用样本的数字特征估计总体的数字特征教案

用样本的数字特征估计总体的数字特征1 理解教材新知（层析教材，新知无师自通）知识点一众数、中位数、平均数[提出问题]现从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中，各抽取8件产品，对其使用寿命进行跟踪调查，其结果如下(单位：年)甲：3,4,5,6,8,8,8,10乙：4,6,6,6,8,9,12,13丙：3,3,4,7,9,10,11,12问题：三家广告中都称其产品的使用寿命为8年，利用初中所学的知识，你能说明为什么吗？提示：三个厂家是从不同角度进行了说明，以宣传自己的产品．其中甲：众数为8年，乙：平均数为8年，丙：中位数为8年．[导入新知]众数、中位数、平均数的概念(1)众数：一组数据中出现次数最多的数．(2)中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数．如果个数是偶数，则取中间两个的平均数．(3)平均数：一组数据的和除以数据个数所得到的数．[化解疑难]三种数字特征的比较[提出问题]甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别是： 甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7； 乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.问题1：甲、乙两战士命中环数平均数x －甲，x －乙各是多少？ 提示：x －甲＝7环，x －乙＝7环．问题2：由x －甲，x －乙能否判断两人的射击水平？ 提示：由于x －甲＝7环，x －乙＝7环，所以不能判断．问题3：观察上述两组数据，你认为哪个人的射击水平更稳定？提示：从数字分布来看，甲命中的环数较分散，乙命中的环数较集中．故乙的射击水平更稳定．[导入新知]标准差、方差的概念与计算公式(1)标准差：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示，s ＝ 1n[x 1－x 2＋x 2－x 2＋…＋x n －x 2].(2)方差：标准差的平方s 2叫做方差．s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中，x n 是样本数据，n 是样本容量，x 是样本平均数． [化解疑难]对方差与标准差概念的理解(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．(2)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)．标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性． (3)因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差． 2 突破 常考题型（锁定考向，考题千遍不离其宗） 题型一 众数、中位数、平均数的计算[例1] (1)已知一组数据按从小到大排列为－1,0,4，x ,6,15，且这组数据的中位数是5，那么数据的众数是________，平均数是________．【解析】 ∵中位数为5，∴4＋x2＝5，即x ＝6∴该组数据的众数为6，平均数为－1＋0＋4＋6＋6＋156＝5.【答案】 6 5(2)下面是某快餐店所有工作人员一周的收入表：②这个平均收入能反映打工人员的周收入的一般水平吗？为什么？③去掉老板的收入后，再计算平均收入，这能代表打工人员的周收入的水平吗？ 【解】 ①周平均收入x 1＝17(3 000＋450＋350＋400＋320＋320＋410)＝750(元)．②这个平均收入不能反映打工人员的周收入水平，可以看出打工人员的收入都低于平均收入，因为老板收入特别高，这是一个异常值，对平均收入产生了较大的影响，并且他不是打工人员．③去掉老板的收入后的周平均收入x 2＝16(450＋350＋400＋320＋320＋410)＝375(元)．这能代表打工人员的周收入水平．[类题通法]利用样本数字特征进行决策时的两个关注点(1)平均数与每一个数据都有关，可以反映更多的总体信息，但受极端值的影响大；中位数是样本数据所占频率的等分线，不受几个极端值的影响；众数只能体现数据的最大集中点，无法客观反映总体特征． (2)当平均数大于中位数时，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值．[活学活用]从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如下图所示)，设甲、乙两组数据的平均数分别为x 甲，x 乙，中位数分别为m 甲，m 乙，则( )A.x 甲＜x 乙，m 甲＞m 乙B.x 甲＜x 乙，m 甲＜m 乙C.x 甲＞x 乙，m 甲＞m 乙D.x 甲＞x 乙，m 甲＜m 乙【解析】选B 由茎叶图知，甲的平均数为(5＋6＋8＋10＋10＋14＋18＋18＋22＋25＋27＋30＋30＋38＋41＋43)÷16＝21.562 5，乙的平均数为(10＋12＋18＋20＋22＋23＋23＋27＋31＋32＋34＋34＋38＋42＋43＋48)÷16＝28.562 5，所以x 甲＜x乙．甲的中位数为(18＋22)÷2＝20，乙的中位数为(27＋31)÷2＝29， 所以m 甲＜m 乙.题型二 标准差（方差）的计算机应用[例2] 甲、乙两名战士在相同条件下各打靶10次，每次命中的环数分别是： 甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7； 乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.(1)分别计算以上两组数据的平均数； (2)分别求出两组数据的方差；(3)根据计算结果，估计两名战士的射击情况．若要从这两人中选一人参加射击比赛，选谁去合适？