成才之路高中数学人教A版必修5课后作业3.4.3基本不等式的应用—证明问题(含答案详析)

课时作业24 基本不等式：ab ≤a ＋b 2时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．下列不等式中正确的是( D )A ．a ＋4a≥4 B ．a 2＋b 2≥4ab C.ab ≥a ＋b 2D ．x 2＋3x 2≥2 3 解析：a <0，则a ＋4a≥4不成立，故A 错；a ＝1，b ＝1，a 2＋b 2<4ab ，故B 错；a ＝4，b ＝16，则ab <a ＋b 2，故C 错；由基本不等式可知D 项正确． 2．若lg x ＋lg y ＝2，则1x ＋1y的最小值为( D ) A ．10 B.110C ．5 D.15解析：∵lg x ＋lg y ＝2，∴xy ＝100.且x >0，y >0.1x ＋1y ≥21xy ＝15. 3．已知f (x )＝x ＋1x－2(x <0)，则f (x )有( C ) A ．最大值为0 B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4解析：∵x <0，∴－x >0.∴x ＋1x －2＝－[(－x )＋1(－x )]－2≤－2·(－x )·1(－x )－2＝－4，等号成立的条件是－x ＝1－x ，即x ＝－1.4．已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m 、n 的大小关系是( A ) A ．m >n B ．m <nC ．m ＝nD ．不确定解析：∵a >2，∴a －2>0，又∵m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2(a －2)·1a －2＋2＝4， 当且仅当a －2＝1a －2，即a ＝3时取等号． ∴m ≥4.∵b ≠0，∴b 2>0，∵2－b 2<2，∴22－b 2<4，即n <4，∴m >n .5．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( A )A ．5 km 处B ．4 km 处C ．3 km 处D ．2 km 处 解析：设仓库建在离车站x km 处，则土地费用y 1＝k 1x(k 1≠0)，运输费用y 2＝k 2x (k 2≠0)，把x ＝10，y 1＝2代入得k 1＝20，把x ＝10，y 2＝8代入得k 2＝45，故总费用y ＝20x ＋45x ≥220x ·45x ＝8，当且仅当20x ＝45x ，即x ＝5时等号成立． 6．已知x >1，y >1且xy ＝16，则log 2x ·log 2y ( D )A ．有最大值2B ．等于4C ．有最小值3D ．有最大值4解析：因为x >1，y >1，所以log 2x >0，log 2y >0.所以log 2x ·log 2y ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x ＋log 2y 22＝⎣⎡⎦⎤log 2(xy )22＝4，当且仅当x ＝y ＝4时取等号．故选D.二、填空题7．已知x 、y 都是正数，(1)如果xy ＝15，则x ＋y 的最小值是215；(2)如果x ＋y ＝15，则xy 的最大值是2254. 解析：(1)x ＋y ≥2xy ＝215，即x ＋y 的最小值是215；当且仅当x ＝y ＝15时取最小值．(2)xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝⎝⎛⎭⎫1522＝2254， 即xy 的最大值是2254. 当且仅当x ＝y ＝152时xy 取最大值． 8．若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值X 围是⎣⎡⎭⎫15，＋∞. 解析：因为x >0，所以x ＋1x≥2. 当且仅当x ＝1时取等号，所以有xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12＋3＝15即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. 9．若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④1a ＋1b≥2，对满足条件的a ，b 恒成立的是①③④.(填序号) 解析：因为ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1，所以①正确；因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝2＋2ab ≤2＋a ＋b ＝4，故②不正确；a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝2，所以③正确；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝2ab ≥2，所以④正确．三、解答题10．(1)已知0<x <12，求y ＝12x (1－2x )的最大值． (2)已知x <3，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值． (3)已知x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y的最小值； 解：(1)∵0<x <12，∴1－2x >0. y ＝14·2x ·(1－2x )≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1－2x 22 ＝14×14＝116. ∴当且仅当2x ＝1－2x ，即x ＝14时，y 最大值＝116. (2)∵x <3，∴x －3<0，∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3 ≤－243－x ·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当43－x＝3－x ，即x ＝1时取等号， ∴f (x )的最大值为－1.