第11讲 静态场及其边值问题的解(1) [兼容模式]

第3章　静态电磁场及其边值问题的解（一）思考题3.1 电位是如何定义的？中的负号的意义是什么？答：由静电场基本方程▽×E＝0和矢量恒等式可知，电场强度E 可表示为标量函数φ的梯度，即式中的标量函数φ称为静电场的电位函数，简称电位；式中负号表示场强方向与该点电位梯度的方向相反。

3.2“如果空间某一点的电位为零，则该点的电场强度也为零”，这种说法正确吗？为什么？答：不正确。

因为电场强度大小是该点电位的变化率。

3.3“如果空间某一点的电场强度为零，则该点的电位为零”，这种说法正确吗？为什么？答：不正确。

此时该点电位可能是任一个不为零的常数。

3.4 求解电位函数的泊松方程或拉普拉斯方程时，边界条件有何意义？答：边界条件起到给方程定解的作用。

3.5 电容是如何定义的？写出计算电容的基本步骤。

答：两导体系统的电容为任一导体上的总电荷与两导体之间的电位差之比，即其基本计算步骤：①根据导体的几何形状，选取合适坐标系；②假定两导体上分别带电荷＋q和－q；③根据假定电荷求出E；④由求得电位差；⑤求出比值3.6 多导体系统的部分电容是如何定义的？试以考虑地面影响时的平行双导线为例，说明部分电容与等效电容的含义。

答：多导体系统的部分电容是指多导体系统中一个导体在其余导体的影响下，与另一个导体构成的电容。

计及大地影响的平行双线传输线，如图3-1-1所示，它有三个部分电容C11、C12和C22，导线1、2间的等效电容为；导线1和大地间的等效电容为；导线2和大地间的等效电容为图3-1-13.7 计算静电场能量的公式和之间有何联系？在什么条件下二者是一致的？答：表示连续分布电荷系统的静电能量计算公式，虽然只有ρ≠0的区域才对积分有贡献，但不能认为静电场能量只存在于有电荷区域，它只适用静电场。

表示静电场能量存在于整个电场区域，所有E≠0区域对积分都有贡献，既适用于静电场，也用于时变电磁场，当电荷分布在有限区域内，闭合面S无限扩大时，有限区内的电荷可近似为点电荷时，二者是一致的。

CEdl
0
SDdS V ρdVq
E C
Байду номын сангаас
dl
0
J
S
dS
0
C
Hdl
SJ
dS
I
S BdS 0
H
E
J
D
t
B
t
B D
0
J
t
E 0
D
E 0 J 0
H
J
B 0
en
( H 1
H
2)
Js
en
(E 1
E 2
)
0
en en
( (
B1 D1
6. 静电位的边界条件
设P1和P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分
别为1和2。当两点间距离Δl→0时
12Δ ll i0m P P 1 2E d l0
由 e n(D 1 D 和2 1) S 2
D
媒质1 1 媒质2 2
1 P1 2 P2
Δl
2
2
n
1n1
S
• 若介质分界面上无自由电荷，即S 0
(4) 求比值Cq U，即得出所求电容。
例3.1.4 同心球形电容器的内导体半径为a 、外导体半径为b，其 间填充介电常数为ε的均匀介质。求此球形电容器的电容。
解：设内导体的电荷为q ，则由高斯定理可求得内外导体间
的电场
q
q
D er4πr2, Eer4πr2
同心导体间的电压
U bE d rq(11 )qb a
BAA BEldl
若选取P点 xp, yp,zp 为电位参考点（即 p 0 ）
则任意点A x, y, 的z 电位为

2
★三类边值问题 ——对应的三类边界条件
第一类：已知整个边界面上的位函数；
第二类：已知整个边界面上的位函数的法向导数;
第三类：已知一部分边界面上的位函数值， 和另一部分边界面上位函数的法向导数。
3
§5.1 静态场边值问题的基本概念
一、静态电磁场的方程
二、三类边值问题 三、基本计算方法
4
§5.1 静态场边值问题的基本概念
第三类：已知一部分边界面上的位函数值， 和另一部分边界面上位函数的法向导数。（1分）
18
8
★三类边界条件
第一类：
已知位函数在整个边界面上的
亦即：
已知 | f1 (S )，S为边界上的点。
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第二类：
已知位函数在整个边界面上的法向导数。
（即：已知整个边界面上的位函数的法向导数）
亦即：
f 2 (S ) | n
10
第三类：
第五章 静态场的边值问题
§5.1 静态场边值问题的基本概念
§5.2 唯一性定理和解的叠加原理
§5.3 镜像法 §5.4 分离变量法
§5.5 有限差分法
第五章 静态场的边值问题
§5.1 静态场边值问题的基本概念
§5.2 唯一性定理和解的叠加原理
§5.3 镜像法 §5.4 分离变量法
§5.5 有限差分法
一、静态电磁场的方程 二、三类边值问题 三、基本计算方法
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一、静态电磁场的方程
静 电 场：由电 荷（通量源）激发
恒定磁场：由恒定电流（涡旋源）激发
静态电磁场与时间无关，属于时不变场， 具有相同的基本特性： 数学上满足同一类方程（Poisson方程）
/ 2 A J

第3章
静态电磁场及其边值 问题的解
时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场 当场源不随时间变化时，激发不随时间变化的静态场 静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立
3.1 静电场分析
3.1.1 静电场的基本方程和边界条件
基本方程

D d S
S

dV
V

E d l 0
M P
E d l
rQ rPΒιβλιοθήκη Q ME d l
l
2 0 rQ rP

Q M
r r
2
d r
rQ
M
l
2 0

1 r
dr
l
2 0
ln
如果选择参考点在rQ=∞，得P=∞，显然不合理。 如果选择rQ=1，得 P

O
rP
P
l
2 0
ln
1 rP
，显然这种形式最简单。
,
D2
S 0b 0
最后得
1 ( x ) 2 ( x) 0a S 0b 0a
S 0 (a b)
(0 ≤ x ≤ b ) (b ≤ x ≤ a )
所以 D1 0
C 2 a D2 0 C1b D1 C 2 b D2 C 2 C1
d 1 ( x )
2
dx
2
2
0,
(0 x b)
y
S0
d 2 ( x) dx
2
1 ( x ) 2 ( x)
0,
(b x a )
o
b
a
x
方程的解为 1 ( x ) C1 x D1