高三一轮复习第四章平面向量与复数检测题

第四章 第四讲A 组基础巩固一、选择题1．(2016·全国卷Ⅱ)设复数z 满足z ＋i ＝3－i ，则z ＝导学号 30071345( C ) A ．－1＋2i B ．1－2i C ．3＋2iD ．3－2i[解析] 易知z ＝3－2i ，所以z ＝3＋2i 。

2．(2016·四川)设i 为虚数单位，则复数(1＋i)2＝ 导学号 30071346( C ) A ．0 B ．2 C ．2iD ．2＋2i[解析] (1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i ．3．若(x ＋i)2是纯虚数(其中i 为虚数单位)，则x ＝导学号 30071347( A ) A ．±1 B ．2 C ．－1D ．1 [解析] (x ＋i)2＝x 2－1＋2x i ，因为(x ＋i)2是纯虚数，所以x ＝±1． 4．(2016·河北辛集中学月考)若复数2－b i1＋2i(b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b 等于导学号 30071348( C )A ． 2B ．23C ．－23D ．2[解析]2－b i 1＋2i ＝(2－b i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝2－2b －(4＋b )i5，由题意得2－2b 5－4＋b 5＝0，得b ＝－23．5．(2017·内蒙古赤峰二中高三上学期第三次模拟数学试题)复数1i －2＋11－2i的虚部为导学号 30071349( A )A ．15B ．15iC ．－15D ．－15i[解析] 首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，把复数整理成最简形式，进行加法运算，写出复数的标准形式，得到复数的虚部．解：复数1i －2＋11－2i ＝－i －2(－2－i )(－2＋i )＋1＋2i (1＋2i )(1－2i )＝－2－i 5＋1＋2i 5＝－15＋15i ，∴虚部是15，故选A ．6．(2017·甘肃省武威十八中高三上学期第三次月考数学试题)已知复数z ＝103＋i －2i(其中i 为虚数单位)，则|z |＝导学号 30071350( B )A ．3 3B ．3 2C ．2 3D ．2 2[解析] 根据复数的运算法则和复数的模计算即可． 解：z ＝103＋i －2i ＝10(3－i )(3＋i )(3－i )－2i ＝3－i －2i ＝3－3i ， 则|z |＝32，故选B ．7．(教材改编题) 已知i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i 的点是导学号 30071351( D )A ．EB ．FC ．GD ．H[解析] 由题图知复数z ＝3＋i ，所以z1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i 2＝2－i.所以表示复数z1＋i的点为H .故选D ． 8．(2017·四川省成都市石室中学高三上学期期中数学试题)若复数z 满足i z ＝1＋2i ，其中i 为虚数单位，则在复平面上复数z 对应的点的坐标为导学号 30071352( D )A ．(－2，－1)B ．(－2,1)C ．(2,1)D ．(2，－1)[解析] 利用复数的运算法则、几何意义即可得出．解：z ＝1＋2i i ＝(1＋2i )(－i )－i 2＝2－i ，∴在复平面上复数z 对应的点的坐标为(2，－1)． 故选D ．9．(2017·湖南省长沙市长郡中学高三上学期摸底数学试题)已知z ＝(1－i 2)2 016(i 是虚数单位)，则z 等于导学号 30071353( B )A ．－1B ．1C ．0D ．i[解析] 直接利用复数的除法以及乘方运算法则化简求解即可． 解：z ＝(1－i 2)2 016＝[(1－i )2]1 00821 008＝21 008i 1 00821 008＝1．故选B ．10．(2016·辽宁沈阳模拟)在复平面内，复数11＋i ，11－i (i 为虚数单位)对应的点分别为A ，B ，若点C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数为导学号 30071354( A )A ．12B ．1C ．－12iD ．i[解析] 因为11＋i ＝12－12i ，11－i ＝12＋12i ，所以点C 对应的复数为12，故选A ．二、填空题11．(2016·江苏)复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是5 .导学号 30071355[解析] 复数z ＝(1＋2i)(3－i)＝5＋5i ，其实部是5．12．(2016·天津)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(1＋i)(1－b i)＝a ，则ab 的值为2 .导学号 30071356[解析] (1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，所以b ＝1，a ＝2，ab＝2．13．(2016·山东济南模拟)有下列四个命题：①若z ∈C ，则z 2≥0；②若a >b ，则a ＋i>b ＋i ；③若x ，y ∈R ，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件为x ＝y ＝1；④若实数a 与复数a i 对应，则实数集与纯数集一一对应．其中正确命题的序号是③.导学号 30071357[解析] ①错误，若z ＝i ，则z 2＝i 2＝－1<0；②错误，因为a >b ，所以a ，b ∈R ，但a＋i ，b ＋i 都是虚数，不能比较大小；③正确；④错误，当a ＝0，没有纯数和0对应．三、解答题14．计算：(1)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ；(2)1－i (1＋i )2＋1＋i (1－i )2； (3)1－3i (3＋i )2.导学号 30071358 [解析] (1)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i ＝i2＋i ＝i (2－i )5＝15＋25i ．(2)1－i (1＋i )2＋1＋i (1－i )2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i2＝－1．(3)1－3i (3＋i )2＝(3＋i )(－i )(3＋i )2＝－i 3＋i＝(－i )(3－i )4＝－14－34i ．[解法总结] 进行复数代数形式的四则运算，一方面要严格执行运算法则；另一方面也要注意一些常用的运算技巧，如本题中的1＋i1－i ＝i 的性质，其实复数的除法运算就是分母实数化的运算．B 组能力提升1．(2016·东北师大附中、吉林市一中等五校联考)复数z ＝1－3i1＋2i ，则导学号 30071359( D )A ．|z |＝2B ．z 的实部为1C ．z 的虚部为－iD ．z 的共轭复数为－1＋i[解析] ∵z ＝1－3i 1＋2i ＝(1－3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝－1－i ，∴|z |＝2，z 的实部为－1，虚部为－1，z＝－1＋i ，故选D ．2．(2017·天津市静海县第一中学、宝坻区第一中学等五校期末数学(理)试题)已知复数z ＝1－i(i 是虚数单位)，则z ＋2iz等于导学号 30071360( B )A ．2B ．2iC ．2－iD ．2＋2i[解析] 因z ＝1＋i ，2i z ＝i(1＋i)＝－1＋i ，故z ＋2iz ＝1＋i ＋i －1＝2i ，应选B ．3．(2017·广东省广州市六校联考高三上学期12月调研数学试题)若复数z ＝a ＋i1－2i(a ∈R ，i 是虚数单位)是纯虚数，则|a ＋2i|等于导学号 30071361( B )A ．