(3)法一：∵x ，y ∈R ＋，∴(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋3y＝4＋⎝⎛⎭⎫y x ＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x ＝3x y ，即x ＝2(3－1)， y ＝2(3－3)时取“＝”号．又x ＋y ＝4，∴1x ＋3y ≥1＋32， 故1x ＋3y 的最小值为1＋32. 法二：∵x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ＝x ＋y 4x ＋3(x ＋y )4y＝1＋⎝⎛⎭⎫y 4x ＋3x 4y ≥1＋2y 4x ·3x 4y＝1＋32. 当且仅当y 4x ＝3x 4y， 即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号．∴1x ＋3y 的最小值为1＋32. 11．设a ，b ，c ∈R ＋.求证：(1)ab (a ＋b )＋bc (b ＋c )＋ca (c ＋a )≥6abc ；(2)(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋c ≥4. 证明：(1)∵a ，b ，c ∈R ＋，∴左边＝a 2b ＋ab 2＋b 2c ＋bc 2＋c 2a ＋ca 2＝(a 2b ＋bc 2)＋(b 2c ＋ca 2)＋(c 2a ＋ab 2)≥2a 2b 2c 2＋2a 2b 2c 2＋2a 2b 2c 2＝6abc ＝右边，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．(2)∵a ，b ，c ∈R ＋，∴左边＝[a ＋(b ＋c )]⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋c≥2a (b ＋c )·21a (b ＋c )＝4＝右边， 当且仅当a ＝b ＋c 时，等号成立．——能力提升类——12．若f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，a ，b 均为正数，P ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，G ＝f (ab )，H ＝f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b ，则( A ) A ．P ≤G ≤H B ．P ≤H ≤GC ．G ≤H ≤PD ．H ≤G ≤P解析：因为a ，b 均为正数，所以a ＋b 2≥ab ＝ab ab ≥ab a ＋b 2＝2ab a ＋b，当且仅当a ＝b 时等号成立．又因为f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 为减函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，所以P ≤G ≤H . 13．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( C ) A ．8 B ．7C ．6D ．5解析：由已知，可得6⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝1，所以2a ＋b ＝6⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝⎛⎭⎫5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2b a时等号成立，所以9m ≤54，即m ≤6，故选C.14．设a ，b >0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为3 2. 解析：令t ＝a ＋1＋b ＋3，则t 2＝a ＋1＋b ＋3＋2(a ＋1)(b ＋3)＝9＋2(a ＋1)(b ＋3)≤9＋a ＋1＋b ＋3＝13＋a ＋b ＝13＋5＝18，当且仅当a ＋1＝b ＋3时取等号，此时a ＝72，b ＝32.∴t max ＝18＝3 2. 15．如图，如在公园建一块面积为144平方米的矩形草地，一边靠墙，另外三边用铁丝网围住，现有44米铁丝网可供使用(铁丝网可以剩余)，若利用x 米墙，(1)求x 的取值X 围；(2)求最少需要多少米铁丝网(精确到0.1米)．解：(1)由于矩形草地的面积是144平方米，一边长是x 米，则另一边长为144x米， 则矩形草地所需铁丝网长度为y ＝x ＋2×144x. 令y ＝x ＋2×144x≤44(x >0)， 解得8≤x ≤36，则x 的取值X 围是[8,36]．(2)由基本不等式，得y ＝x ＋288x≥24 2. 当且仅当x ＝288x，即x ≈17.0时，等号成立， 则y 最小值＝242≈34.0，即最少需要34.0米铁丝网．。