【解】 (1)x 甲＝110×(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7(环)，x 乙＝110×(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7(环)．(2)法一：由方差公式s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，得s 2甲＝3，s 2乙＝1.2. 法二：由方差公式s 2＝1n [(x ′21＋x ′22＋…＋x ′2n )－n x ′2]计算s 2甲，s 2乙，其中x ′i ＝x i －a ，x′＝1n i ＝1nx ′i .由于两组原始数据都在数字7附近且平均数都是7，所以选取a ＝7. x ′i 甲＝x i 甲－71－11－1－223－3x ′2i 甲＝(x i 甲－7)21 1 0 1 1 4 4 9 9 0 x′i 乙＝x i 乙－7－1 0 0 1 －1 0 1 0 2 －2 x′2i 乙＝(x i 乙－7)2111144所以，s 2甲＝110[(x ′21甲＋x ′22甲＋…＋x ′210甲)－10x′2甲] ＝110×(1＋1＋0＋1＋1＋4＋4＋9＋9＋0－10×0) ＝110×30＝3. 同理，s 2乙＝1.2.(3)x 甲＝x 乙，说明甲、乙两战士的平均水平相当．又s 2甲＞s 2乙，说明甲战士射击情况波动大． 因此，乙战士比甲战士射击情况稳定．从成绩的稳定性考试，应选择乙参加比赛． [类题通法]1．计算标准差的算法2．标准差(方差)的两个作用(1)标准差(方差)较大，数据的离散程度较大；标准差(方差)较小，数据的离散程度较小． (2)在实际应用中，常常把平均数与标准差结合起来进行决策．在平均值相等的情况下，比较方差或标准差以确定稳定性．[活学活用]随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示．(1)计算甲班的样本方差；(2)计算乙班的样本方差，并判断哪个班的身高数据波动较小． 解：(1)x 甲＝158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋179＋18210＝170.甲班的样本方差为s 2甲＝110×[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2.(2)同(1)中的算法，求得x乙＝171，s2乙＝110×(122＋92＋62＋32＋12＋22＋52＋72＋72＋102)＝49.8.s2乙＜s2甲，因此乙班的身高数据波动较小.题型三数字特征的综合应用[例3]从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如下的频率分布直方图．由于一些数据丢失，试利用频率分布直方图求：(1)这50名学生成绩的众数与中位数．(2)这50名学生的平均成绩．【解】(1)由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数．在直方图中高度最高的小长方形的底边中点的横坐标即为所求，所以众数应为75.由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率分布直方图中体现的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而就是小矩形的面积和相等．因此在频率分布直方图中将所有小矩形的面积一分为二的垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标所对应的成绩即为所求．∵0.004×10＋0.006×10＋0.02×10＝0.04＋0.06＋0.2＝0.3，∴前三个小矩形面积的和为0.3.而第四个小矩形面积为0.03×10＝0.3,0.3＋0.3＞0.5，∴中位数应约位于第四个小矩形内．设其底边为x，高为0.03，∴令0.03x＝0.2得x≈6.7，故中位数应约为70＋6.7＝76.7.(2)样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的平均值，取每个小矩形底边的中点的横坐标乘以每个小矩形的面积求和即可．∴平均成绩为45×(0.004×10)＋55×(0.006×10)＋65×(0.02×10)＋75×(0.03×10)＋85×(0.021×10)＋95×(0.016×10)＝73.65.[类题通法]众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系众数众数是最高长方形底边的中点所对应的数据，表示样本数据的中心值中位数①在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图面积相等，由此可以估计中位数的值，但是有偏差；②表示样本数据所占频率的等分线平均数①平均数等于每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和；②平均数是频率分布直方图的重心，是频率分布直方图的平衡点[活学活用]为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图，则(1)这20名工人中一天生产该产品数量在[55,75)的人数是________．(2)这20名工人中一天生产该产品数量的中位数为________．(3)这20名工人中一天生产该产品数量的平均数为________．【解析】(1)(0.040×10＋0.025×10)×20＝13.(2)设中位数为x，则0.2＋(x－55)×0.04＝0.5，x＝62.5.(3)0.2×50＋0.4×60＋0.25×70＋0.1×80＋0.05×90＝64.【答案】(1)13(2)62.5(3)64数字特征的计算失误[典例]对一组样本数据x i(i＝1,2，…，n)，如将它们改为x i－m(i＝1,2，…，n)，其中m≠0，则下面结论正确的是()A．平均数与方差都不变B．平均数与方差都变了C．平均数不变，方差变了D．