2B ．2 2C ．4D ．8[解析] 先将z 计算化简成代数形式，根据纯虚数的概念求出a ，再代入|a ＋2i|计算即可．解：z ＝a ＋i 1－2i ＝(a ＋i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝a －2＋(2a ＋1)i 5.根据纯虚数的概念得出⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1≠0a －2＝0∴a ＝2．∴|a ＋2i|＝|2＋2i|＝22＋22＝2 2.故选B ．[点拨] 本题考查了复数代数形式的混合运算，纯虚数的概念、复数的模．考查的均为复数中基本的运算与概念．4．(2016·天星大联考)设复数z 满足z －iz ＋1＝i(i 为虚数单位)，则z 2 016＝导学号 30071362( A )A ．21 008B ．21 008iC ．－21 008D ．－21 008i[解析] 由z －i z ＋1＝i 得z －i ＝z i ＋i ，z ＝2i1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i ，则z 2＝(－1＋i)2＝－2i ，从而z 2 016＝(z 2)1 008＝(－2i)1 008＝21 008×i 1 008＝21 008×(i 4)252＝21 008.故选A ．5．已知复数z ＝b i(b ∈R )，z －21＋i是实数，i 是虚数单位.导学号 30071363 (1)求复数z ；(2)若复数(m ＋z )2所表示的点在第一象限，求实数m 的取值范围． [解析] (1)因为z ＝b i(b ∈R )，所以z －21＋i ＝b i －21＋i ＝(b i －2)(1－i )(1＋i )(1－i )＝(b －2)＋(b ＋2)i 2＝b －22＋b ＋22i ．又因为z －21＋i是实数，所以b ＋22＝0，所以b ＝－2，即z ＝－2i ．(2)因为z ＝－2i ，m ∈R ，所以(m ＋z )2＝(m －2i)2＝m 2－4m i ＋4i 2＝(m 2－4)－4m i ，又因为复数(m ＋z )2所表示的点在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4>0，－4m >0.解得m <－2，即m ∈(－∞，－2).。

【课堂新坐标】（安徽专用）2015届高考数学一轮总复习 第四章 平面向量与复数 第1节 课后限时自测 理一、选择题1．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( ) A.PA →＋PB →＝0 B.PC →＋PA →＝0 C.PB →＋PC →＝0D.PA →＋PB →＋PC →＝0【解析】 由BC →＋BA →＝2BP →知，点P 是线段AC 的中点， 则PC →＋PA →＝0. 【答案】 B2．(2014·佛山调研)已知e 1≠0，λ∈R ，a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1，则a 与b 共线的条件是( )A ．λ＝0B ．e 2＝0C ．e 1∥e 2D ．e 1∥e 2或λ＝0【解析】 若e 1与e 2共线，则e 2＝λ′e 1，∴a ＝(1＋λλ′)e 1，此时a ∥b ，若e 1与e 2不共线，设a ＝μb ，则e 1＋λe 2＝μ·2e 1，∴λ＝0,1－2μ＝0.【答案】 D3．下列命题中是真命题的是( )①对任意两向量a 、b ，均有：|a |－|b |＜|a |＋|b |； ②对任意两向量a 、b ，a －b 与b －a 是相反向量； ③在△ABC 中，AB →＋BC →－AC →＝0；④在四边形ABCD 中，(AB →＋BC →)－(CD →＋DA →)＝0. A ．①②③ B ．②④ C ．②③④ D ．②③【解析】 ①假命题．∵当b ＝0时，|a |－|b |＝|a |＋|b |. ∴该命题不成立．②真命题，这是因为(a －b )＋(b －a )＝0， ∴a －b 与b －a 是相反向量．③真命题．∵AB →＋BC →－AC →＝AC →－AC →＝0. ④假命题．∵AB →＋BC →＝AC →，CD →＋DA →＝CA →， ∴(AB →＋BC →)－(CD →＋DA →)＝AC →－CA →＝AC →＋AC →≠0，∴该命题不成立． 【答案】 D4．如图4－1－2所示，向量OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，A 、B 、C 在一条直线上，若AC →＝－3CB →，则( )图4－1－2A ．c ＝－12a ＋32bB ．c ＝32a －12bC ．c ＝－a ＋2bD ．c ＝a ＋2b【解析】 ∵OC →＝OA →＋AC →＝OA →＋3BC →＝OA →＋3(OC →－OB →)＝3OC →＋OA →－3OB →， ∴2OC →＝－OA →＋3OB →， ∴c ＝OC →＝－12a ＋32b .【答案】 A5．(2012·浙江高考)设a ，b 是两个非零向量( ) A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b | 【解析】 由|a ＋b |＝|a |－|b |知(a ＋b )2＝(|a |－|b |)2， ∴a 2＋2a ·b ＋b 2＝|a |2－2|a ||b |＋|b |2， ∴a ·b ＝－|a ||b |.∵a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，∴cos 〈a ，b 〉＝－1， 因此A 不正确，C 正确(如λ＝－1)，若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a －b |≠|a |－|b |，B 不正确． 对于D ，当λ＝1时，显然不成立． 【答案】 C 二、填空题6．设a ，b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋pb ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为________．【解析】 ∵BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ， 又A ，B ，D 三点共线， ∴存在实数λ，使AB →＝λBD →.即⎩⎪⎨⎪⎧2＝2λ，p ＝－λ，∴p ＝－1.【答案】 －17．(2014·揭阳模拟)已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA →＋OB →＋OC →＝0，则△ABC 的内角A 等于________．【解析】 由OA →＋OB →＋OC →＝0，知点O 为△ABC 重心， 又O 为△ABC 外接圆的圆心， ∴△ABC 为等边三角形，A ＝60°. 【答案】 60°8．(2014·扬州质检)设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC 2→＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|＝________.【解析】 如图所示，以AB 、AC 为邻边构造平行四边形ABDC ，且AD 、BC 相交于一点M .∵AB →＋AC →＝AD →，AB →－AC →＝CB →，且|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|， ∴|AD →|＝|CB →|，则四边形ABDC 是矩形． 由BC 2→＝16，得|BC →|＝4， ∴|AM →|＝12|AD →|＝12|BC →|＝2.【答案】 2 三、解答题9．已知D 为三角形ABC 边BC 的中点，点P 满足PA →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD →，求实数λ的值．