第三章 3.4 第2课时 基本不等式的应用—证明与最值问题A 级 基础巩固一、选择题1．已知直线l 1：a 2x ＋y ＋2＝0与直线l 2：bx －(a 2＋1)y －1＝0互相垂直，则|ab |的最小值为( C )A ．5B ．4C ．2D ．1[解析] 由条件知，直线l 1与l 2的斜率存在，且l 1⊥l 2，k 1＝－a 2，k 2＝ba 2＋1，∴k 1k 2＝－a 2ba 2＋1＝－1，∴b ＝a 2＋1a 2>0，∴|ab |＝|a 2＋1a |＝|a |＋1|a |≥2，等号成立时|a |＝1|a |，∴a ＝±1，b＝2，∴|ab |的最小值为2．2．已知a >0，b >0，且2是2a 与b 的等差中项，则1ab的最小值为( B )A ．14B ．12C ．2D ．4[解析] ∵2是2a 与b 的等差中项， ∴2a ＋b ＝4． 又∵a >0，b >0，∴2ab ≤(2a ＋b 2)2＝(42)2＝4，当且仅当2a ＝b ＝2，即a ＝1，b ＝2时取等号．∴1ab ≥12.故选B ． 3．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( A )A ．5 km 处B ．4 km 处C ．3 km 处D ．2 km 处[解析] 设仓库建在离车站x km 处，则土地费用y 1＝k 1x(k 1≠0)，运输费用y 2＝k 2x (k 2≠0)，把x ＝10，y 1＝2代入得k 1＝20，把x ＝10，y 2＝8代入得k 2＝45，故总费用y ＝20x＋45x ≥220x ·45x ＝8，当且仅当20x ＝45x ，即x ＝5时等号成立． 4．设x ＋3y －2＝0，则3x＋27y＋1的最小值为( A ) A ．7 B ．339 C ．1＋2 2D ．5[解析] 由已知得x ＋3y ＝2,3x>0,27y>0， ∴3x＋27y＋1≥23x ＋3y＋1＝6＋1＝7，当且仅当3x ＝27y，即x ＝1，y ＝13时等号成立．故选A ．二、填空题5．若x <3，则实数f (x )＝4x －3＋x 的最大值为__－1__． [解析] ∵x <3，∴x －3<0． ∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－[43－x ＋(3－x )]＋3≤－243－x－x ＋3＝－1，当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取“＝”号．∴f (x )的最大值为－1．6．某种饮料分两次提价方案有两种，方案甲：第一次提价p %，第二次提价q %；方案乙：每次都提价p ＋q2%，若p >q >0，则提价多的方案是__乙__．[解析] 设原价为1，则提价后的价格，方案甲：(1＋p %)(1＋q %)，乙：(1＋p ＋q2%)2，因为＋p＋q ≤1＋p %＋1＋q %2＝1＋p ＋q2%，因为p >q >0，所以＋p ＋q<1＋p ＋q2%，即(1＋p %)(1＋q %)<(1＋p ＋q2%)2，所以提价多的方案是乙．三、解答题7．(如图)某村计划建造一个室内面积为800 m 2的矩形蔬菜温室，温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？[解析] 设矩形的一边长为x m ，则另一边长为800xm ，因此种植蔬菜的区域宽为(x －4) m ，长为(800x－2) m ．由⎩⎪⎨⎪⎧x －4>0800x－2>0，得4<x <400，所以其面积S ＝(x －4)·(800x －2)＝808－(2x ＋3200x)≤808－22x ·3200x＝808－160＝648(m 2)．当且仅当2x ＝3200x，即x ＝40∈(4,400)时等号成立．因此当矩形温室的两边长为40 m,20 m 时蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是648 m 2．8．已知a 、b 、c ∈R ＋，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c ．[证明] ∵a 、b 、c ∈R ＋，a 2b ，b 2c ，c 2a均大于0，又a 2b ＋b ≥2a 2b ·b ＝2a ，b 2c ＋c ≥2b 2c·c ＝2b ， c 2a＋a ≥2c 2a·a ＝2c ，(当且仅当a ＝b ＝c 时上式等号成立) 三式相加得a 2b ＋b ＋b 2c ＋c ＋c 2a ＋a ≥2a ＋2b ＋2c ，∴a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c ． B 级 素养提升一、选择题1．(2018－2019学年度贵州凯里一中高二月考)已知正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则4a ＋1b的最小值为( D )A ．53B ．3C ．5D ．9[解析] ∵a ＋b ＝1，∴4a ＋1b ＝(4a ＋1b )·(a ＋b )＝5＋4b a ＋ab≥5＋24b a ＋ab＝5＋4＝9，当且仅当4b a ＝ab，即a ＝2b 时，等号成立，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b a ＋b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23b ＝13．2．设a 、b 是两个实数，且a ≠b ，①a 5＋b 5>a 3b 2＋a 2b 3，②a 2＋b 2≥2(a －b －1)，③a b ＋ba>2.上述三个式子恒成立的有( B )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个[解析] ①a 5＋b 5－(a 3b 2＋a 2b 3)＝a 3(a 2－b 2)＋b 3(b 2－a 2)＝(a 2－b 2)(a 3－b 3)＝(a －b )2(a ＋b )(a 2＋ab ＋b 2)>0不恒成立；(a 2＋b 2)－2(a －b －1)＝a 2－2a ＋b 2＋2b ＋2＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0恒成立；a b ＋b a >2或a b ＋b a<－2，故选B ．二、填空题3．