平均数变了，方差不变【解析】若x1，x2，…，x n的平均数为x，方差为s2，则ax1＋b，ax2＋b，…，ax n＋b(a≠0)的平均数为a x＋b，方差为a2s2，标准差为a2s2，于是知道正确答案应为D.【答案】D[易错防范](1)本题易误认为样本数据变化了，则样本的平均数与方差也会随之改变，从而误选B.(2)若x1，x2，x3，…，x n的平均数为x，方差为s2，标准差为s，则以下数据的平均数，方差和标准差有以下规律：数据平均数方差标准差x1，x2，x3，…，x n x s2sx 1＋b ，x 2＋b ，…，x n ＋b (b 为常数) x ＋b s 2 s ax 1，ax 2，…，ax n (a 为常数) a x a 2s 2 |a |s ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b(a ，b 为常数)a x ＋ba 2s 2|a |s一组数据的方差为s 2，平均数为x ，将这组数据中的每一个数都乘以2，所得的一组新数据的方差和平均数为( )A.12s 2，12x B ．2s 2,2x C ．4s 2,2xD ．s 2，x【解析】选C 将一组数据的每一个数都乘以a ，则新数据组的方差为原来数据组方差的a 2倍，平均数为原来数据组的a 倍．故答案选C. 4 应用 落实体验（自主演练，百炼方成钢）[随堂即时演练]1．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞c ＞aC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a【解析】选C 将数据从小到大排列为10,12,14,14,15,15,16,17,17,17，则平均数a ＝110(10＋12＋14×2＋15×2＋16＋17×3)＝14.7，中位数b ＝15，众数c ＝17，显然a ＜b ＜c ，选D.2．奥运会体操比赛的计分规则为：当评委亮分后，其成绩先去掉一个最高分，去掉一个最低分，再计算剩下分数的平均值，这是因为( )A ．减少计算量B ．避免故障C ．剔除异常值D ．活跃赛场气氛【解析】选C 因为在体操比赛的评分中使用的是平均分，记分过程中采用“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的方法，就是为了防止个别裁判的人为因素给出过高或过低的分数对选手的得分造成较大的影响，从而降低误差，尽量公平．3．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是________.【解析】按从小到大排列后可得其中位数为91＋922＝91.5，平均数为87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋968＝91.5.【答案】91.5,91.54．样本中共有五个个体，其值分别为a ,0,1,2,3，若该样本的平均值为1，则样本方差为________.【解析】由题意知15(a ＋0＋1＋2＋3)＝1，解得a ＝－1.所以样本方差为s 2＝15[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.【答案】25．甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如下图所示：(1)请填写下表：平均数 中位数 命中9环以上的次数(含9环)甲 7 乙(2)①从平均数和中位数相结合看，谁的成绩好些？②从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，谁的成绩好些？ ③从折线图中两人射击命中环数的走势看，谁更有潜力？解：(1)由图可知，甲打靶的成绩为：2,4,6,8,7,7,8,9,9,10；乙打靶的成绩为：9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.甲的平均数是7，中位数是7.5，命中9环及9环以上的次数是3； 乙的平均数是7，中位数是7，命中9环及9环以上的次数是1. (2)由(1)知，甲、乙的平均数相同．①甲、乙的平均数相同，甲的中位数比乙的中位数大，所以甲成绩较好． ②甲、乙的平均数相同，甲命中9环及9环以上的次数比乙多，所以甲成绩较好． ③从折线图中看，在后半部分，甲呈上升趋势，而乙呈下降趋势，故甲更有潜力．。

2019-2020学年度最新高中数学新人教版必修3教案：第2章2-2-2 用样本的数字特征估计总体的数字特征-含答案1．会求样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差．(重点)2．理解用样本的数字特征来估计总体数字特征的方法．(重点)3．会应用相关知识解决实际统计问题．(难点)[基础·初探]教材整理1众数、中位数、平均数阅读教材P72～P73的内容，完成下列问题．1．众数：在一组数据中，出现次数最多的数叫做众数．如果有两个或两个以上数据出现的最多且出现的次数相等，那么这些数据都是这组数据的众数；如果一组数据中，所有数据出现的次数都相等，那么认为这组数据没有众数．2．中位数：将一组数据按从小到大的顺序依次排列，当数据有奇数个时，处在最中间的那个数是这组数据的中位数；当数据有偶数个时，处在最中间的两个数的平均数是这组数据的中位数．3．平均数：一组数据的总和除以这组数据的个数取得的商叫做这组数据的平均数，一般记为x＝1n(x1＋x2＋…＋x n)．4．三种数字特征的比较1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)中位数一定是样本数据中的某个数．()(2)在一组样本数据中，众数一定是唯一的．()【答案】(1)×(2)×2．已知一组数据为20,30,40,50,50,60,70,80.其中平均数、中位数和众数的大小关系是()A．平均数＞中位数＞众数B．平均数＜中位数＜众数C．中位数＜众数＜平均数D．众数＝中位数＝平均数【解析】众数为50，平均数x＝18(20＋30＋40＋50＋50＋60＋70＋80)＝50，中位数为12(50＋50)＝50，故选D.【答案】 D3．