概率论与数理统计第三章课后习题答案

概率论与数理统计第三章课后习题答案习题二1■将一硬币抛掷二次，以X表示在二次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和丫的联合分布律.【解】X和丫的联合分布律如表:2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.【解】X和丫的联合分布律如表:3•设二维随机变量（X, F）的联合分布函数为求二维随机变量（x, y）在长方形域内的概率.4 6 3J【解】如图叫眈怎＜今空^求：（1）常数/；F (x, y)sin xsiny,0,0"岁詣其他.・Tt ■兀・兀■兀=sin —_sin ——sin —_sin ——4 3 4 6二#(dl).斗sin OLfeinK ■八■兀—+sinIksin —3 6JT7说明：也可先求出密度函数，再求概率。

4•设随机变量（X, Y）的分布密度f（兀，y）j e-(3.r+4y)x >0, y >0, 其他.(2) 随机变量(X, Y)的分布函数;(3) P{0 «1, 0之<2}.【解】(1)由 f(x,y)dxdy° °Ae(3x4y)dxdy £ 1得A = 12(2) 由定义，有y xF (x, y)f (u, v)dudvy y(3u 4v)12e dudvo o0,(3) P{0 X 1,0 Y 2}P{0 X 1,0 Y 2}5. 设随机变量（X, Y ）的概率密度为(1 e 3x )(1 e 4y ) y 0,x 0,0,其他212e (3x 04y)dxdy(1 e 3)(1 e 8)0.9499.f(x ，y)=k(6 x y), 0,x 2,2 y 4,其他.(1)确定常数k ；(2)求 P{X v 1, Y v 3};(3)求 P{X<1.5};(4)求 P{X+Y W 4}.【解】(1)由性质有2 4f(x, y)dxdy ° 2 k(6 x y)dydx 8k 1,31-k(6 x y)dydx86.设X和丫是两个相互独立的随机变量，X在（0,0.2）上服从均匀分布，Y的密度函数为求：（1） X与Y的联合分布密度；（2）P{YN}.(2) P{X 1,Y 3} f (x, y)dydx(3)P{X(4)P{X1.5}x 1.5f (x, y)dxdy 如图 a f (x,y)dxdy1.5 4 10 dx -(6 x y)dy82732Y 4}Xf (x, y)dxdy如图 b f (x,y)dxdy(61 ) y)f Y（ y）5e5y, y 0,0, 其他.【解】（1）因X 在（0, 0.2） 上服从均匀分布，所以X 的密度函数为f x (X)10 x 0.2,0.2,0,其他.而f/y)5e 5y , y 0,0,其他.所以f (x, y)X,丫独立 fx(x)gf Y (y)⑵ P(Y X) f (x, y)dxdy 如图 25e 5y dxdyy xD丄 0.2 5e 5y0,25e 5y, 0 x 0.2且 y 0, 0, 其他•0.2 0dx25e -5ydy0.2 5x0 ( 5e5)dx■1=e 0.3679.7.设二维随机变量（X, Y ）的联合分布函数为F （ x ，y ）(1 e 4x)(1 e 2y), x 0,y 0,0,其他.求（X ，Y ）的联合分布密度2［解］ f(x,y)x y8e(4x 2y), x 0,y 0,0, 其他.8.设二维随机变量（X, Y ）的概率密度为f (x, y)=4.8y(2 x), 0 0,x 1,0 y x,其他.求边缘概率密度.【解】f x(x) f (x,y)dyx0 4.8y(2x)dy0,2.4X2(2 x), 0 x 1,0, 其他.f y(y) f (x,y)dx1=y4-8y(2x)dx 2.4y(3 4y y2), 0 y 1,0, 其他.,题8图9.设二维随机变量题9图X, Y)的概率密度为f (x, y) e y, 0 x y,0, 其他.求边缘概率密度.【解】f x(X) f (x, y)d yx0,e y dy xe , x 0,0, 其他.f Y(y) f (x,y)dxy e y dx0,ye x, y 0,0, 其他.y\i■v=xw p题10图10.设二维随机变量（X, Y）2f （x, y）= J试确定常数c;求边缘概率密度的概率密度为x2y 1,其他.(1)(2)【解】(1)f (x, y)dxdy如图Df (x,y)dxdy1 12-1dx x2cx ydy4c211.214f x(X) f(x,y)dy1 212 , xydyx 40, 212。