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为__1_760__元．[解析] 设水池池底的一边长为 x m ，则另一边长为4xm ，则总造价为：y ＝480＋80×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2×4x ×2＝480＋320⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x≥480＋320×2x ×4x＝1 760． 当且仅当x ＝4x即x ＝2时，y 取最小值1 760．所以水池的最低总造价为1 760元．4．若正数a 、b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是__[9，＋∞)__．[解析] ∵a 、b 是正数，∴ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3(当a ＝b 时取“＝”)，即ab －2ab －3≥0，∴ab ≥3或ab ≤－1(舍去)，∴ab ≥9．三、解答题5．某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．试求：(1)仓库面积S 的取值范围是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？ [解析] (1)设正面铁栅长x m ，侧面长为y m ，总造价为z 元，则z ＝40x ＋2×45y ＋20xy ＝40x ＋90y ＋20xy ，仓库面积S ＝xy ．由条件知z ≤3 200，即4x ＋9y ＋2xy ≤320． ∵x >0，y >0，∴4x ＋9y ≥24x ·9y ＝12xy ． ∴6S ＋S ≤160，即(S )2＋6S －160≤0．∴0<S ≤10，∴0<S ≤100.故S 的取值范围是(0,100]． (2)当S ＝100 m 2时，4x ＝9y ，且xy ＝100． 解之得x ＝15(m)，y ＝203(m)．答：仓库面积S 的取值范围是(0,100]，当S 取到最大允许值100 m 2时，正面铁栅长15 m ．6．已知a 、b 、c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1.求证：(a ＋1a )＋(b ＋1b )＋(c ＋1c)≥10．[解析] (a ＋1a )＋(b ＋1b )＋(c ＋1c)＝(a ＋a ＋b ＋c a )＋(b ＋a ＋b ＋c b )＋(c ＋a ＋b ＋cc ) ＝4＋(b a ＋a b)＋(c a ＋a c)＋(c b ＋b c) ≥4＋2＋2＋2＝10，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号．∴(a ＋1a )＋(b ＋1b )＋(c ＋1c)≥10．C 级 能力拔高1．(2018－2019学年度山东莒县二中高二月考)某公司生产电饭煲，每年需投入固定成本40万元，每生产1万件还需另投入16万元的变动成本，设该公司一年内共生产电饭煲x 万件并全部销售完，每一万件的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝4 400x －40 000x2(10＜x ＜100)，该公司在电饭煲的生产中所获年利润为W (万元)，(注：利润＝销售收入－成本)(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (万件)的函数解析式，并求年利润的最大值；(2)为了让年利润W 不低于2 360万元，求年产量x 的取值范围． [解析] (1)W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－40 000x－16x ＋4 360＝－(40 000x＋16x )＋4 360(10＜x ＜100)，∵40 000x＋16x ≥240 000x·16x ＝1 600．当且仅当x ＝50时，“＝”成立，∴W ≤－1 600＋4 360＝2 760，即年利润的最大值为2 760万元． (2)W ＝－40 000x－16x ＋4 360≥2 360，整理得x 2－125x ＋2 500≤0．解得：25≤x ≤100.又10＜x ＜100.∴25≤x ＜100．故为了让年利润W 不低于2 360万元，年产量x 的范围是[25,100)．2．某单位在国家科研部门的支持下，能够把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，已知该单位每月的二氧化碳处理量最少为400 t ，最多为600 t ，月处理成本y (元)与月处理量x (t)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？[解析] (1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为y x ＝12x ＋80 000x－200≥212x ·80 000x －200＝200，当且仅当12x ＝80 000x，即x ＝400时等号成立， 故该单位月处理为400 t 时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为每吨200元．(2)不获利．设该单位每月获利为S 元，则S ＝100x －y ＝100x －(12x 2－200x ＋80 000)＝－12x 2＋300x －80 000＝－12(x －300)2－35 000，因为x ∈[400,600]，所以S ∈[－80 000，－40 000]．故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损．。

14．已知 a，b，c 为不等正实数，且 abc＝1.