一组观察值4,3,5,6出现的次数分别为3,2,4,2，则样本平均值为( ) A ．4.55 B ．4.5 C ．12.5 D ．1.64【解析】x ＝4×3＋3×2＋5×4＋6×23＋2＋4＋2≈4.55.【答案】 A教材整理2 频率分布直方图中的众数、中位数、平均数 阅读教材P 72～P 73的内容，完成下列问题．在频率分布直方图中，众数是最高矩形中点的横坐标，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．教材整理3 标准差、方差阅读教材P 74～P 77例2上面的内容，完成下列问题． 1．标准差的计算公式标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示， s ＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]. 2．方差的计算公式 标准差的平方s 2叫做方差．s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]．其中，x i (i ＝1,2，…，n )是样本数据，n 是样本容量，x 是样本平均数．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4. 则：(1)平均命中环数为________； (2)命中环数的标准差为________．【解析】 (1)x ＝7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋410＝7.(2)s 2＝110[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s＝2.【答案】(1)7(2)2[小组合作型](2)这个问题中，平均数能客观地反映该工厂的工资水平吗？为什么？【精彩点拨】先结合众数、中位数、平均数的意义求出众数、中位数、平均数，再结合影响平均数的因素作答．【尝试解答】(1)由题中表格可知：众数为1 200，中位数为1 220，平均数为(2 200＋1 250×6＋1 220×5＋1 200×10＋490)÷23＝1 230(元/周)．(2)虽然平均数为1 230元/周，但从题中表格中所列出的数据可见，只有经理在平均数以上，其余的人都在平均数以下，故用平均数不能客观真实地反映该厂的工资水平．1．众数、中位数、平均数都是刻画数据特征的，但任何一个样本数据改变都会引起平均数的改变，而众数、中位数不具有这个性质．所以平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，它是样本数据的重心．2．在样本中出现极端值的情况下，众数、中位数更能反映样本数据的平均水平．[再练一题]1．已知一组数据按从小到大排列为－1,0,4，x,6,15，且这组数据的中位数是5，那么数据的众数是________，平均数是________．【解析】 ∵中位数为5，∴4＋x2＝5，即x ＝6.∴该组数据的众数为6，平均数为－1＋0＋4＋6＋6＋156＝5.【答案】 6 5甲、乙两机床同时加工直径为100 cm 的零件，为检验质量，从中抽取6件测量数据为：甲：99 100 98 100 100 103 乙：99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定． 【精彩点拨】【尝试解答】 (1)x 甲＝16[99＋100＋98＋100＋100＋103]＝100， x 乙＝16[99＋100＋102＋99＋100＋100]＝100，s2甲＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73，s2乙＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)由(1)知x甲＝x乙，比较它们的方差，∵s2甲＞s2乙，故乙机床加工零件的质量更稳定．1．在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究其偏离平均值的离散程度(即方差或标准差)，方差大说明取值分散性大，方差小说明取值分散性小或者取值集中、稳定．2．关于统计的有关性质及规律(1)若x1，x2，…，x n的平均数为x，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mx n＋a的平均数是m x＋a；(2)数据x1，x2，…，x n与数据x1＋a，x2＋a，…，x n＋a的方差相等；(3)若x1，x2，…，x n的方差为s2，那么ax1，ax2，…，ax n的方差为a2s2.[再练一题]2．某校高二年级在一次数学选拔赛中，由于甲、乙两人的竞赛成绩相同，从而决定根据平时在相同条件下进行的六次测试确定出最佳人选，这六次测试的成绩数据如下：求两人比赛成绩的平均数以及方差，并且分析成绩的稳定性，从中选出一位参加数学竞赛．【解】 设甲、乙两人成绩的平均数分别为x 甲，x 乙， 则x 甲＝130＋16(－3＋8＋0＋7＋5＋1)＝133， x 乙＝130＋16(3－1＋8＋4－2＋6)＝133，s 2甲＝16[(－6)2＋52＋(－3)2＋42＋22＋(－2)2]＝473， s 2乙＝16[(02＋(－4)2＋52＋12＋(－5)2＋32]＝383. 因此，甲与乙的平均数相同，由于乙的方差较小，所以乙的成绩比甲的成绩稳定，应该选乙参加竞赛比较合适．125 121 123 125 127 129 125 128 130129 126 124 125 127 126 122 124 125 126 128 (1)填写下面的频率分布表：(2)(3)根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数. 【精彩点拨】 将数据分组后依次填写分布表．然后画出直方图，最后根据数字特征在直方图中的求法求解．【尝试解答】 (1)(3)在[124.5,126.5)中的数据最多，取这个区间的中点值作为众数的近似值，得众数为125.5，事实上，众数的精确值为125.