【解】 如图所示，由AP →＝λPD →，且PA →＋BP →＋CP →＝0，则P 是以AB 、AC 为邻边的平行四边形的第四个顶点．因此AP →＝－2PD →，则λ＝－2.10．设a ，b 是不共线的两个非零向量．(1)若OA →＝2a －b ，OB →＝3a ＋b ，OC →＝a －3b ，求证：A 、B 、C 三点共线． (2)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a －3b ，CD →＝2a －kb ，且A 、C 、D 三点共线，求k 的值． 【解】 (1)证明 AB →＝OB →－OA →＝a ＋2b ， AC →＝OC →－OA →＝－a －2b .所以AC →＝－AB →， 又因为A 为公共点， 所以A 、B 、C 三点共线．(2)AC →＝AB →＋BC →＝(a ＋b )＋(2a －3b )＝3a －2b ， 因为A 、C 、D 三点共线，所以AC →与CD →共线．从而存在实数λ使AC →＝λCD →，即3a －2b ＝λ(2a －kb )，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λ，－2＝－λk ，解得λ＝32，k ＝43，所以k ＝43.B 组 能力提升1．(2014·青岛调研)已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】 如图所示，由MA →＋MB →＋MC →＝0知，点M 为△ABC 的重心，设点D 为边BC 的中点，则由向量加法可知：AB →＋AC →＝AH →＝2AD →. 由重心性质，AM →＝23AD →，则AD →＝32AM →，所以AB →＋AC →＝2AD →＝3AM →，因此m ＝3. 【答案】 B2．(2014·常州质检)若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为________．【解析】 设AB 的中点为D ，由5AM →＝AB →＋3AC →，得3AM →－3AC →＝2AD →－2AM →，即3CM →＝2MD →. 如图所示，故C ，M ，D 三点共线，且MD →＝35CD →，则△ABM 与△ABC 的面积比为35.【答案】 353．设O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)．求点P 的轨迹，并判断点P 的轨迹通过下述哪一个定点： ①△ABC 的外心；②△ABC 的内心；③△ABC 的重心； ④△ABC 的垂心．【解】 如图，记AM →＝AB →|AB →|，AN →＝AC →|AC →|，则AM →，AN →都是单位向量，∴|AM →|＝|AN →|，AQ →＝AM →＋AN →，则四边形AMQN 是菱形，∴AQ 平分∠BAC . ∵OP →＝OA →＋AP →，由条件知OP →＝OA →＋λAQ →， ∴AP →＝λAQ →(λ∈[0，＋∞))，∴点P 的轨迹是射线AQ ，且AQ 通过△ABC 的内心．。

第四章 平面向量与复数第1课时 平面向量的概念与线性运算一、 填空题1. 下列命题中正确的是________．(填序号) ① 单位向量的模都相等；② 长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量； ③ 若a ，b 满足|a|＞|b|且a 与b 同向，则a ＞b ； ④ 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ⑤ 对任意非零向量a ，b ，必有|a ＋b|≤|a|＋|b|. 答案：①④⑤解析：单位向量的模均为1，故①正确；共线包括同向和反向，故②不正确；向量不能比较大小，故③不正确；根据向量的表示，知④正确；由向量加法的三角形法则知⑤正确．2. 若菱形ABCD 的边长为2，则|AB →－CB →＋CD →|＝________． 答案：2解析：|AB →－CB →＋CD →|＝|AB →＋BC →＋CD →|＝|AD →|＝2.3. 已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2.若A ，B ，D 三点共线，则k ＝________. 答案：－8解析：若A ，B ，D 三点共线，则AB →∥BD →，设AB →＝λBD →.因为BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2，所以2e 1＋k e 2＝λ(e 1－4e 2)＝λe 1－4λe 2，所以λ＝2，k ＝－4λ，所以k ＝－8.4. 在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3DC ，设AB →＝a ，AD →＝b ，E 为BC 的中点，则AE →＝________．(用a ，b 表示)答案：23a ＋12b解析：BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－23AB →＋AD →，AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－23AB →＝23AB →＋12AD →＝23a ＋12b .5. 如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝________．答案：CF →解析：由题图知BA →＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →＋CB →＝CB →＋BF →＝CF →.6. (2017·泰州模拟)设D 为△ABC 所在平面内一点，AD →＝－13AB →＋43AC →，若BC →＝λDC→(λ∈R )，则λ＝________．答案：－3解析：由AD →＝－13AB →＋43AC →，可得3AD →＝－AB →＋4AC →，即4AD →－4AC →＝AD →－AB →，则4CD →＝BD →，即BD →＝－4DC →，可得BD →＋DC →＝－3DC →，故BC →＝－3DC →，则λ＝－3.7. 若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b|＝|a －b|＝2|a|，则向量a ＋b 与a －b 的夹角为__________．答案：2π3解析：由|a ＋b|＝|a －b|可知a⊥b .设AB →＝b ，AD →＝a ，作矩形ABCD ，可知AC →＝a ＋b ，BD→＝a －b .设AC 与BD 的交点为O ，结合题意可知OA ＝OD ＝AD ，∴ ∠AOD ＝π3，∴ ∠DOC ＝2π3.又向量a ＋b 与a －b 的夹角为AC →与BD →的夹角，故所求夹角为2π3.8. 在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，且CD →＝13CA →＋λCB →，则实数λ＝__________．答案：23解析：如图，过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ，过点D 作DF ∥AC ，交BC 于点F ， 则CD →＝CE →＋CF →.因为CD →＝13CA →＋λCB →，所以CE →＝13CA →，CF →＝λCB →.由△ADE∽△ABC，得DE BC ＝AE AC ＝23，所以ED →＝CF →＝23CB →，故λ＝23.9. 在▱ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F.若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝____________．(用a ，b 表示)答案：23a ＋13b解析：如图，∵ △DEF ∽△BEA ，∴ DF ∶BA ＝DE∶BE＝1∶3，过点F 作FG∥BD 交AC于点G ，∴ FG ∶DO ＝2∶3，CG ∶CO ＝2∶3，∴ GF →＝13b .