初三数学解直角三角形
专题复习
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第五讲 解直角三角形
一、【知识梳理】
知识点1、 解直角三角形定义：由直角三角形中已知元素求出未知元素的过程叫解直角三角
形。
知识点2、解直角三角形的工具：
1、直角三角形边、角之间的关系：
sinA=cosB=c a sinB=cosA=c b tanA=cotB=b a cotA=tanB=a
b
2、直角三角形三边之间的关系： 222c b a =+（勾股定理）
3、直角三角形锐角之间的关系 ： ︒=∠+∠90B A 。（两锐角互为余角）
知识点3、解直角三角形的类型：可以归纳为以下2种，
（1）、已知一边和一锐角解直角三角形； （2）、已知两边解直角三角形。 知识点4、解直角三角形应用题的几个名词和素语 1、方位角：
在航海的某些问题中，描述船的航向，或目标对观测点的位置，常用方位角.画方位角时，常以铅直的直线向上的方向指北，而以水平直线向右的方向为东，而以交点为观测点.
2、仰角和俯角
在利用测角仪观察目标时，视线在水平线上方和水平线的夹角称为仰角，视线在水平线下 方和水平线的夹角称为俯角（如图）. 在测量距离、高度时，仰角和俯角常是不可缺少的数据.
3、坡度和坡角：
在筑坝、修路时，常把坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫作坡度（或坡比），用字母i 表
示（如图（1）），则有,l
h
i =坡面和水平面的夹角叫作坡角.显然有：
αtan ==l
h
i ， 这说明坡度是坡角的正切值，坡角越大，坡度也越大. 二、【典型题例】
考点1、解直角三角形
例1．、1、在ABC ∆中，C ∠为直角，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为c b a 、、．
（1）已知3=b ， 30=∠A ，求a 和c ． （2）已知20=a ，20=b ，求A ∠． 2、如图，已知△ABC 中∠B=45°，∠C=30°，BC=10，AD 是BC 边上的高，求AD 的长
3、已知，如图，△ABC 中，∠A=30°，AB=6，CD ⊥AB 交 AB 延长线于D ，∠CBD=60°。
求CD 的长。
考点2、解直角三角形的应用
例2. （2012深圳）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为300，同一时 刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，求树的高度
例3.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,△ABD 是等边三角形,将四边形ACBD 沿直线EF 折叠，使D 与C 重合，CE 与CF 分别交AB 于点G 、H .
（1）求证：△AEG ∽△CHG ；
（2）△AEG 与△BHF 是否相似，并说明理由； （3）若BC =1，求cos ∠CHG 的值.
例4、如图，有一段防洪大堤，其横断面为梯形ABCD ，AB ∥DC ，斜坡AD 的坡度1i =1:1.2，斜坡
BC 的坡度2i =1:0.8，大堤顶宽DC 为6米，为了增强抗洪能力，现将大堤加高，加高部分的横断面为梯形DCFE ，EF ∥DC ，点E 、F 分别在AD 、BC 的延长线上，当新大堤顶宽EF 为3.8米时，大堤加高了几米?
例5．（08荆州）载着“点燃激情，传递梦想”的使用，6月2日奥运圣火在古城荆州传递，途经A 、B 、C 、D 四地．如图，其中A 、B 、C 三地在同一直线上，D 地在A 地北偏东45º方向，在
A
B C D
F
E H
G A
B
C
C
A
D
B
A
B
B 地正北方向，在
C 地北偏西60º方向．C 地在A 地北偏东75º方向．B 、
D 两地相距2km ．问奥
运圣火从A 地传到D 地的路程大约是多少（
最后结果．．．．
保留整数，参考数据：2 1.4,3 1.7≈≈）
例2. 如图，ABCD 为正方形，E 为BC 上一点，将正方形折叠，使A 点与E 点重合，折痕为MN ，
若,10,3
1
tan =+=∠CE DC AEN （1）求△ANE 的面积；
（2）求sin ∠ENB 的值。
三、【巩固与提高】 （一）、填空题：
1．小明是一位善于思考的学生，在一次数学活动课上，他将一副直角三角板如图位置摆放，A 、B 、C 在同一直线上，EF ∥AD ，∠A =∠EDF =90°，∠C =45°，∠E =60°，量得DE =8，则BD 的长是_______。
2．如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm ，深为30cm ，为方便残疾人士，拟
将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A ，斜坡的起始点为C ，现设计斜坡BC 的坡度1:5i =，则AC 的长度是 cm ．
3．如图，已知△ABC ，AB ＝AC ＝1，∠A ＝36°，∠ABC 的平分线BD 交 AC 于点D ，则AD 的长是______，cosA 的值是_______．(结果保留根号)
4．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点 上，AB 、CD 相交于点P ，则tan ∠APD 的值是 ．
（二）、解答题：
5
．为了解某广告牌的高度，已知CD=2m，经测量，得到其它数据如图所示．其中
∠CAH=30°，∠DBH=60°，AB=10m．请你根据以上数据计算GH的长．（≈1.73，
要求结果精确到0．lm）
6．施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行．现测得斜坡上铅垂的两棵树间水平距离AB=4米，斜面距离BC=4.25米，斜坡总长DE=85米．
（1）求坡角∠D的度数（结果精确到1°）；
（2）若这段斜坡用厚度为17厘米的长方体台阶来铺，需要铺几级台阶
（参考数据：cos20°≈0.94，sin20°≈0.34，sin18°≈0.31，cos18°≈0.95）
7．如图，某水库大坝的横断面是等腰梯形，坝顶宽6米，坝高10米，斜坡AB的坡度为
1:2．现要加高2米，在坝顶宽度和斜坡坡度均不变的情况下，加固一条长50米的大坝，需要多少土方?
8．如图，已知某小区的两幢10层住宅楼间的距离为AC=30 m，由地面向上依次为第1层、第2层、…、第10层，每层高度为3 m．假设某一时刻甲楼在乙楼侧面的影长EC=h，太阳光线与水平线的夹角为α．
(1) 用含α的式子表示h(不必指出α的取值范围)；
(2) 当α＝30°时，甲楼楼顶B点的影子落在乙楼的第几层？若α每小时增加15°，从此时起几小时后甲楼
的影子刚好不影响乙楼采光
17cm
第6题图
A B
C
D
E
F
B