x (180,x4), 1其他.x 1,f Y(y) f(x,y)dxy 21 2, —xydx y 40,0, 0 y 1, 其他.11.设随机变量（x, Y) f(x, y)=的概率密度为1, |y x,0 x 1, 0, 其他.求条件概率密度f Y i x (y | x), f x i Y (x | y)题11图［解］f x （X ）f (x , y)dyx1dy 2x,x0x1,0,其他.11dx 1 y,y 1 y 0f Y (y)f(x, y)dx11dx 1 y,y0 y 1,0,其他.所以12. 袋中有五个号码1, 2, 3, 4, 5,从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为 X ，最大 的号码为Y.（1） 求X 与Y 的联合概率分布； （2） X 与Y 是否相互独立？【解】（1） X 与Y 的联合分布律如下表f Yix (y | x)f(x, y)1 2x 0,|y| x 1,其他.f xY (x| y)f(x, y)110, y x 1, y x 1, 其他.45P {X X}(2)因P{X 1}gP{Y 3} 10 秸侖群P{X律3}，故X与丫不独立13.设二维随机变量(X, Y)的联合分布律为(1)求关于X和关于Y的边缘分布;(2)X与丫是否相互独立？【解】(1)X和丫的边缘分布如下表(2) 因P{X 2}gP{Y 0.4} 0.2 0.8 0.16 0.15 P(X 2,Y 0.4),故X与丫不独立.14.设X和丫是两个相互独立的随机变量，X在 (0, 1)上服从均匀分布，丫的概率密度为1 y/2 介f Y(y) = 2e，y Qo, 其他.(1)求X和丫的联合概率密度；(2)设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0, 试求a有实根的概率.题14图0有实根的条件是(2X)2 4Y 0故X2X,从而方程有实根的概率为:2P{X Y} f (x, y)dxdy【解】(1)因f x(X) 1, 0 x 1,0,其他；Sy)1e20,y 1,其他.故f (X, y)X,Y独立 f x(x)gf Y(y) 2°0,y/ 0 x 1,y 0,其他•⑵方程a 2Xa YX2 y1X? 1 y/2 dx e dy o o 2 1「2一[ (1) (0)]0.1445.15■设X 和Y 分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设X 和Y 相互独立，且服 从同一分布，其概率密度为求Z=X/Y 的概率密度. 1000 ~, X 0,x 1000, 其他.【解】如图,Z 的分布函数F Z（Z ） X P{Z zP{$ z}(1) 当 ZWO 时, (2)当 0<z<1 时,y=詈)(如图a)F Z (Z ) 0时, （这时当 x=10001031061032T y zydy2题 151°3dy 1：z孽dxr 10 x yr（3）当z 》l 时，（这时当y=103时，x=103z ）z 1, 0 z 1,其他.（如图b ）106F z (z)2 2 dxdy yd xyz即z 1,fZ(z):,0 z 1,0,其他.dx103103zy丄2zf z (z)1 2712 0,103dy103x 2y 216.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N （160, 202）分布•随机地选取4 只，求其中没有一只寿命小于180的概率•【解】设这四只寿命为X i（i=1,2,3,4），则X i 〜N（160，202），从而P{min( X1,X2,X3,X4)180}X i之间独立P{^ 180}gP{X2 180}P{X 3180}gP{X 4 180}[1 P{X 1 180}] g1 P{X 2 180}] g1 P{X 3 180}] g[1 P{X 4 180}][144180 160P{X 1 180}]4 120[144(1)] (0.158) 0.00063.17.设 X,丫是相互独立的随机变量，其分布律分P{X=k}=p (k), k=0, 1, 2,…, P{Y=r}=q (r), r=0, 1, 2,…. 证明随机变量Z=X+Y 的分布律为iP{Z=i}=k 0【证明】因X 和丫所有可能值都是非负整数, 所以{Z i} {X Y i}{X 0,Y i}U{X 1,Y i 1} UL U{X i,Y 0}于是iiP{Z i} P{X k,Y i k}X,Y 相互独立P{ X k}gP{Y i k}k 0k 018.设X ，丫是相互独立的随机变量，它们都服从p(k)q(ik)参数为n, p 的二项分布■证明Z=X+Y 服从 参数为2n, p 的二项分布.【证明】方法一：X+Y 可能取值为0, 1, 2,…, 2n.kP{X Y k} P{X i,Y k i}i 0i pqk 2n k.p q i方法二：设 M l , p 2, •…pn ；⑴',，…W 均服从两点分布（参数为p ）,则X= M + %+•••+ p n,Y= p i / 也/ +•••■+X+Y = p i +p 2+・・・+ p n +p i / W'+ …+ M所以，X+Y 服从参数为（2n,p ）的二项分 布•19设随机变量（X, Y ）的分布律为P （X i 0i ）cP{Y k i}2nk2n kp q⑴求 P{X=2 | Y=2}, P{Y=3 | X=0};(2) 求V=max (X, Y)的分布律； (3) 求U=min (X, Y)的分布律； (4) 求W=X+Y 的分布律. 