∵ AG →＝AO →＋OG →＝23AC →＝23a ，∴ AF →＝AG →＋GF →＝23a ＋13b .10. 向量e 1，e 2不共线，AB →＝3(e 1＋e 2)，CB →＝e 2－e 1，CD →＝2e 1＋e 2，给出下列结论：① A，B ，C 共线；② A，B ，D 共线；③ B，C ，D 共线；④ A，C ，D 共线．其中所有正确的结论是________．(填序号)答案：④解析：由AC →＝AB →－CB →＝4e 1＋2e 2＝2CD →，e 1＋e 2不共线，得AB →与CB →不共线，A ，C ，D 共线，且B 不在此直线上．11. 已知O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：OP →＝OA→＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB→|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的________．(选填“外心”“内心”“重心”或“垂心”)答案：内心解析：作∠BAC 的平分线AD.∵ OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，∴ AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|＝λ′·AD →|AD →|(λ′∈[0，＋∞))，∴ AP →＝λ′|AD →|·AD →，∴ AP →∥AD →.∴ P 的轨迹一定通过△ABC 的内心． 二、 解答题12. 如图，已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作直线MN 与边AB ，AC 分别交于M ，N 两点，且AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，求x ＋y 的最小值．解：由点G 是△ABC 的重心，知GA →＋GB →＋GC →＝0，得－AG →＋(AB →－AG →)＋(AC →－AG →)＝0，则AG →＝13(AB →＋AC →)．又M ，N ，G 三点共线(A 不在直线MN 上)，于是存在λ，μ∈R ，使得AG →＝λAM →＋μAN →(且λ＋μ＝1)，则AG →＝λx AB →＋μyAC →＝13(AB →＋AC →)，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝1，λx ＝μy＝13，于是得1x ＋1y ＝3.又由题意x ＞0，y ＞0，所以x ＋y ＝13(x ＋y)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋y x ＋x y ≥43(当且仅当y x ＝x y ，即x ＝y 时，等号成立)，即x ＋y 的最小值为43.13. 如图，已知△OCB 中，点C 是点B 关于点A 的对称点，D 是将OB →分为2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E.设OA →＝a ，OB →＝b .(1) 用a 和b 表示向量OC →，DC →；(2) 若OE →＝λOA →，求实数λ的值．解：(1) 由题意知，A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →.由平行四边形法则，得OB →＋OC →＝2OA →. ∴ OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，∴ DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b.(2) 如题图，EC →∥DC →.∵ EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC →＝2a －53b ，∴ 2－λ2＝－1－53，∴ λ＝45.第2课时 平面向量的基本定理及坐标表示一、 填空题1. 已知在▱ABCD 中，AD →＝(2，8)，AB →＝(－3，4)，则AC →＝____________. 答案：(－1，12)解析：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AC →＝AB →＋AD →＝(－1，12)．2. 若e 1，e 2是表示平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中不能看作基底的是________．(填序号)① e 1＋e 2和e 1－e 2；② 3e 1－2e 2和4e 2－6e 1；③ e 1＋3e 2和e 2＋3e 1；④ e 2和e 1＋e 2. 答案：②解析：∵ 3e 1－2e 2＝－12(4e 2－6e 1)， ∴ 3e 1－2e 2与4e 2－6e 1共线．3. (2017·苏北四市联考)已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与AB →同方向的单位向量是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45解析：∵AB →＝OB →－OA →＝(4，－1)－(1，3)＝(3，－4)，∴ 与AB →同方向的单位向量为AB →|AB →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.4. 已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________． 答案：(3，3)解析：(解法1)由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4，4λ)．又AC →＝OC →－OA →＝(－2，6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3，3)，所以点P 的坐标为(3，3)．(解法2)设点P(x ，y)，则OP →＝(x ，y)，因为OB →＝(4，4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y.又AP →＝(x －4，y)，AC →＝(－2，6)，且AP →与AC →共线，所以(x －4)×6－y×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以点P 的坐标为(3，3)．5. 若三点A(1，－5)，B(a ，－2)，C(－2，－1)共线，则实数a 的值为________．答案：－54解析：∵ AB →＝(a －1，3)，AC →＝(－3，4)，根据题意AB →∥AC →，∴ 4(a －1)－3×(－3)＝0，即4a ＝－5，∴ a ＝－54.6. (2017·衡水中学月考)在△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s ＝________．答案：0解析：因为CD →＝2DB →，所以CD →＝23CB →＝23(AB →－AC →)＝23AB →－23AC →，则r ＋s ＝23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝0.7. 设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2，4)，c ＝(－1，－2)．若表示向量4a ，4b －2c ，2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d ＝____________．答案：(－2，－6)解析：设d ＝(x ，y)，由题意知4a ＝(4，－12)，4b －2c ＝(－6，20)，2(a －c )＝(4，－2)，又4a ＋4b －2c ＋2(a －c )＋d ＝0，解得x ＝－2，y ＝－6，所以d ＝(－2，－6)．