当前位置：文档之家 › (专家预测卷考前必做)2011年全国高中数学联合竞赛加试试题、参考答案(2).

(专家预测卷考前必做)2011年全国高中数学联合竞赛加试试题、参考答案(2).

  • 格式：doc
  • 大小：5.36 MB
  • 文档页数：14

（专家预测卷考前必做）2011年全国高中数学联合竞赛加试试题、参考答案.2011 .9. 23一、填空题（本题满分64分，每小题8分）1．在数列{}n a 中，12a =，21a =-，且21n n n a a a ++=-，1,2,n = ．则2011a ＝ ．2．设a ，b ，c 是正整数，且成等比数列，b a -是一个完全平方数，666log log log 6a b c ++=，则a b c ++= ．3．一列数123,,,a a a 满足对于任意正整数n ，都有312n a a a n +++= ，则23100111111a a a +++=--- ． 4．设1a <-，变量x 满足2x ax x +≤-，且2x ax +的最小值为12-，则a =_______．5．正整数500n ≤，具有如下性质：从集合{}1,2,,500 中任取一个元素m ，则m 整除n 的概率是1100，则n 的最大值是 . 6．集合{1,2,…,2011}的元素和为奇数的非空子集的个数为 . 7．一个直径2AB =的半圆，过A 作这个圆所在平面的垂线，在垂线上取一点S ，使A S A B =，C 为半圆上一个动点，,N M 分别为A 在,SC SB 上的射影．当三棱锥S AMN -的体积最大时，BAC ∠=_________．8．直线2y kx =-交抛物线28y x =于,A B 两点，若AB 中点的横坐标为2，则AB = .二、解答题（第9题16分，第10、11题各20分，共56分）9.（本小题满分16分）设[),,1x y z ∈+∞，，证明不等式2222(22)(22)(22)()22x x y y z z xyz xyz -+-+-+≤-+．10.（本小题满分20分）已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的离心率为2，过点(0)P m ，（0m >）斜率为1的直线l 交双曲线C 于A 、B 两点，且3AP PB = ，3OA OB ⋅=．（1）求双曲线方程；（2）设Q 为双曲线C 右支上动点，F 为双曲线C 的右焦点，在x 轴负半轴上是否存在定点M 使得2QFM QMF ∠=∠？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．11.（本小题满分20分） 设12,,,,n x x x 是不同的正实数.证明：12,,,,n x x x 是一个等比数列的充分必要条件是：对所有整数(2)n ≥，都有2221112212121n nn k k k x x x x x x x x x -=+-=-∑.加 试1. （本题满分40分）实数a 使得对于任意实数12345,,,,x x x x x ，不等式222221234512233445()x x x x x a x x x x x x x x ++++≥+++都成立，求a 的最大值．2. （本题满分40分）在直角三角形ABC 中，90B ∠=︒，它的内切圆分别与边BC ，CA ，AB 相切与点D ，E ，F ，连接AD ，与内切圆相交于另一点P ，连接PC ，PE ，PF ．已知PC PF ⊥，求证：PE ∥BC ．F C BA3．（本题满分50分）对正整数n ，记()f n 为数231n n ++的十进制表示的数码和．(1) 求()f n 的最小值；(2) 是否存在一个正整数n ，使得()f n =100？4．（本题满分50分）求满足如下条件的最小正整数n ，在圆O 的圆周上任取n 个点12,,,n A A A ，则在2n C 个角(1)i j A OA i j n ∠≤<≤中，至少有2011个不超过120︒．参考答案一 试1. 0．因为12a =，21a =-，33a =，44a =，51a =，63a =，72a =，81a =，91a =，100a =，111a =，121a =，130a =，…．所以，自第8项起，每三个相邻的项周期地取值1，1，0，故2011a =0．2． 111．由题意，2b ac =，6log 6abc =，所以，66abc =，故2636b ==，236ac =． 于是，36－a 是平方数，所以，a 只可能为11，20，27，32，35，而a 是236的约数，故27a =．进而，48c =．所以，111a b c ++=．3．33100． 当2n ≥时，有312n a a a n +++= ， 3121(1)n a a a n -+++=- ，两式相减，得 2331n a n n =-+， 所以11111(),2,3,13(1)31n n a n n n n==-=--- 故23100111111a a a +++--- 11111111(1)()()32323399100=-+-++- 1133(1)3100100=-=． 4． 32-．