【解】(1) P{X 2|Y 2}旦^竺目 P{Y 2}P{X 2,Y2} 0.05 15P{X i,Y 2}0.252i 0P{X0,Y 3} 0.01 1 3 P{X 0,Y j} O.°33j 0⑵ P{V i} P{max(X,Y) i} P{ X i,Y i} P{X i,Y i}P{Y 3|X0}P{Y 3,X0}P{X 0}P{X i,Y k} P{X k,Y i},k 0 k 0i 0,123,4,5⑶ P{U i} P{mi n(X,Y) i}(4)类似上述过程，有2639492520. 雷达的圆形屏幕半径为 R 设目标出现点(X, Y)在屏幕上服从均匀分布.(1)求 P{Y>0 | Y>X}; (2)设 M=max{X, Y},求 P{M >0}.题20图【解】因(X, Y)的联合概率密度为f (x, y)dy 0y xf (x, y)dy xrdr3/8 3 1/2 4(2) P{M 0} P{max(X,Y) 0}1 P{max(X,Y) 0}f (x, y)1R0,x 2 y 2R 2,其他.(1) P{Y 0- X}旦宀n 41n R 2rdr n 4 n 41 P{X 0,Y 0} 1 f(x,y)dx 0y o21.设平面区域 D由曲线y=1/x及直线 y=0, x=1,x=e2所围成，二维随机变量（X, Y）在区域D 上服从均匀分布，求（X，Y）关于X的边缘概率密度在x=2处的值为多少?0, 其他.所以f x(2) 4422.设随机变量X和丫相互独立，下表列出了二维随机变量（X，Y）联合分布律及关于 X 和Y的边缘分布律中的部分数值.试将其余【解】区域D的面积为-dx In xxe21 2.(X,Y)的联合密度函数为f（x,y） 20,1 x其他.e2,0（X，Y）关于X的边缘密度函数为f x(X)1/x 10 1dy2x 12eS01数值填入表中的空白处【解】因P{Y y j} P j2P{Xi iX i,Y y j},故P{Y y i} P{X X i,Y y i} P{X X2,Y y i},从而P{X X i,Y iyi} 6 i i8 24.而 X 与 Y 独立，故P{X X i}gP{Y y j}即：P{X X i} 丄/丄丄.24 6 4又P{X X i} P{X X i,Y y i} P{X X i,Y y?} P{X x“Y y s}.即 4 省8 P{X Xi丫ys},从而P{X X i，Y y3}右同理P{Y y2} ^，P{X X2,Y y?} |P{X X i，Y y i},从而P{X 1 1X1} 6 P{X知丫yi} 24.又P{Y y j} i,故珂丫『3} i ；1j i 6 2 3同理P{X x2} 3.4从而1 1 1P{X X2,Y V3} P{Y V3} P{X X i,Y V3}---.3 12 423.设某班车起点站上客人数X服从参数为X»0）的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为 p（0<p<1），且中途下车与否相互独立，以 Y表示在中途下车的人数，求：（1）在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率； (2) 二维随机变量（X，Y）的概率分布.【解】（1）P{Y m|X n} C：p m(1 p)n m,0 m n, n 0,1,2丄■(2) P{X n,Y m} P{X n}g^{Y m |X n}mm n m e n0,1,2,L .C n P (1 P),n m n,n24.设随机变量X和丫独立，其中X的概率分布为X〜12，而Y的概率密度为f(y),求随0.3 0.7机变量U=X+Y的概率密度g(u).【解】设F (y)是丫的分布函数，则由全概率公式，知U=X+Y的分布函数为G(u) P{X Y u} 0.3P{X Y u|X 1} 0.7P{X Y u|X 2}0.3P{Y u 1| X 1} 0.7P{Y u 2|X 2}由于X和Y独立，可见G(u) 0.3P{Y u 1} 0.7P{Y u 2}0.3F(u 1) 0.7F(u 2).由此，得U的概率密度为g(u) G (u) 0.3F (u 1) 0.7F (u 2)0.3f(u 1) 0.7 f(u 2).25.25.设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间［0,3］上的均匀分布，求 P{max{X,Y}< 1}.解：因为随即变量服从［0，3］上的均匀分布，于是有1, 0x3,f(x) 3'0, x 0,x 3;因为X，丫相互独立，所以f(y)0, 0,y3,3.f (x, y)1, 0 x 3,0 y 3, 90, x 0, y 0,x 3,y 3.