图中虚线对应的数据是124.5＋2×58＝125.75，事实上中位数为125.5.使用“组中值”求平均数：x －＝121.5×0.1＋123.5×0.15＋125.5×0.4＋127.5×0.2＋129.5×0.15＝125.8，事实上平均数的精确值为x －＝125.75.1．利用频率分布直方图求数字特征 (1)众数是最高的矩形的底边的中点；(2)中位数左右两侧直方图的面积相等；(3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．2．利用直方图求众数、中位数、平均数均为近似值，往往与实际数据得出的不一致，但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数．[再练一题]3．某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组，绘制成如图2-2-20所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30,0.40,0.15,0.10,0.05.求：图2-2-20(1)高一参赛学生的成绩的众数、中位数；(2)高一参赛学生的平均成绩．【解】(1)由题图可知众数为65，又∵第一个小矩形的面积为0.3，∴设中位数为60＋x，则0.3＋x×0.04＝0.5，得x＝5，∴中位数为60＋5＝65.(2)依题意，平均成绩为：55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67，∴平均成绩约为67.[探究共研型]探究【提示】一组数据的平均数、中位数都是唯一的，众数不唯一，可以有一个，也可以有多个，还可以没有．如果有两个数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这两个数据都是这组数据的众数．探究2如何从样本的数字特征中了解数据中是否存在极端数据？【提示】中位数不受几个极端数据的影响，而平均数受每个数据的影响，“越离群”的数据，对平均数的影响越大，因此如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值．在实际应用中，如果同时知道样本中位数和样本平均数，可以了解样本数据中极端数据的信息．探究3众数、中位数有哪些应用？【提示】(1)众数只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据重复出现时，众数往往更能反映问题．(2)中位数仅与数据的排列位置有关，中位数可能在所给数据中，也可能不在所给数据中．当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其集中趋势．探究4【提示】(1)数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述，极差反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值极为敏感，一般情况下，极差大，则数据波动性大；极差小，则数据波动性小．极差只需考虑两个极端值，便于计算，但没有考虑中间的数据，可靠性较差．(2)标准差和方差则反映了一组数据围绕平均数波动的大小，方差、标准差的运算量较大．因为方差与原始数据单位不同，且平方后可能夸大了偏差程度，所以虽然标准差与方差在体现数据离散程度上是一样的，但解决问题时一般用标准差．探究5【提示】(1)样本的数字特征具有随机性，这种随机性是由样本的随机性引起的．(2)样本的数字特征具有规律性，在很广泛的条件下，简单随机样本的数字特征(如众数、中位数、平均数和标准差等)随样本容量的增加而稳定于总体相应的数字特征(总体的数字特征是一定的，不存在随机性)．某班4个小组的人数为10,10，x,8，已知该组数据的中位数与平均数相等，求这组数据的中位数．【精彩点拨】x的大小未知，可根据x的取值不同分别求中位数．【尝试解答】该组数据的平均数为14(x＋28)，中位数一定是其中两个数的平均数，由于x不知是多少，所以要分几种情况讨论：(1)当x≤8时，原数据按从小到大的顺序排列为x,8,10,10，其中位数为12×(10＋8)＝9.若14(x＋28)＝9，则x＝8，此时中位数为9.(2)当8<x≤10时，原数据按从小到大的顺序排列为8，x,10,10，其中位数为12(x＋10)．若14(x＋28)＝12·(x＋10)，则x＝8，而8不在8<x≤10的范围内，所以舍去．(3)当x>10时，原数据按从小到大的顺序排列为8,10,10，x，其中位数为12×(10＋10)＝10.若14(x ＋28)＝10，则x ＝12，此时中位数为10.综上所述，这组数据的中位数为9或10.当在数据中含有未知数x ，求该组数据的中位数时，由于x 的取值不同，所以数据由小到大(或由大到小)排列的顺序不同，由于条件的变化，问题的结果有多种情况，不能用同一标准或同一种方法解决，故需分情况讨论，讨论时要做到全面合理，不重不漏.[再练一题]4．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为____________．【解析】 设5个班级中参加的人数分别为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则由题意知x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 55＝7，(x 1－7)2＋(x 2－7)2＋(x 3－7)2＋(x 4－7)2＋(x 5－7)2＝20，五个整数的平方和为20，则必为0＋1＋1＋9＋9＝20，由|x －7|＝3可得x ＝10或x ＝4.由|x －7|＝1可得x ＝8或x ＝6，由上可知参加的人数分别为4,6,7,8,10，故最大值为10.【答案】 101．样本101,98,102,100,99的标准差为( ) A.2B ．0C．1 D．2【解析】样本平均数x＝100，方差为s2＝2，∴标准差s＝2，故选A.【答案】 A2．甲乙两名学生六次数学测验成绩(百分制)如图2-2-21所示．