立体几何试题及答案

1 【模拟试题】

一. 选择题（每小题5分，共60分）

1. 给出四个命题：

①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；

②各对角面是全等矩形的平行六面体一定是长方体；

③有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；

④长方体一定是正四棱柱。

其中正确命题的个数是（ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

2. 下列四个命题：

①各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥；

②底面是正多边形的棱锥是正棱锥；

③棱锥的所有面可能都是直角三角形；

④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形。

正确的命题有________个

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

3. 长方体的一个顶点处的三条棱长之比为1：2：3，它的表面积为88，则它的对角线长为（ ）

A. 12 B. 24 C. 214 D. 414

4. 湖面上漂着一个球，湖结冰后将球取出，冰面上留下一个面直径为24cm，深为8cm的空穴，则该球的半径是（ ）

A. 8cm B. 12cm C. 13cm D. 82cm

5. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积为侧面积的比是（ ）

A. 122 B. 144 C. 12 D. 142

6. 已知直线lm平面，直线平面，有下面四个命题：

①//lm；②lm//；③lm//；④lm//。

其中正确的两个命题是（ ）

A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ①③

7. 若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（ ）

A. 63cm B. 6cm C. 2182 D. 3123 2 8. 设正方体的全面积为242cm，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是（ ）

A. 63cm B. 3233cm C. 833cm D. 433cm

9. 对于直线m、n和平面、能得出的一个条件是（ ）

A. mnmn，，//// B. mnmn，，

C. mnnm//，， D. mnmn//，，

10. 如果直线l、m与平面、、满足：llmm，，，//，那么必有（ ）

A. 和lm B. ////，和m

C. mlm//，且 D. 且

11. 已知正方体的八个顶点中，有四个点恰好为正四面体的顶点，则该正四面体的体积与正方体的体积之比为（ ）

A. 13： B. 12： C. 2：3 D. 1：3

12. 向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是（ ）

二. 填空题（每小题4分，共16分）

13. 正方体的全面积是a2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是__________。

14. 正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5：2：8，体积为143cm，则棱台的高为____________。

15. 正三棱柱的底面边长为a，过它的一条侧棱上相距为b的两点作两个互相平行的截面，在这两个截面间的斜三棱柱的侧面积为____________。 3 16. 已知、是两个不同的平面，m、n是平面及之外的两条不同的直线，给出四个论断：

①m⊥n，②，③n，④m。

以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题______________。

三. 解答题（共74分）

17. （12分）正方体ABCDABCD1111中，E、F、G分别是棱DA、DC、DD1的中点，试找出过正方体的三个顶点且与平面EFG平行的平面，并证明之。

18. （12分）球内有相距1cm的两个平行截面，截面的面积分别是5822cmcm和，球心不在截面之间，求球的表面积与体积。

19. （12分）一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个正三棱锥的表面积。

20. （12分）直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的32，这个梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体的全面积是（52），求这个旋转体的体积。

21. （12分）有一块扇形铁皮OAB，∠AOB=60°，OA=72cm，要剪下来一个扇形ABCD，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形OCD内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面（大底面）。（如图）试求

（1）AD应取多长？

（2）容器的容积。 4

22. （14分）如图，正四棱柱ABCDABCD1111中，底面边长为22，侧棱长为4，E、F分别为AB、BC的中点，EFBDG。

（1）求证：平面BEFBDDB11平面；

（2）求点D1到平面BEF1的距离d；

（3）求三棱锥BEFD11的体积V。

【试题答案】

一.

1. B 2. B 3. C 4. C 5. A 6. D

7. B 8. D 9. C 10. A 11. D 12. B

二.

13. 22a 14. 2cm 15. 3ab

16. mnmnmnmn，，（或，，）

5 三.

17. 证明：过ACD、、1的平面与平面EFG平行，由E、F、G是棱DA、DC、DD1的中点可得GE//AD1，GF//CD1，GE平面EFG，GF平面EFG

∴AD1//平面AEG，CD1//平面EFG

又ADCDD111

∴平面EFG//平面ACD1

18. 解：如图，设两平行截面半径分别为rrrr1221和，且

依题意，rr122258，

rrOAOAROORrROORrR12221212122222225858，和都是球的半径

RRRRSRcmVRcm2222223581934364336解得球球()()

19. 解：由三视图知正三棱锥的高为2mm

由左视图知正三棱锥的底面三角形的高为23mm

设底面边长为a，则32234aa

∴正三棱柱的表面积 6 SSSmm侧底234221242324832()

20. 解：如图，梯形ABCD，AB//CD，∠A=90°，∠B=45°，绕AB边旋转一周后形成一圆柱和一圆锥的组合体。

设CDxABx，32

ADABCDxBCx222，

SSSS全面积圆柱底圆柱侧圆锥侧

ADADCDADBCxxxxxx2222422222524

根据题设5245222xx()，则

所以旋转体体积

VADCDADABCD223()

1231327322()

21. 解：如图，设圆台上、下底面半径分别为r、R、AD=x，则ODx72 7

由题意得

ABRCDrxODxR⌒⌒2601807226018072723()

Rrx12636，，

ADcm36

（2）又圆台的高h=xRr222236126635()()

VhRRrr1322()

1363512126650435223()()cm

22. 证明：（1）如图，连结AC

∵正四棱柱ABCDABCD1111的底面呈正方形

∴AC⊥BD 8 又AC⊥DD1

∴AC⊥平面BDDB11

∵E、F分别为AB、BC的中点

∴EF//AC

∴EF⊥平面BDDB1

∴平面BEFBDDB111平面

解（2）在对角面BDDB11中，作DHBG11，垂足为H

∵平面BEFBDDB111平面，且平面BEF1平面BDDBBG111

∴DHBEFH11平面，且垂足为

∴DH1为点D1到平面BEF1的距离

在Rt△DHB11中，DHDBDBH1111sin

DBABDBHBGBBBGBDH1111111111222244174417161717sinsin

（2）VVVDHSBEFDDBEFBEF11111131

13161712217163