8. 如图，在▱ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，DE 交AF 于H.记AB →，BC →分别为a ，b ，则AH →＝__________．(用a ，b 表示)答案：25a ＋45b解析：设AH →＝λAF →，DH →＝μDE →.而DH ＝DA →＋AH →＝－b ＋λAF →＝－b ＋λ⎝⎛⎭⎪⎫b ＋12a .DH →＝μDE →＝μ⎝⎛⎭⎪⎫a －12b .因此μ⎝⎛⎭⎪⎫a －12b ＝－b ＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a .由于a ，b 不共线，因此由平面向量的基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧μ＝12λ，－12μ＝λ－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝25.故AH →＝λAF →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a ＝25a ＋45b .9. 若三点A(2，2)，B(a ，0)，C(0，b )(ab≠0)共线，则1a ＋1b的值为________．答案：12解析：AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)，依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0，即ab－2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12.10. 如图，|OA →|＝|OB →|＝1，OA →与OB →的夹角为120°，OC →与OA →的夹角为30°.若OC →＝λOA→＋μOB →(λ，μ∈R )，则λμ＝____________.答案：2解析：过C 作OB 的平行线交OA 的延长线于点D.由题意可知，∠COD ＝30°，∠OCD ＝90°，∴ OD ＝2CD.∵ OD →＝λOA →，DC →＝μOB →，∴ λ|OA →|＝2μ|OB →|，即λ＝2μ，故λμ＝2.11. 在平面直角坐标系中，若O 为坐标原点，则A ，B ，C 三点在同一直线上的充要条件为存在唯一的实数λ，使得OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →成立，此时称实数λ为“向量OC →关于OA →和OB →的终点共线分解系数”．若已知P 1(3，1)，P 2(－1，3)，P 1，P 2，P 3三点共线且向量OP 3→与向量a ＝(1，－1)共线，则“向量OP 3→关于OP 1→和OP 2→的终点共线分解系数”为________．答案：－1解析：设P 3(x ，y)，由条件易得P 1P 2→＝(－4，2)，P 2P 3→＝(x ＋1，y －3)；由P 1，P 2，P 3三点共线，得12－4y ＝2x ＋2；由OP 3→与向量a ＝(1，－1)共线，得x ＋y ＝0.联立方程组解得x ＝－5，y ＝5. 由OP 3→＝λOP 1→＋(1－λ)OP 2→，解得λ＝－1.12. (2017·苏北四市期末)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(3，m)，m ∈R ，则“m＝－6”是“a∥(a ＋b )”的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)答案：充要解析：由题意得a ＋b ＝(2，2＋m)，由a∥(a ＋b )，得－1×(2＋m)＝2×2，所以m ＝－6，则“m＝－6”是“a∥(a ＋b )”的充要条件．二、 解答题13. 如图，已知△ABC 的面积为14，D ，E 分别为边AB ，BC 上的点，且AD∶DB＝BE∶EC＝2∶1，AE 与CD 交于点P.设存在λ和μ使AP →＝λAE →，PD →＝μCD →，AB →＝a ，BC →＝b .(1) 求λ及μ；(2) 用a ，b 表示BP →； (3) 求△PAC 的面积．解：(1) 由于AB →＝a ，BC →＝b ，则AE →＝a ＋23b ，DC →＝13a ＋b .AP →＝λAE →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋23b ，DP →＝μDC →＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋b ，AP →＝AD →＋DP →＝23AB →＋DP →，即23a ＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋b ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋23b . ⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23＋13μ，μ＝23λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝67，μ＝47.(2) BP →＝BA →＋AP →＝－a ＋67⎝⎛⎭⎪⎫a ＋23b ＝－17a ＋47b .(3) ∵ S △PAB ：S △CAB ＝|PD →|∶|CD →|＝μ＝47，∴ S △PAB ＝47S △ABC ＝8.∵ S △PBC ：S △ABC ＝|PE →|∶|AE →|＝1－λ＝17，S △PBC ＝17S △ABC ＝2，∴ S △PAC ＝4.第3课时 平面向量的数量积及平面向量的应用举例一、 填空题1. 已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，1)，c ＝(k ，3)．若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝________． 答案：－3解析：由已知得a ＋2b ＝(3，3)，故(a ＋2b )·c ＝(3，3)·(k，3)＝3k ＋33＝0，解得k ＝－3.2. (2017·南京、盐城模拟)已知向量a ，b ，其中|a |＝3，|b |＝2，且(a －b )⊥a ，则向量a 和b 的夹角是________．答案：π6解析：因为(a －b )⊥a ，所以(a －b )·a ＝|a|2－|a||b|·cos 〈a ，b 〉＝3－23×cos〈a ，b 〉＝0，解得cos 〈a ，b 〉＝32.由〈a ，b 〉∈[0，π]，则向量a ，b 的夹角为π6.3. (2017·南京模拟)设向量|a ＋b |＝20，a ·b ＝4，则|a －b |＝________.答案：2解析：|a －b|＝|a ＋b|2－4a·b ＝20－4×4＝2.4. 在四边形ABCD 中，AC →＝(1，2)，BD →＝(－4，2)，则该四边形的面积为____________． 答案：55. 在Rt △ABC 中，∠C ＝π2，AC ＝3，取点D 使BD →＝2DA →，那么CD →·CA →＝________．答案：6解析：如图，CD →＝CB →＋BD →.∵ BD →＝2DA →， ∴ CD →＝CB →＋23BA →＝CB →＋23(CA →－CB →)，即CD →＝23CA →＋13CB →.∵ ∠C ＝π2，∴ CA →·CB →＝0，∴ CD →·CA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23CA →＋13CB →·CA →＝23CA → 2＋13CB →·CA →＝6.(本题还可建立平面直角坐标系利用向量的坐标求解)6. (2017·扬州中学质检)设O 是△ABC 的外心(三角形外接圆的圆心)．若AO →＝13AB →＋13AC →，则∠BAC＝________．答案：60°解析：取BC 的中点D ，连结AD ，则AB →＋AC →＝2 AD →.