分类讨论的思想方法
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分类讨论的思想方法
专题四2 四、分类讨论的思想方法
[概述]：
分类讨论在数学中既是一个重要的策略思想，又是一个重要的数学方法，很多数学问题涉及知识范围广，约束条件多，很难用统一方法解决，因此就从“分割”入手，将整体化为若干局部，每个局部问题相对确定，解法单一，比较容易解决，每个局部问题解决了，整体问题也就得到解决。即采用化整为零各个击破的方针。1。分类讨论的关键：1）找出分类的根源，明确为什么分类？2）找出分类的对策，明确怎样分类。一般地：1）使用数学性质，定理，公式视其限制条件，成立条件进行分类；如等比数列前n项和公式，要依据公比1q和1q得到两个不同的表达式；绝对值的性质；2）由概念引起的讨论，如直线与平面所成的角；3）由变形所需条件的限制引起的讨论；如方程0axb的解的情况；4）由图形的不确定性引起的讨论，如ABC到平面的距离分别为,,abc，求ABC重心到平面的距离；5）对于含有参数的问题对参数的允许值进行全面的讨论，如直线方程的点斜式和截距式；6）其它：根据实际问题具体分析进行讨论，如排列、组合问题，应用问题。2。分类讨论的解题步骤：1）确定讨论的对象以及全域；2）合理分类统一标准，作到不重，不漏；3）逐类讨论，分级进行；4）归纳总结得出整个题目结论。3。分类讨论的类型：1）问题中的变量或参数不确定性，需要分类讨论；2）问题的条件是分类给出的；3）解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；4）几何问题中，几何元素的形状、图象位置的变化需要分类讨论的。
简化和避免分类讨论的方法：1）直接回避，如运用反证法、补集法、消参法。2）变更主元。3）合理简化运算。4）数形结合。
[例题分析]
例1：设集合{1,0,1},{2,3,4,5,6}MN，映射:fMN，使对任何xM，都有()()xfxxfx是奇数，这样的映射f有多少个？
变式：设函数:{1,2,3}{1,2,3}f，满足(())()ffxfx，则这样的映射个数有：
A：1个；B：4个；C：8个；D:10个。
例2：设2{10},{320}AxaxBxxx，若AB，则a的值构成的集合是 。
例3：（对问题中变量或参数进行分类讨论）函数xya在[0,1]上最大值与最小值之差为3，则a的值是多少？
变式：解关于x的不等式：20()xaaRxa
变式：已知函数2()lg(2),fxxxm其中mR为常数，求这个函数的定义域。
例4．（问题的条件是分类给出的，需要分类讨论）已知数列的前n项的和232nSnn求数列{||}na的前n项的和nP。
例5．给出定点(,0)(0)Aaa，和直线:1,lxB是直线l上一动点，BOA的角平分线交AB于点C，求点C的轨迹方程并讨论方程表示的曲线类型与a的关系。
例6．设函数()xxfxee。
)证明：()fx的导数'()2fx。
)若对所有0x都有()fxax，求a的取值范围。
)（略）
专题四3 )令()()gxfxax，则'()'()xxgxfxaeea。
1）若2a，当0x时，'()'()20xxgxfxaeeaa，
()gx在(0,)上为增函数，0x时，()(0)0gxg，即
()fxax。
2）若2a，方程'()0gx的正根为214ln2aax，此时若1(0,)xx，则'()0gx，故()gx在该区间为减函数，因此()(0)0gxg，即()fxax
不符合要求。
综上：满足条件的a的取值范围是(,2]。
例7：（07山东）设2()ln(1)fxxbx，其中0b。
1， 当12b时，判断函数()fx在定义域上的单调性；
2， 求函数()fx的极值点；
3， 证明对任意的正整数n，不等式23111ln(1)nnn都成立。
[分析]：()fx的定义域为(1,)
222'()211bxxbfxxxx2112()221xbx，当12b时，'()0fx，结论成立。
讨论:当12b时，无极值点；
当12b时，'()fx212()21xx=0有两个相等的解12x，在12左右两侧'()fx符号相等，无极值。
当12b时，'()fx=0有两个不同解
12112112;22bbxx
0bQ时，121,1xx，即12(1,),(1,)xx，且
(),'()fxfx随x的变化情况如下表：
专题四4 x 2(1,)x 2x 2(,)x
'()fx 0
()fx ] 极小值 Z
当102b时，1121,,(1,)xxx，(),'()fxfx随x的变化情况如下表：
x
1(1,)x 1x 12(,)xx 2x 2(,)x
'()fx + 0 — 0
+
()fx Z