由1a <-及2x ax x +≤-得：0(1)x a ≤≤-+，设222()()24a a f x x ax x =+=+-．若(1)2aa -+<-，即21a -<<-，则()f x 在(1)x a =-+处取最小值(1)1f a a --=+，因此112a +=-，32a =-． 若(1)2a a -+≥-，即2a ≤-，则()f x 在2a x =-处取最小值24a -，因此2142a -=-，a =． 5． 81.由题设知，n 恰有5个约数.设n 的质因数分解是11k kn p p αα= ，则n 的约数个数为1(1)(1)k αα++ ，所以1(1)(1)k αα++ ＝5，故n 具有4p 的形式，而44381,5625500==>，故n 的最大值为81.6． 22010．令f (x )=(1+x )(1+x 2)(1+x 3)…(1+x 2011),问题中要求的答案为f (x )的展开式中，x 的奇次项的系数和．故所求的答案为21(f (1)－f (－1))=22010.7．． 易知BC SAC ⊥面，所以BC AN ⊥，从而AN SBC ⊥面，所以AN SM ⊥，因此SM AMN ⊥面．13S AMN ANM V SM S -∆=⋅⋅，由2SA AB ==得：AM SM ==，而AN NM ⊥，AMN ∆面积最大在1AN MN ==时取到，此时，BAC ∠=8． 设()()1122,,,A x y B x y ，由228ky y =-，即28160k y y --=，所以，1212816, y y y y k k +==-，因此()12128444y y k x x k k=+=+-=-，即220k k --=，因直线2y kx =-过()0,2-和122,2y y +⎛⎫⎪⎝⎭，则0k >，于是2k =，再由22y x =-，28y x =，解得((2 2, 2 2A B -+，所以AB =9.注意到1,1x y ≥≥，所以222(22)(22)(()22)x x y y xy xy -+-+--+ 222(22)(624)(242)y x y y x y y =-++--+-+22(1)((2)1)y x y x y =--+-+-2(1)(1)(1)0y x x y =---+-≤，所以 222(22)(22)()22x x y y x y x y -+-+≤-+． 同理，因为1,1xy z ≥≥，所以222(()22)(22)()22xy xy z z xyz xyz -+-+≤-+．10.（1）由双曲线离心率为2知，2c a =，b =，双曲线方程化为222213x y a a -=． 又直线l 方程为y x m =+．由222213x y a a y x m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，得2222230x mx m a ---=． ①设11()A x y ，，22()B x y ，，则12x x m +=，221232m a x x --=． 因为 3AP PB =，所以 1122()3()x m y x y m --=-，，，123x x =-．结合12x x m +=，解得132x m =，212x m =-．代入221232m a x x --=，得2223342m a m ---=，化简得226m a =．又 1212121222221212()()2()33OA OB x x y y x x x m x m x x m x x m m a a ⋅=+=+++=+++=-=，且3OA OB ⋅=．所以21a =．此时，m2290x --=，显然该方程有两个不同的实根．21a =符合要求．故双曲线C 的方程为2213y x -=． （2）假设点M 存在，设(0)M t ，．由（1）知，双曲线右焦点为(20)F ，．设00()Q x y ，（01x ≥）为双曲线C 右支上一点．当02x ≠时，00tan 2Q F y QFM k x ∠=-=--，00tan Q M yQMF k x t∠==-，因为2QFM QMF ∠=∠，所以 0002000221()y y x ty x x t⨯--=---．将220033y x =-代入，并整理得，22200002(42)4223x t x t x tx t -++-=--++． 于是 242243t t t t +=-⎧⎨-=+⎩，解得1t =-． 当02x =时，090QFM ∠=，而1t =-时，045QMF ∠=，符合2Q F M Q M F∠=∠． 所以1t =-符合要求．满足条件的点M 存在，其坐标为(10)-，．11.必要性：若12,,,,n x x x 是一个等比数列，设1k k x ar -=，则22(1)1112111211n n n n k k k k k x x r x x x rr----==+=∑∑2(1)22(2)2111n n r r rr ---=+++=-＝2212221n x x x x --.充分性：当n ＝2时，两边都等于1.当n ＝3时，有222233311222122321x x x x x x x x x x x x ⎛⎫-+= ⎪-⎝⎭， 化简得2132x x x =，所以，123,,x x x 成等比数列.