中考新观察专题讲练;第49讲圆与三角函数
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中考新观察 专题讲练49圆与三角函数
专讲
例1.。如图，Rt △ABC中, ∠ACB=90°，AC=4， BC=2,
以AB上的一点0为圆心作⊙O分别与AC．BC相切于点D，E。
(1)求⊙O的半径。
(2)求sin ∠BOC的值。
证：(1)：连OE,OD，证四边形OECD为正方形，设半径为R，2R=44R, R=34；
(2)10103，作CM⊥AB于M，易求AB=25．AB· CM=BC·AC，
∴CM=554,易求OC=R2=324,∴sin ∠BOC=OCCM=10103
【侧2】如图，等腰△ABC中，AB=A C，以AB为直径作⊙O，
交BC于点D，DE⊥AC于点E。
(1)求证：DE为⊙O的切线：
(2)若BC=45，AE=1，求cos ∠AEO的值。
解：(1)连OD, ∠C=∠ABC=∠ODB. OD//AC,∴ ∠ODE=∠DEC =90°
(2) ∠AEO=∠DOE, cos∠AEO= cos∠DOE=OEOD，连DA.证CD=BD =25，
证△CDE∽△CDA,CD2=CE·CA=CE· (CE+1)
∴CE =4,
DE=22CECD=2, OD=21AC=25，OE=22ODDE=241,
∴cos ∠AEO== cos∠DOE=OEOD=41415
●专练
1．如图，已知Rt△ABC和Rt△EBC，∠B=90°．以边AC上的点D为圆心， OA为半径的⊙O与EC相切于点D，AD∥BC.
(l)求证： ∠E=∠ACB: 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网 OAECBDFEDBACO (2)若AD=1, tan∠DAC=22，求BC的长．
答素：(1)连OD，证∠ACB=∠DAO=∠ODA=∠E.
(2) tan∠DAC=tan∠ E=tan∠ACB= 22, AEAD=BCAB=BEBC=22
∵AD=1,∴AE=2,设AB=x，则BC=2x，∴xx22=22，∴x=2,BC=2x=2
2．如图，已知点0是Rt△ABC的直角边AC上一动点，以D为圆心，OA为半径的⊙O交AB于D点， DB的垂直平分线交BC于F,交BD于E。
(l)连结DF，请你判断直线DF与⊙O的位置关系,并证明你的结论
(2)当点D运动到OA=2OC时，恰好有点D是AE的中点，求tan∠B。
证：(I) DF与⊙O相切，连OD．证∠OAD=∠ODA, ∠FDB=∠B
∠ODF= 90°
易证ACOA=ABAE=32，△AOE∽△ACB，∠AOE=∠C=90°． (2)连OE， 又AD = DE,∴ AD= OD=OA，∠A =60°， tan∠B= tan30°=33 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网 FEDOBACFEMODABC3．如图，在△ABC中．AB=BC,以AB为直径的⊙O交AC于点D．过D
作DF⊥BC,交AB的延长线于点E,垂足为F .
(1)求证；直线DE是⊙O的切线；
(2) 当AB=5，AC=8时，求cos∠E的值．
讧：(1)连结OD、BD，证AD=DC，∵ OA= OB， ∴OD∥BC
∵DE⊥BC,∴DE⊥ OD，∴直线DE是⊙O的切线。
(2)作DH⊥ AB，垂足为H，易证∠E=∠ODH，在Rt△ADB中，
BD=22ADAB=2245=3,∵ AB·DH=DA·DB，即5DH =3×4,∴ DH=512，
在 Rt △ODH中，
cos∠OOH= ODDH=25512=2524 ,cos∠E=2524．
4．如图，Rt△ABC中， ∠C=90°，BD平分 ∠ABC，以AB上一点0为圆心，
过B、D两点作⊙O，⊙O交AB于点E EF⊥AC于点F。
(1)求证：⊙O与AC相切：
(2)若EF=2，BC =4，求tan∠A的值。
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解：①连OD, ∠EBD=∠ODB=∠DBC, OD//BC, OD⊥AC
(2)设BC交⊙O于M,证矩形EFCM，设OD交EM于N．
EF= CM=ND=2，ON=21BM=1，OD=3=21BE
BE=6,∴ EM 22BMBE=42,tan ∠A=tan∠BEM =EMBM =42
5．如图， △ABP中，∠ABP=90°，以AB为直径作⊙O交AP于点C，在弧AC上取一点F，使弧CF=弧CB，过C作AF的垂线，垂足为M，MC的延长线交BP于D。
(1)求证：CD为⊙O的切线。
(2)连BF交AP于B若BE=6，EF=2．求tan ∠FAE。
解：（1) OF=OB,∠FOC=∠BOC, OC⊥BF.证∠AFB=∠M=90°，BF//DM.
(2)22，方法一：证CD=BD=PD, △CDP∽△EBP,PC=CE，
CD//BE =3,PB=6,证△AFE ∽△ABP, ABAF=PBFE=62=31
在Rt△AFB中，BF=8,∴AF=22，∴tan∠FAE=AFEF=22 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网 方法二：连OC交BF于N，证BN =NF=4，EN =2，CN2=EN·BN =8，CN= 22.
tan∠FAE=tan∠CBE=BNCN=422.
