2017年秋高一数学第一学期函数压轴训练题
1．（本小题满分12分）已知x 满足不等式2112
2
2(log )7log 30x x ++≤，求2
2()log log 42
x x
f x =⋅的最大值与最小值及相应x 值．
2.（14分）已知定义域为R 的函数2()1
2x x a
f x -+=
+是奇函数
（1）求a 值；
（2）判断并证明该函数在定义域R 上的单调性；
（3）若对任意的t R ∈，不等式2
2
(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围；
3. （本小题满分10分）已知定义在区间(1,1)-上的函数2
()1ax b f x x +=+为奇函数,且12
()25
f =. (1) 求实数a ,b 的值；
(2) 用定义证明:函数()f x 在区间(1,1)-上是增函数； (3) 解关于t 的不等式(1)()0f t f t -+<.
4. (14分)定义在R +上的函数f(x)对任意实数a,b +∈R ,均有f(ab)=f(a)+f(b)成立，且当x>1时,f(x)<0，
(1)求f(1) (2)求证：f(x)为减函数。 (3)当f(4)= -2时，解不等式1)5()3(-≥+-f x f
5.（本小题满分12分）已知定义在[1，4]上的函数f(x)＝x 2
-2bx+4
b
(b ≥1)， (I)求f(x)的最小值g(b)； (II)求g(b)的最大值M 。
6.（12分）设函数()log (3)(0,1)a f x x a a a =->≠且，当点(,)P x y 是函数()y f x =图象上的点时，点(2,)Q x a y --是函数()y g x =图象上的点. （1）写出函数()y g x =的解析式；
（2）若当[2,3]x a a ∈++时，恒有|()()|1f x g x -，试确定a 的取值范围；
（3）把()y g x =的图象向左平移a 个单位得到()y h x =的图象，函数1()22()()()2h x h x h x F x a a a ---=-+，（0,1a a >≠且）在1[,4]4的最大值为54，求a 的值.
7. （12分）设函数124()lg ()3
x x
a f x a R ++=∈.
（1）当2a =-时，求()f x 的定义域；
（2）如果(,1)x ∈-∞-时，()f x 有意义，试确定a 的取值范围； （3）如果01a <<，求证：当0x ≠时，有2()(2)f x f x <.
8. （本题满分14分）已知幂函数(2)(1)
()()k k f x x
k z -+=∈满足(2)(3)f f <。
（1）求整数k 的值，并写出相应的函数()f x 的解析式；
（2）对于（1）中的函数()f x ，试判断是否存在正数m ，使函数()1()(21)g x mf x m x =-+-，在区间
[]0,1上的最大值为5。若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由。
9. （本题满分14分）已知函数1
()(0x f x a
a -=>且1)a ≠
（Ⅰ）若函数()y f x =的图象经过()4,3P 点，求a 的值； （Ⅱ）当a 变化时，比较1
(lg
)( 2.1)100
f f -与大小，并写出比较过程； （Ⅲ）若(l
g )100f a =，求a 的值．
10. （本题16分）已知函数9()log (91)x f x kx =++(k ∈R )是偶函数． (1)求k 的值；
(2)若函数()y f x =的图象与直线1
2
y x b =
+没有交点，求b 的取值范围； (3)设()
94()log 33x h x a a =⋅-，若函数()f x 与()h x 的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范
围．
11. （本小题满分12分）二次函数()y f x =的图象经过三点(3,7),(5,7),(2,8)A B C --.（1）求函数()y f x =的解析式（2）求函数()y f x =在区间[],1t t +上的最大值和最小值
12.(本小题满分14分) 已知函数x x
a
x f 2
2)(+=,且)(x f 为奇函数． (Ⅰ)求a 的值;
(Ⅱ)定义:若函数0),0(,)(>>+
=x a x
a
x x g ,则函数)(x g 在],0(a 上是减函数,在),[+∞a 是增函数.设2)1()()(+--=x f x f x F ,求函数)(x F 在]1,1[-∈x 上的值域．
13.(本小题满分16分) 设0a >,0b >,已知函数()1
ax b
f x x +=
+. (Ⅰ)当a b ≠时,讨论函数()f x 的单调性(直接写结论); (Ⅱ)当0x >时,(i)证明2)]([)()1(a
b f a b f f =⋅;
14.(本小题满分16分)
设函数])1(lg[)(2
2
x a ax x f +-=的定义域区间为I ,其中0a >. (Ⅰ)求I 的长度)(a L (注:区间(,)αβ的长度定义为βα-); (Ⅱ)判断函数)(a L 的单调性,并用单调性定义证明;
(Ⅲ)给定常数(0,1)k ∈,当[]k k a +-∈1,1时,求区间I 长度)(a L 的最小值.
1.解：由21
12
2
2(log )7log 30x x ++≤，∴12
13log 2x -≤≤-
， ∴21
log 32
x ≤≤， 而
2
222()log log (log 2)(log 1)42
x x
f x x x =⋅=--
=
222(log )3log 2x x -+=2231
(log )24
x --，
当23log 2x =时min 1
()4
f x =- 此时x =3
22
=