假设121,,,n x x x - 成等比数列（4n ≥），记1k k x ar -=，1,2,,1k n =- ，n n x au =，则2232522111111n nn n n u u r r r r r u r --⎛⎫-++++= ⎪-⎝⎭ ， 2242632224(1)(1)(1)n n n n n n u r r r r u r u r---⎡⎤+++++-=-⎣⎦ ， 21324()0n n n n n u r r u r ------=，()()130n n nn ur u r ---+=，因为0n u >，所以1n n u r -=，即1n n x ar -=，从而12,,,n x x x 成等比数列.由数学归纳法知，12,,,,n x x x 是一个等比数列.加 试1． a因为当123451,2,1x x x x x =====时，得a ≤．又当a =时，不等式恒成立．事实上2222212345222222223322441522332233x x x x x x x x x x x x x ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1223345x x x x x x x≥， 所以，a2．连接DE ，DF ，则△BDF 是等腰直角三角形．于是45FPD FDB ∠=∠=︒，故45DPC ∠=︒．又PDC PFD ∠=∠，所以△PFD ∽ △PDC ，所以PF PDFD DC=． ① 又由AFP ADF ∠=∠，AEP ADE ∠=∠，所以，△AFP ∽ △ADF ，△AEP ∽△ADE ，于是EP AP AP FPDE AE AF DF===，故由①得 EP PDDE DC=． ② 因为EPD EDC ∠=∠，结合②得，△EPD ∽ △EDC ，所以，△EPD 也是等腰三角形，于是PED EPD EDC ∠=∠=∠，所以，PE ∥BC ．F CBA3．（1）由于231n n ++是大于3的奇数，故()1f n ≠．若()2f n =，则231n n ++只能为首位和末位为1，其余数码为0的一个数，即231n n ++=101k +，k 是大于1的整数．于是(31)25k k n n +=⋅，由于(),311n n +=，所以2,315,k kn n ⎧=⎪⎨+=⎪⎩于是314425k kn n +≤=⋅<，矛盾！故()2f n ≠． 又当n =8时，231n n ++=201，所以(8)3f =． 综上所述，()f n 的最小值为3. （2）事实上，令101k n =-，则22313105103k k n n ++=⨯-⨯+1129999500003k k --=， 他的数码和为29(1)5391k k +-++=+．由于100=9×11+1，所以，取11101n =-，则()f n =100.4．首先，当n ＝90时，如图，设AB 是圆O 的直径，在点A 和B 的附近分别取45个点，此时，只有245245441980C =⨯=个角不超过120︒，所以，n ＝90不满足题意．当n ＝91时，下面证明至少有2011个角不超过120︒．把圆周上的91个点1291,,,A A A 看作一个图的91个顶点，1291,,,v v v ，若120i j A OA ∠>︒，则在它们对应的顶点,i j v v 之间连一条边，这样就得到一个图G ． 设图G 中有e 条边，易知，图中没有三角形．若e ＝0，则有29140952011C =>个角不超过120︒，命题得证．若1e ≥，不妨设顶点12,v v 之间有边相连，因为图中没有三角形，所以，对于顶点(3,4,,91)i v i = ，它至多与12,v v 中的一个有边相连，所以12()()89291d v d v +≤+=，其中()d v 表示顶点v 的度，即顶点v 处引出的边数．因为1291()()()2d v d v d v e +++= ，而对于图G 中的每一条边的两个顶点,i j v v ，都有()()91i j d v d v +≤，于是，上式对每一条边求和可得2221291(())(())(())91d v d v d v e +++≤ ，由柯西不等式222221*********[(())(())(())][()()()]4d v d v d v d v d v d v e +++≥+++= ，所以 222212914(())(())(())9191e d v d v d v e ≤+++≤ ， 故29120714e ≤<，所以，91个顶点中，至少有291207120242011C -=>个点对，它们之间没有边相连，从而，它们对应的顶点所对应的角不超过120︒．综上所述，n 但最小值为91．A目录第1讲集合与函数综合问题第2讲三角函数与反三角函数第3讲等差数列与等比数列第4讲递归数列第5讲不等式第6讲数学归纳法第7讲复数第8讲平面几何问题(1)第9讲平面几何问题(2)第10讲立体几何第11讲解析几何第12讲数论问题第13讲组合问题第14讲计数问题全国高中数学联赛模拟题（1）全国高中数学联赛模拟题（2）全国高中数学联赛模拟题（3）全国高中数学联赛模拟题（4）学奥数这里总有一本适合你。

