音乐中的数学(数学文化)

上海交通大学通识教育核心课程 《数学与文化》课程论文 2010秋季
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音乐中的数学
姚梦琪
5100309226
******************
电子信息与电气工程学院

2010.12.9
上海交通大学通识教育核心课程 《数学与文化》课程论文 2010秋季

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音乐中的数学

姚梦琪
5100309226
******************
电子信息与电气工程学院

摘要：在我们的生活中，音乐随处可见。作为人类精神文化艺术之一的音乐，
是充满感性的，多彩的感觉、多样的效果，正是音乐的魅力所在。而数学则极为
精准，充满理性。在这感性的音乐与理性的数学间，是否蕴藏着某些联系？
音乐中出现数学与数学中存在音乐并非偶然，而是音乐与数学融合一体的完美
体现。音乐可以抒发人们的情感，是对人们自己内心世界的反应和对客观世界的
感触，因而是以一种感性的方式来描述世界，而数学是以一种理性的、抽象的方
式来描述世界，使人类对世界有一个客观的、科学的理解和认识。虽然音乐与数
学描述世界的方式不同，但最终目的都是为人类更好地生存和发展服务，因此两
者可以从根本上统一起来，成就了一种必然。
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在我们的生活中，音乐随处可见。作为人类精神文化艺术之一的音乐，是充
满感性的，多彩的感觉、多样的效果，正是音乐的魅力所在。而数学则极为精准，
充满理性。在这感性的音乐与理性的数学间，是否蕴藏着某些联系？
人们对数学与音乐之间联系的研究和认识可以说源远流长。这最早可以追溯
到公元前六世纪,当时毕达哥拉斯学派用比例将数学与音乐联系起来.。他们不仅
认识到所拨琴弦产生的声音与琴弦的长度有着密切的关系,从而发现了和声与整
数之间的关系, 拨动弦的每一种和谐的结合，都能表示为整数比，由增大成整数
比的弦的长度，能够产生全部的音阶。而且还发现谐声是由长度成整数比的同样
绷紧的弦发出的。于是,毕达哥拉斯音阶(the Pythagorean Scale) 和调音理论诞生，
而且在西方音乐界占据了统治地位。
毕达哥拉斯律又称五度相生律，发音体整体振动产生的最低的音是基础音，是
由一根弦或空气柱整体振动时产生的。以基础音为标准，其余1/2、1/3、1/4等
各部分也是同时振动，是泛音。泛音的组合决定了特定的音色，并能使人明确地
感到基音的响度。乐器和自然界里所有的音都有泛音。根据第一、二泛音间频率
比为2：3的关系进行音的繁衍，以此为纯五度，进行一系列的五度相生，从而
得到调中诸音。纯律取泛音列中第一、二泛音之间的纯五度以及第三、四泛音间
的大三度这两种音程为繁衍新音的要素，由频率比为4:5:6的几个大三和弦确定
诸音高。
纯律的实际应用及乐谱记载在六世纪由我国梁代丘明传谱的《碣石调幽兰》
中。直至十六世纪我国在数学运算上有所突破，在算盘上用开两次平方和一次立
方的方法求出了十二次方根，明代朱载 (1536 - 1610) 在其音乐著作《律学新说》
对十二平均律的计算方法作了概述,在《律吕精义-内篇》中对十二平均律理论作
了论述,并把十二平均律计算的十分精确, 与当今的十二平均律完全相同, 这实
际就是一百多年后由德国人沃克梅斯特提出的十二平均律，其频率由等比数列通
项公式 确定，公比为1.05946，是2开12次方的算数根。
由此可见在古代,音乐的发展就与数学紧密地联系在了一起. 从那时起到现在,
随着数学和音乐的不断发展,人们对它们之间关系的理解和认识也在不断地加深.
感觉的音乐中处处闪现着理性的数学.乐谱的书写离不开数学. 看一下乐器之王
———钢琴的键盘吧,其上也恰好与斐波那契数列有关. 我们知道在钢琴的键盘
上,从一个 C 键到下一个 C 键就是音乐中的一个八度音程（注：音程：两个音
之间在音高上的关系 ）(如图1) . 其中共包括13 个键,有8 个白键和5 个黑键 ,
而 5 个黑键分成 2 组 ,一组有 2 个黑键 ,一组有 3 个黑键.2、3、5、8、13 恰
好就是著名的斐波那契数列中的前几个数.

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图一
见到了斐波那契数列在音乐中的应用，我们再来看看黄金分割。提到黄金分割，
就不得不提到匈牙利作曲家贝拉 .巴托克那样利用黄金分割作的《弦乐、打击乐
与钢片琴的音乐》。 它一共有89个小节，被分为34，34，21这三个部分，然后
前两部分都又分为21，13两部分，第三部分分为13，8两个部分。均为黄金比
例。
除了可以用黄金分割作曲，也可以从纯粹的函数图像出发来作曲. 这正是数学
家约瑟夫.傅里叶的后继工作。根据傅立叶定理，每个乐音都可以分解成一次谐
波与一系列整数倍频率谐波的叠加。假设do的频率是 ，那么它可以分解成频
率为 ， ， ， ，……的谐波的叠加，即
nxxxtfsin2sinsin)(
1
；同

理，高音do的频率是 f2，同样可以分解为频率为 f2，f4，f6，f8，……

的谐波的叠加，即 nxxxtf2sin4sin2sin)(2。
这两列谐波的频率有一半是相同的，所以do和高音do是最和谐的。

傅立叶还发现每种声音都有三种品质，音调与曲线的频率有关、音量与曲线
的振幅有关、音色与周期函数的形状有关。
这都是前人对于音乐与数学之间关联的探究，近日科学家们通过长时间的研
究发现，音乐也具有令人惊讶的几何结构。

科学家展示的一种音乐模型图形

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据称，这是一种全新的量化音乐的方法。这种方法可以分析和比较很多种西方音
乐(或许一些非西方音乐)，因为该方法侧重于西方风格的音乐概念，像“和音”
等音乐元素，并不是所有的音乐中都存在。这种方法可以对过去的音乐理论进行
合并，使音乐融为数学的形式。研究者称，音乐的空间形式是清晰的，这种几何
学的空间形式将帮忙人们更好地理解音乐，概念化的 音乐可以让你能够完成之
前无法完成的事情。
音乐中出现数学与数学中存在音乐并非偶然，而是音乐与数学融合一体的完美
体现。音乐可以抒发人们的情感，是对人们自己内心世界的反应和对客观世界的
感触，因而是以一种感性的方式来描述世界，而数学是以一种理性的、抽象的方
式来描述世界，使人类对世界有一个客观的、科学的理解和认识。虽然音乐与数
学描述世界的方式不同，但最终目的都是为人类更好地生存和发展服务，因此两
者可以从根本上统一起来，成就了一种必然。

参考文献
1、孙思玉 《音乐中的数学之美》 南开大学第三届大学生“数学之美”论坛
2、《一种全新方法量化音乐几何结构》 中国网