图2-2-21①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；②甲同学的平均分比乙同学高；③甲同学的平均分比乙同学低；④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差．上面说法正确的是()A．③④B．①②④C．②④D．①③【解析】甲的中位数81，乙的中位数87.5，故①错，排除B、D；甲的平均分x＝16(76＋72＋80＋82＋86＋90)＝81，乙的平均分x′＝16(69＋78＋87＋88＋92＋96)＝85，故②错，③对，排除C，故选A.【答案】 A3．甲、乙、丙、丁四名射手在选拔赛中所得的平均环数x及其方差s2如下表所示，则选送决赛的最佳人选应是()【解析】∵x乙＝x丙＞x甲＝x丁，且s2甲＝s2乙＜s2丙＜s2丁，∴应选择乙进入决赛．【答案】 B4．为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图2-2-22，则图2-2-22(1)这20名工人中一天生产该产品数量在[55,75)的人数是________．(2)这20名工人中一天生产该产品数量的中位数为________．(3)这20名工人中一天生产该产品数量的平均数为________．【解析】(1)(0.040×10＋0.025×10)×20＝13.(2)设中位数为x，则0.2＋(x－55)×0.04＝0.5，x＝62.5.(3)0.2×50＋0.4×60＋0.25×70＋0.1×80＋0.05×90＝64.【答案】(1)13(2)62.5(3)645．甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图2-2-23所示：图2-2-23(1)填写下表：①从平均数和方差结合分析偏离程度；②从平均数和中位数结合分析谁的成绩好些；③从平均数和命中9环以上的次数相结合看谁的成绩好些；④从折线图上两人射击命中环数及走势分析谁更有潜力.【解】(1)乙的射靶环数依次为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.所以x乙＝110(2＋4＋6＋8＋7＋7＋8＋9＋9＋10)＝7；乙的射靶环数从小到大排列为2,4,6,7,7,8,8,9,9,10，所以中位数是7＋82＝7.5；甲的射靶环数从小到大排列为5,6,6,7,7,7,7,8,8,9，所以中位数为7.于是填充后的表格如下表所示：(2)①甲、乙的平均数相同，均为7，但s甲乙小，而乙偏离平均数的程度大．②甲、乙的平均水平相同，而乙的中位数比甲大，说明乙射靶成绩比甲好．③甲、乙的平均水平相同，而乙命中9环以上(包含9环)的次数比甲多2次，可知乙的射靶成绩比甲好．④从折线图上看，乙的成绩呈上升趋势，而甲的成绩在平均线上波动不大，说明乙的状态在提升，更有潜力．学业分层测评(十三)用样本的数字特征估计总体的数字特征(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图2-2-24所示，则( )图2-2-24A ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D ．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差【解析】 由题意可知，甲的成绩为4,5,6,7,8，乙的成绩为5,5,5,6,9.所以甲、乙的成绩的平均数均为6，A 错；甲、乙的成绩的中位数分别为6,5，B 错；甲、乙的成绩的方差分别为15×[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝2，15×[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝125，C 对；甲、乙的成绩的极差均为4，D 错．【答案】 C2．若样本1＋x 1,1＋x 2,1＋x 3，…，1＋x n 的平均数是10，方差为2，则对于样本2＋x 1,2＋x 2，…，2＋x n ，下列结论正确的是( )A ．平均数是10，方差为2B ．平均数是11，方差为3C ．平均数是11，方差为2D ．平均数是10，方差为3【解析】 若x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，方差为s ，那么x 1＋a ，x 2＋a ，…，x n ＋a 的平均数为x ＋a ，方差为s .【答案】 C3．如图2-2-25是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，甲、乙两人这几场比赛得分的平均数分别为x 甲，x 乙；标准差分别是s 甲，s 乙，则有( )图2-2-25A.x 甲＞x 乙，s 甲＞s 乙B.x 甲＞x 乙，s 甲＜s 乙C.x 甲＜x 乙，s 甲＞s 乙D.x 甲＜x 乙，s 甲＜s 乙【解析】 观察茎叶图可大致比较出平均数与标准差的大小关系，或者通过公式计算比较．【答案】 C4．已知一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的平均数是x ＝2，方差是13，那么另一组数据3x 1－2,3x 2－2,3x 3－2,3x 4－2,3x 5－2的平均数和方差分别为( )A ．2，13 B ．2,1 C ．4，13D ．4,3【解析】 平均数为x ′＝3x －2＝3×2－2＝4，方差为s ′2＝9s 2＝9×13＝3.【答案】 D5．为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如图2-2-26所示．由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视力在4.6到5.0之间的学生数为b ，则a ，b 的值分别为( )图2-2-26A ．0.27,78B ．0.27,83C ．2.7,78D ．