正方形的性质及判定
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正方形的性质
及判定
板块名称
中考考试要求层次
A
B
C
正方形
会识别正方形
掌握正方形的概念、性质和判定,会用正方形的性质和判定解决简单问题 会用正方形的知识解决有关问题
1.正方形的定义:有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 2.正方形的性质
正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形.它具有前三者的所有性质: ① 边的性质:对边平行,四条边都相等. ② 角的性质:四个角都是直角.
③ 对角线性质:两条对角线互相垂直平分且相等,•每条对角线平分一组对角. ④ 对称性:正方形是中心对称图形,也是轴对称图形. 平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系:(如图)
3.正方形的判定
判定①:有一组邻边相等的矩形是正方形. 判定②:有一个角是直角的菱形是正方形.
1. 掌握正方形的定义和性质,弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系
2. 掌握正方形的判定方法并能在解题中选择恰当的方法。
3. 提高学生分析问题及解决问题的能力。
4. 通过分析概念之间的联系与区别,培养学生辨证唯物主义观点
重点:知晓正方形的性质和正方形的判定方法。 难点:正方形知识的灵活应用
教学目标
重、难点
知识点睛
中考要求
正
方形
菱形
矩形平行四边形
一、正方形的性质
【铺垫】正方形有 条对称轴.
【例1】 ☆⑴已知正方形BDEF 的边长是正方形ABCD 的对角线,则:BDEF ABCD S S =正方形正方形
⑵如图,已知正方形ABCD 的面积为256,点F 在CD 上,点E 在CB 的延长线上,且 20AE AF AF ⊥=,,则BE 的长为
F
E D C
B
A
⑶如图,在正方形ABCD 中,E 为AB 边的中点,G ,F 分别为AD ,BC 边上的点,若1AG =,2BF =,90GEF ∠=︒,则GF 的长为 .
【例2】 ☆将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放,点12...n A A A ,,,分别是正方形的中心,则n 个
正方形重叠形成的重叠部分的面积和为
A 5
A 4
A 3
A 2
A 1
【例3】 ☆如图,正方形ABCD 的边长为2cm ,以B 为圆心,BC 长为半径画弧交对角线BD 于点E ,连
接CE ,P 是CE 上任意一点,PM BC ⊥于M ,PN BD ⊥于N ,则PM PN +的值为
P
N
M
E D
C B
A
【铺垫】如图,E 是正方形ABCD 对角线BD 上的一点,求证:AE CE =.
例题精讲
E
D
C
B
A
【例4】 如图,P 为正方形ABCD 对角线上一点,PE BC ⊥于E ,PF CD ⊥于F .求证:AP EF =.
F E
P
D
C
B A
【巩固】 如图所示,正方形ABCD 对角线AC 与BD 相交于O ,MN ∥AB ,且分别与AO BO 、交于
M N 、.试探讨BM 与CN 之间的关系,写出你所得到的结论的证明过程.
M N C
D
O B A
【巩固】 ☆如图,已知P 是正方形ABCD 内的一点,且ABP ∆为等边三角形,那么DCP ∠=
P
D
C
B
A
【例5】 已知正方形ABCD ,在AD 、AC 上分别取E 、F 两点,使2ED AD FC AC =∶∶,求证:BEF ∆是
等腰直角三角形.
G
E
H
D
F
C
B
A
【例6】 如图,已知E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点,AE 、AF 分别与对角线BD 相交
于M 、N ,若50EAF ∠=︒,则CME CNF ∠+∠= .
N
M
F
E
D
C
B
A
【例7】 ☆如图,四边形ABCD 为正方形,以AB 为边向正方形外作正方形ABE ,CE 与BD 相交于点F ,
则AFD ∠=
F
E
D
C
B
A
【例8】 如图,正方形ABCD 中,在AD 的延长线上取点E ,F ,使DE AD =,DF BD =.连结BF 分别
交CD ,CE 于H ,G .求证:GHD ∆是等腰三角形.
3
14
2
F
E G
H
C
D
B
A
【巩固】 如图,过正方形顶点A 引AE BD ∥,且BE BD =.若BE 与AD 的延长线的交点为F ,求证
DF DE =.
G
F
E
B
D
A
【例9】 如图所示,在正方形ABCD 中,AK 、AN 是A ∠内的两条射线,BK AK ⊥,BL AN ⊥,DM AK ⊥,
DN AN ⊥,求证KL MN =,KL MN ⊥.
K N
M
L
D
C
B A
【巩固】 如图,正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上,连接,BE DG ,求证:BE DG =.
G
C F
E
D
B
A
【例10】 (2007年三帆中学期中考试)如图,在正方形ABCD 中,E 为CD 边上的一点,F 为BC 延长线