特征值和特征向量

1 第五章 矩阵的特征值 §1.矩阵的特征值和特征向量 一、矩阵的特征值的定义 定义1：设A为n阶矩阵，是一个数，如果存在非零n维向量，使得：A，则称是矩阵A的一个特征值，非零向量为矩阵A的属于（或对应

于）特征值的特征向量。 下面讨论一般方阵特征值和它所对应特征向量的计算方法。 设A是n阶矩阵，如果0是A的特征值，是A的属于0的特征向量， 则0000()0(0)AAEA 因为是非零向量，这说明是齐次线性方程组 0)(0XAI

的非零解，而齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是其系数矩阵0EA的行列式等于零，即 0EA＝0

而属于0的特征向量就是齐次线性方程组0()0EAx的非零解。 定理1：设A是n阶矩阵，则0是A的特征值，是A的属于0的特征向量的充分必要条件是0是0EA＝0的根，是齐次线性方程组

0()0EAX的非零解。

定义2：称矩阵EA称为A的特征矩阵，它的行列式EA称为A的特征多项式，EA＝0称为A的特征方程，其根为矩阵A的特征值。 由定理1可归纳出求矩阵A的特征值及特征向量的步骤： （1）计算EA；

（2）求EA＝0的全部根，它们就是A的全部特征值； （3）对于矩阵A的每一个特征值0，求出齐次线性方程组0()0EAX的一个 2

基础解系：rn,,,21，其中r为矩阵0EA的秩；则矩阵A的属于0的全部特征向量为： rnrnKKK2211 其中rnKKK,,,21为不全为零的常数。

例1 求011101110A的特征值及对应的特征向量。

解：EA＝1111111)2(1212112111111 ＝2)1)(2(100010111)2( 令EA＝0得：2,1321 当121时，解齐次线性方程组()0EAX

即：111111111000111000EA 可知()1rEA，取32,xx为自由未知量，对应的方程为0321xxx 求得一个基础解系为T0,1,11，T1,0,12，所以A的属于特征值1的全部特征向量为2211KK，其中21,KK为不全为零的常数。 当23时，解齐次线性方程组(2)0EAX 2111121121122121121033011112211033000EA





(2)2rEA，取3x为自由未知量，对应的方程组为00232321xxxxx 3

求得它的一个基础解系为1113，所以A的属于特征值-2的全部特征向量为33K，其中3K是不为零的常数。

例2 求000100010A的特征值及对应的特征向量。

解：EA＝3001001 令EA＝0， 解得：0321。 对于0321，解齐次线性方程组(0)0EAX





000100010A，－A的秩为2，取1x为自由未知量，对应的方程组为0032xx，

求得它的一个基础解系为001，所以A的属于特征值0的全部的特征向量为K，其中K为不为零的常数。

例3 求122212221A的特征值及对应的特征向量。

解：EA＝122110221122212221

322010021)1(122110221)1(

＝)3)(1)(1(

令EA＝0解得：3,1,1321 4

当11时，1222110222001222000EA 1()2rEA，取2x为自由未知量，对应的方程组为00321xxx，解得一个基础解系为0111，所以A的属于特征值-1的全部特征向量为11K，其中1K是不为零的常数。 当12时，2022110202011220000EA

2()2rEA，取3x为自由未知量，对应的方程组为003221xxxx，解得一个基

础解系为1112，所以A的属于特征值1的全部特征向量为22K，其中2K是不为零的常数。 当33时，3222111222011222000EA

3()2rEA，取3x为自由未知量，对应的方程组为0032321xxxxx，解得一个

基础解系为1103，所以A的属于特征值1的全部特征向量为33K，其中3K

是不为零的常数。 例4 已知矩阵x123020有一个特征向量35，求x的值。 解：由已知有： x12302035＝

35 5

得：3536010x， 所以有：182x 练习：（1）求矩阵242422221A的特征值及相应的特征向量。 解：71的特征向量为TK2,2,11； 232的特征向量为TK0,1,22TK1,0,23（32,KK不全为零）。

（2）已知矩阵1322123baB有一个特征向量3211，试求,,ba及1所对应的特征值。 解：设1是特征向量1所对应的特征值，由定义得：



1322123ba321＝1

321

解得：41，2a，6b。 二、特征值、特征向量的基本性质 （1）如果是A的属于特征值0的特征向量，则一定是非零向量，且对于任意非零常数K，K也是A的属于特征值0的特征向量。 （2）如果21,是A的属于特征值0的特征向量,则当02211kk时，

2211kk也是A的属于特征值0的特征向量。

证：(A2211kk）＝)(21102021012211kkkkAkAk （3）n阶矩阵A与它的转置矩阵TA有相同的特征值。 证：AIAIAITT)( 注：TAA与同一特征值的特征向量不一定相同；TAA与的特征矩阵不一定相同。 （4）设nnijaA，则 6

（a）nnnaaa221121 （b）An21 推论：A可逆的充分必要条件是A的所有特征值都不为零。即 An210。 定义3：设nnijaA，把A的主对角线元素之和称为A的迹，记作)(Atr，即：)(Atr＝nnaaa2211。 由此性质（ａ）可记为)(Atr＝n21 (5）设是A的特征值，且是A属于的特征向量，则 （a）a是aA的特征值，并有（aA）＝（a） （b）k是kA的特征值，kA＝k （c）若A可逆，则,0且1是1A的特征值，1A＝1。 证：因为是A属于的特征值，有A， （a）两边同乘a得：)(aA)(a，则a是aA的特征值。 （b）kA＝)()()()()(222211kkkkkAAAAAAA kkA)(1，

则k是kA的特征值， （c）因为A可逆，所以它所有的特征值都不为零，由A＝， 得：)()(11AAA，即：)()()(111AAAA 再由0，两边同除以得： 1A＝1，

所以,0且1是1A的特征值。 例1 已知三阶方阵A，有一特征值是3，且6)(AAtr，求A的所有特征值。 解：设A的特征值为3，32,，由上述性质得： )(332Atr＝6