2.7,83【解析】 由题意，4.5到4.6之间的频率为0.09,4.6到4.7之间的频率为0.27，后6组的频数成等差数列，设公差为d ，则6×0.27＋15d ＝1－0.01－0.03－0.09，∴d ＝－0.05.∴b ＝(0.27×4＋6d )×100＝78，a ＝0.27. 【答案】 A 二、填空题6．一个样本数据按从小到大的顺序排列为：13,14,19，x,23,27,28,31，中位数为22，则x ＝________.【解析】 由题意知x ＋232＝22，则x ＝21. 【答案】 217．甲、乙两位同学某学科的连续五次考试成绩用茎叶图表示如图2-2-27所示，则平均分数较高的是________，成绩较为稳定的是________．图2-2-27【解析】x甲＝70，x乙＝68，s 2甲＝15×(22＋12＋12＋22)＝2，s 2乙＝15×(52＋12＋12＋32)＝7.2.【答案】甲甲8．已知样本9,10,11，x，y的平均数是10，标准差为2，则xy＝________.【解析】由平均数得9＋10＋11＋x＋y＝50，∴x＋y＝20.又由(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(x－10)2＋(y－10)2＝(2)2×5＝10，得x2＋y2－20(x＋y)＝－192，(x＋y)2－2xy－20(x＋y)＝－192，∴xy＝96.【答案】96三、解答题9．从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图2-2-28的频率分布直方图．图2-2-28由于一些数据丢失，试利用频率分布直方图求：(1)这50名学生成绩的众数与中位数；(2)这50名学生的平均成绩．【解】(1)由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数．在直方图中高度最高的小长方形的底边中点的横坐标即为所求，所以众数应为75.由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率分布直方图中体现的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而就是小矩形的面积和相等．因此在频率分布直方图中将所有小矩形的面积一分为二的垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标所对应的成绩即为所求．∵0.004×10＋0.006×10＋0.02×10＝0.04＋0.06＋0.2＝0.3，∴前三个小矩形面积的和为0.3.而第四个小矩形面积为0.03×10＝0.3,0.3＋0.3＞0.5，∴中位数应约位于第四个小矩形内．设其底边为x ，高为0.03，∴令0.03x ＝0.2得x ≈6.7， 故中位数应约为70＋6.7＝76.7.(2)样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的平均值，取每个小矩形底边的中点的横坐标乘以每个小矩形的面积求和即可．∴平均成绩为45×(0.004×10)＋55×(0.006×10)＋65×(0.02×10)＋75×(0.03×10)＋85×(0.021×10)＋95×(0.016×10)＝73.65.10．对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如下：(1)(2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)数据的平均数、极差、方差，并判断选谁参加比赛比较合适？【解】 (1)画茎叶图如下：中间数为数据的十位数．从茎叶图上看，甲、乙的得分情况都是分布均匀的，只是乙更好一些．乙发挥比较稳定，总体情况比甲好．(2)x 甲＝27＋38＋30＋37＋35＋316＝33.x 乙＝33＋29＋38＋34＋28＋366＝33.s 2甲＝16[(27－33)2＋(38－33)2＋(30－33)2＋(37－33)2＋(35－33)2＋(31－33)2]≈15.67.s 2乙＝16[(33－33)2＋(29－33)2＋(38－33)2＋(34－33)2＋(28－33)2＋(36－33)2]≈12.67.甲的极差为11，乙的极差为10.综合比较以上数据可知，选乙参加比赛较合适．[能力提升]1．有一笔统计资料，共有11个数据如下(不完全以大小排列)：2,4,4,5,5,6,7,8,9,11，x ，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为( )A ．6 B.6 C ．66D ．6.5【解析】 ∵x ＝111(2＋4＋4＋5＋5＋6＋7＋8＋9＋11＋x )＝111(61＋x )＝6，∴x ＝5.方差为：s 2＝42＋22＋22＋12＋12＋02＋12＋22＋32＋52＋1211＝6611＝6.【答案】 A2．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图2-2-29中以x 表示：89⎪⎪⎪7 74 0 1 0 x 9 1图2-2-29则7个剩余分数的方差为( )A.1169B.367C ．36D.677【解析】 根据茎叶图，去掉1个最低分87,1个最高分99， 则17[87＋94＋90＋91＋90＋(90＋x )＋91]＝91， ∴x ＝4.∴s 2＝17[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝367.【答案】 B3．若40个数据的平方和是56，平均数是22，则这组数据的方差是________，标准差是________．【解析】 设这40个数据为x i (i ＝1,2，…，40)，平均数为x . 则s 2＝140×[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x 40－x )2] ＝140[x 21＋x 22＋…＋x 240＋40x 2－2x (x 1＋x 2＋…＋x 40)] ＝140⎣⎢⎡⎦⎥⎤56＋40×⎝ ⎛⎭⎪⎫222－2×22×40×22＝140×⎝ ⎛⎭⎪⎫56－40×12＝0.9. ∴s ＝0.9＝910＝31010. 