111
求证： a＋ b＋ c<a＋b＋c. 11 1
证明 ∵a＋b≥2 ab＝2 c， 11 1
b＋c≥2 bc＝2 a， 11 1
c＋a≥2 ac＝2 b，
( ) 1 1 1 ＋＋ ∴2 a b c ≥2( a＋ b＋ c)， 111
即a＋b＋c≥ a＋ b＋ c.
C．2ab
D．a＋b
答案 D 解析 因为 a、b∈(0,1)，a≠b，所以 a＋b>2 ab，a2＋b2>2ab，所以，最大的只能是
a2＋b2 与 a＋b 之一．而 a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)，又 0<a<1,0<b<1，所以
a－1<0，b－1<0，因此 a2＋b2<a＋b，所以 a＋b 最大．
a＝b 时，取到等号．
a＋b
2．两个不等式 a2＋b2≥2ab 与 2 ≥ ab都是带有等号的不等式，对于“当且仅当… 时，取‘＝’号”这句话的含义要有正确的理解．
a＋b
一方面：当 a＝b 时， 2 ＝ ab； a＋b
另一方面：当 2 ＝ ab时，也有 a＝b.
为基本不等式，其中 2 称为 a，b 的算术平均数， ab称为 a，b 的几何平均数．
3．基本不等式的常用推论
( )a＋b a2＋b2
(1)ab≤ 2 2≤ 2 (a，b∈R)；
1
1
(2)当 x>0 时，x＋x≥2；当 x<0 时，x＋x≤－2.
ba
ba
(3)当 ab>0 时，a＋b≥2；当 ab<0 时，a＋b≤－2. (4)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，(a，b，c∈R)．

§3.4 基本不等式：ab ≤a ＋b2(二)课时目标1．熟练掌握基本不等式及变形的应用；2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．1．设x ，y 为正实数(1)若x ＋y ＝s (和s 为定值)，则当x ＝y 时，积xy 有最大值，且这个值为s 24.(2)若xy ＝p (积p 为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值，且这个值为2p . 2．利用基本不等式求积的最大值或和的最小值时，需满足： (1)x ，y 必须是正数；(2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值．(3)等号成立的条件是否满足．利用基本不等式求最值时，一定要注意三个前提条件，这三个前提条件概括为“一正、二定、三相等”．一、选择题1．函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1＋5 (x >1)的最小值为( )A ．－3B ．3C ．4D ．－4 答案 B2．已知点P (x ，y )在经过A (3,0)，B (1,1)两点的直线上，则2x ＋4y 的最小值为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．16 D ．不存在 答案 B解析 ∵点P (x ，y )在直线AB 上，∴x ＋2y ＝3.∴2x ＋4y ≥22x ·4y ＝22x ＋2y ＝42(x ＝32，y ＝34时取等号)．3．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值52B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1答案 D解析 f (x )＝x 2－4x ＋52x －4＝(x －2)2＋12(x －2)＝12⎣⎡⎦⎤(x －2)＋1x －2≥1. 当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时等号成立．4．函数y ＝x 2＋5x 2＋4的最小值为( )A ．2 B.52C ．1D ．不存在答案 B 解析 y ＝x 2＋5x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4∵x 2＋4≥2，而1x 2＋4≤12，所以不能用基本不等式求最小值，用函数的单调性求最值，函数y ＝x ＋1x在(1，＋∞)上是增函数，∴在[2，＋∞)上也是增函数．∴当x 2＋4＝2即x ＝0时，y min ＝52.5．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( )A ．3B ．4 C.92 D.112答案 B解析 ∵8－(x ＋2y )＝2xy ＝x ·(2y )≤(x ＋2y 2)2.∴原式可化为(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0. ∵x >0，y >0，∴x ＋2y ≥4. 当x ＝2，y ＝1时取等号．6．若xy 是正数，则⎝⎛⎭⎫x ＋12y 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋12x 2的最小值是( ) A ．3 B.72 C ．4 D.92答案 C解析 ⎝⎛⎭⎫x ＋12y 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋12x 2 ＝x 2＋y 2＋14⎝⎛⎭⎫1x 2＋1y 2＋x y ＋yx ＝⎝⎛⎭⎫x 2＋14x 2＋⎝⎛⎭⎫y 2＋14y 2＋⎝⎛⎭⎫x y ＋yx ≥1＋1＋2＝4. 当且仅当x ＝y ＝22或x ＝y ＝－22时取等号．二、填空题7．设x >－1，则函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最小值是________．