极大值 ] 极小值 Z
纵上所述：
1b时，2()ln(1)fxxx，令3()()hxxfx，则
例8：已知函数2221()()1axafxxxR，其中aR．
（Ⅰ）当1a时，求曲线()yfx在点(2(2))f，处的切线方程；
（Ⅱ）当0a时，求函数()fx的单调区间与极值．
（Ⅰ）解：当1a时，22()1xfxx，4(2)5f，
又2222222(1)2222()(1)(1)xxxxfxxx·，6(2)25f．
所以，曲线()yfx在点(2(2))f，处的切线方程为46(2)525yx，
即62320xy．
（Ⅱ）解：2222222(1)2(21)2()(1)()(1)(1)axxaxaxaaxfxxx．
由于0a，以下分两种情况讨论．
（1）当0a时，令()0fx，得到11xa，2xa．当x变化时，()()fxfx，的变化情况如下表：
x 1a，∞ 1a 1aa， a ()a，∞
()fx 0 0
专题四5 ()fx
极小值 Z 极大值 ]
所以()fx在区间1a，∞，()a，∞内为减函数，在区间1aa，内为增函数．
函数()fx在11xa处取得极小值1fa，且21faa，
函数()fx在21xa处取得极大值()fa，且()1fa．
（2）当0a时，令()0fx，得到121xaxa，，当x变化时，()()fxfx，的变化情况如下表：
x a，∞ a 1aa， 1a 1a，+∞
()fx 0 0
()fx Z 极大值 ] 极小值 Z
所以()fx在区间()a，∞，1a，+∞内为增函数，在区间1aa，内为减函数．
函数()fx在1xa处取得极大值()fa，且()1fa．
函数()fx在21xa处取得极小值1fa，且21faa．
例9：设函数2()()fxxxa（x∈R），其中a∈R，
（1）当a=1时，求曲线y= f(x) 在点（2，f (2)）处的切线方程；
（2）当a≠0时，求函数f(x)的极大值和极小值；。
（3）当a>3时，证明存在[1,0]k，使得不等式22(cos)(cos)fkxfkx对任意的x∈R恒成立。
（Ⅰ）解：当1a时，232()(1)2fxxxxxx，得(2)2f，且
2()341fxxx，(2)5f．
所以，曲线2(1)yxx在点(22)，处的切线方程是25(2)yx，整理得
580xy．
（Ⅱ）解：2322()()2fxxxaxaxax
22()34(3)()fxxaxaxaxa．
专题四6 令()0fx，解得3ax或xa．
由于0a，以下分两种情况讨论．
（1）若0a，当x变化时，()fx的正负如下表：
x 3a∞， 3a 3aa， a ()a，∞
()fx 0 0
因此，函数()fx在3ax处取得极小值3af，且
34327afa；
函数()fx在xa处取得极大值()fa，且
()0fa．
（2）若0a，当x变化时，()fx的正负如下表：
x a∞， a 3aa， 3a 3a，∞
()fx 0
0
因此，函数()fx在xa处取得极小值()fa，且
()0fa；
函数()fx在3ax处取得极大值3af，且
34327afa．
（Ⅲ）证明：由3a，得13a，当10k，时，
cos1kx≤，22cos1kx≤．
由（Ⅱ）知，()fx在1∞，上是减函数，要使22(cos)(cos)fkxfkx≥，xR
专题四7 只要22coscos()kxkxxR≤
即
22coscos()xxkkxR≤ ①
设2211()coscoscos24gxxxx，则函数()gx在R上的最大值为2．
要使①式恒成立，必须22kk≥，即2k≥或1k≤．
所以，在区间10，上存在1k，使得22(cos)(cos)fkxfkx≥对任意的xR恒成立．
例10：已知a、b、c、d是不全为零的实数，函数2()fxbxcxd，32()gxaxbxcxd，方程f(x)=0有实数根，且f(x)=0的实数根都是g(f(x))=0的根，反之，g(f(x))=0的实数根都是f(x)=0的根。
（1）求d的值；
（2）若a=0，求c的取值范围；
（3）若a=1，f(1)=0，求c的取值范围。
解：（1）设r为方程的一个根，即()0fr，则由题设得(())0gfr．于是，
(0)(())0ggfr，即(0)0gd．
所以，0d．
（2）由题意及（1）知2()fxbxcx，32()gxaxbxcx．
由0a得bc，是不全为零的实数，且2()()gxbxcxxbxc，
则22(())()()()()gfxxbxcbxbxccxbxcbxbcxc．
方程()0fx就是()0xbxc．①
方程(())0gfx就是22()()0xbxcbxbcxc．②
（ⅰ）当0c时，0b，方程①、②的根都为0x，符合题意．
（ⅱ）当0c，0b时，方程①、②的根都为0x，符合题意．