合集下载

2011年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(B卷)

2011年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(B卷)

2011年全国高中数学联合竞赛（B 卷）一试一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。

2011B1、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若201011S S -=，则2011S = ． ◆答案：10092011★解析：因为{}n a 是等差数列，所以201011S S -=即120091006=a ，得200911006=a ， 所以2011S =()20092011201122011100620111==+a a a2011B 2、已知复数z 的模为1，若1z z =和2z z =时1z i ++分别取得最大值和最小值，则12z z -= .◆答案：()i +12★解析：由z i i z z i ++≤++≤-+111，即12112+≤++≤-i z ，当i z ++1取得最大值（最小值）时，z 与i +1共线，且方向相同（相反）， 又⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+4sin 4cos 21ππi i ，所以4sin 4cos 1ππi z +=，45sin45cos 2ππi z += 所以()i i i z z +=--+=-1245sin 45cos4sin4cos 21ππππ2011B 3、若正实数b a ,满足2211≤+ba ，32)(4)(ab b a =-，则=b a log . ◆答案： 1- ★解析：由2211≤+ba ，得ab b a 22≤+． 又 23322)(8)(24)(44)(4)(ab ab ab ab ab b a ab b a =⋅⋅≥+=-+=+，即ab b a 22≥+． ①于是 ab b a 22=+．②再由不等式①中等号成立的条件，得1=ab ．与②联立解得⎩⎨⎧+=-=,12,12b a 或⎩⎨⎧-=+=,12,12b a ，故1log -=b a ．2011B 4、把扑克牌中,2,,,,A J Q K 的分别看作数字1,2,,11,12,13.现将一副扑克牌中的黑桃、红桃各13张放在一起，从中随机取出2张牌，其花色相同且两个数的积是完全平方数的概率为_____． ◆答案：652 ★解析：从26张牌中任意取出2张，共有325226=C 种取法。