由题意得3AO →＝2AD →，∴ AD 为BC 的中线，且O 为重心．又O 为外心，∴ △ABC 为正三角形，∴ ∠BAC ＝60°.7. (2017·苏北四市模拟)已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值与最小值的和为________．答案：4解析：由题意可得a·b ＝3cos θ－sin θ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6，则|2a －b |＝（2a －b ）2＝4|a|2＋|b|2－4a·b ＝8－8cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6∈[0，4]，所以|2a －b |的最大值与最小值的和为4.8. 如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，∠A ＝60°，点M 在AB 边上，且AM ＝13AB ，则DM →·DB →＝________．答案：1解析：因为DM →＝DA →＋AM →＝DA →＋13AB →，DB →＝DA →＋AB →，所以DM →·DB →＝⎝⎛⎭⎪⎫DA →＋13AB →·(DA →＋AB →)＝|DA →|2＋13|AB →|2＋43DA →·AB →＝1＋43－43AD →·AB →＝73－43|AD→|·|AB →|·cos 60°＝73－43×1×2×12＝1.9. (2017·第二次全国大联考江苏卷)A ，B ，C 为单位圆上三个不同的点，若∠ABC＝π4，OB →＝mOA →＋nOC →(m ，n ∈R )，则m ＋n 的最小值为________．答案：－ 2解析：因为∠ABC＝π4，所以∠AOC ＝π2.不妨设A(1，0)，C(0，1)，B(cos θ，sin θ)，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π，则cos θ＝m ，sin θ＝n ⇒m ＋n ＝cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4≥－2，当且仅当θ＝5π4时取等号．10. (2017·苏州调研)在梯形ABCD 中，AB →＝2DC →，|BC →|＝6，P 为梯形ABCD 所在平面上一点，且满足AP →＋BP →＋4DP →＝0，DA →·CB →＝|DA →||DP →|，Q 为边AD 上的一个动点，则|PQ →|的最小值为________．答案：423解析：设AB 中点为E ，则四边形BCDE 为平行四边形，且AP →＋BP →＝2EP →，所以PE →＝2DP →，D ，E ，P 三点共线，|DE →|＝6，|DP →|＝2.又DA →·CB →＝DA →·DE →＝3DA →·DP →＝3|DA →||DP →|cos ∠ADE＝|DA →||DP →|，所以cos ∠ADE ＝13，sin ∠ADE ＝232.要使|PQ →|最小，即PQ⊥AD.此时|PQ →|＝|DP →|sin ∠ADE ＝423.二、 解答题11. 已知|a|＝4，|b|＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1) 求a 与b 的夹角θ； (2) 求|a ＋b|；(3) 若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积． 解：(1) ∵ (2a －3b )·(2a ＋b )＝61，∴ 4|a|2－4a·b －3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，∴ 64－4a·b －27＝61，∴ a ·b ＝－6.∴ cos θ＝a·b |a||b|＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴ θ＝2π3.(2) |a ＋b|2＝(a ＋b )2＝|a|2＋2a·b ＋|b |2＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴ |a ＋b |＝13.(3) ∵ AB →与BC →的夹角θ＝2π3，∴ ∠ABC ＝π－2π3＝π3.又|AB →|＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3，∴ S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC ＝12×4×3×32＝3 3.12. 如图，在平面直角坐标系xOy 上，点A(1，0)，点B 在单位圆上，∠AOB ＝θ(0＜θ＜π)．(1) 若点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，求tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4的值； (2) 若OA →＋OB →＝OC →，OB →·OC →＝1813，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ.解：(1) 由于B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，∠AOB ＝θ，所以cos θ＝－35，sin θ＝45，所以tan θ＝－43，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1＋tan θ1－tan θ＝－17. (2) 由于OA →＝(1，0)，OB →＝(cos θ，sin θ)，所以OC →＝OA →＋OB →＝(1＋cos θ，sin θ)，OC →·OB →＝cos θ×(1＋cos θ)＋sin 2 θ＝cos θ＋cos 2θ＋sin 2θ＝1813.所以cos θ＝513，所以sin θ＝1213，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝cos π3cos θ＋sin π3sin θ＝5＋12326.13. (2017·如皋中学调研)如图所示，矩形ABCD 的顶点A ，D 分别在x 轴、y 轴正半轴(含坐标原点)上滑动，其中AD ＝4，AB ＝2.(1) 若∠DAO＝π4，求|OC →＋OD →|；(2) 求OB →·OC →的最大值．解：(1) 由题意可知，点A(22，0)，D(0，22)，B(32，2)，C(2，32)，所以|OC →＋OD →|＝|(2，52)|＝213.(2) 过点B 作BM⊥AO，垂足为M ，过点C 作CN⊥OD，垂足为N ，设∠DAO＝θ，则∠CDN ＝θ，∠ABM ＝θ，所以点A(4cos θ，0)，D(0，4sin θ)，B(4cos θ＋2sin θ，2cos θ)，C(2sin θ，4sin θ＋2cos θ)，则OB →·OC →＝(4cos θ＋2sin θ，2cos θ)·(2sin θ，4sin θ＋2cos θ)＝16sin θcos θ＋4sin 2θ＋4cos 2θ＝4＋8sin 2θ.∵ θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴( OB →·OC →)max ＝12.第4课时 复 数一、 填空题 1. (2017·第二次全国大联考江苏卷)已知复数z ＝(1－2i)(2＋i)，其中i 为虚数单位，则复数z 在复平面上对应的点位于第________象限．答案：四解析：因为z ＝(1－2i)(2＋i)＝4－3i ，对应点为(4，－3)，位于第四象限．2. 已知2＋3ii＝a ＋bi(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝__________．答案：1解析：2＋3i ＝ai －b ，则a ＝3，b ＝－2，a ＋b ＝1.3. (2016·苏北三市二模)已知复数z 满足(3＋i)z ＝10i(其中i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数是________．