每日一题3

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每日一题(3)

如图①,在平面直角坐标系中,点P(0,m2)(m>0)在y轴正半轴上,过点P作平行于x轴的直线,分别交抛物线C1:214yx于点A,B交抛物线C2:219yx于点C、D,原点O关于直线AB的对称点为点Q,分别连结OA、OB、QC和QD.

猜想与证明

(1) 填表:

m 1 2

3

ABCD

(2)由上表猜想:对任意0mm均有ABCD___________,请证明你的猜想.

探究与应用

(1)利用上面的结论,可得△AOB与△CQD面积的比值为_________;

(2)当△AOB和△CQD中有一个是等腰直角三角形时,求△CQD与△AOB面积之差.

联想与拓展

如图②,过点A作y轴的平行线交抛物线C2于点E,过点D作y轴的平行线交抛物线C1于点F,在y轴正半轴上任取一点M,连结MA、ME、MD和MF.则△MAE与△MDF面积的比值为___________.

图① 图②

(第23题)

23.猜想与证明

(1)222333,,

( 1分)

(2)23

证明:将20ymm代入到214yx,得2xm, ∴2222AmmBmm,,,,∴4ABm.

将20ymm代入到219yx,得3xm,

∴2233CmmDmm,,,,∴6CDm.

∴42.63ABmCDm (3分)

∴对任意0mm均有2.3ABCD

探究与应用

(1)23 (4分)

(2)①当AOB△是等腰直角三角形时(如图①),

22POPBPOmPBm,,.

∴22mm,∴2m(0m舍去).

∴8124ABCDPQPO,,.

∴11841622AOBSABPO△,

111242422CQDSCDPQ△.

∴24168CQDAOBSS△△. (6分)

②当CQD△为等腰直角三角形时(如图②),

23PQPDPQPOmPDm,,,

∴23mm,∴3m(0m舍去).

∴12189ABCDPQPO,,.

∴111295422AOBSABPO△,

111898122CQDSCDPQ△.

∴815427CQDAOBSS△△. (8分)

联想与拓展:827 (10分)