2011年全国高中数学联赛辽宁赛区预赛试卷及解析

2011年全国高中数学联赛辽宁赛区预赛试卷及解析

2011年全国高中数学联赛辽宁赛区预赛试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、选择题1.已知，；则“|x|<1，且|y|<1”是“|x+y|+|x−y|<2” 的（）A. 充分条件而非必要条件B. 必要条件而非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分条件亦非必要条件2.函数f(x)=√x−3+√12−3x的值域为（）.A. [1,√2]B. [1,32]C. [1,√3]D. [l,2]3.一个盒子里有3个黑球和4个白球，现从盒子里随机每次取出一个球，取出后不再放回，每个球被取出的可能性相等，直到某种颜色的球全部被取出.则最后取出的是黑球的概率为（）A. 35B. 47C. 12D. 374.l、l′是互相垂直的异面直线，l与平面α平行,l′在平面α内.则在平面α内到l、l′距离相等的点的轨迹是（）.A. 直线B. 椭圆C. 抛物线D. 双曲线5.设正数数列{a n}的前n项和为b n，数列{b n}的前n项积为c n，且b n+c n=1.则数列}中最接近2011的数是（）.{1a nA. 1980B. 2010C. 2040D. 20706.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的与棱长为1，在侧面对角线A1D上取点M，CD1上取点N，使得线段MN平行于对角面A1ACC1.则这样的MN长度的最小值（）A. √33B. √22C. 1D. √2第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明y =2x a (a ∈R )的交点.8.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为12，F 1、F 2为左、右焦点，过F 2的直线与椭圆交于A 、B 两点.若ΔF 1AB 面积的最大值为6，求椭圆的方程.9.如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，对边BC 、AD 交于点F ，AB 、DC 交于点E .ΔECF 的外接圆与⊙O 的另一交点为H ，AH 与EF 交于点M ，MC 与⊙O 交于点G .证明：（1）M 为EF 的中点； （2）A 、G 、E 、F 四点共圆.10.已知定义在R 上的函数f n (x )具有下列性质：（i ）f n (0)=12；（ii ）n (f n (k+1n)−f n (k n)) =(f n (k n)−1)f n (k+1n )(k =0,1,⋯)（1）当n 为定值时，记a k =1f n (kn)，求a k 的表达式；（2）对n ∈N +，证明：14<f n (1)≤13三、填空题11.设(1+x −x )a 0+a 1x +⋯+a 20x 20.则a 0+a 1+2a 2+⋯+20a 20=______.12.已知直线√3x −y −√3=0与抛物线y 2=4x 交于A 、B 两点(点A 在x 轴上方)，与x轴交于点F .若OF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =λOA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +μOB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，则μ2-λ2=______. 13.设正实数集合A={a 1,a 2⋯,a 100}，集合S ={(a,b )|a ∈A,b ∈A,a −b ∈A }.则集合S 中的元素最多有______个. 14.函数y=sinx +2x 的最大值与最小值之和为______.15.函数f(x)=12+log2x1−x，定义S n=f(1n)+f(2n)+⋯+f(n−1n)，其中，n∈N+，n≥2.则S n=______.16.将凸五边形ABCDE的每个顶点染上五种颜色之一，使每条对角线的两个端点颜色不同的染色方式共有______种（用数字作答）.参考答案1.C【解析】1.注意到，|x +y |+|x −y |=2max {|x |,|y |},所以2|x|＜2，且2|y|＜2，所以|x |<1，且|y |<1.故“|x |<1，且|y |<1”是“|x +y |+|x −y |<2” 的充分必要条件. 故答案为：C 2.D【解析】2. 因为3≤x ≤4，所以，0≤x −3≤1.令x−3=sin 2θ(0≤θ≤π2),则f (x )=√x −3+√34−x =sinθ+√31−sin 2θ) =sinθ+√3cosθ=2sin (θ+π3),故1=2sin (π2+π3) ≤f (x )≤2sin (π6+π3)=2.因此，f (x )的值域为[1,2]. 故答案为：D 3.B【解析】3.7个球全被取出的方式共有C 73=35种， 3个黑球全被取出的方式有C 63=20种，故所求概率为2035=47. 故答案为：B 4.D【解析】4.如图，在平面α内以l ′为x 轴，以l 在平面α内的投影为y 轴建立直角坐标系.则平面α内动点M (x,y )到l ′的距离为|y |，到l 的距离为√x 2+a 2 (a 是异面直线l 和l ′的距离).故|y|=√x2+a2,y2−x2=a2因此，所求轨迹是双曲线.故答案为：D5.A【解析】5.由已知b n=c n cn−1(n≥2)，c1=b1=12.则c nc n−1+c n=1⇒1c n−1c n−1=1,⇒1c n =2+(n−1)×1=n+1⇒c n=1n+1⇒b n=nn+1,⇒a n=b n−b n−1=nn+1−n−1n=1n(n+1)⇒1a n=n(n+1)因为44×45=1980，45×46=2070，所以，数列{1an}中最接近2011的数是1980.故答案为：A6.A【解析】6.如图，作MM1⊥AD于点M1，NN1⊥DC于点N1.易证M1N1//AC.设DM1=DN1=x,则MM1=x，NN1=1−x.过M作MH⊥NN1于点H.