答案：1－3i解析：z ＝10i3＋i＝1＋3i ，z 的共轭复数是1－3i.4. 记复数z ＝a ＋bi(i 为虚数单位)的共轭复数为z －＝a －bi(a ，b ∈R )．已知z ＝2＋i ，则z 2＝________．答案：3－4i解析：z 2＝3＋4i ，则z 2＝3－4i.5. (2017·镇江一模)已知复数z 满足z ＝(1－2i)(3＋i)，其中i 为虚数单位，则|z|＝________．答案：5 2解析：z ＝(1－2i)(3＋i)⇒|z|＝5·10＝5 2.6. 设复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则2z＋z 2＝________．答案：1＋i解析：∵ z＝1＋i ，∴ 2z ＋z 2＝21＋i＋(1＋i)2＝1－i ＋2i ＝1＋i.7. (2017·第三次全国大联考江苏卷)已知复数z 1＝2＋ai(a>0)，z 2＝3－i ，其中i 为虚数单位．若|z 1|＝|z 2|，则z 1＝________．答案：2－6i解析：∵ 4＋a 2＝9＋1，∴ a 2＝6.∵ a>0，∴ a ＝6，z 1＝2－6i.8. 已知复数z ＝ai 1＋2i(a ＜0)，其中i 为虚数单位，|z|＝5，则a 的值为________． 答案：－5解析：z ＝2a 5＋a 5i ，|z|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 52＝5，则a ＝－5. 9. (2017·南通、扬州、泰州、苏北四市二模)已知复数z ＝3－i 1＋i，其中i 为虚数单位，则复数z 的模是________．答案： 5解析：因为z ＝（3－i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2－4i 2＝1－2i ，所以|z|＝12＋（－2）2＝ 5. 10. 若复数z 满足z －1＝cos θ＋isin θ，则|z|的最大值为________．答案：2解析：∵ z－1＝cos θ＋isin θ，∴ z ＝(1＋cos θ)＋isin θ，∴ |z|＝（1＋cos θ）2＋sin 2θ＝2（1＋cos θ）≤2×2＝2.11. 复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m ，λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7 解析：由复数相等的充要条件可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ， 化简得4－4cos 2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos 2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin2θ)－3sin θ＋4＝4sin 2θ－3sin θ＝4⎝⎛⎭⎪⎫sin θ－382－916. 因为sin θ∈[－1，1]，所以4sin 2θ－3sin θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7. 二、 解答题12. 设复数z ＝－3cos θ＋2isin θ.(1) 当θ＝4π3时，求|z|的值； (2) 若复数z 所对应的点在直线x ＋3y ＝0上，求2cos 2θ2－12sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4的值． 解：(1) ∵ θ＝4π3， ∴ z ＝－3cos 4π3＋2isin 4π3＝32－3i ， ∴ |z|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋（－3）2＝212. (2) 由条件得－3cos θ＋3×2sin θ＝0，∴ tan θ＝12. ∴原式＝cos θsin θ＋cos θ＝1tan θ＋1＝23. 13. 若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根．(1) 试求b ，c 的值；(2) 1－2i 是否是所给方程的根，试给出判断．解：(1) 由于1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根，则(1＋2i)2＋b(1＋2i)＋c ＝0，整理得(b ＋c －1)＋(22＋2b)i ＝0，则⎩⎨⎧22＋2b ＝0，b ＋c －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，c ＝3，即b ＝－2，c ＝3.(2) 由(1)得方程为x 2－2x ＋3＝0，把1－2i 代入方程左边得(1－2i)2－2(1－2i)＋3＝1－22i ＋2i 2－2＋22i ＋3＝1－2－2＋3＝0，即1－2i 满足方程x 2－2x ＋3＝0，所以1－2i 是所给方程的根．。

2014届高考数学（理）一轮复习知识过关检测：第4章《平面向量、数系的扩充与复数的引入》（第3课时）（新人教A 版）一、选择题1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC →等于( )A ．－16B ．－8C ．8D ．16解析：选D.如图，AB →·AC →＝(AC →＋CB →)·AC →＝AC →2＋CB →·AC →＝42＋0＝16.2．(2012·高考辽宁卷)已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( )A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．|a |＝|b |D ．a ＋b ＝a －b解析：选B.两边平方求解．由|a ＋b |＝|a －b |，两边平方并化简得a ·b ＝0，又a ，b 都是非零向量，所以a ⊥b .3．(2011·高考重庆卷)已知向量a ＝()1，k ，b ＝()2，2，且a ＋b 与a 共线，那么a ·b 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D.a ＋b ＝()1，k ＋()2，2＝()3，k ＋2. ∵a ＋b 与a 共线，∴k ＋2－3k ＝0，解得k ＝1. ∴a ·b ＝()1，1·()2，2＝4.4．(2013·辽阳调研)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－5，－1)，若m a ＋n b (m ≠0)与a 垂直，则n m等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选C.∵(m a ＋n b )·a ＝0，∴(2m －5n,3m －n )·(2,3)＝4m －10n ＋9m －3n ＝0，∴nm＝1，故选C. 5．(2011·高考辽宁卷)若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )A.2－1 B ．1 C. 2 D ．2解析：选 B.由(a －c )·(b －c )≤0，a ·b ＝0，得a ·c ＋b ·c ≥c 2＝1，∴(a ＋b －c )2＝1＋1＋1－2(a ·c ＋b ·c )≤1.∴|a ＋b －c |≤1. 二、填空题6．已知向量a 、b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________．解析：由(a ＋2b )·(a －b )＝－6得a 2－2b 2＋a ·b ＝－6.∵|a |＝1，|b |＝2，∴12－2×22＋1×2×cos〈a ，b 〉＝－6，∴cos 〈a ，b 〉＝12.∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴〈a ，b 〉＝π3.