答案 9解析 ∵x >－1，∴x ＋1>0， 设x ＋1＝t >0，则x ＝t －1，于是有y ＝(t ＋4)(t ＋1)t ＝t 2＋5t ＋4t ＝t ＋4t＋5≥2t ·4t＋5＝9，当且仅当t ＝4t，即t ＝2时取等号，此时x ＝1.∴当x ＝1时，函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1取得最小值为9.8．已知正数a ，b 满足a ＋b －ab ＋3＝0，则ab 的最小值是________． 答案 9解析 ∵a ＋b －ab ＋3＝0， ∴ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3. 令ab ＝t ，则t 2≥2t ＋3.解得t ≥3(t ≤－1舍)．即ab ≥3.∴ab ≥9.当且仅当a ＝b ＝3时，取等号．9．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．答案 1 760解析 设水池的造价为y 元，长方形底的一边长为x m ，由于底面积为4 m 2，所以另一边长为4xm ．那么y ＝120·4＋2·80·⎝⎛⎭⎫2x ＋2·4x ＝480＋320⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≥480＋320·2x ·4x＝1 760(元)．当x ＝2，即底为边长为2 m 的正方形时，水池的造价最低，为1 760元．10．函数y ＝log a (x ＋3)－1 (a >0，a ≠1)的图象恒过点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n的最小值为________．答案 8解析 ∵A (－2，－1)在直线mx ＋ny ＋1＝0上， ∴－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1，mn >0，∴m >0，n >0. ∴1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋4m ＋2n n ＝2＋n m ＋4m n ＋2≥4＋2·n m ·4m n＝8. 当且仅当n m ＝4m n ，即m ＝14，n ＝12时等号成立．故1m ＋2n的最小值为8. 三、解答题11．已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．解 方法一 ∵1x ＋9y＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9x y . ∵x >0，y >0，∴y x ＋9x y ≥2 y x ·9xy ＝6.当且仅当y x ＝9xy ，即y ＝3x 时，取等号．又1x ＋9y＝1，∴x ＝4，y ＝12. ∴当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取最小值16.方法二 由1x ＋9y ＝1，得x ＝yy －9，∵x >0，y >0，∴y >9.x ＋y ＝y y －9＋y ＝y ＋y －9＋9y －9＝y ＋9y －9＋1＝(y －9)＋9y －9＋10.∵y >9，∴y －9>0，∴y －9＋9y －9＋10≥2 (y －9)·9y －9＋10＝16，当且仅当y －9＝9y －9，即y ＝12时取等号．又1x ＋9y＝1，则x ＝4， ∴当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取最小值16.12．某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)?解 设使用x 年的年平均费用为y 万元．由已知，得y ＝10＋0.9x ＋0.2x 2＋0.2x2x，即y ＝1＋10x ＋x10(x ∈N *)．由基本不等式知y ≥1＋2 10x ·x 10＝3，当且仅当10x ＝x10，即x ＝10时取等号．因此使用10年报废最合算，年平均费用为3万元．能力提升13．若关于x 的不等式(1＋k 2)x ≤k 4＋4的解集是M ，则对任意实常数k ，总有( ) A ．2∈M,0∈M B ．2∉M,0∉M C ．2∈M,0∉M D ．2∉M,0∈M 答案 A解析 ∵(1＋k 2)x ≤k 4＋4，∴x ≤k 4＋41＋k 2. ∵k 4＋41＋k 2＝(1＋k 2)2－2(1＋k 2)＋51＋k 2＝(1＋k 2)＋51＋k 2－2≥25－2. ∴x ≤25－2，M ＝{x |x ≤25－2}，∴2∈M,0∈M .14．设正数x ，y 满足x ＋y ≤a ·x ＋y 恒成立，则a 的最小值是______． 答案 2解析 ∵x ＋y 2≤ x ＋y2成立，∴x ＋y ≤2·x ＋y ，∴a ≥ 2.1．利用基本不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”三个条件，并且和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值．2．使用基本不等式求最值时，若等号取不到，则考虑用函数单调性求解．3．解决实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数量关系，抽象出数学模型，利用基本不等式解应用题，既要注意条件是否具备，还要注意有关量的实际含义．.....................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。