则NH=1−2x，M1N1=√2x.由勾股定理得MN2=(√2x)2+(1−2x)2=6(x−13)2+13当x=13时，MN取到最小值√33.故答案为：A7.见解析【解析】7.设t=2x.于是，问题转化为求直线y=at和圆弧y=2−√1−t2(0<t≤1)的交点.由圆弧的图像在第一象限，若有交点，则a>0，且y≤2.此时，交点在第一象限，故0<t≤1.当0<a<√3时，直线与圆弧不相交.当a=√3时，直线与圆弧相切，有一个交点(√32,32).当√3<a≤2时，直线与圆弧有两个交点.当a>2时，直线与圆弧有一个交点.由at=2−2⇒(a2+1)t2−4at+3=0⇒t=2a±√a2−3a2+1.综上，当a<√3时，两曲线无交点；当a=√3时，两曲线有一个交点(12log23−1,32)；当√3<a≤2时，两曲线有两个交点(log22a−√a2−3a2+1,2−2+a√a2−3a2+1)、(log22a+√a2−3a2+1,2+a√a2−3−2a2+1);当a>2时，两曲线有一个交点(log22a−√a 2−3a2+1,2−2+a√a2−3a2+1).8.x 28+y26=1【解析】8.设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，直线l AB :x =my +c . 将其代入椭圆方程得(a 2+b 2m 2)y 2+2b 2cmy −b 4=0.故S ΔF 1AB=12|F 1F 2||y 1−y 2| =c ⋅√Δa 2+b 2m =2ab 2c√1+m 2c 2+b 2(1+m 2).由e=c a=12，得a =2c ，b =√a 2−c 2=√3c则S ΔF 1AB=12c 2√1+m21+3(1+m 2)=4c 2(√1+m 2+3√1+m 2)−1.而√1+m 2√2=23√1+m 2+13(√1+m 2+√1+m 2)≥23+13×2=43. 于是，S ΔF 1AB ≤4c 2×34=3c 2. 当且仅当m =0时，S ΔF 1AB =3c 2.故3c 2=6，c 2=2，a 2=8，b 2=6.因此，所求方程为x 28+y 26=1.9.（1）见解析；（2）见解析【解析】9.（1）如图，联结EH 、CH 、FH 则∠FAM =∠DAH =∠DCH .由E 、C 、H 、F 四点共圆知∠DCH =∠HFM .则∠FAM=∠HFM .因为∠HMF =∠FMA ，所以，ΔHMF ∽ΔFMA . 从而，MF 2=MH ⋅MA . 同理，ME 2=MH ·MA .故MF 2=ME 2⇒MF =ME .因此，M 为EF 的中点.（2）联结GA ，延长CM 到点I 使MC =MI .易知，四边形CEIF 为平行四边形. 则∠EIF=∠ECF =∠BCD =180°−∠EAF .故A 、E 、I 、F 四点共圆. 因为∠GAE=∠GAB =∠GCB =∠FCI =∠EIC =∠EIG ，所以，A 、G 、E 、I 四点共圆. 故A 、G 、E 、I 、F 五点共圆.10.（1）a k =1+(1+1n )k；（2）见解析【解析】10. （1）由题设知n (1a k+1−1a n)=(1a k−1)1a k+1⇒(n +1)a k −na k+1=1⇒a k+1−1a k −1=1+1n.从而，数列{a k −1}是以a 0−1为首项、1+1n为公比的等比数列. 因此，a k=1+(1+1n )k.（2）由（1）得f n (1)=1a n=[1+(1+1n )n]−1.欲证14<f n (1)≤13，只需证2≤(1+1n)n<3.事实上，(1+1n )n≥1+n ×1n=2，(1+1n)n=1+∑C n k nk=1⋅1n k≤1+∑1k!nk=1≤2+∑1k−1nk=2<3.11.−9【解析】11. 令x=0，得a 0=1.对题设等式两边求导得10(1+x−x 2)9(1−2x )，a 1+2a 2x +⋯+20a 20x 19.令x=1，得a 1+2a 2+⋯+20a 20=−10，则a 0+a 1+2a 2+⋯+20a 20=−9.故答案为：-9 12.12【解析】12.易知，F (1,0)为抛物线y 2=4x 的焦点.将y=√3x −√3代入y 2=4x ，得3x 2−10x +3=0.则A(3,2√3)、B (13,−2√33).由题设得(1,0)=λ(3,2√3)+μ(13,−2√33). 解得λ=14,μ=34.从而，μ2-λ2=12.故答案为：12 13.4950【解析】13.由集合A 中的元素构成的有序实数对(a,b )共有1002=10000个.因为a i −a i=0∉A ，所以，(a i ,a i )∉S(i =1,2,⋯,100).当(a i ,a j )∈S 时，(a j ,a i )∉S . 于是，集合S 中元素的个数最多为12(10000−100)=4950.当a 2=i(i =1,2,⋯,100)时，S 中元素的个数为4950.故答案为：4950 14.2√2【解析】14. 由−1≤sinx ≤1，0≤cos 2x ≤1，知当x =3π2时，sinx+2x 取最小值√2−1.令sinx =√3cosθ，其中，θ∈√3arccos √3)]⊂(π4,3π4)则√2+cos 2x =√3sinθ. 从而，y =√6sin (θ+π4).由θ+π4∈(π2,π)，知y =√6sin (θ+π4)单调减少.则y max=√6sin (3π4) =√6(√2√3⋅1√21√3⋅1√2)=√2+1故最大值与最小值之和为2√2. 故答案为：2√2 15.n−12【解析】15. 当x 1+x 2=1时，f (x 1)+f (x 2)=1+log 2x 1x 2(1−x 1)(1−x 2)= 1+log 2x 1x 2x 1x 2=1+log 21=1，则S n=12∑(f (i n )+f (n−i n ))=n−12n−1i=1. 故答案为：n−1216.1020【解析】16.所有顶点颜色不同的染色方式有A 55=120种，两个相邻顶点颜色相同其余顶点颜色不同的染色方式有A 51A 54=5(5×4×3×2)=600种，两对相邻顶点分别同色余下一个顶点颜色不同的染色方式有A 51A 54=5(5×4×3)=300种.故共有1020种染色方式. 故答案为：1020。