推得 1P{max{ X,Y} 1}-.926.设二维随机变量(X，丫)的概率分布为其中a,b,c为常数，且X的数学期望E(X)= 0.2,P{YW(X< 0}=0.5 记 Z=X+Y.求：(1)a,b,c 的值；(2)Z的概率分布；(3)P{X=Z}.解 (1)由概率分布的性质知，a+b+c+0.6=1 即 a+b+c = 0.4.由E(X) 0.2，可得a c 0.1■再P{Y 0X 0} P {X °'Y 0} a b 0.10.5P{X 0} a b 0.5:得a b解以上关于a, b, c 的三个方程得a 0.2,b0.1,c 0.1.⑵Z 的可能取值为2,1, 0, 1, 2,P{Z 2} P{X 1,Y1} 0.2,P{Z 1} P{X 1,Y0} P{X 0,Y1} 0.1,P{Z 0} P{X 1,Y1} P{X 0,Y0} P{X 1,Y 1}P{Z 1} P{X 1,Y 0} P{X 0,Y 1} 0.3,P{Z 2} P{X 1,Y 1} 0.1,即Z 的概率分布为⑶0.3.0.3,P{X Z} P{Y 0} 0.1 b 0.2 0.1 0.1 0.2 0.4 .习题四1.设随机变量X 的分布律为求 E (X), E (X 2), E (2X+3)2E(X ) E(2X 3)2E(X) 32 13 42的5个产品中的次品数的数学期望、方差【解】设任取出的5个产品中的次品数为X ，则 X 的分布律为故 E(X) 0.583 0 0.340 10.070 2 0.007 3 0 4 0 50.501,52D(X) [X i E(X)] Ri 0(0 0.501)2 0.583 (1 0.501)2 0.340 L (5 0.501)2 0【解】⑴ E(X)(1)122.已知100个产品中有 10个次品，求任意取出0.432.3•设随机变量X的分布律为且已知 E (X) =0.1,E(X2)=0.9,求 P i, P2,P3.【解】因P i P2 P3 1 .................. ①，又E(X) ( 1)R 0gP2 1cP3 R R 0.1 ............... ②,E(X2) ( 1)2gR 02C P2 12gP5 R P3 0.9 ....... ③由①②③联立解得R 0.4,P2 0.1R 0.5.4•袋中有N只球，其中的白球数X为一随机变量，已知E(X)=n,问从袋中任取1球为白球的概率是多少？【解】记A=｛从袋中任取1球为白球｝，贝VNP( A)全概率公式P{ A|X k}cP{X k}k 0Nk koN P{X k}丄 gE(X)N5. 设随机变量X 的概率密度为x, 0 x 1,f (x) = 2 x,1x 2,0,其他.求 E (X), D (X) 1 2 2xf (x)dx 0 x dx 1 x(2 x)dx6. 设随机变量X, Y, Z 相互独立，且E (X) =5, E(Y)=11，E (Z)=8，求下列随机变量的数学 期望. (1) U=2X+3 Y+1; (2) V=YZ 4X. 【解】(1) E[U] E(2X 3Y 1)2E(X) 3E(Y) 12 53 11 144.(2) E[V] E[YZ 4X] E[YZ] 4E(X)因 Y,Z 独立 E(Y)gE(Z) 4E(X)11 8 4 5 68.7. 设随机变量X ，丫相互独立，且E(X)=E(Y)1.x 3 2x 2(22(X E 1- 62X)/V E - -2X/V (X D(k}【解】E(X)=3, D(X)=12, D( Y) =16,求 E(3X 2Y)， D( 2X 3Y). 【解】(1) E(3X 2Y)3E(X) 2E(Y) 3 3 2 3 3.(2) D(2X 3Y) 22D(X) ( 3)2DY 4 12 9 16192.8. 设随机变量（X ，Y ）的概率密度为试确定常数k ，并求E （ XY ）f (x, y)dxdy o dx o kdy 1k 1,故 k=21xE(XY) xyf (x, y)dxdy o xd^ 2ydy 0.25.9. 设X ，丫是相互独立的随机变量，其概率密度 分别为求 E （ XY ）【解】方法一：先求X 与丫的均值由X 与丫的独立性，得E （XY ） E （X ）gE （Y ） | 6 4.方法二：利用随机变量函数的均值公式•因 X 与丫独立，故联合密度为f( x ，y)=k, 0 0,x 1,0 y x,其他.【解】因f X （ x ） 2x, 0 x 1,0,其他;f Y （ y ） (y 5)e 八，y 5,0,其他.dxX5)ye565f (x,y) f x (x)gf Y (y)2xe (y 5), 0 x 1,y 5, 0,其他，于是E(XY) §:xyg2xe(y 5)dxdy12x 2dxg 5 ye (y 5)dy4.10.设随机变量X, 2e 2x0,丫的概率密度分别为 f x (x)xx。