【答案】 0.9310104．某地区100位居民的人均月用水量(单位：t)的分组及各组的频数如下： [0,0.5)，4；[0.5,1)，8；[1,1.5)，15；[1.5,2)，22；[2，2.5)，25；[2.5,3)，14；[3,3.5)，6；[3.5,4)，4；[4,4.5)，2.(1)列出样本的频率分布表；(2)画出频率分布直方图，并根据直方图估计这组数据的平均数、中位数、众数；(3)当地政府制定了人均月用水量为3t的标准，若超出标准加倍收费，当地政府说，85%以上的居民不超过这个标准，这个解释对吗？为什么？【解】(1)频率分布表(2)频率分布直方图如图：众数：2.25，中位数：2.02，平均数：2.02.(3)人均月用水量在3t以上的居民所占的比例为6%＋4%＋2%＝12%，即大约有12%的居民月用水量在3t以上，88%的居民月用水量在3t以下，因此政府的解释是正确的.。

用样本的数字特征估计总体的数字特征
教学目标：1．通过实例理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据标准差。

2．进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；初步体会样本频率分布和数字特征的随机性。

教学重点：通过实例理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据标准差。

进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；初
步体会样本频率分布和数字特征的随机性。

教学过程：
1．本均值：
2．样本标准差：
3．通过例1、例2、例3、例4、例5熟悉上述两个公式
4．用样本估计总体时，如果抽样的方法比较合理，那么样本可以反映总体的信息，但从样本得到的信息会有偏差。

在随机抽样中，这种偏差是不可避免的。

虽然我们用样本数据得到的分布、均值和标准差并不是总体的真正的分布、均值和标准差，而只是一个估计，但这种估计是合理的，特别是当样本量很大时，它们确实反映了总体的信息。

5．（1）如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数，标准差不变
（2）如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数k，标准差变为原来的k倍
（3）一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响，区间的应用；
“去掉一个最高分，去掉一个最低分”中的科学道理
小结：通过实例理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据标准差。

进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；初步体会样本频率分布和数字特征的随机性。

1。

2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征一．学习要点：用样本的数字特征估计总体的数字特征二．学习过程：用样本平均数估计总体平均数：◆ 几个概念：众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在中间位置的一个数据（或中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数．平均数：如果有n 个数123x , x , x , , x，那么123n 1x = ( x + x + x + + x )n 叫作这n 个数的平均数．总体平均数：总体中所有个体的平均数叫做总体平均数． 样本平均数：样本中所有个体的平均数叫作样本平均数． 加权平均数：如果在n 个数中，1x 出现1f 次，2x 出现2 f 次，…，k x 出现k f 次（这里12k f + f + + f = n），那么x ＝1122k k 1(x f + x f + + x f )n 叫做这n 个数的加权平均数．其中12k f , f , , f 叫做权．（２）这个问题中，平均数能客观地反映该工厂的工资水平吗？为什么？◆ 用样本平均数估计总体平均数：通常我们用样本平均数估计总体平均数，一般说来，样本容量越大，这种估计就越准确．例2为了估计一次性木质筷子的用量， 2004年从某县共600家高、中、低档饭店中抽取10家，得到这些饭店每天消耗的一次性筷子的数据如下（单位：盒）：0.6 , 3.7 , 2.2 , 1.5 , 2.8 , 1.7 , 1.2 , 2.1 , 3.2 , 1.0，通过对样本数据的计算，估计该县2004年共消耗了多少盒一次性筷子（每年按350个营业日计算）．● 用样本标准差估计总体标准差：◆ 概念：样本方差：一般地，设样本的元素为123n x , x , x , , x ，样本的平均数为x ，定义()()()2222121s = n x x x x x x n ⎡⎤-+-++-⎣⎦，我们就称2s 为样本方差；样本标准差：．． ◆计算标准差的算法：Ｓ1 算出样本数据的平均数；Ｓ2 算出每个样本数据与样本平均数的差(1,2,3,,)i x x i n -=； Ｓ3 算出2()(1,2,3,,)i x x i n -=；Ｓ4 算出2()(1,2,3,,)i x x i n -=这n 个数的平均数，即为样本方差2 s ； Ｓ5 算出方差的算术平方根，即为样本标准差s ． 例3某班40人随机平均分成两组，两组学生一次考试的成绩情况如下◆用样本标准差估计总体标准差：总体方差是反映总体波动大小的特征数，通常用样本方差估计总体方差，当样本容量很大时，样本方差很接近总体方差． ◆关于统计的计算：（1）求方差的公式：①定义法：2222121s = [()()()]n x x x x x x n-+-++-； ②简化法：2222212n 1s = ( x + x + + x - nx )n课堂练习：教材第70页练习课后作业：见作业（5）。