2011年全国高中数学联赛安徽赛区初赛试卷解答(word版)

2011年全国高中数学联赛安徽赛区初赛试卷解答(word版)

2011年全国高中数学联赛安徽赛区初赛试卷2011.9.101．本试卷共12小题，满分150分；2．用钢笔、签字笔或圆珠笔作答；3．书写不要超过装订线；4．不能使用计算器．一、填空题（每题8分，共64分）1．以|X|表示集合X 的元素个数．若有限集合A, B,C 满足|A ∪B|=20,|B ∪C|=30,|C ∪A|=40,则A ∩B ∩C 的最大可能值为 ．2．设a是正数．若()f x =,x R ∈的最小值为10, 则a = ． 3．己知实系数多项式32()f x ax bx cx d =+++满足(1)2,(2)4,(3)6f f f ===，则(0)f +(4)f 的所有可能值集合为 ．4．设展开式01(51),2011n n n x a a x a x n +=+++≥ ．若201101max{,,,}n a a a a = ，则 n = ．5．在如图所示的长方体ABCD-EFGH 中，设P 是矩形EFGH 的中心，线段AP 交平面BDE 于点Q, AB = 3，AD =2, AE=1，则PQ= ．6．平面上一个半径r 的动圆沿边长a 的正三角形的外侧滚动，动圆扫过区域的面积为 ．7．设直角坐标平面上的点（x ，y ）与复数x+yi 一一对应．若点A,B 分别对应复数1,()z z z R -∉，则直线AB 与x 轴的交点对应的复数为 （用z 表示）．8．设n 是大于4的偶数．随机选取正n 边形的4个顶点构造四边形，得到矩形的概率为 ．二、解答题（第9一10题每题22 分，第11一12题每题21分，共86 分）9．已知数列｛n a ｝满足12121,14n n a a a a a -++===- ．求n a 的通项公式． 10．己知正整数12,,,n a a a 都不是素数，并且两两互素．求证：1211112n a a a +++< ． 11．设32()(,,f x ax bx cx d a b c =+++是实数），当01x ≤≤时，0()1f x ≤≤．求b 的最大可能值．12．设点A(-1,0), B(1,0),C(2,0),D 在在双曲线221x y -=的左上，D ≠A,直线CD 交双曲线221x y -=的右支于点E ．求证：直线AD 与BE 的交点P 在直线12x =上．第5题图 第6题图参考答案1．10．2．2． 12．{32} 4． 2413 5．4．6．264ar r π+．7．1z zzz ++．8．3(1)(3)n n --．9．1221144n n n n a a a a a ---++=-=-121111()2222n n n n n a a a a ----⇒-=-==121221n n n n a a n ---⇒=+==12n n na -⇒=．10．设k a 的最小素因子k p ，因为k a 不是素数，所以2k k a p ≥．于是 22211111111111114(21)4(21)1242n n n nk k k k k k a p k k n ====≤≤+≤+=-<---∑∑∑∑． 11．由(0),(1),f c f a b c f c⎧⎪=⎪⎪=++⎨⎪⎪=+⎪⎩可知2(1)1)(0)b f f =--≤2())f x x x =-满足题设，b12．设1122(,),(,),(,)D x y E x y P x y ，直线CD 的方程为(2)y k x =-，则 222(2)1x k x --=，① 所以，212241k x x k -+=-，2121221451()14k x x x x k +=-=-++-， 1212(1)(1)11y y x y x x x +==-+-， 所以，21212121121221212121212211112322341111y y x x x x x xx x x x x y y x x x x x x x x --++-+-+--===-------+-+． 把①代入上式，得12x =．。

2011年全国高中数学联赛模拟卷(1)(一试+二试-附详细解答)

2011年全国高中数学联赛模拟卷(1)(一试+二试-附详细解答)