答案：π37．(2013·日照质检)已知向量a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，若(λa ＋b )⊥a ，则实数λ的值为________．解析：λa ＋b ＝(－3λ－1,2λ)，由(λa ＋b )⊥a ⇒(－3λ－1)·(－3)＋2λ·2＝0，解得λ＝－313.答案：－3138．(2012·高考安徽卷)设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a |＝________.解析：a ＋c ＝(3,3m )，由(a ＋c )⊥b ，可得(a ＋c )·b ＝0，即3(m ＋1)＋3m ＝0，解得m ＝－12，则a ＝(1，－1)，故|a |＝ 2.答案： 2 三、解答题9．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)． (1)设c ＝4a ＋b ，求(b ·c )a 的值； (2)若a ＋λb 与a 垂直，求λ的值； (3)求向量a 在b 方向上的投影． 解：(1)∵a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)， ∴c ＝4a ＋b ＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)．∴b ·c ＝2×6－2×6＝0，∴(b ·c )a ＝0a ＝0.(2)a ＋λb ＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)， 由于a ＋λb 与a 垂直，∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝52.(3)设向量a 与b 的夹角为θ， 则向量a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝a ·b |b |＝1×2＋－22＋－2＝－222＝－22. 10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)．(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．解：(1)AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，求两条对角线的长即求|AB →＋AC →|与|AB →－AC →|的大小． 由AB →＋AC →＝(2,6)，得|AB →＋AC →|＝210， 由AB →－AC →＝(4,4)，得|AB →－AC →|＝4 2. (2)OC →＝(－2，－1)， ∵(AB →－tOC →)·OC →＝AB →·OC →－tOC →2，易求AB →·OC →＝－11，OC →2＝5，∴由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得t ＝－115.一、选择题1．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则三角形ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形解析：选C.由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2， 得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0， 即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0， ∴AC →·2BA →＝0，∴AC →⊥BA →，∴∠A ＝90°.故选C.2．(2012·高考湖南卷)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB →·BC →＝1，则BC ＝( ) A. 3 B.7 C ．2 2 D.23解析：选A.设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .AB →·BC →＝1，即ac cos B ＝－1.在△ABC中，根据余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，及AB ＝c ＝2，AC ＝b ＝3，可得a 2＝3，即a ＝ 3.二、填空题3．(2011·高考湖南卷)在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE →＝________.解析：由题意画出图形如图所示，取一组基底{AB →，AC →}，结合图形可得AD →＝12(AB →＋AC →)，BE →＝AE→－AB →＝23AC →－AB →，∴AD →·BE →＝12(AB →＋AC →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫23AC →－AB →＝13AC →2－12AB →2－16AB →·AC →＝13－12－16cos 60°＝－14. 答案：－144．已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →|的最小值为________．解析：法一：以D 为原点，分别以DA 、DC 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x .∴D (0,0)，A (2,0)，C (0，a )，B (1，a )， P (0，x )，PA →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )，∴PA →＋3PB →＝(5,3a －4x )，|PA →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25， ∴|PA →＋3PB →|的最小值为5.法二：设DP →＝xDC →(0<x <1)， ∴PC →＝(1－x )DC →，PA →＝DA →－DP →＝DA →－xDC →， PB →＝PC →＋CB →＝(1－x )DC →＋12DA →，∴PA →＋3PB →＝52DA →＋(3－4x )DC →，|PA →＋3PB →|2＝254DA →2＋2×52×(3－4x )DA →·DC →＋(3－4x )2·DC →2＝25＋(3－4x )2DC →2≥25，∴|PA →＋3PB →|的最小值为5. 答案：5 三、解答题5．已知A ，B ，C 的坐标分别为A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2.(1)若|AC →|＝|BC →|，求角α的值；(2)若AC →·BC →＝－1，求2sin 2α＋sin2α1＋tan α的值．解：(1)∵AC →＝(cos α－3，sin α)，BC →＝(cos α，sin α－3)， ∴AC 2→＝(cos α－3)2＋sin 2α＝10－6cos α， BC 2→＝cos 2α＋(sin α－3)2＝10－6sin α， 由|AC →|＝|BC →|，可得AC 2→＝BC 2→，即10－6cos α＝10－6sin α，得sin α＝cos α.又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，∴α＝5π4.(2)由AC →·BC →＝－1，得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1，∴sin α＋cos α＝23.①又2sin 2α＋sin2α1＋tan α＝2sin 2α＋2sin αcos α1＋sin αcos α＝2sin αcos α.由①式两边分别平方，得1＋2sin αcos α＝49，∴2sin αcos α＝－59.∴2sin 2α＋sin2α1＋tan α＝－59.。