1弹性力学简明教程（第四版）课后
习题解答
第一章绪论
【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？
【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的
各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。
【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。
非均匀的各向同性体如：混凝土。
【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和
土质地基能否作为理想弹性体？
【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀
性，各向同性假定。
【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件
和岩质地基不可以作为理想弹性体。
【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？
【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成
这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等
物理量就可以看成是连续的。因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数
来表示他们的变化规律。
完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完
全恢复原型而无任何形变。这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即
两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方
程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。
均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后
整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同
的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。
各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用
此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。
小变形假定：假定位移和变形是微小的。亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点
的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。这样在建立物体变形以
第四章 平面问题的极坐标解答
【4-8】 实心圆盘在r的周界上受有均布压力q的作用，试导出其解答。
【解答】实心圆盘是轴对称的，可引用轴对称应力解答，教材中的式（4-11），即
22(12ln)2(32ln)20ABCABC
(a)
首先，在圆盘的周界（r）上，有边界条件=rq，由此得
-q2(12ln)2ABC
(b)
其次，在圆盘的圆心，当0时，式（a）中，的第一、第二项均趋于无限大，这是不可能的。按照有限值条件（即，除了应力集中点以外，弹性体上的应力应为有限值。），当=0时，必须有0AB。
把上述条件代入式（b）中，得
/2Cq。
所以，得应力的解答为
-q 0。
【4-9】 半平面体表面受有均布水平力q，试用应力函数2(sin2)ΦρBφCφ求解应力分量（图4-15）。
【解答】（1）相容条件：
将应力函数代入相容方程40，显然满足。
（2）由求应力分量表达式
=-2sin222sin222cos2BCBCBC
（3）考察边界条件：注意本题有两个面，即2，分别为面。在面上，应力符号以正面正向、负面负向为正。因此，有
2()0, 得0C；
-q2(), 得2qB。
将各系数代入应力分量表达式，得
sin2sin2cos2qqq
【4-14】 设有内半径为r而外半径为R的圆筒受内压力q，试求内半径和外半径的改变量，并求圆筒厚度的改变量。
【解答】本题为轴对称问题，只有径向位移而无环向位移。当圆筒只受内压力q的情况下，取应力分量表达式，教材中式（4-11），注意到B=0。
二、填空题：（每空2分，共8分）
1、在表征确定一点应力状态时，只需该点应力状态的-------个独立的应力分量，它们分别是-------。（参照oxyz直角坐标系）。
2、在弹塑性力学应力理论中，联系应力分量与体力分量间关系的表达式叫---------方程，它的缩写式为-------。
三、选择题（每小题有四个答案，请选择一个正确的结果。每小题4分，共16分。）
1、试根据由脆性材料制成的封闭圆柱形薄壁容器，受均匀内压作用，当压力过大时，容器出现破裂。裂纹展布的方向是：_________。
A、沿圆柱纵向（轴向）B、沿圆柱横向（环向）C、与纵向呈45°角D、与纵向呈30°角
2、金属薄板受单轴向拉伸，板中有一穿透形小圆孔。该板危险点的最大拉应力是无孔板最大拉应力__________倍。
A、2B、3C、4D、5
3、若物体中某一点之位移u、v、w均为零（u、v、w分别为物体内一点，沿x、y、z直角坐标系三轴线方向上的位移分量。）则在该点处的应变_________。
A、一定不为零B、一定为零C、可能为零D、不能确定
4、以下________表示一个二阶张量。
A、 B、 C、 D、
四、试根据下标记号法和求和约定展开下列各式：（共8分）
1、；（i ，j = 1，2，3 ）；
2、 ；
五、计算题（共计64分。）
1、试说明下列应变状态是否可能存在：
；（ ）
上式中c为已知常数，且。
2、已知一受力物体中某点的应力状态为：
式中a为已知常数，且a＞0，试将该应力张量分解为球应力张量与偏应力张量之和。为平均应力。并说明这样分解的物理意义。
3、一很长的（沿z轴方向）直角六面体，上表面受均布压q作用，放置在绝对刚性和光滑的基础上，如图所示。若选取＝ay2做应力函数。试求该物体的应力解、应变解和位移解。
（提示：①基础绝对刚性，则在x＝0处，u＝0 ；②由于受力和变形的对称性，在y＝0处，v＝0 。）
弹性力学全程导学及习题全解
1-7 试画出题1-7图中的的矩形薄板的正的体力,面力和应力的方向。
注意：（1）无论在哪一个位置的体力，在哪一个边界面上的面力,均为沿坐标轴正方向为正,反之为负。（2）边界面上的应力应是以在正坐标面上，方向沿坐标轴正方向为正，反之为负，在负坐标面上，方向沿坐标轴负方向为正,反之为负。
1-8 试画出题1—8图中的三角形薄板的正的面力和体力的方向.
2—7 在导出平面问题的三套基本方程时，分别应用了哪些基本假设？这些方程的适用条件是什弹性力学全程导学及习题全解
么？
【解答】（1）在导出平面问题的平衡微分方程和几何方程时应用的基本假定是:物体的连续性，小变形和均匀性.
在两种平面问题（ 平面应力、平面应变问题）中，平衡微分方程和几何方程都适用。
（2)在导出平面问题的物理方程时应用的基本假定是:物体的连续性，完全弹性，均匀性，小变形和各向同性，即物体为小变形的理想弹性体。
在两种平面问题（平面应力、平面应变)中的物理方程不一样,如果将平面应力问题的物理方程中的E换位21E，1换为，就得到平面应变问题的物理方程。
2-8 试列出题2-8图（a），题2-8图（b）所示问题的全部边界条件.在其端部边界上,应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。
【解】（1)对于图（a）的问题
在主要边界0,xxb上，应精确满足下列边界条件：
0(),(),xxxxbgygy 0()0()0xyxxyxb；。
在小边界（次要边界）y=0上，能精确满足下列边界条件:
01(),yygh ()0yx。
在小边界（次要边界）2yh上,有位移边界上条件：22()0,()0yhyhuv。这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚1时,
22212000()(),()0,()0byyhbyyhbyxyhdxghhbxdxdx。 弹性力学全程导学及习题全解