全国高中数学联赛模拟卷(1)第一试(考试时间：80分钟 满分：120分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1229x <+的解集为 ．3．直线2kx y -=||1x =-有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是__ _______. ．5．所有的满足条件11aba b a b a b a b ---=⋅++的正整数对(,)a b 的个数为 ．6．设,,a b c 为方程3120x k x k --=的根（121k k +≠），则111111a b ca b c+++++=--- __. ．8．已知A , B , C 为△ABC 三内角, 向量)2sin 3,2(cosBA B A +-=,2||=α.如果当C 最大时,存在动点M , 使得|||,||,|MB AB MA 成等差数列, ||AB __ ___.二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）11．已知函数,72sin 3|)cos ||sin (|)(--+=x x x a x f 其中a 为实数，求所有的数对(a , n )(n ∈N *),使得函数)(x f y =在区间),0(πn 内恰好有2011个零点．ABCPQ ID O 1 I 1I 2全国高中数学联赛模拟卷(1)加试(考试时间：150分钟 满分：180分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、（本题满分40分）在Rt ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的高，记12,,I I I 分别是△ADC , △BCD , △ABC 的内心，I 在AB 边上的射影为1O ，,CAB ABC ∠∠的角平分线分别交,BC AC 于,P Q ， 且PQ 的连线与CD 相交于2O ，求证：四边形1122I O I O 为正方形．三、（本题满分50分）设+∈N k ，定义11=A ，2)1(221+++=+n n nA A kn n ， ,2,1=n证明：当1≥n 时，n A 为整数，且n A 为奇数的充要条件是)4(m od 21或≡n 四、（本题满分50分）试求最小的正整数,n 使得对于任何n 个连续正整数中，必有一数，其各位数字之和是7的倍数.2011年全国高中数学联赛模拟卷(1)答案1． 由0211≠+-x 得0,21≠-≥x x ，原不等式可变为()922112+<++x x解得845<x 故原不等式的解集为145,00,28⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦2．答案：②⑤，解：由对称性可知，所得图形应为中心对称图形，且②⑤可以截得3．提示：44[2,)(,2]33--⋃, 曲线为两个半圆，直线过定点（0，−2），数形结合可得.4．答案：0，1，12,12i i -+-- 解：322z z z +==2z z ⋅，∴2(12)0z z z +-=当 0z =时，满足条件，当 0z ≠时，2120z z +-=设 22(,),212()z a bi a b R a b abi a bi =+∈-++--则∴ 22120(1)220(2)a b a ab b ⎧-+-=⎨+=⎩ ，由(2) 2(1)0b a +=1）0b = 代入(1) 整理得：2(1)01a a -=⇒=2）0b ≠，则 1a =- 代入(1) 得：242b b =⇒=±，经检验复数1,12z i =-±均满足条件. ∴ z 的所有可能值为0，1，12,12i i -+--.5．解：显然1a b >≥．由条件得11a a b a a b -->⋅1b a b -⇒>11b a b -⇒≥+，从而有bab b b ≥+即b b ab b ≤-，再结合条件及以上结果，可得11a b a b a b a b a b --⋅++=-aa ab b ≥-+，整理得 11a a b a ab a a b --+≥-⋅()11a b a a b --=⋅-1a a -≥，从而()211a a a a a a ab a -=+-≥+≥即31a a-≤，所以23a ≤≤．当2a =时，1b =，不符合；当3a =时，2b =（1b =不符合）．综上，满足本题的正整数对(),a b 只有()32，，故只有1解．6．答案：1212331k k k k ++--，由题意，312()()()x k x k x a x b x c --=--- 由此可得0a b c ++=，1ab bc ca k ++=-，2abc k =以及121(1)(1)(1)k k a b c --=---1113()()3111(1)(1)(1)a b c a b c ab bc ca abc a b c a b c +++-++-+++++=------1212331k k k k ++=--7．提示：甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为92=81个，由不等式a −2b +10>0得2b <a +10，于是，当b =1、2、3、4、5时，每种情形a 可取1、2、…、9中每一个值，使不等式成立，则共有9×5=45种；当b =6时，a 可取3、4、…、9中每一个值，有7种；当b =7时，a 可取5、6、7、8、9中每一个值，有5种；当b =8时，a 可取7、8、9中每一个值，有3种；当b =9时，a 只能取9，有1种。