全称量词和存在量词 量词名词
常见量词

第三节全称量词与存在量词[最新考纲] 1.理解全称量词与存在量词的意义.2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1．全称量词和存在量词(1)全称量词：“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词．通常用符号“∀x”表示“任意x”．(2)存在量词：“有一个”“有些”“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词．通常用符号“∃x”表示“存在x”．2．全称命题和存在性命题命题名语言表示符号表示命题的否定称全称命对M中任意一个x，都有p(x)成立∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x) 题存在性存在M中的一个x，使p(x)成立∃x∈M，p(x)∀x∈M，p(x) 命题(1)全称命题为真，严格证明；全称命题为假，列举反例；(2)存在性命题为真，列举特例；存在性命题为假，严格证明．[常用结论]含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)∃x∈M，p(x)与∀x∈M，p(x)的真假性相反．( )(2) 命题“末位数字都是0的整数能被5整除”的否定为“末位数字都不是0的整数不能被5整除”．( )(3)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．( )(4)“全等的三角形面积相等”是全称命题．( )[答案](1)√(2)×(3)×(4)√二、教材改编1．命题“∀x ∈R ，x 2＋x ≥0”的否定是( ) A ．∃x 0∈R ，x 20＋x 0≤0 B ．∃x 0∈R ，x 20＋x 0＜0 C ．∀x ∈R ，x 2＋x ≤0D ．∀x ∈R ，x 2＋x ＜0B [由全称命题的否定是存在性命题知选项B 正确．故选B.] 2．下列命题中的假命题是( ) A ．∃x 0∈R ，lg x 0＝1 B ．∃x 0∈R ，sin x 0＝0C ．∀x ∈R ，x 3＞0D ．∀x ∈R,2x＞0C [当x ＝10时，lg 10＝1，则A 为真命题；当x ＝0时，sin 0＝0，则B 为真命题；当x ≤0时，x 3≤0，则C 为假命题；由指数函数的性质知，∀x ∈R,2x ＞0，则D 为真命题．故选C.]3．若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．1 [因为0≤x ≤π4，所以0≤tan x ≤1，又因为∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ，故m ≥1，即m 的最小值为1.]4．命题“实数的平方都是正数”的否定是________．存在一个实数的平方不是正数 [全称命题的否定是存在性命题，故应填：存在一个实数的平方不是正数．]考点1 全称命题、存在性命题 (1)全称命题与存在性命题的否定①改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．②否定结论：对原命题的结论进行否定． (2)全称命题与存在性命题真假的判断方法 命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称命题 真 所有对象使命题真 否定为假 假 存在一个对象使命题假 否定为真 存在性命题 真存在一个对象使命题真否定为假全称命题、存在性命题的否定(1)(2019·西安模拟)命题“∀x ＞0，xx －1＞0”的否定是( )A．∃x＜0，xx－1≤0 B．∃x＞0,0≤x≤1C．∀x＞0，xx－1≤0 D．∀x＜0,0≤x≤1(2)已知命题p：∃m∈R，f(x)＝2x－mx是增函数，则p为( ) A．∃m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数B．∀m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数C．∃m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数D．∀m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数(1)B(2)D[(1)因为xx－1＞0，所以x＜0或x＞1，所以xx－1＞0的否定是0≤x≤1，所以命题的否定是∃x＞0,0≤x≤1，故选B.(2)由存在性命题的否定可得p为“∀m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数”．]全称(存在性)命题的否定方法：∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，綈p(x0)，简记：改量词，否结论．全称命题、存在性命题的真假判断(1)下列命题中的假命题是( )A．∀x∈R，x2≥0B．∀x∈R,2x－1＞0C．∃x0∈R，lg x0＜1D．∃x0∈R，sin x0＋cos x0＝2(2)下列四个命题：其中的真命题是( )A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4(1)D(2)D[(1)A显然正确；由指数函数的性质知2x－1＞0恒成立，所以B正确；当0＜x ＜10时，lg x ＜1，所以C 正确；因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以－2≤sin x＋cos x ≤2，所以D 错误．(2)对于p 1，当x 0∈(0，＋∞)时，总有成立，故p 1是假命题；对于p 2，当x 0＝12时，有1＝log 1212＝log 1313＞log 1312成立，故p 2是真命题；对于p 3，结合指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与对数函数y ＝log 12x 在(0，＋∞)上的图象，可以判断p 3是假命题；对于p 4，结合指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与对数函数y ＝log 13x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上的图象可以判断p 4是真命题．] 因为命题p 与﹁p 的真假性相反，因此不管是全称命题，还是存在性命题，当其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．1.命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( )A ．∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )＞n B ．∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )＞n C ．∃x 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)＞n 0 D ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)＞n 0D [“f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定为“f (n )∉N *或f (n )＞n ”，全称命题的否定为存在性命题，故选D.]2．已知命题p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，使得cos x 0≤x 0，则綈p 为________，是________命题(填“真”或“假”)．∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，都有cos x ＞x 假 [綈p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，都有cos x ＞x ，此命题是假命题．]考点2 由命题的真假确定参数的取值范围 根据命题真假求参数的方法步骤(1)根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)． (2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围． (3)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．已知p ：存在x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p 或q 为假命题，求实数m 的取值范围．[解] 依题意知p ，q 均为假命题，当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是真命题时，则有Δ＝m 2－4＜0，－2＜m ＜2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.所以实数m 的取值范围为[2，＋∞)． [母题探究]1．(变问法)在本例条件下，若p ∧q 为真，求实数m 的取值范围． [解] 依题意知p ，q 均为真命题，当p 是真命题时，有m ＜0； 当q 是真命题时，有－2＜m ＜2，由⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，－2＜m ＜2，可得－2＜m ＜0.所以实数m 的取值范围为(－2,0)．2．(变问法)在本例条件下，若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求实数m 的取值范围． [解] 若p ∧q 为假，p ∨q 为真，则p ，q 一真一假． 当p 真q 假时⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，m ≥2或m ≤－2，所以m ≤－2；当p 假q 真时⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－2＜m ＜2，所以0≤m ＜2.所以m 的取值范围是(－∞，－2]∪[0,2)．根据命题的真假求参数取值范围的策略(1)全称命题可转化为恒成立问题，存在性命题可转化为能成立问题．(2)含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，转化为函数的最值解决．1.已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12A [当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0， 当x ∈[1,2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14，故选A.]2．已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，则实数a 的取值范围是________．(－∞，－12)∪(－4,4) [命题p 等价于Δ＝a 2－16≥0，即a ≤－4或a ≥4；命题q 等价于－a4≤3，即a ≥－12.由p 或q 是真命题，p 且q 是假命题知，命题p 和q 一真一假．若p 真q 假，则a ＜－12；若p 假q 真，则－4＜a ＜4.故a 的取值范围是(－∞，－12)∪(－4,4)．]。